2024屆吉林省長春八中高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆吉林省長春八中高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)的虛部為（）A．—1 B．—3 C．1 D．22．新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，深入推動優(yōu)化升級和融合發(fā)展，持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給，實(shí)現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B．2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C．2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D．2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一3．已知集合，集合，則A． B．或C． D．4．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．5．《周易》歷來被人們視作儒家群經(jīng)之首，它表現(xiàn)了古代中華民族對萬事萬物的深刻而又樸素的認(rèn)識，是中華人文文化的基礎(chǔ)，它反映出中國古代的二進(jìn)制計(jì)數(shù)的思想方法．我們用近代術(shù)語解釋為：把陽爻“-”當(dāng)作數(shù)字“1”，把陰爻“--”當(dāng)作數(shù)字“0”，則八卦所代表的數(shù)表示如下：卦名符號表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0000震0011坎0102兌0113依此類推，則六十四卦中的“屯”卦，符號“”表示的十進(jìn)制數(shù)是（）A．18 B．17 C．16 D．156．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．7．計(jì)算等于()A． B． C． D．8．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．9．已知點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上運(yùn)動，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．410．年部分省市將實(shí)行“”的新高考模式，即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為A． B．C． D．11．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)滿足，設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面向量，的夾角為，且，則=____14．已知是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若時(shí)，，則不等式的解集是___________．15．某校開展“我身邊的榜樣”評選活動，現(xiàn)對3名候選人甲、乙、丙進(jìn)行不記名投票，投票要求詳見選票．這3名候選人的得票數(shù)（不考慮是否有效）分別為總票數(shù)的88%，75%，46%，則本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為百分之________．“我身邊的榜樣”評選選票候選人符號注：1．同意畫“○”，不同意畫“×”．2．每張選票“○”的個(gè)數(shù)不超過2時(shí)才為有效票．甲乙丙16．兩光滑的曲線相切，那么它們在公共點(diǎn)處的切線方向相同．如圖所示，一列圓(an>0，rn>0，n=1，2…)逐個(gè)外切，且均與曲線y=x2相切，若r1=1，則a1=___，rn=______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱錐中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且平面平面．求證：平面；若，，求證：平面平面.18．（12分）設(shè)函數(shù)（）的最小值為.（1）求的值；（2）若，，為正實(shí)數(shù)，且，證明：.19．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，為其中心，為銳角三角形，且平面底面，為的中點(diǎn)，.（1）求證:平面；（2）求證:.20．（12分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，∥，為等邊三角形，平面底面，為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）點(diǎn)在線段上，且，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.21．（12分）為了整頓道路交通秩序，某地考慮將對行人闖紅燈進(jìn)行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度，在普通行人中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時(shí)，有80人會闖紅燈，處罰時(shí)，得到如表數(shù)據(jù)：處罰金額（單位：元）5101520會闖紅燈的人數(shù)50402010若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.（1）當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會比不進(jìn)行處罰降低多少？（2）將選取的200人中會闖紅燈的市民分為兩類：類市民在罰金不超過10元時(shí)就會改正行為；類是其他市民.現(xiàn)對類與類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷，則前兩位均為類市民的概率是多少？22．（10分）已知橢圓，左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，若的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓的方程；（2）動直線過點(diǎn)與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使成立，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

對復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡計(jì)算，得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，虛部的概念，屬于簡單題.2、C【解析】

通過圖表所給數(shù)據(jù)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：，正確；對于選項(xiàng)C：，故C不正確；對于選項(xiàng)D：，正確.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查柱狀圖是識別和數(shù)據(jù)分析，題目較為簡單.3、C【解析】

由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C．4、A【解析】分析：題設(shè)中復(fù)數(shù)滿足的等式可以化為，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可以求出.詳解：由題設(shè)有，故，故選A.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)概念中的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由題意可知“屯”卦符號“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001，將其轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)即可.【詳解】由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦符號“”表示二進(jìn)制數(shù)字010001，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算為1×20+1×24=1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)制是轉(zhuǎn)化，新定義知識的應(yīng)用等，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6、B【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算，求得所求表達(dá)式的值.【詳解】原式.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得，，，，解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行定理，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

如圖所示：過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于，交軸于，則，設(shè)，，則，利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示：過點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于，交軸于，則，設(shè)，，則，當(dāng)，即時(shí)等號成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.10、B【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率，故選B．11、B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點(diǎn)，相應(yīng)坐標(biāo)代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值－5；經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值5，故.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：若，則，即成立，若，則由，得，則“”是“”的必要不充分條件，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

根據(jù)平面向量模的定義先由坐標(biāo)求得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積定義求得；將化簡并代入即可求得.【詳解】，則，平面向量，的夾角為，則由平面向量數(shù)量積定義可得，根據(jù)平面向量模的求法可知，代入可得，解得，故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量模的求法及簡單應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

構(gòu)造，先利用定義判斷的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合奇偶性，單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】令，則是上的偶函數(shù)，，則在上遞減，于是在上遞增．由得，即，于是，則，解得．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.15、91【解析】

設(shè)共有選票張，且票對應(yīng)張數(shù)為，由此可構(gòu)造不等式組化簡得到，由投票有效率越高越小，可知，由此計(jì)算可得投票有效率.【詳解】不妨設(shè)共有選票張，投票的有，票的有，票的有，則由題意可得：，化簡得：，即，投票有效率越高，越小，則，，故本次投票的有效率（有效票數(shù)與總票數(shù)的比值）最高可能為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知條件構(gòu)造出變量所滿足的關(guān)系式.16、【解析】

第一空：將圓與聯(lián)立，利用計(jì)算即可；第二空：找到兩外切的圓的圓心與半徑的關(guān)系，再將與聯(lián)立，得到，與結(jié)合可得為等差數(shù)列，進(jìn)而可得.【詳解】當(dāng)r1=1時(shí)，圓，與聯(lián)立消去得，則，解得；由圖可知當(dāng)時(shí)，①，將與聯(lián)立消去得，則，整理得，代入①得，整理得，則.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題是拋物線與圓的關(guān)系背景下的數(shù)列題，關(guān)鍵是找到圓心和半徑的關(guān)系，建立遞推式，由遞推式求通項(xiàng)公式，綜合性較強(qiáng)，是一道難度較大的題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析；證明見解析.【解析】

利用線面平行的判定定理求證即可；為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，可得，，，可知，故為直角三角形，，利用面面垂直的判定定理求證即可.【詳解】解：證明：為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，又平面，平面，平面；證明：為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，又，，則，故為直角三角形，，平面平面，平面平面，，平面，平面，又∵平面，平面平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）分類討論，去絕對值求出函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，得出的單調(diào)性，得出取最小值，即可求的值；（2）由（1）得出，利用“乘1法”，令，化簡后利用基本不等式求出的最小值，即可證出.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取最小值.（2）證明：由（1）可知.要證明：，即證，因?yàn)?，，為正?shí)數(shù)，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)取等號，所以.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式和基本不等式的應(yīng)用，還運(yùn)用“乘1法”和分類討論思想，屬于中檔題.19、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）通過證明，即可證明線面平行；（2）通過證明平面，即可證明線線垂直.【詳解】（1）連，因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，為其中心，所以，為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面所以，平面；（2）作于因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以，平面又平面，所以又，，平面，平面所以，平面，又平面，所以?【點(diǎn)睛】此題考查證明線面平行和線面垂直，通過線面垂直得線線垂直，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)判定定理，找出平行關(guān)系和垂直關(guān)系證明.20、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證得底面，由此證得，結(jié)合證得平面，由此證得：平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，為的中點(diǎn)，∴∵平面底面，平面底面，∴底面平面，∴又由題意可知為正方形，又，∴平面平面，∴平面平面（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，由已知，得，設(shè)平面的法向量為，則令，則，∴由（1）知平面的法向量可取為∴∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1）降低（2）【解析】

（1）計(jì)算出罰金定為10元時(shí)行人闖紅燈的概率，和不進(jìn)行處罰時(shí)行人闖紅燈的概率，求解即可；（2）闖紅燈的市民有80人，其中類市民和類市民各有40人，根據(jù)分層抽樣法抽出4人依次排序，計(jì)算所求的概率值.【詳解】解：（1）當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率為；不進(jìn)行處罰，行人闖紅燈的概率為；所以當(dāng)罰金定為10元時(shí)，行人闖紅燈的概率會比不進(jìn)行處罰降低；（2）由題可知，闖紅燈的市民有80人，類市民和類市民各有40人故分別從類市民和類市民各抽出兩人，4人依次排序記類市民中抽取的兩人對應(yīng)的編號為，類市民中抽取的兩人編號為則4人依次排序分別為，，，，，，，，，，，，共有種前兩位均為類市民排序?yàn)?，，有種，所以前兩位均為類市民的概率是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)算古典概型的概率，屬于中檔題.22、（1）