陜西省銅川市2024屆高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省銅川市2024屆高三第二次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則=（）A. B.2 C. D.3〖答案〗A〖解析〗，則.故選：A.3.從這九個數(shù)字中任取兩個，這兩個數(shù)的和為質(zhì)數(shù)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗這九個數(shù)字中任取兩個，有種取法，和為質(zhì)數(shù)有，共14種情況，因此所求概率為.故選：C.4.已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的倍，則它的側(cè)面積擴大為原來的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，則其體積，側(cè)面積為；設(shè)體積擴大倍后的底面半徑為，則，，其側(cè)面積變?yōu)?，，即?cè)面積擴大為原來的倍.故選：B.5.已知A，B是：上的兩個動點，P是線段的中點，若，則點P的軌跡方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為中點為P，所以，又，所以，所以點P在以C為圓心，4為半徑的圓上，其軌跡方程為.故選：C.6.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則（）A.-2 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時，所以，故C項正確.故選：C.7.設(shè)F為拋物線的焦點，點P在拋物線上，點Q在準線l上，滿足軸．若，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗依題意有，則為等邊三角形，又軸，所以．故選：A．8.在遞增等比數(shù)列中，其前項和為，且是和的等差中項，則（）A.28 B.20 C.18 D.12〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意得，，解得或（舍），則.故選：A.9.已知函數(shù)且滿足，則的最小值為（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知可得，即，所以關(guān)于對稱，故，，所以，又，所以時，取最小值為．故選：A．10.已知函數(shù)滿足（其中是的導(dǎo)數(shù)），若，，，則下列選項中正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，令，，則，所以在上恒成立，所以在上為減函數(shù)，因為，且在上單調(diào)性遞增；所以，所以，所以，所以，即．故選：A.11.正四棱錐內(nèi)有一球與各面都相切，球的直徑與邊AB的比為，則PA與平面ABCD所成角的正切值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，易知球心在正棱錐的高線上，設(shè)球心為O，在平面ABCD內(nèi)的射影為H，，取M為BC中點，則，且.作于E，設(shè)球的半徑為r，則，，，因為，，所以，所以，即，整理可得.連接，則，所以.因為平面，所以即為直線PA與平面ABCD所成的角，所以，PA與平面ABCD所成角的正切值為.故選：D．12.已知斜率為的直線l經(jīng)過雙曲線的右焦點F，交雙曲線C的右支于A，B兩點，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，，直線l的方程為，其中，聯(lián)立得．∴，，由，得，即，∴，即，∴，整理得，∴離心率．故選：C．二、填空題13.已知向量，且，則___________.〖答案〗〖解析〗因為，，所以，又，所以，解得，所以，故.故〖答案〗為：.14.已知銳角滿足，，則__________.〖答案〗〖解析〗均為銳角，，，.故〖答案〗為：.15.如圖所示是一系列有機物的結(jié)構(gòu)簡圖，途中的“小黑點”表示原子，兩黑點間的“短線”表示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)第n個圖的化學(xué)鍵和原子的個數(shù)之和為______個.(用含n的代數(shù)式表示)〖答案〗〖解析〗由圖，第1個圖中有6個化學(xué)鍵和6個原子；第2個圖中有11個化學(xué)鍵和10個原子；第3個圖中有16個化學(xué)鍵和14個原子，觀察可得，后一個圖比前一個圖多5個化學(xué)鍵和4個原子，則第n個圖有個化學(xué)鍵和個原子，所以總數(shù)為.故〖答案〗為：16.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗，即，對恒成立，令，當時，，，故符合題意，當時，，，在上，不合題意，故．故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17.清明節(jié)，又稱踏青節(jié)、行清節(jié)、三月節(jié)、祭祖節(jié)等，是傳統(tǒng)的重大春祭節(jié)日，掃墓祭祀、緬懷祖先，是中華民族自古以來的優(yōu)良傳統(tǒng)．某社區(qū)進行流動人口統(tǒng)計，隨機抽取了100人了解他們今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列聯(lián)表：回老家不回老家總計50周歲及以下5550周歲以上1540總計100（1）根據(jù)統(tǒng)計完成以上列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計該社區(qū)流動人口中50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率；（2）能否有99.9%的把握認為回老家祭祖與年齡有關(guān)？參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）補全表格如下：回老家不回老家總計50周歲及以下5556050周歲以上152540總計2080100該社區(qū)中50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率為；（2）∵，∴有99.9%把握認為是否回老家祭祖與年齡有關(guān)．18.在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，．（1）證明：；（2）若，當A取最大值時，求的面積．（1）證明：∵，則，可得，∴，又∵，則，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，整理得.（2）解：由（1）可得：，即，則，當且僅當，即時，取最大值，此時，則，∵，則，可得，故．19.如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面ABC，且為等邊三角形，，，D為PA的中點．（1）求證：；（2）求直線BD與平面PBC所成角的正弦值．（1）證明：如圖，取AC中點E，連接DE，BE，∵為等邊三角形，∴，又側(cè)面底面ABC，底面ABC，側(cè)面底面，∴平面PAC．∵平面PAC，∴，又D，E分別為PA，AC中點，∴，又，∴，∵，DE，平面BDE，∴平面BDE，又平面BDE，∴；（2）解：以E為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)等邊的邊長為4，∴，，，，，∴，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即，則可取，∴，∴直線BD與平面PBC所成角的正弦值為．20.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）相互垂直且斜率存在的直線，都過點，直線與橢圓相交于、兩點，直線與橢圓相交于、兩點，點為線段的中點，點為線段的中點，證明：直線過定點．（1）解：設(shè)點，的坐標分別為、，由題意有解得故橢圓的標準方程為；（2）證明：設(shè)直線的斜率為，可得直線的斜率為，設(shè)點的坐標為，點的坐標為，直線的方程為，聯(lián)立方程消除后有，有，可得，，同理，，由對稱性可知直線所過的定點必定在軸上，設(shè)點的坐標為，有，有，化簡得，解得，故直線過定點．21.已知函數(shù)．（1）若，求在點處的切線方程；（2）若（）是的兩個極值點，證明：．（1）解：當時，，則，，，所以在處切線方程為,即；（2）證明：由，可知，因為（）是的極值點,所以方程的兩個不等的正實數(shù)根，所以，，則．要證成立，只需證，即證，即證，即證，即證，設(shè)，則，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞減，則，所以，故．（二）選考題選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)直線與曲線，分別交于A，B兩點（異于極點），求線段AB的長度．解：（1）曲線（為參數(shù)），消去參數(shù)得，將代