2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用課件

第九講函數(shù)模型及其應(yīng)用知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知

識(shí)

梳

理知識(shí)點(diǎn)函數(shù)模型及其應(yīng)用1．幾類常見(jiàn)的函數(shù)模型2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)________單調(diào)________單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越______越來(lái)越______相對(duì)平穩(wěn)遞增遞增快慢函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與_______平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與_______平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<axy軸x軸3.解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．以上過(guò)程用框圖表示如下：××√×題組二走進(jìn)教材2．(必修1P140T6改編)某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(

)A．收入最高值與收入最低值的比是3∶1B．結(jié)余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D．前6個(gè)月的平均收入為40萬(wàn)元D3．(必修1P156T14改編)在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是(

)A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x[解析]

根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以排除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意，故選D.x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00D4．(必修1P161T8改編)2022年北京冬奧會(huì)上谷愛(ài)凌的表現(xiàn)讓國(guó)人自豪，她奪得冠軍的其中一個(gè)項(xiàng)是女子U形場(chǎng)地技巧賽．比賽是在一個(gè)形狀類似于U形的槽子里進(jìn)行．運(yùn)動(dòng)員一般需要在U形槽內(nèi)做5到6個(gè)動(dòng)作，得分根據(jù)動(dòng)作的騰空高度、轉(zhuǎn)體角、動(dòng)作的流暢性及美觀性來(lái)判定．U形槽的結(jié)構(gòu)由寬闊平坦的底部和兩側(cè)的凹面斜坡(四分之一的圓管)組成．寬闊的底部是為了使運(yùn)動(dòng)員重新獲得平衡并為下一個(gè)動(dòng)作做準(zhǔn)備．根據(jù)下圖數(shù)據(jù)可得U形槽兩側(cè)圓管的半徑所在平面與地面的夾角及底部的寬度(米)分別為(

)A．18°，6.7 B．18°，10.05C．72°，6.7 D．72°，10.05C[解析]

根據(jù)U形槽的結(jié)構(gòu)特征即可求解．由題意，因?yàn)閁形槽兩側(cè)圓管的半徑所在平面與斜坡面垂直，而斜坡面與地面夾角為18°，所以U形槽兩側(cè)圓管的半徑所在平面與地面的夾角為90°－18°＝72°，底部的寬度為20.1－6.7×2＝6.7(米)，故選C.聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB燃油汽車1060～90混合動(dòng)力汽車1050～60電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為p1，p2，p3，則()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100P0 D．p1≤100p2ACD6．(2022·北京高考卷)在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是(

)A．當(dāng)T＝220，P＝1026時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B．當(dāng)T＝270，P＝128時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C．當(dāng)T＝300，P＝9987時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當(dāng)T＝360，P＝729時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D[解析]

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)T＝220，P＝1026，即lgP＝lg1026>lg103＝3時(shí)，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于固態(tài)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)T＝270，P＝128，即lgP＝lg128∈(lg102，lg103)，即lgP∈(2,3)時(shí)，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于液態(tài)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)T＝300，P＝9987，即lgP＝lg9987<lg104＝4時(shí)，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于固態(tài)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)T＝360，P＝729，即lgP＝lg729∈(lg102，lg103)，即lgP＝lg729∈(2,3)時(shí)，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)．故選D.考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究函數(shù)模型及應(yīng)用考向1利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問(wèn)題的變化過(guò)程——自主練透1.(多選題)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度．藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人使用該藥物的說(shuō)法中，正確的是()A．首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發(fā)揮治療作用B．每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒C．每間隔5.5小時(shí)服用該藥物1單位，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D．首次服用該藥物1單位3小時(shí)后，再次服用該藥物1單位，不會(huì)發(fā)生藥物中毒ABC[解析]

從圖象中可以看出，首次服用該藥物1單位約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；根據(jù)圖象可知，首次服用該藥物1單位約1小時(shí)后的血藥濃度達(dá)到最大值，由圖象可知，當(dāng)兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒，B正確；服藥5.5小時(shí)時(shí)，血藥濃度等于最低有效濃度，此時(shí)再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；第一次服用該藥物1單位4小時(shí)后與第2次服用該藥物1單位1小時(shí)后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會(huì)發(fā)生藥物中毒，D錯(cuò)誤．②名師點(diǎn)撥：1．用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問(wèn)題的解題思路將實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量間變化的規(guī)律(如增長(zhǎng)的快慢、最大、最小等)與函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、最值等)、圖象(增加、減少的緩急等)相吻合即可．2．判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．D名師點(diǎn)撥：求解已給函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)1．認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．2．根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．3．利用該模型求解實(shí)際問(wèn)題．【變式訓(xùn)練】(2023·海南海口二模)在核酸檢測(cè)時(shí)，為了讓標(biāo)本中DNA的數(shù)量達(dá)到核酸探針能檢測(cè)到的閾值，通常采用PCR技術(shù)對(duì)DNA進(jìn)行快速?gòu)?fù)制擴(kuò)增數(shù)量．在此過(guò)程中，DNA的數(shù)量Xn(單位：μg/μL)與PCR擴(kuò)增次數(shù)n滿足Xn＝X0×1.6n，其中X0為DNA的初始數(shù)量．已知某待測(cè)標(biāo)本中DNA的初始數(shù)量為0.1μg/μL，核酸探針能檢測(cè)到的DNA數(shù)量最低值為10μg/μL，則應(yīng)對(duì)該標(biāo)本進(jìn)行PCR擴(kuò)增的次數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù)：lg1.6≈0.20，ln1.6≈0.47)(

)A．5 B．10C．15 D．20B(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)精加工蔬菜多少噸時(shí)，總利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)．名師點(diǎn)撥：1．分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．2．構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，做到分段合理不重不漏．角度2指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號(hào)返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞椒祷貜椀?，?shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示)．現(xiàn)將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為100m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)(

)A．4 B．5C．6 D．7C名師點(diǎn)撥：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用技巧1．與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)兩類函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，在求解時(shí)，要先學(xué)會(huì)合理選擇模型，在兩類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)函數(shù)模型．2．在解決指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般先需要通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問(wèn)題．2．(角度2)(2020·新高考Ⅰ卷)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)(

)A．1.2天

B．