2024七年級(jí)數(shù)學(xué)上專題3 與數(shù)有關(guān)的排列規(guī)律重難點(diǎn)題型（舉一反三）（人教版）（解析版）

2024七上專題3與數(shù)有關(guān)的排列規(guī)律重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1周期規(guī)律】【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于找到一列數(shù)的周期，而周期可通過(guò)列舉法來(lái)發(fā)現(xiàn)，根據(jù)題意從第一項(xiàng)開始列舉直至找到重復(fù)第一項(xiàng)，即為一個(gè)周期，由此可解.【例1】讓我們按以下步驟計(jì)算第一步：取一個(gè)自然數(shù)，計(jì)算得；第二步：算出的各位數(shù)字之和得，計(jì)算得；第三步：算出的各位數(shù)字之和得，計(jì)算得；依此類推，則A．26 B．65 C．122 D．無(wú)法計(jì)算【分析】根據(jù)題意可以分別求得，，，，從而可以發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，三個(gè)一循環(huán)，從而可以求得的值．【答案】解：由題意可得，，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律性：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是明確題意，求出前幾個(gè)數(shù)，觀察數(shù)的變化特點(diǎn)，求出的值．【變式1-1】對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，設(shè)表示的末位數(shù)字．例如：（1）末位數(shù)字），（2）的末位數(shù)字），（3）的末位數(shù)字），則（1）（2）（3）的值是A．4028 B．4030 C．4032 D．4038【分析】首先根據(jù)已知得出規(guī)律，（1）的末位數(shù)字），（2）的末位數(shù)字），（3）的末位數(shù)字），（4），（5），（6），（7），（8），（9），，進(jìn)而求出即可．【答案】解：（1）的末位數(shù)字），（2）的末位數(shù)字），（3）的末位數(shù)字），（4），（5），（6），（7），（8），（9），，每5個(gè)數(shù)一循環(huán)，分別為2，6，2，0，，，（1）（2）（3）．故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出數(shù)字變化以及求出（1）（2）（3）是解題關(guān)鍵．【變式1-2】在一列數(shù)：，，，，中，，，從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它前兩個(gè)數(shù)之積的個(gè)位數(shù)字，則這一列數(shù)中的第2016個(gè)數(shù)是A．9 B．3 C．7 D．1【分析】本題可分別求出、4、時(shí)的情況，觀察它是否具有周期性，再把2016代入求解即可．【答案】解：依題意得：，，，，，，，；周期為6；，所以．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．而具有周期性的題目，找出周期是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】有一列數(shù)，，，，，滿足，，之后每一個(gè)數(shù)是1與前一個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)，即，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)差倒數(shù)的定義分別求出前幾個(gè)數(shù)，便不難發(fā)現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，再根據(jù)規(guī)律求出與，然后將它們相減即可得解．【答案】解：，，，，，，所以這列數(shù)的周期為3，又，，，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，理解差倒數(shù)的定義并求出每3個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2數(shù)圖規(guī)律】【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題在于通過(guò)數(shù)圖找到數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系式.【例2】根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，則的值是A．729 B．550 C．593 D．738【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，圖中第二行左邊的數(shù)比第一行數(shù)的平方大1，第二行右邊的數(shù)第二行左邊的數(shù)第一行的數(shù)第一行的數(shù)，依此規(guī)律先求，再求即可．【答案】解：，；，；，；，，．故選：．【點(diǎn)睛】考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，關(guān)鍵是由圖形得到第二行左邊的數(shù)比第一行數(shù)的平方大1，第二行右邊的數(shù)第二行左邊的數(shù)第一行的數(shù)第一行的數(shù)．【變式2-1】觀察下面“品”字形中各數(shù)之間的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律得出的值為A．19 B．21 C．32 D．41【分析】由圖可知：上邊的數(shù)與左邊的數(shù)的和正好等于右邊的數(shù)，上邊的數(shù)為連續(xù)的奇數(shù)，左邊的數(shù)為，，，，由此可得，．【答案】解：上邊的數(shù)為連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，9，左邊的數(shù)為，，，，，上邊的數(shù)與左邊的數(shù)的和正好等于右邊的數(shù)，，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字變化規(guī)律，觀察出上邊的數(shù)與左邊的數(shù)的和正好等于右邊的數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】如圖所示，下列各三角形的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律最后一個(gè)三角形中的值是A．418 B．420 C．424 D．422【分析】根據(jù)已知圖形得出左邊三角形中的數(shù)字即為序數(shù)，而右邊三角形數(shù)是序數(shù)與1的和，下方三角形數(shù)是上面兩個(gè)三角形中數(shù)字乘積與2的和，據(jù)此可得．【答案】解：觀察可知：左邊三角形的數(shù)字規(guī)律為：1，2，3，，，右邊三角形的數(shù)字規(guī)律為：2，3，4，5，，，下邊三角形的數(shù)字規(guī)律為：，，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握左邊三角形中的數(shù)字即為序數(shù)，而右邊三角形數(shù)是序數(shù)與1的和，下方三角形數(shù)是上面兩個(gè)三角形中數(shù)字乘積與2的和．【變式2-3】下面每個(gè)表格中的四個(gè)數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的根據(jù)此規(guī)律確定的值為A．252 B．209 C．170 D．135【分析】首先根據(jù)圖示，可得第個(gè)表格的左上角的數(shù)等于，左下角的數(shù)等于；右上角的數(shù)分別為4，6，8，10，，由此求出；最后根據(jù)每個(gè)表格中右下角的數(shù)等于左下角的數(shù)與右上角的數(shù)的積加上左上角的數(shù)，求出的值是多少即可．【答案】解：由分析可知，，解得，，，故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了探尋數(shù)字規(guī)律問(wèn)題，注意觀察總結(jié)出規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律．【考點(diǎn)3數(shù)式的排列規(guī)律】【方法點(diǎn)撥】解決此類問(wèn)題在于通過(guò)數(shù)式的排列規(guī)律找到數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系.【例3】觀察下列三行數(shù)：0，3，8，15，24，①2，5，10，17，26，②0，6，16，30，48，③（1）第①行數(shù)按什么規(guī)律排的，請(qǐng)寫出來(lái)？（2）第②、③行數(shù)與第①行數(shù)分別對(duì)比有什么關(guān)系？（3）取每行的第個(gè)數(shù)，求這三個(gè)數(shù)的和．【分析】（1）通過(guò)計(jì)算得到，，，，，即每個(gè)數(shù)為它的序號(hào)數(shù)的平方減1；（2）觀察易得第①行的數(shù)加2得到第②行的數(shù)；第①行的數(shù)乘2得到第③行的數(shù)；（3）先表示出第①行的第個(gè)數(shù)，再表示出第②、③行的第個(gè)數(shù)，然后求它們的和．【答案】解：（1），，，，，；（2）第②行的數(shù)是第①行相應(yīng)的數(shù)加2所得；第③行的數(shù)是第①行相應(yīng)的數(shù)乘2所得；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型數(shù)字的變化類：充分利用表中數(shù)據(jù)，分析它們之間的聯(lián)系，然后歸納出一般的變化規(guī)律．【變式3-1】仔細(xì)觀察下列三組數(shù)第一組：1，4，9，16，第二組：1，8，27，64，第三組：，，，，（1）寫出每組的第6個(gè)數(shù)各是多少？（2）第二組的第100個(gè)數(shù)是第一組的第100個(gè)數(shù)的多少倍？（3）取每組的第20個(gè)數(shù)，計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和．【分析】（1）第一組按，，，，排列，第二組按，，，，排列第三組，通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，此題實(shí)際上就是第一組中的數(shù)乘得來(lái)的；（2）利用（1）中規(guī)律得出第二組的第100個(gè)數(shù)是第一組的第100個(gè)數(shù)即可得出答案；（3）進(jìn)而得出每組數(shù)的第20個(gè)數(shù)，即可得出答案．【答案】解：（1）第一組按，，，，排列，第二組按，，，，排列第三組按，，排列；每組的第6個(gè)數(shù)是：，，；（2）第二組的第100個(gè)數(shù)是第一組的第100個(gè)數(shù)的（倍；（3）每組數(shù)的第20個(gè)數(shù)分別為：，，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，通過(guò)觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題是應(yīng)該具備的基本能力．第三組的規(guī)律最難找，要細(xì)心觀察．【變式3-2】觀察下列三行數(shù)，并完成后面的問(wèn)題：①，4，，16，，；②1，，4，，16，；③0，，3，，；（1）根據(jù)排列規(guī)律，分別寫出上面三行數(shù)的第6個(gè)數(shù)；（2）設(shè)、、分別表示第①、②、③行數(shù)的第2019個(gè)數(shù)字，計(jì)算的值．【分析】（1）利用數(shù)字的排列規(guī)律得到第①行數(shù)的第個(gè)數(shù)字為，第②行數(shù)的第個(gè)數(shù)字為，第③行數(shù)的第個(gè)數(shù)字為為正整數(shù)），然后取6即可；（2）當(dāng)取2019得到、、的值，然后計(jì)算它們的和．【答案】解：（1）第①行數(shù)的第6個(gè)數(shù)為64；第②行數(shù)的第6個(gè)數(shù)為；第③行數(shù)的第6個(gè)數(shù)為；（2）第①行數(shù)的第2019個(gè)數(shù)字為，即，第②行數(shù)的第2019個(gè)數(shù)字為，即，第③行數(shù)的第2019個(gè)數(shù)字為，即，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問(wèn)題的方法．【變式3-3】觀察下面三行數(shù)、4、、16、、64、①0、6、、18、、66、②5、、11、、35、、③（1）第①行數(shù)的第7個(gè)數(shù)是；（2）設(shè)第②行數(shù)中有一個(gè)數(shù)為，第③行數(shù)中對(duì)應(yīng)位置的數(shù)為，則和之間等量關(guān)系為；設(shè)第①行數(shù)的第個(gè)數(shù)為，取每行的第個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)的和是；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，若取每行的第9個(gè)數(shù)，計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和．【分析】（1）利用第①行數(shù)字的規(guī)律得到第①行數(shù)的第個(gè)數(shù)為，然后取7即可得到第7個(gè)數(shù)；（2）第②行和第③行的對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)的和為5，從而得到與的關(guān)系；第①行數(shù)的第個(gè)數(shù)為，則第②行數(shù)的第個(gè)數(shù)為，第③行數(shù)的第個(gè)數(shù)為，然后把它們相加即可；（3）由于第①行數(shù)的第9個(gè)數(shù)為，即，然后利用（2）的結(jié)論計(jì)算這三個(gè)數(shù)的和．【答案】解：（1）第①行數(shù)的第1個(gè)數(shù)為，第2個(gè)數(shù)為，第3個(gè)數(shù)為，第4個(gè)數(shù)為，第5個(gè)數(shù)為，第6個(gè)數(shù)為，所以第7個(gè)數(shù)為；（2）；第①行數(shù)的第個(gè)數(shù)為，第②行數(shù)的第個(gè)數(shù)為，第③行數(shù)的第個(gè)數(shù)為，所以這三個(gè)數(shù)的和；故答案為；；．（3）第①行數(shù)的第9個(gè)數(shù)為，即，所以這三個(gè)數(shù)的和．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，利用數(shù)字與序號(hào)數(shù)的關(guān)系解決這類問(wèn)題．【考點(diǎn)4三角形數(shù)陣中的排列規(guī)律】【例4】觀察下面一組數(shù)：，2，，4，，6，，，將這組數(shù)排成如圖的形式，按照如圖規(guī)律排下去，（1）第10行中從左邊數(shù)第4個(gè)數(shù)是；（2）前7行的數(shù)字總和是．【分析】（1）奇數(shù)為負(fù)，偶數(shù)為正，每行的最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是這個(gè)行的行數(shù)的平方，所以第9行最后一個(gè)數(shù)字的絕對(duì)值是81，第10行從左邊第4個(gè)數(shù)是．（2）找到前7行的數(shù)字個(gè)數(shù)，再兩個(gè)一組計(jì)算即可求解．【答案】解：（1），．故第10行中從左邊數(shù)第4個(gè)數(shù)是．故答案為：；（2）．故前7行的數(shù)字總和是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出每一行的最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于行數(shù)的平方是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】如圖，將正整數(shù)按如圖所示規(guī)律排列下去，若用有序數(shù)對(duì)表示排從左到右第個(gè)數(shù)．如表示9，則表示．【分析】根據(jù)表示整數(shù)5，對(duì)圖中給出的有序數(shù)對(duì)進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)所有數(shù)對(duì)有：，；由此方法解決問(wèn)題即可．【答案】解：若用有序數(shù)對(duì)表示從上到下第排，從左到右第個(gè)數(shù)，對(duì)如圖中給出的有序數(shù)對(duì)和表示正整數(shù)5、表示整數(shù)9可得，，，；，由此可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)所有數(shù)對(duì)【】有：，，．故答案為：198．【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)數(shù)字變化類知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖形、數(shù)值、數(shù)列等已知條件，認(rèn)真分析，找出規(guī)律，解決問(wèn)題．【變式4-2】將整數(shù)按如圖方式進(jìn)行有規(guī)律的排列，第2行最后一個(gè)數(shù)是，第3行最后一個(gè)數(shù)是9，第4行最后一個(gè)數(shù)是，，依此類推，第21行的第21個(gè)數(shù)是．【分析】根據(jù)圖形得出第行最后一個(gè)數(shù)為，據(jù)此知第20行最后一個(gè)數(shù)為，繼而由奇數(shù)行的序數(shù)為奇數(shù)的數(shù)為正數(shù)可得答案．【答案】解：根據(jù)題意知第行最后一個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，即第20行最后一個(gè)數(shù)為，又奇數(shù)行的序數(shù)為奇數(shù)的數(shù)為正數(shù)，第21行的第21個(gè)數(shù)是421，故答案為：421．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知數(shù)列得出第行最后一個(gè)數(shù)為．【變式4-3】觀察如圖中的數(shù)列排放順序，根據(jù)其規(guī)律猜想：第10行第8個(gè)數(shù)應(yīng)該是．【分析】由行有個(gè)數(shù)，可得出第10行第8個(gè)數(shù)為第53個(gè)數(shù)，結(jié)合奇數(shù)為正偶數(shù)為負(fù)，即可求出結(jié)論．【答案】解：第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，第3行3個(gè)數(shù)，，第9行9個(gè)數(shù)，第10行第8個(gè)數(shù)為第個(gè)數(shù)．又第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，第10行第8個(gè)數(shù)應(yīng)該是53．故答案為：53．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5長(zhǎng)方形數(shù)陣中的排列規(guī)律】【例5】如圖1，在五列若干行的表格中，將2、4、6、8、10、12、若干個(gè)偶數(shù)有規(guī)律的放入．（1）第7行第二列的數(shù)是．（2）若用表示第三列的某一個(gè)數(shù)，則該數(shù)左上角的與右下角的兩個(gè)數(shù)的和為；（3）若小穎用圖2所示的的方框框住的9個(gè)數(shù)之和等于612，求這個(gè)方框內(nèi)右下角的那個(gè)數(shù)．【分析】（1）本題的規(guī)律是第3列的數(shù)字每下一格是上一格多8，奇數(shù)行是從小到大，偶數(shù)行是從大到?。唬?）第3列數(shù)的左上角與右上角的和都是中間數(shù)的2倍，依此即可求解；（3）框中間的數(shù)字是第3列的數(shù)字．【答案】解：（1）由題意得中間數(shù)字的規(guī)律為當(dāng)時(shí)，，因此第七行第3列為52，所以第七行第2列為50．故答案為：50；（2）由題意得第3列數(shù)的左上角與右上角的和都是中間數(shù)的2倍，即為．故答案為：；（3）設(shè)中間數(shù)為，則這9個(gè)數(shù)的和為，解得，，解得．所以68在第9行第3列上一個(gè)數(shù)為60，上一行為第8行，偶數(shù)行是從大到小，所以這個(gè)方框的右上角為58．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于數(shù)字的變化規(guī)律：先要觀察各行各列的數(shù)字的特點(diǎn)，得出數(shù)字排列的規(guī)律，然后確定所給數(shù)字的位置．【變式5-1】把2016個(gè)正整數(shù)1、2、3、4、、2016按如圖方式排列成一個(gè)表，用一方框按如圖所示的方式任意框住9個(gè)數(shù)．（方框只能平移）（1）若框住的9個(gè)數(shù)中，正中間的一個(gè)數(shù)為39，則：這九個(gè)數(shù)的和為．（2）方框能否框住這樣的9個(gè)數(shù)，它們的和等于2016？若能，請(qǐng)寫出這9個(gè)數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若任意框住9個(gè)數(shù)的和記為，則：的最大值與最小值之差等于．【分析】（1）找出所框數(shù)字上下兩行間的數(shù)量關(guān)系，左右數(shù)字間的數(shù)量關(guān)系，即可寫出另外的八個(gè)數(shù)，進(jìn)而求出它們的和；（2）由（1）可知方框框住這樣的9個(gè)數(shù)的和是正中間的一個(gè)數(shù)的9倍，代入2016求出中間的數(shù)，由，可得出224為32行的第7個(gè)數(shù)，即224后面不存在數(shù)，從而得出方框框住這樣的9個(gè)數(shù)．它們的和不能等于2016；（3）分別求出的最大值與最小值，再相減即可．【答案】解：（1）．故答案為：351；（2）設(shè)正中間的數(shù)為，則，由題意得，解得．，是表中第32行的最后一個(gè)數(shù)，不能框住這樣的9個(gè)數(shù)，它們的和等于2016；（3）若任意框住9個(gè)數(shù)的和記為，則的最小值為．，在第288行的最后一個(gè)數(shù)，的最大值為，．即的最大值與最小值之差為17991．故答案為：17991．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型中圖形的變化類，觀察表格，得出方框中框住的9個(gè)數(shù)與正中間數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】如圖（1）2018在第行，第列；（2）由五個(gè)數(shù)組成的“”中：①這五個(gè)數(shù)的和可能是2019嗎，為什么？②如果這五個(gè)數(shù)的和是60，直接寫出這五個(gè)數(shù)；（3）如果這五個(gè)數(shù)的和能否是2025，若能請(qǐng)求出這5個(gè)數(shù)；若不能請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）觀察圖表，發(fā)現(xiàn)每9個(gè)數(shù)排成一行，用2018除以9，根據(jù)商與余數(shù)即可確定行數(shù)與列數(shù)；（2）①根據(jù)五個(gè)數(shù)的和是中間數(shù)的5倍，可知這五個(gè)數(shù)的和不可能是2019；②先根據(jù)五個(gè)數(shù)的和是中間數(shù)的5倍，求出中間數(shù)，再根據(jù)中間數(shù)與其它數(shù)的關(guān)系，求出其余4個(gè)數(shù)；（3）假設(shè)這五個(gè)數(shù)的和是2025，根據(jù)五個(gè)數(shù)的和是中間數(shù)的5倍，求出中間數(shù)是405，發(fā)現(xiàn)405在第9列，所以不存在．【答案】解：（1），故2018在第行，第2列．故答案為：225，2；（2）①不可能，因?yàn)檫@五個(gè)數(shù)的和是中間數(shù)的5倍，而2019不是5的整數(shù)倍，所以這五個(gè)數(shù)的和不可能是2019．②，，，．故這五個(gè)數(shù)分別是3，11，12，13，21；（3）因?yàn)椋?，所?05在第45行，第9列，所以不存在．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是：（1）找出5個(gè)數(shù)的和與中間數(shù)的關(guān)系；（2）用含的代數(shù)式表示出其它4個(gè)數(shù)；（3）通過(guò)解一元一次方程來(lái)判定5個(gè)數(shù)的和能否為給定的各數(shù)．【變式5-3】把正整數(shù)1，2，3，，排列成如圖1所示的一個(gè)表，從上到下分別稱為第1行、第2行、，從左到右分別稱為第1列、第2列、．用圖2所示的方框在圖1中框住16個(gè)數(shù)，把其中沒(méi)有被陰影覆蓋的四個(gè)數(shù)分別記為、、、．設(shè)．（1）在圖1中，2018排在第行第列；排在第行第列的數(shù)為，其中，，且都是正整數(shù)；（直接寫出答案）（2）若，求出所表示的數(shù)；（3）在圖（2）中，被陰影覆蓋的這些數(shù)的和能否為4212？如果能，請(qǐng)求出這些數(shù)中最大的數(shù)，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）每行8個(gè)數(shù)，，2018排在第253行第2列；第行第8列數(shù)為，第行第列為；（2）設(shè)，可以依據(jù)、、、四個(gè)數(shù)排列的規(guī)律依次用含的代數(shù)式表達(dá)，再根據(jù)題意列方程求解即可；（3）根據(jù)題意列方程求出，如果為正整數(shù)，并且不在第6、7、8列，才能符合題目要求．【答案】解：（1），2018排在第253行第2列；根據(jù)數(shù)字排列規(guī)律：第行最后一列數(shù)字為，排在第行第列的數(shù)為；故答案為：253，2；；（2）由題意得：，，，，，，解得：，．（3）這些數(shù)的和不能為4212；被陰影覆蓋的這些數(shù)的和若，則不是正整數(shù)，不符合題意．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵要理解題意，弄清楚數(shù)字的排列規(guī)律．【考點(diǎn)6數(shù)式求和—裂項(xiàng)法】【例6】請(qǐng)觀察下列算式，找出規(guī)律并填空：，，，，則：（1）第10個(gè)算式是；（2）第個(gè)算式為；（3）根據(jù)以上規(guī)律解答下題：【分析】（1）由已知等式得出：連續(xù)整數(shù)乘積的倒數(shù)等于較小整數(shù)倒數(shù)與較大整數(shù)的倒數(shù)的差，據(jù)此可得；（2）利用所得規(guī)律求解可得；（3）利用所得規(guī)律展開，兩兩相消求解可得．【答案】解：（1）根據(jù)題意知，第10個(gè)算式是，故答案為：；（2）第個(gè)算式為，故答案為：；（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類題目，解決此類題目的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察題目提供的算式，然后從中整理出規(guī)律，并利用此規(guī)律解題．【變式6-1】觀察下列等式：，，，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：．（1）猜想并寫出：（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：①②（3）探究并計(jì)算：【分析】（1）先根據(jù)題中所給出的列子進(jìn)行猜想，寫出猜想結(jié)果即可；（2）根據(jù)①中的猜想計(jì)算出結(jié)果；（3）根據(jù)乘法分配律提取，先拆項(xiàng)，再抵消即可求解；【答案】解：（1）由，，猜想出：；故答案為：；（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：①，②；故答案為：，；（3）．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式6-2】觀察下列等式：第一個(gè)等式：第二個(gè)等式：第三個(gè)等式：按以上規(guī)律解答下列問(wèn)題：（1）列出第五個(gè)等式：（2）計(jì)算的結(jié)果．（3）計(jì)算的結(jié)果．【分析】（1）連續(xù)奇數(shù)乘積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)差的一半，據(jù)此可得；（2）利用所得規(guī)律將原式裂項(xiàng)求和即可得；（3）利用所得規(guī)律將原式裂項(xiàng)求和即可得．【答案】解：（1）根據(jù)題意知，第5個(gè)等式為，故答案為：．（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式得出規(guī)律：．【變式6-3】閱讀并驗(yàn)證下列計(jì)算：，，，計(jì)算：理解上述解題力法，思考其中的規(guī)律，完成下列任務(wù)：（1）（直接填得數(shù)）（2）計(jì)算：；（3）填空：①；②．【分析】（1）先根據(jù)得出的規(guī)律展開，再合并，最后求出即可；（2）先根據(jù)得出的規(guī)律展開，再合并，最后求出即可；（3）先根據(jù)得出的規(guī)律展開，再合并，最后求出即可．【答案】解：（1）；（2）；（3）①；②；故答案為：；；．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，有理數(shù)的混合運(yùn)算，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7數(shù)式求和—等差類】【例7】問(wèn)題探究：觀察下面由“※”組成的圖案和算式，解答問(wèn)題：?jiǎn)栴}解決：（1）試猜想的結(jié)果為；（2）若表示正整數(shù)，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示的結(jié)果．問(wèn)題拓展：（3）請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算：．【分析】（1）根據(jù)已知得出連續(xù)奇數(shù)的和等于數(shù)字個(gè)數(shù)的平方；（2）根據(jù)已知得出連續(xù)奇數(shù)的和等于數(shù)字個(gè)數(shù)的平方，得出答案即可；（3）利用以上已知條件得出，求出即可．【答案】解：（1），故答案為：625；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個(gè)統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是此類題目的難點(diǎn)．【變式7-1】從2開始，連續(xù)的偶數(shù)相加，它們和的情況如下表：加數(shù)的個(gè)數(shù)連續(xù)偶數(shù)的和12345（1）如果時(shí)，那么的值為；（2）根據(jù)表中的規(guī)律猜想：用的代數(shù)式表示的公式為：；（3）根據(jù)上題的規(guī)律計(jì)算的值（要有計(jì)算過(guò)程）．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，表示出，計(jì)算得到的值；（2）根據(jù)表格得到從2開始的偶數(shù)之和為偶數(shù)個(gè)數(shù)乘以個(gè)數(shù)加1，用表示出即可；（3）將所求式子表示為，用上述規(guī)律計(jì)算，即可得到結(jié)果．【答案】解：（1）當(dāng)時(shí)，那么；（2）根據(jù)表格中的等式得：；（3）．故答案為：（1）72；（2）．【點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，本題的規(guī)律為：從2開始的連續(xù)偶數(shù)之和為偶數(shù)個(gè)數(shù)乘以偶數(shù)個(gè)數(shù)加1．【變式7-2】探索規(guī)律，觀察下面由※組成的圖案和算式，解答問(wèn)題：（1）請(qǐng)猜想；（2）請(qǐng)猜想；（3）請(qǐng)計(jì)算：．【分析】（1）（2）觀察數(shù)據(jù)可知，從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于首尾兩個(gè)奇數(shù)的和的一半的平方，然后計(jì)算即可得解；（3）用從1開始到199的和減去從1開始到99的和，列式計(jì)算即可得解．【答案】解：（1）；（2）；（3）．故答案為：100；．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出結(jié)果的底數(shù)與算式中首尾兩個(gè)數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】從2開始，連續(xù)的偶數(shù)相加，它們的和的情況如下表：加數(shù)的個(gè)數(shù)和12345（1）按這個(gè)規(guī)律，當(dāng)時(shí)，和為（2）從2開始，個(gè)連續(xù)偶數(shù)相加，它們的和與之間的關(guān)系，用公式表示出來(lái)為（3）應(yīng)用上述公式計(jì)算①②【分析】（1）仔細(xì)觀察給出的等式可發(fā)現(xiàn)從2開始連續(xù)兩個(gè)偶數(shù)和，連續(xù)3個(gè)偶數(shù)和是，連續(xù)4個(gè)，5個(gè)偶數(shù)和為，，從而推出當(dāng)時(shí)，和的值；（2）根據(jù)分析得出當(dāng)有個(gè)連續(xù)的偶數(shù)相加是，式子就應(yīng)該表示成：．（3）根據(jù)已知規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，得出答案即可．【答案】解：（1），，，，時(shí)，和為：；故答案為：72；（2）和與之間的關(guān)系，用公式表示出來(lái)：；故答案為：；（3）①，；②，．，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字規(guī)律，要先從簡(jiǎn)單的例子入手得出一般化的結(jié)論，然后根據(jù)得出的規(guī)律去求特定的值是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)8數(shù)式求和—等比類】【例8】（1）①觀察一列數(shù)1，2，3，4，5，，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是；根據(jù)此規(guī)律，如果為正整數(shù)）表示這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，那么，；②如果欲求的值，可令①將①式右邊順序倒置，得②由②加上①式，得；；由結(jié)論求；（2）①觀察一列數(shù)2，4，8，16，32，，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是；根據(jù)此規(guī)律，如果為正整數(shù)）表示這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，那么，；②為了求的值，可令，則，因此，所以，即．仿照以上推理，計(jì)算【分析】（1）①根據(jù)數(shù)列中每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差是1求解可得；②將對(duì)應(yīng)位置的數(shù)相加，其和為，共個(gè)數(shù)，再將兩邊除以2即可得；（2）①根據(jù)數(shù)列中每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是2求解可得；②令，將等式兩邊乘以5后相減，再進(jìn)一步求解可得．【答案】解：（1）①數(shù)列1，2，3，4，5，中，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是1，如果為正整數(shù)）表示這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，那么，；②令①將①式右邊順序倒置，得②由②加上①式，得；，由結(jié)論求，故答案為：①1，18，；②，，1540；（2）①數(shù)列2，4，8，16，32，，發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)是2，如果為正整數(shù)）表示這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，那么，；②令，則，，，，即．故答案為：①2，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握兩個(gè)數(shù)列中的等差和等比的規(guī)律，并熟練掌握求和的方法．【變式8-1】觀察下列各等式：用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問(wèn)題：（1）填空：為正整數(shù)）；（2）計(jì)算：①；②【分析】（1）括號(hào)內(nèi)是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，最小的數(shù)與等號(hào)左邊的最大底數(shù)相同；（2）①根據(jù)規(guī)律得所有底數(shù)和的平方，計(jì)算即可；②提公因式，可得結(jié)論．【答案】解：（1）為正整數(shù)）；故答案為：，；（2）計(jì)算：①；，，，，②，，，．【點(diǎn)睛】此題考查算式的規(guī)律，注意結(jié)果與等式左邊的各個(gè)數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，并進(jìn)一步利用規(guī)律解決問(wèn)題．【變式8-2】觀察下面的幾個(gè)式子（1）根據(jù)上面的規(guī)律，第5個(gè)式子為：；（2）根據(jù)上面的規(guī)律，第個(gè)式子為：；（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出；（4）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出的值并寫出過(guò)程．【分析】（1）根據(jù)已知等式的規(guī)律可得；（2）根據(jù)已知等式的規(guī)律可得；（3）將（2）中所得等式兩邊都除以3，再整理可得；（4）將原式變形為，利用所得規(guī)律計(jì)算可得．【答案】解：（1）第5個(gè)式子為：，故答案為：；（2）根據(jù)上面的規(guī)律，第個(gè)式子為：，故答案為：；（3），故答案為：；（4）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，解此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律直接解答．【變式8-3】運(yùn)算、觀察、猜想、運(yùn)用．（1）填空（2）猜想第個(gè)等式是：并說(shuō)明第個(gè)等式成立．（3）計(jì)算【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以解答本題；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果可以猜想出第個(gè)等式，并進(jìn)行說(shuō)明成立；（3）根據(jù)題目中的例子可以計(jì)算出所求式子的值．【答案】解：（1），，故答案為：2，3；（2）第個(gè)等式是：，故答案為：，理由：，即；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中式子的變化規(guī)律．七上專題4圖形中的排列規(guī)律重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】【人教版】【考點(diǎn)1圖形中的周期規(guī)律】【方法點(diǎn)撥】觀察題目中圖形的變化特點(diǎn)，找到重合點(diǎn)即為一個(gè)周期，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.【例1】依次觀察如圖三個(gè)圖形，并判斷照此規(guī)律從左到右第2019個(gè)圖形是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題目中給出的圖形，可知每五個(gè)一個(gè)循環(huán)，空白的大三角形按照順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，從而可以得到從左到右第2019個(gè)圖形是選項(xiàng)中的哪個(gè)圖形，本題得以解決．【答案】解：由圖可知，每連續(xù)的五個(gè)為一組，也就是五個(gè)一循環(huán)，2019÷5＝403…4，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中圖形的變化特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式1-1】觀察圖中正方形四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律，推測(cè)數(shù)2019應(yīng)標(biāo)在（）A．第504個(gè)正方形的左下角 B．第504個(gè)正方形的右下角 C．第505個(gè)正方形的右下角 D．第505個(gè)正方形的左上角【分析】設(shè)第n個(gè)正方形中標(biāo)記的最大的數(shù)為an，觀察給定圖形，可找出規(guī)律“an＝4n”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．【答案】解：設(shè)第n個(gè)正方形中標(biāo)記的最大的數(shù)為an．觀察給定正方形，可得出：每個(gè)正方形有4個(gè)數(shù)，即an＝4n．∵2019＝504×4+3，∴數(shù)2019應(yīng)標(biāo)在第505個(gè)正方形左上角．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中的圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是找出變換規(guī)律an＝4n．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，需找出2019在第幾個(gè)正方形上．【變式1-2】如圖，兩個(gè)連接在一起的菱形的邊長(zhǎng)都是1cm，一只電子甲蟲從點(diǎn)A開始按ABCDAEFGAB…的順序沿菱形的邊循環(huán)爬行，當(dāng)電子甲蟲爬行2018cm時(shí)停下，則它停的位置是（）A．點(diǎn)F B．點(diǎn)E C．點(diǎn)A D．點(diǎn)C【分析】觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，每移動(dòng)8cm為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2018除以8，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定最后停的位置所在的點(diǎn)即可．【答案】解：∵兩個(gè)菱形的邊長(zhǎng)都為1cm，∴從A開始移動(dòng)8cm后回到點(diǎn)A，∵2018÷8＝252余2，∴移動(dòng)2018cm為第253個(gè)循環(huán)組的第2cm，在點(diǎn)C處．故選：D．【點(diǎn)睛】本題是對(duì)圖形變化規(guī)律的考查，觀察圖形得到每移動(dòng)8cm為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】如圖，物體從A點(diǎn)出發(fā)，按照A→B（第一步）→C（第二步）→D→A→E→F→G→A→B……的順序循環(huán)運(yùn)動(dòng)，則第2018步到達(dá)（）A．A點(diǎn) B．C點(diǎn) C．E點(diǎn) D．F點(diǎn)【分析】先求出由A點(diǎn)開始按照A→B（第1步）→C（第2步）→D→A→E→F→G→A→B→…的順序循環(huán)運(yùn)動(dòng)走一圈所走的步數(shù)，在用2018除以此步數(shù)即可．【答案】解：∵如圖物體從點(diǎn)A出發(fā)，按照A→B（第1步）→C（第2步）→D→A→E→F→G→A→B→…的順序循環(huán)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)一個(gè)循環(huán)為8步，∴2018÷8＝252…2．∴當(dāng)物體走到第252圈后再走2步正好到達(dá)C點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形的變化類這一知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出物體走一個(gè)循環(huán)的步數(shù)，找出規(guī)律即可輕松作答．【考點(diǎn)2圖形中的等差規(guī)律】【方法點(diǎn)撥】解此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于將圖形的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律，即將圖形的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)字，會(huì)發(fā)現(xiàn)后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差均相等，即為等差規(guī)律，應(yīng)用公式：第n個(gè)圖形的個(gè)數(shù)=第一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)+差數(shù)×（n-1）.【例2】用黑白兩種顏色的正方形紙片，按白色紙片數(shù)逐漸加1并按下圖的規(guī)律拼成一列圖案，則第100個(gè)圖案中黑色正方形紙片的張數(shù)是（）A．300 B．301 C．302 D．303【分析】觀察圖形，發(fā)現(xiàn)：黑色紙片在4的基礎(chǔ)上，依次多3個(gè)，根據(jù)其中的規(guī)律，計(jì)算出第100個(gè)圖案的黑紙片個(gè)數(shù)即可．【答案】解：第1個(gè)圖案中有黑色紙片3×1+1＝4張，第2個(gè)圖案中有黑色紙片3×2+1＝7張，第3圖案中有黑色紙片3×3+1＝10張，…第n個(gè)圖案中有黑色紙片：（3n+1）張，∴第100個(gè)圖案中有黑紙片301張．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對(duì)圖形的變化類的知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題的關(guān)鍵是注意發(fā)現(xiàn)前后圖形中的數(shù)量之間的關(guān)系，難度適中．【變式2-1】用棋子按下面的規(guī)律擺圖形，則擺第2018個(gè)圖形需要圍棋子（）枚．A．6053 B．6054 C．6056 D．6060【分析】觀察圖形可知：第1個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)＝5；第2個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)＝5+3；第3個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)＝5+3×2；第4個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)＝5+3×3，…，則第n個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)＝5+3（n﹣1），然后把n＝2018代入計(jì)算即可．【答案】解：∵第1個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)＝5，第2個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)＝5+3，第3個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)＝5+3×2，第4個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)＝5+3×3，…，∴第n個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)＝5+3（n﹣1）＝3n+2，∴第2018個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)＝3×2018+2＝6056，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出一般的運(yùn)算規(guī)律解決問(wèn)題．【變式2-2】下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成，其中第①個(gè)圖中有3張黑色正方形紙片，第②個(gè)圖中有5張黑色正方形紙片，第③個(gè)圖中有7張黑色正方形紙片，…，按此規(guī)律排列下去第⑩個(gè)圖中黑色正方形紙片的張數(shù)為（）A．15 B．17 C．21 D．27【分析】仔細(xì)觀察圖形知道第一個(gè)圖形有3個(gè)正方形，第二個(gè)有5＝3+2×1個(gè)，第三個(gè)圖形有7＝3+2×2個(gè)，由此得到規(guī)律求得第⑩個(gè)圖形中正方形的個(gè)數(shù)即可．【答案】解：觀察圖形知：第一個(gè)圖形有3個(gè)正方形，第二個(gè)有5＝3+2×1個(gè)，第三個(gè)圖形有7＝3+2×2個(gè)，…故第⑩個(gè)圖形有3+2×9＝21（個(gè)），故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的變化規(guī)律，是根據(jù)圖形進(jìn)行數(shù)字猜想的問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，然后利用規(guī)律解決一般問(wèn)題．【變式2-3】如圖，是用棋子擺成的“上”字：如果按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，那么通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)：第10個(gè)“上”字需用多少枚棋子（）A．36 B．38 C．42 D．50【分析】由圖可得，第1個(gè)“上”字中的棋子個(gè)數(shù)是6；第2個(gè)“上”字中的棋子個(gè)數(shù)是10；第3個(gè)“上”字中的棋子個(gè)數(shù)是14；…進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n個(gè)“上”字中的棋子個(gè)數(shù)是（4n+2）；由此求得問(wèn)題答案．【答案】解：第1個(gè)“上”字中的棋子個(gè)數(shù)是6＝4+2；第2個(gè)“上”字中的棋子個(gè)數(shù)是10＝4×2+2；第3個(gè)“上”字中的棋子個(gè)數(shù)是14＝4×3+2；…第n個(gè)“上”字中的棋子個(gè)數(shù)是（4n+2）；所以第10個(gè)“上”字需用棋子的數(shù)量是4×10+2＝42個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．【考點(diǎn)3圖形中的乘方規(guī)律】【方法點(diǎn)撥】觀察題目中圖形的特點(diǎn)，出現(xiàn)1,4,9,16,25.....正方形的圖陣，即可聯(lián)想到利用乘方來(lái)表示.【例3】如圖圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑥個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為（）A．42 B．43 C．56 D．57【分析】設(shè)第n個(gè)圖形中一共有an個(gè)菱形（n為正整數(shù)），根據(jù)各圖形中菱形個(gè)數(shù)的變化可得出變化規(guī)律“an＝n2+n+1（n為正整數(shù)）”，再代入n＝6即可求出結(jié)論．【答案】解：設(shè)第n個(gè)圖形中一共有an個(gè)菱形（n為正整數(shù)），∵a1＝12+2＝3，a2＝22+3＝7，a3＝32+4＝13，a4＝42+5＝21，…，∴an＝n2+n+1（n為正整數(shù)），∴a6＝62+7＝43．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)各圖形中菱形個(gè)數(shù)的變化，找出變化規(guī)律“an＝n2+n+1（n為正整數(shù)）”是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】如圖是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案由5個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由8個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，……，如果按照以下規(guī)律繼續(xù)下去，那么通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)：第20個(gè)圖案需要（）個(gè)基本圖形．A．402 B．404 C．406 D．408【分析】仔細(xì)觀察圖形，找到圖形變化的規(guī)律，利用規(guī)律求解即可．【答案】解：第1個(gè)圖案由12+4＝5個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由22+4＝8個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，……，如果按照以下規(guī)律繼續(xù)下去，可以發(fā)現(xiàn)：第20個(gè)圖案需要202+4＝404個(gè)基本圖形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到圖形變化的規(guī)律，難度不大．【變式3-2】下面是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子觀察圖形的變化規(guī)律，則第10個(gè)小房子用了____顆石子．（）A．119 B．121 C．140 D．142【分析】根據(jù)圖示，可得：第1個(gè)小房子用的石子的數(shù)量是：1+22，第2個(gè)小房子用的石子的數(shù)量是：3+32，第3個(gè)小房子用的石子的數(shù)量是：5+42，…，據(jù)此求出第10個(gè)小房子用了多少顆石子即可．【答案】解：第1個(gè)小房子用的石子的數(shù)量是：1+22，第2個(gè)小房子用的石子的數(shù)量是：3+32，第3個(gè)小房子用的石子的數(shù)量是：5+42，…，∴第n個(gè)小房子用的石子的數(shù)量是：2n﹣1+（n+1）2，∴第10個(gè)小房子用的石子的數(shù)量是：19+112＝19+121＝140．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的變化類問(wèn)題，要熟練掌握，解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來(lái)解決這類問(wèn)題．【變式3-3】如圖，們一個(gè)圖形都是由一些黑點(diǎn)按一定的規(guī)律排列組成的，其中第①個(gè)圖形中共有6個(gè)小黑點(diǎn)，第②個(gè)圖形中有10個(gè)黑點(diǎn)，第③個(gè)圖形中一共有16個(gè)小黑點(diǎn)，…，按此規(guī)律，則第⑩個(gè)圖形中小黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．112 B．114 C．116 D．118【分析】第①個(gè)圖形中有1×1+1+4＝6個(gè)黑點(diǎn)；第②個(gè)圖形中有2×2+2+4＝10個(gè)黑點(diǎn)；第③個(gè)圖形中有3×3+3+4＝16個(gè)黑點(diǎn)，第④個(gè)圖形中有4×4+4+4＝24個(gè)黑點(diǎn)，那么可得第n個(gè)圖形中有n?n+n+4個(gè)黑點(diǎn)．【答案】解：第①個(gè)圖形中有1×1+1+4＝6個(gè)黑點(diǎn)；第②個(gè)圖形中有2×2+2+4＝10個(gè)黑點(diǎn)；第③個(gè)圖形中有3×3+3+4＝16個(gè)黑點(diǎn)，第④個(gè)圖形中有4×4+4+4＝24個(gè)黑點(diǎn)，可得第n個(gè)圖形中有n?n+n+4個(gè)黑點(diǎn)．把n＝10代入可得：10×10+10+4＝114，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類；根據(jù)圖形的排列規(guī)律正確列式是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)4圖形中的自然數(shù)求和規(guī)律】【方法點(diǎn)撥】解此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于將圖形的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律，即將圖形的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)字，利用1+2+3+4+...+n=n(n+1)/2求解即可，需注意若首項(xiàng)不為1，需將公式進(jìn)行適當(dāng)變形.【例4】如圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)……第n行有n個(gè)點(diǎn)……則下列說(shuō)法：①10是三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)和；②300是三角點(diǎn)陣中前24行的點(diǎn)數(shù)和；③前n個(gè)點(diǎn)數(shù)和為200的點(diǎn)，在這個(gè)三角點(diǎn)陣中位于第20行第10個(gè)點(diǎn)，其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)題意和題目中點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化，可以判斷各個(gè)小題是否正確，從而可以解答本題．【答案】解：當(dāng)n＝4時(shí)，三角點(diǎn)陣中的點(diǎn)數(shù)之和是：1+2+3+4＝10，故①正確，當(dāng)1+2+…+n＝300時(shí)，即，得n＝24，故②正確，當(dāng)n＝19時(shí)，三角點(diǎn)陣中的點(diǎn)數(shù)之和為＝190，∵190+10＝200，∴前n個(gè)點(diǎn)數(shù)和為200的點(diǎn)，在這個(gè)三角點(diǎn)陣中位于第20行第10個(gè)點(diǎn)，故③正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式4-1】如圖，圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成，其中，第（1）個(gè)圖形中面積為1的正方形有2個(gè)，第（2）個(gè)圖形中面積為1的正方形有5個(gè)，第（3）個(gè)圖形中面積為1的正方形有9個(gè)，按此規(guī)律，則第（6）個(gè)圖形中面積為1的正方形的個(gè)數(shù)為（）A．14 B．20 C．24 D．27【分析】根據(jù)已知圖形得出第n個(gè)圖形中面積為1的正方形有2+3+4+…+n+1＝，據(jù)此求解可得．【答案】解：第（1）個(gè)圖形中面積為1的正方形有2個(gè)，第（2）個(gè)圖形中面積為1的圖象有2+3＝5個(gè)，第（3）個(gè)圖形中面積為1的正方形有2+3+4＝9個(gè)，…，按此規(guī)律，第n個(gè)圖形中面積為1的正方形有2+3+4+…+（n+1）＝個(gè)，則第（6）個(gè)圖形中面積為1的正方形的個(gè)數(shù)為2+3+4+5+6+7＝27個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形與數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．【變式4-2】如圖圖形是用同樣大小的銅幣擺放的四個(gè)圖案，根據(jù)擺放圖案的規(guī)律，則第8個(gè)圖案需要銅幣的個(gè)數(shù)為（）A．29 B．36 C．37 D．46【分析】找出相鄰兩個(gè)圖形銅幣的數(shù)目的差，從而可發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，于是可求得問(wèn)題的答案．【答案】解：n＝1時(shí)，銅幣個(gè)數(shù)＝1+1＝2；當(dāng)n＝2時(shí)，銅幣個(gè)數(shù)＝1+1+2＝4；當(dāng)n＝3時(shí)，銅幣個(gè)數(shù)＝1+1+2+3＝7；當(dāng)n＝4時(shí)，銅幣個(gè)數(shù)＝1+1+2+3+4＝11；…第n個(gè)圖案，銅幣個(gè)數(shù)＝1+1+2+3+4+…+n＝n（n+1）+1，當(dāng)n＝8時(shí)，×8×9+1＝37，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圖形的變化規(guī)律，找出其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】下列是用火柴棒拼成的一組圖形，第①個(gè)圖形中有3根火柴棒，第②個(gè)圖形中有9根火柴棒，第③個(gè)圖形中有18根火柴棒，…，按此規(guī)律排列下去，第⑥個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是（）A．63 B．60 C．56 D．45【分析】由圖可知：第①個(gè)圖形中有3根火柴棒，第②個(gè)圖形中有9根火柴棒，第②個(gè)圖形中有18根火柴棒，…依此類推第n個(gè)有1+2+3+…+n個(gè)三角形，共有3×（1+2+3+…+n）＝n（n+1）根火柴；由此代入求得答案即可．【答案】解：∵第①有1個(gè)三角形，共有3×1根火柴；第②個(gè)有1+2個(gè)三角形，共有3×（1+2）根火柴；第③個(gè)有1+2+3個(gè)三角形，共有3×（1+2+3）根火柴；…∴第n個(gè)有1+2+3+…+n個(gè)三角形，共有3×（1+2+3+…+n）＝n（n+1）根火柴；∴第⑥個(gè)圖形中火柴棒根數(shù)是3×（1+2+3+4+5+6）＝63，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律，從而得到火柴棒的根數(shù)．【考點(diǎn)5圖形中的奇數(shù)求和規(guī)律】【方法點(diǎn)撥】解此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于將圖形的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律，即將圖形的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)字，利用1+3+5+7+9+11+…+2n﹣1＝（n+1）2求解即可，需注意若首項(xiàng)不為1，需將公式進(jìn)行適當(dāng)變形.【例5】如圖，將等邊三角形按一定規(guī)律排列，第①個(gè)圖形中有1個(gè)小等邊三角形，第②個(gè)圖形中有4個(gè)小等邊三角形，按此規(guī)律，則第⑥個(gè)圖形中有（）個(gè)小等邊三角形．A．36個(gè) B．49個(gè) C．35個(gè) D．48個(gè)【分析】根據(jù)已知得出第n個(gè)圖形有1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2個(gè)三角形，據(jù)此代入計(jì)算可得．【答案】解：第①個(gè)圖有1＝12個(gè)三角形，第②個(gè)圖形有1+3＝4＝22個(gè)三角形，第③個(gè)圖形有1+3+5＝9＝32個(gè)三角形，…第⑥個(gè)圖形有62＝36個(gè)三角形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類：通過(guò)從一些特殊的圖形變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．【變式5-1】如圖是由一些黑點(diǎn)組成的圖形，按此規(guī)律，在第n個(gè)圖形中，黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（）A．4n﹣1 B．n2﹣1 C．n2+2 D．2n+1【分析】分析數(shù)據(jù)可得：第①個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3；第②個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3+3；第③個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3+3+5；第④個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3+3+5+7；…則知第n個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為3+3+5+7+…+（2n﹣1）．據(jù)此可以求得答案．【答案】解：第①個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3；第②個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3+3；第③個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3+3+5；第④個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3+3+5+7；…第n個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為3+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2+2．故選：C．【點(diǎn)睛】此題屬于圖形與數(shù)字結(jié)合規(guī)律的題目．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．【變式5-2】如圖用棋子擺成三角形的圖案，第（1）個(gè)三角形中有4枚棋子，第（2）個(gè)三角形中有9枚棋子，第（3）個(gè)三形中有16枚棋了，…，按照這樣的規(guī)律擺下去第（）個(gè)三角形中有2025枚棋子．A．42 B．43 C．44 D．45【分析】首先要從簡(jiǎn)單圖形入手，抓住隨著“編號(hào)”或“序號(hào)”增加時(shí)，后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論．【答案】解：第1個(gè)三角形圖案：1+3＝4＝22，第2個(gè)三角形圖案：1+3+5＝9＝32，第3個(gè)三角形圖案：1+3+5+7＝16＝42，第4個(gè)三角形圖案：1+3+5+7+9＝16+9＝25＝52，第5個(gè)三角形圖案：1+3+5+7+9+11＝25+11＝36，則第n個(gè)三角形圖案：1+3+5+7+9+11+…+2n﹣1＝（n+1）2，令（n+1）2＝2025，解得：n＝44或n＝﹣46（舍去）故選：C．【點(diǎn)睛】本題是圖形與數(shù)字類的變化規(guī)律的綜合問(wèn)題，首先要探尋規(guī)律，