多元函數(shù)的極限與連續(xù)

關(guān)于多元函數(shù)的極限與連續(xù)§10.1多元函數(shù)的極限與連續(xù)

10.1.1多元函數(shù)的概念

內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)10.1.2多元函數(shù)的極限與連續(xù)第2頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.點(diǎn)集的基本知識(shí)10.1.1多元函數(shù)的概念定義10.1.1

設(shè)x0是空間

n中的一點(diǎn),>0,稱

n中的點(diǎn)集為點(diǎn)x0的

鄰域.其中點(diǎn)x0稱為鄰域的中心,

為半徑.即點(diǎn)x0的

鄰域是

n中距離x0不超過(guò)

的點(diǎn)的集合.點(diǎn)x0

的去心

鄰域記為說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,則用和表示點(diǎn)x0

的鄰域和去心鄰域.第3頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)經(jīng)常用點(diǎn)P0

表示點(diǎn)x0,點(diǎn)P

表示點(diǎn)x.

(方鄰域)。方鄰域與圓鄰域可以互相包含.第4頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)有點(diǎn)集E

及一點(diǎn)P

:

若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)

E,

若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,

若對(duì)點(diǎn)

P

的任一鄰域U(P)既含E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱P為E

的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E

的外點(diǎn)

;則稱P為E的

邊界點(diǎn)

.的外點(diǎn),顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E

的外點(diǎn)必不屬于E,E

的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E

.第5頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天D

若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E

為開(kāi)集；

若點(diǎn)集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D的折線相連,

開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開(kāi)集稱為開(kāi)區(qū)域,簡(jiǎn)稱區(qū)域

;。

E

的邊界點(diǎn)的全體稱為E

的邊界,記作

E

;。第6頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如，在平面上開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域

第7頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天

整個(gè)平面是最大的開(kāi)區(qū)域,

點(diǎn)集是開(kāi)集，也是最大的閉區(qū)域；但非區(qū)域.o

對(duì)區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點(diǎn)P

D與某定點(diǎn)A

的距離AP

K,則稱

D

為有界域

,否則稱為無(wú)界域.例如是有界閉區(qū)域;是無(wú)界開(kāi)區(qū)域.第8頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天引例:

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強(qiáng)

三角形面積的海倫公式2.多元函數(shù)第9頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天火箭在空中飛行的速度與其在空間中的位置、時(shí)間及發(fā)動(dòng)機(jī)的運(yùn)行情況等多種因素有關(guān)衛(wèi)星發(fā)射第10頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義10.1.2

設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集D稱為函數(shù)的定義域

;

數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時(shí),有二元函數(shù)當(dāng)n=3時(shí),有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù)

,記作二元和二元以上的函數(shù)都稱為多元函數(shù)．第11頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天平面點(diǎn)集到實(shí)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系二元函數(shù)第12頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1

寫(xiě)出下列函數(shù)的定義域解(1):(2):由所求函數(shù)的定義域?yàn)榈?3頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2

設(shè)求解法1

令第14頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2

設(shè)求解法2

令即第15頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如,二元函數(shù)一般地,二元函數(shù)z=f(x,y),(x,y)

D空間的一張曲面.圖形如圖所示.圖形為上半球面,的圖形一般為3.二元函數(shù)的幾何意義第16頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天截痕方程為用截痕法研究曲面的形狀：用平面去截割曲面，或曲線在xoy面上的投影曲線的方程是曲線稱為已知函數(shù)的等值線或等高線．第17頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天第18頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于三元函數(shù)也有等值面或等位面等概念.圖形為空間中的超曲面.三元函數(shù)定義域?yàn)閱挝婚]球第19頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天10.1.2多元函數(shù)的極限與連續(xù)定義10.1.3

設(shè)n

元函數(shù)f(x)在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量x

無(wú)限趨于x0時(shí),函數(shù)f(x)的值無(wú)限接近于某個(gè)常數(shù)a,則稱a

為當(dāng)x

x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限,記作當(dāng)時(shí),恒有即稱上述極限為n重極限.第20頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)n=2時(shí),極限定義可敘述為當(dāng)n=1時(shí),上述定義與一元函數(shù)極限定義一致.設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),恒有則稱a

為當(dāng)(x,y)(x0,y0)

時(shí)函數(shù)f(x,y)的極限,記作或第21頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3

設(shè)求證：證故總有要證

第22頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4

設(shè)求證：證故總有要證第23頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天

若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在

.以不同方式趨于不存在.例5

討論函數(shù)函數(shù)第24頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6.討論是否存在？解：所以極限不存在.第25頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天

若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在

.以不同方式趨于不存在.例5

討論函數(shù)函數(shù)第26頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6.討論是否存在？解：所以極限不存在.第27頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天求多元函數(shù)極限的常用方法：1.利用函數(shù)極限的運(yùn)算性質(zhì)；2.利用不等式縮放或使用夾逼定理；3.利用變量替換化簡(jiǎn)或化為已知極限，對(duì)含有三角函數(shù)或冪指函數(shù)的二重極限可考慮它是否能通過(guò)變形或變量代換化為一元函數(shù)中的重要極限；4.利用初等變形，如分母有理化、對(duì)指數(shù)函數(shù)取對(duì)數(shù)等.第28頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例7.計(jì)算解：例8.求解：第29頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例9.計(jì)算解：所以故第30頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例10.求解：由于故第31頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例11

求解

因而此函數(shù)定義域不包括x,y

軸則故第32頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天

二重極限不同.

1.

當(dāng)重極限存在時(shí)，累次極限可能都不存在，可能一個(gè)存在而另一個(gè)不存在.

與累次極限例如,顯然它在(0,0)點(diǎn)累次極限不存在

.第33頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如,此時(shí)但不存在.2.當(dāng)重極限不存在時(shí)，累次極限可能都存在且相等,也可能都存在但不相等，還可能一個(gè)存在而另一個(gè)不存在

.

第34頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如,顯然它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在.例如,此時(shí)但與都不存在.第35頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.設(shè)重極限存在且當(dāng)時(shí),存在,則當(dāng)時(shí),存在,則例如,顯然不存在.第36頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義10.1.4

設(shè)n

元函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,如果則稱f(x)在x0處連續(xù).否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱x0為間斷點(diǎn).當(dāng)n=2時(shí),二元函數(shù)連續(xù)的定義可敘述為設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義,如果或則稱二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù).如果函數(shù)在D

上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上連續(xù).第37頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天例如,

函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.

故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論:

一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第38頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例12.

證明在全平面連續(xù).證:為初等函數(shù),故連續(xù).又故函數(shù)在全平面連續(xù).由夾逼準(zhǔn)則得第39頁(yè),共43頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理：若f(P)在有界閉域D

上連續(xù),則在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)對(duì)任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):第40頁(yè),