山東省青島市九校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市九校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)A關(guān)于yOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱(chēng)性可得關(guān)于yOz平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C.2.若4名教師報(bào)名參加鄉(xiāng)村志愿支教活動(dòng)，可以從A，B，C這3個(gè)學(xué)校中選報(bào)1個(gè)，則不同的報(bào)名方式有（）A.16種 B.24種 C.64種 D.81種〖答案〗D〖解析〗每位教師報(bào)名都有3種選擇，則4名教師報(bào)名方式有（種）.故選：D.3.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（位移單位：m，時(shí)間單位：s），則質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A.16m/s B.36m/s C.64m/s D.81m/s〖答案〗B〖解析〗由，得，∴質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)的瞬時(shí)速度為36m/s.故選：B.4.拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則點(diǎn)與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為（）A.2 B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，焦點(diǎn)，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，可得點(diǎn)與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為.故選：B.5.圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為所以圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為.故選:C.6.從8名女護(hù)士和4名男醫(yī)生中，抽取3名參加支援鄉(xiāng)鎮(zhèn)救護(hù)工作，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為（）A.112 B.32 C.56 D.12〖答案〗A〖解析〗∵從8名女護(hù)士，4名男醫(yī)生中選出3名，∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是，根據(jù)分層抽樣要求，應(yīng)選出名女護(hù)士，名男醫(yī)生，∴不同的抽取方法數(shù)為種.故選：A.7.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意可得，，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以，即，即.故選：D.8.若函數(shù)存在增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗若函數(shù)不存在增區(qū)間，則函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)在區(qū)間恒成立，可得，則，可得，故函數(shù)存在增區(qū)間時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線(xiàn)的方程為：，則下列說(shuō)法正確的是（）A.焦點(diǎn)為 B.漸近線(xiàn)方程為C.離心率e為 D.焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為〖答案〗BC〖解析〗由方程可知?jiǎng)t焦點(diǎn)為，漸近線(xiàn)方程為，即離心率為，焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為故選：BC10.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，令，可得，所以A正確；含的項(xiàng)為，故，所以B錯(cuò)誤；令，可得，又因?yàn)?，故，所以C正確；令，可得，又由，故，所以D正確.故選：ACD.11.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳析九章算法》一書(shū)中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是（）A.B.第2023行的第1012個(gè)和第1013個(gè)數(shù)最大C.第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第7個(gè)數(shù)D.第34行中從左到右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)之比為2：3〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，，，故A正確；B選項(xiàng)，由圖可知：第行有個(gè)數(shù)字，如果是奇數(shù)，則第和第個(gè)數(shù)字最大，且這兩個(gè)數(shù)字一樣大；如果是偶數(shù)，則第個(gè)數(shù)字最大，故第2023行的第1012個(gè)和第1013個(gè)數(shù)最大，故B正確；C選項(xiàng)，第6行，第7行，第8行的第7個(gè)數(shù)字分別為：1，7，28，其和為36；第9行第7個(gè)數(shù)字是84，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，依題意：第34行第14個(gè)數(shù)字是，第34行第15個(gè)數(shù)字是，所以，故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B.函數(shù)只有極大值沒(méi)有極小值C.當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D.若時(shí)，，則t的最小值為2〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A中，由，可得，解得，所以A正確；對(duì)于B中，由，令時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，或，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，可得函數(shù)大致圖象，所以當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，所以C正確；對(duì)于D中，由B知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，其中，當(dāng)時(shí)，即在區(qū)間時(shí)，可得，所以D錯(cuò)誤.故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗，則，又，所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為，即.故〖答案〗為：.14.正項(xiàng)等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則_________.〖答案〗〖解析〗，是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得，正項(xiàng)等比數(shù)列中，有，所以.故〖答案〗為：15.盒中有個(gè)紅球，個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球個(gè)，再?gòu)暮兄谐槿∫磺?，則第二次抽出的是黑球的概率是_________．〖答案〗〖解析〗記事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；則；，；，，.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則__________.〖答案〗2〖解析〗函數(shù)，則，顯然為偶函數(shù)，令，，，所以為奇函數(shù)，又為偶函數(shù)，所以，，所以.故〖答案〗為：2.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，已知，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且的前n項(xiàng)和為，求.解：（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為的等差數(shù)列，且，所以，則或.又，，∴.（2）由（1）可得，，∴18.設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以.19.2022年4月16日3名宇航員在太空歷經(jīng)大約半年時(shí)間安全返回地球，返回之后3名宇航員與2名航天科學(xué)家從左到右排成一排合影留念.求：（1）2名航天科學(xué)家站在左、右兩端總共有多少種排法；（2）3名宇航員互不相鄰的概率；（3）2名航天科學(xué)家之間至少有2名宇航員的概率.解：（1）第一步，先排2名航天科學(xué)家，第二步，再排3名宇航員，所以總共有（種）.（2）先排2名航天科學(xué)家，然后再插入3名宇航員，所以總共有（種），5人排成一排一共（種），所以所求的概率為：.（3）①當(dāng)2名航天科學(xué)家之間有3名宇航員時(shí)，；②當(dāng)2名航天科學(xué)家之間有2名宇航員時(shí)，，故.20.設(shè)橢圓：的離心率為，且短軸長(zhǎng)為.（1）求橢圓C的方程；（2）若在y軸上的截距為2的直線(xiàn)與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線(xiàn)OA，OB的斜率之和等于12，求直線(xiàn)AB的方程解：（1）由題可得，由有，，解得，故所求橢圓方程為：.（2）由題意可知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)：，，，聯(lián)立，或，∴，，∴，，故直線(xiàn)AB的方程為.21.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，．（1）求證：平面ACF；（2）在線(xiàn)段PB上是否存在一點(diǎn)H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線(xiàn)段PH的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）依題意，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，側(cè)棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，以為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，由于，所以平面.（2）存在，理由如下：設(shè)，，，，依題意與平面所成角的正弦值為，即，，解得或.，即的長(zhǎng)為或