高2015級高一上期期末復習資料（必修一、必修四）

第1課時集合與函數(shù)概念【學問點梳理】一、集合1．集合元素的三性：、、。2．集合的三種表示方法：、、。3．空集是的子集；是的真子集。4．正整數(shù)集、自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集、可分別有符號表示為：、、、、。5．集合與元素的關系有兩種，即與，分別表示為、。6．若集合A與B滿意，則A是B的子集，表示為；滿意，則A是B的真子集，表示為。7．兩集合相等指，表示為。8．兩集合的交集定義為，表示為；兩集合的并集定義為，表示為；集合Ａ在全集Ｉ中的補集指由的元素構成的集合。９．全集為S。則集合Ａ與Ｂ的交集是的子集；Ａ與Ｂ的并集包含與，集合Ａ與自身的交集與并集分別等于、；Ａ與空集的交與并分別等于、；集合Ａ與全集的交與并分別等于、；集合Ａ在全集Ｓ中的補集的補集等于，用符號表示為；全集與空集的補集分別為、；Ａ與A的補集的交與并分別為、。10．有限集合Ａ的元素個數(shù)為n，則它的子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)分別為、、、。二、函數(shù)的概念1.函數(shù)的三要素指函數(shù)的、、。2.函數(shù)的單調(diào)性的定義：（1）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)遞增的定義是：____________________________________________________________________________________（2）函數(shù)的單調(diào)性與圖象之間的對應關系：假如函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是的，減函數(shù)的圖象從左到右是的.（3）函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法有兩種：①用定義法推斷單調(diào)性的步驟為：______________________________________;____________________________________________②用圖象法推斷單調(diào)性：從圖象上看升降.3.奇偶性（1）奇函數(shù)的定義：（2）偶函數(shù)的定義：（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：奇函數(shù)的圖象，偶函數(shù)的圖象。（4）利用定義推斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：_________________________________________。（5）函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)的兩個重要性質，它們之間的關系是：奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性________；偶函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性________.4.求簡潔函數(shù)的定義域，一般要考慮的因素有：（1）（2）（3）（4）（5）（6）

5.函數(shù)的最大（小）值（1）函數(shù)的最大值和最小值分別對應著函數(shù)圖象上的最點和最點。（2）求函數(shù)最值常見的方法有：（1）（2）（3）（4）（5）（6）

【課堂講解】1.集合的運算關系【例1】設集合A={|}，B={|，}，若，求實數(shù)的值．【解析】2.函數(shù)基本性質的應用例2．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）利用（1）（2）的結論，試推斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性。【解析】3.分段函數(shù)及其應用【例3】設a為實數(shù)，函數(shù)，x∈R.（1）探討的奇偶性；（2）若x≥a時函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，求a的值。（3）若x≥a，求的最小值；【解析】【自主測評】一．選擇題1.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（） （）A． B． C． D．2.設,,則的值（）A．1B．0C．D．3.已知集合,則A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或34.二次函數(shù)的二次項系數(shù)為正數(shù)，且對隨意項都有成立，若，則的取值范圍是（）或或二．填空題5.已知關于的不等式在上恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_________.6.設函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù),當x∈[0,1]時,f(x)=x+1,則=_________.7.已知定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的最大值為3，那么實數(shù)的取值集合為．8.若函數(shù)在[-1,2]上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)在上是增函數(shù),則a=_.三．解答題9.集合，，若，求實數(shù)m的取值范圍.10.已知二次函數(shù)在區(qū)間[0,1]上有最大值2，求a的值。11．某旅游商品生產(chǎn)企業(yè)，2019年某商品生產(chǎn)的投入成本為1元/件，出廠價為1.2元/件，年銷售量為10000件，因2019年調(diào)整黃金周的影響，此企業(yè)為適應市場需求，安排提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每件投入成本增加的比例為，則出廠價相應提高的比例為，同時預料銷售量增加的比例為.已知利潤=（出廠價—投入成本）×年銷售量.（1）2019年該企業(yè)的利潤是多少？（2）寫出2019年預料的年利潤與投入成本增加的比例的關系式；（3）為使2019年的年利潤達到最大值，則每件投入成本增加的比例應是多少？此時最大利潤是多少？12.已知函數(shù).（1）求證：不論為何實數(shù)總是為增函數(shù)；（2）確定的值,使為奇函數(shù)；（3）當為奇函數(shù)時,求的值域.第2課時指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【學問點梳理】1.根式 （1）根式的概念若=a，則x叫做___________，式子叫做_____,這里n叫做_________，a叫做___________.（2）根式的性質①當n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個數(shù)，負數(shù)n次方根是一個數(shù)，這時a的n次方根用符號____表示.②當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有個，它們互為數(shù),這時，正數(shù)的正的n次方根用符號____表示,負的n次方根用符號________表示.正負兩個n次方根可以合寫為________（a＞0）.③=______.④當n為奇數(shù)時，=____;當n為偶數(shù)時，=__________.⑤負數(shù)沒有次方根.2.有理數(shù)指數(shù)冪正整數(shù)指數(shù)冪：=________.（n∈N*）；零指數(shù)冪：=____（a≠0）；負整數(shù)指數(shù)冪：=_____（a≠0，pN*）；正分數(shù)指數(shù)冪：=_______（a>0，m、nN*，且n>1）；負分數(shù)指數(shù)冪：==(a>0,m、nN*,且n>1).0的正分數(shù)指數(shù)冪等于______，0的負分數(shù)指數(shù)冪_____________.=______(a>0,r、sQ);=______(a>0,r、sQ);=_______(a>0,b>0,rQ).3.函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù).指數(shù)函數(shù)的圖象和性質圖象性質（1）定義域：（2）值域：（3）過點，即當時，.（4）（5）在上是函數(shù)（4）在上是函數(shù)【課堂講解】1.指數(shù)式的化簡【例1】計算下列各式：2.指數(shù)函數(shù)的性質【例2】設函數(shù)f(x)=為奇函數(shù)。（1）實數(shù)a的值；（2）用定義法推斷f（x）在其定義域上的單調(diào)性.3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質的應用【例3】已知函數(shù)(1)作出圖象；(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；(3)由圖象指出當x取什么值時函數(shù)有最值【目標檢測】1.已知a<則化簡的結果是（）A.B.C.D.2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A.y=B.y=-+1C.y=|x|+1D.y=3.右圖是下列指數(shù)函數(shù)的圖象：（1）y=，（2）y=,（3）y=，（4）y=。則a，b，c，d與1的大小關系是()A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c4.已知f(x)=+若f(a)=3,則f(2a)=（）A.5B.7C.9D.115.若函數(shù)y=(-3a+3)為指數(shù)函數(shù)，則有A.a=1或2B.a=1C.a=2D.a>0且a≠16.當a>0地，化簡7.求出下列函數(shù)的定義域：（1）（2）8.已知函數(shù)①y=2x；②y=log2x；③y=x－1；④SKIPIF1<0.則下列函數(shù)圖象（在第一象限部分）從左到右依次與函數(shù)序號的正確對應依次是9.計算下列各題：10.畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程|3x－１｜＝k無解？有一解？有兩解？11.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）推斷函數(shù)的單調(diào)性;（Ⅲ）若對隨意的，不等式恒成立，求的取值范圍．第3課時對數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)【學問點梳理】1.對數(shù)的基本公式(a>0且a≠1).定義式：=_____；=___；__；=；__；=____；=____；=___；=___；換底公式:___；的倒數(shù)是___；=___。3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質圖象性質（1）定義域：（2）值域：（3）過點，即當時，.（4）（5）在上是函數(shù)（4）在上是函數(shù)2.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=與對數(shù)函數(shù)_________互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線_________對稱.3.冪函數(shù)函數(shù)叫做冪函數(shù)（只要求駕馭當時的圖象）。【課堂講解】1.對數(shù)的化簡與求值【例1】(1)化簡:(2)化簡；(3)已知=m,=n,求的值。2.指、對數(shù)式的互化【例2】已知=A,且求A的值。3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質的應用【例3】已知.（1）當0＜a＜1時，求f（x）的定義域；（2）推斷f（2）是否大于零，并說明理由.【同步檢測】1.若<0,則（）A.a>1,b>0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<02.若a=,b=,c=則a,b,c的大小關系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c3.設a>1，函數(shù)f(x)=在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為則a的值為（）A.B.C.D.4.的值為（）A.B.C.D.5.函數(shù)y=(a>0,a≠1,ab=1)的圖象只可能是（）6.函數(shù)的定義域是7.=8.函數(shù)上的最大值和最小值之和為，則的值為。9.計算下列各式的值（1）（2）10.已知函數(shù)f(x)=(a>0,a≠1)，假如對于隨意x∈[3，+∞)都有|f(x)|≥1成立，試求a的取值范圍.11.設函數(shù)f（x）=lg［（a2－1）x2+（a+1）x+1］.（1）若f（x）的定義域為（－∞，+∞），求實數(shù)a的取值范圍；（2）若f（x）的值域為（－∞，+∞），求實數(shù)a的取值范圍.第4課時函數(shù)的零點、二分法、函數(shù)模型的應用【學問點梳理】1.的零點的概念。對于函數(shù)，能使的實數(shù)叫作函數(shù)的零點。2..函數(shù)的零點與方程根的關系方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)的零點。3..二次函數(shù)零點的判定對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c與二次方程ax2+bx+c=0，其判別式△=b2–4ac.判別式方程ax2+bx+c=0的根函數(shù)y=ax2+bx+c的零點△＞0有兩不相等實根有兩個零點△=0有兩相等實根有一個零點△＞0沒有實根0個零點

4.函數(shù)零點的存在性定理假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連綿不斷的一條曲線，并且有那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0這個c也就是方程f(x)=0的根。5．二分法：對于區(qū)間[a，b]上連綿不斷、且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步靠近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法（bisection）。6．給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步聚如下：（1）確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)＜0，給定精確度；（2）求區(qū)間(a，b)的中點x1；（3）計算f(x1)；①若f(x1)=0，則x1就是函數(shù)的零點；②若f(a)·f(x1)＜0，則令b=x1(此時零點x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)＜0，則令a=x1(此時零點x0∈(x1，b))；（4）推斷是否達到精確度：即若|a–b|＜，則得到零點近似值a(或b)；否則重復（2）~（4）。7.解決應用的一般序：①審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系；②建模：將文字語言轉化為數(shù)學語言，利用數(shù)學學問，建相應的學模型；③解模：解數(shù)學型，得數(shù)學結；④還原：將用數(shù)學學問和方法得出的結論，還原為實際問的意義．8.常見函數(shù)模型：(1)一次函數(shù)模型.(2)二次函數(shù)模型(3)分段函數(shù)模型(4)指數(shù)函數(shù)模型(5)對數(shù)函數(shù)模型(6)三角函數(shù)模型【課堂講解】1、函數(shù)的零點例1：若是函數(shù)的一個零點，則屬于區(qū)間 （ ）（A）（）.（B）（）.（C）（）（D）（）【變式1】:若函數(shù)的零點與的零點之差的肯定值不超過0.25，則可以是()A.B.C.D.2、二分法的應用.例2用二分法探討函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)計算，可得其中一個零點，其次次應計算.以上橫線上應填的內(nèi)容為（）A．（0，0.5），B．（0，1），C．（0.5，1），D．（0，0.5），【變式2】:證明方程在區(qū)間內(nèi)有唯一一個實數(shù)解，并求出這個實數(shù)解（精確度：0.1）.【變式3】:求證方程在內(nèi)必有一個實數(shù)根.3、函數(shù)模型的應用例3.某自來水廠的蓄水池存有400噸水，水廠每小時可向蓄水池中注水60噸，同時蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水，小時內(nèi)供水總量為噸（）。從供水起先到第幾小時時，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少噸?【變式4】:某醫(yī)藥探討所開發(fā)一種新藥，假如成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間近似滿意如圖所示的曲線.（1）寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關系式y(tǒng)=f(t)；（2）據(jù)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療疾病有效.求服藥一次治療疾病有效的時間？【自主測評】一．選擇題1.設,用二分法求方程內(nèi)近似解的過程中得則方程的根落在區(qū)間（） A．B．C．D．不能確定2.函數(shù)的零點所在區(qū)間為（） (A)（1，0）(B)（0，1）(C)（1，2）(D)（2，3）3..已知x0是函數(shù)的一個零點，若，則()（A） （B）（C） （D）4..若是方程式的解，則屬于區(qū)間（）（A）（0，1）.（B）（1，1.25）.（C）（1.25，1.75）（D）（1.75，2）二．填空題5.用“二分法”求方程在區(qū)間[2，3]內(nèi)的實根，取區(qū)間中點為，那么下一個有根的區(qū)間是6.若函數(shù)且有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.7.直線與曲線有四個交點，則的取值范圍是.8.已知函數(shù)，若在上存在，使，則實數(shù)m的取值范圍是.三．解答題9求函數(shù)y=x3–2x2–x+2的零點，并畫出它的圖象。10.已知a∈R，探討函數(shù)的零點個數(shù).11.有一批影碟機（VCD）原銷售價為每臺800元，在甲、乙兩家電商場均有銷售.甲商場用如下的方法促銷，買一臺單價為780元，買二臺單價為760元，依次類推，每多買一臺單價均削減20元，但每臺最低不低于440元；乙商場一律按原價的75%銷售，某單位需購買一批此類影碟機，問去哪家商場購買花費最小。12.有時可用函數(shù)描述學習某學科學問的駕馭程度。其中表示某學科學問的學習次數(shù)（），表示對該學科學問的駕馭程度，正實數(shù)a與學科學問有關。（1）證明：當x7時，駕馭程度的增長量f（x+1）-f(x)總是下降；（2）依據(jù)閱歷，學科甲、乙、丙對應的a的取值區(qū)間分別為（115，121］,(121,127］,(127,133］.當學習某學科學問6次時，駕馭程度是85%，請確定相應的學科.第5課時一元二次函數(shù)的零點分布及其最值【學問點梳理】1.一元二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）式，即（2）式，即（3）式，即2.一元二次函數(shù)的最值幾種常見類型（1）一般型:,其中例如:的最大值是和最小值分別是.（2）軸定區(qū)間定型:,且、都是常數(shù).如:.的最大值是和最小值是.（3）軸變區(qū)間定型:.都是常數(shù),但h是參變數(shù).如:.的最大值是和最小值是.（4）軸定區(qū)間變型:.都是常數(shù),但m或n是參變數(shù).如:.的最大值是，最小值是.3.一元二次函數(shù)的零點分布幾種常見形式:設的零點為..對稱鈾方程為,m,n都是常數(shù).(以下內(nèi)容可結合圖象來理解)（1）當時,則且且；（2）當時,則且且；（3）當時,則；（4）當時,則且且且?！菊n堂講解】一元二次函數(shù)的解析式問題例1：已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為，且不等式的解集為。（Ⅰ）若方程有兩個相等的根，求的解析式；（Ⅱ）若的最大值為正數(shù)，求的取值范圍?！咀兪?】已知函數(shù)是二次函數(shù)，且滿意，求的解析式.2.一元二次函數(shù)的最值類型問題例2：已知函數(shù)，是二次函數(shù)，當時的最小值為1，且為奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式．【變式2】函數(shù)的值域是（）(A)(B)(C)(D)3.一元二次函數(shù)的零點分布問題例3：設f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)＞0，求證：(Ⅰ)a＞0且(Ⅱ)函數(shù)f(x)在（0，1）內(nèi)有兩個零點.【變式3】若方程在（0，1）內(nèi)恰有一解，則的取值范圍是（）(A) (B)(C)(D)

【自主測評】一．選擇題1.函數(shù)的值域為()(A)(B)(C)(D)2.已知函數(shù)在區(qū)間上既沒有最大值也沒有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）(A)(B)（C）(D).3.設函數(shù)，若，且，則關于的方程的解的個數(shù)是（）(A)0個(B)1個(C)2個(D)3個4.已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1<x2,x1+x2=0,則()(A)(B)f(x1)=f(x2)(C).f(x1)>f(x2)(D)f(x1)與f(x2)的大小不能確定二．填空題5.已知函數(shù)滿意,則6..已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的取值范圍是7.函數(shù)的值域為8.已知關于的方程在上兩個實數(shù)解,則的取值范圍是.三．解答題9.若，函數(shù)（其中）。（1）求函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)的值域10.已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)=f1(x)+f2(x).(1)求函數(shù)f(x)的表達式；(2)證明:當a>3時,函數(shù)有三個零點..11.已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)在的值域；(2)若關于的方程有解，求的取值范圍。12.已知函數(shù)，[－1，1].⑴求的最小值（用a表示）；⑵記,假如函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.第6課時三角函數(shù)（一）【學問點梳理】1.角概念的推廣、弧度、特別角的三角函數(shù)；2.扇形的弧長，面積=3.同角三角函數(shù)的基本關系式：，4.誘導公式：（口決）【課堂講解】例1：（１）已知，且為其次象限角，求；（２）已知，求；（３）已知，求．【解析】例2.化簡：【解析】例3已知是方程的根，求的值．【解析】【自主測評】一．選擇題1.等于（）ABCD2.已知的值為（） A．－2B．2C．D3.已知，則（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4.已知，則的值是（）Ａ．０Ｂ．Ｃ．１Ｄ．二．填空題5.與終邊相同的最小正角是_6若集合，，則=________7.已知，則。8.已知，且，則。三．解答題9.已知，且．（1）求sinx、cosx、tanx的值．（2）求sin3x–cos3x的值．10已知，（1）求的值（2）求的值11.已知α是第三角限的角，化簡12．已知，求的值．第7課時三角函數(shù)（二）【學問點梳理】1.正弦函數(shù)圖象的五個關鍵點：2.正弦、余弦和正切函數(shù)的圖象與性質函數(shù)簡圖定義域值域奇偶性周期性單調(diào)性在上遞增在上遞增在上遞增在上遞減在上遞減對稱性對稱中心對稱中心對稱中心：對稱軸對稱軸3.正弦型函數(shù)的圖象與性質（1）周期（2）對稱性：對稱軸為對稱中心為（3）單調(diào)性：單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為（4）奇偶性:為奇函數(shù)，則；為偶函數(shù)，則（5）零點（6）振幅頻率相位初相【課堂講解】例1：已知函數(shù)，求：（1）函數(shù)y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間例2.已知點A、B、C的坐標分別為A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(,)。(1)若||=||，求角α的值；(2)若·，求的值.例3已知函數(shù)，（1）求它的定義域和值域；（2）推斷它的周期性，假如是周期函數(shù)，求出它的最小正周期；（3）求它的單調(diào)遞減區(qū)間?！咀灾鳒y評】一．選擇題1、若函數(shù)y=f()的圖象上每一點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長到原來的2倍，再將整個圖象沿軸向左平移個單位，沿軸向下平移1個單位，得到函數(shù)y=sin的圖象則y=f()是（）A．y=B.y=C.y=D.2、函數(shù)y=sin(2x+)的圖像的一條對軸方程是（）A.x=-B.x=-C.x=D.x=3、函數(shù)的圖象（）A．關于原點對稱B．關于點（－，0）對稱C．關于y軸對稱D．關于直線x=對稱4、函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．二．填空題5.函數(shù)的最小值是.6、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是7.的振幅為，初相為。8.關于函數(shù)f(x)＝4sin(2x＋),(x∈R)有下列命題：①y＝f(x)是以2π為最小正周期的周期函數(shù)；②y＝f(x)可改寫為y＝4cos(2x－)；③y＝f(x)的圖象關于(－，0)對稱；④y＝f(x)的圖象關于直線x＝－對稱；其中正確的序號為。三．解答題9.右圖為函數(shù)圖像的一部分。（1）求此函數(shù)的周期及最大值和最小值（2）求與這個函數(shù)圖像關于直線對稱的函數(shù)解析式10已知函數(shù)的定義域為，（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且，當為何值時，為偶函數(shù)11.已知函數(shù)（1）求取最大值時相應的的集合；（2）該函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸變換可以得到的圖象12．已知是方程的兩根，且，求的值。第8課時平面對量【學問點梳理】1.向量的有關概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的（或模）。向量不能比較大小，只能比較是否相等。(2)的向量叫做零向量，其方向是的。(3)單位向量：長度等于的向量。(4)平行向量：方向或的向量。平行向量又叫，任一組平行向量都可以移到同一條直線上.規(guī)定：與任一向量。(5)相等向量：長度且方向的向量，相反向量：長度且方向的向量。2.向量的加法和減法（1）加法：①法則：三角形法則、平行四邊形法則.,在平行四邊形中，；②運算性質：=(交換律）；=（結合律）；(2)減法：①減去一個向量，等于加上它的；②法則：聽從三角形法則.；(3)；前后取等號的條件分別為。前后取等號的條件分別為。3.實數(shù)與向量的積（1）長度與方向規(guī)定如下：①；②當時，與的方向相同；當時，與的方向相反；當時，。(2)運算律：設、∈R，則：（3）若（）與共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使得。（4）若、、的終點共線，則,且。4.兩個向量的夾角（1）定義:兩個非零向量與（即讓它們的保持相同），則叫與所成的角。(2)向量夾角θ的范圍是,與同向時，夾角θ=;與反向時，夾角θ=.（3）向量垂直：假如向量與的夾角是，則與垂直,記作5.平面對量基本定理及坐標表示（1）平面對量基本定理：假如,是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對于這一平面內(nèi)的隨意向量,一對實數(shù)、，使=。其中，不共線的向量,叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組.（2）與共線，則。（3）平面對量的正交分解：把一個向量分解為兩個的向量，叫做把向量正交分解.(4)平面對量的坐標表示：①在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量,作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量,有且只有一對實數(shù)x,y,使，把有序數(shù)對叫做向量的坐標，記作=，其中叫在x軸上的坐標，叫在y軸上的坐標.②設,則的坐標就是 的坐標，即若=，則。反之亦成立.（O是坐標原點）6．平面對量的坐標運算（1）已知、，則=,即一個向量的坐標等于該向