國開高等數(shù)學基礎(chǔ)期末復習題

高等數(shù)學基礎(chǔ)歸類復習

一、單項選擇題

1-1下列各函數(shù)對中，(C)中的兩個函數(shù)相等.

A./(X)=(7x)2,g(X)=XB./(X)=,g(X)=X

，_]

c./(x)=Inx3,g(x)=31nxD.f(x)=x+1,g(x)=--------

---------------------------------------x-1

1-2.設(shè)函數(shù)/(X)的定義域為(—8,+8),則函數(shù)/(%)+/(—X)的圖形關(guān)于(C)對稱.

A.坐標原點B.X軸y軸D.y=x

設(shè)函數(shù)/(%)的定義域為(—8,+8)，則函數(shù)/(%)—/(一%)的圖形關(guān)于(D)對稱.

A.y=xB.無軸c.y軸D.坐標原點

x

e一工-e

.函數(shù)y=------------的圖形關(guān)于(A)對稱.

2

(A)坐標原點(B)X軸(C)y軸(D)y=x

1-3.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B).

ax+a~x

A.y=ln(l+x2)B.y=xcosxcD.y=ln(l+x)

下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(A).

3x—Y

A.y=x-xB.y=e+ec.y=ln(x+1)D.y=xsinx

下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(D).

Ay=(l+x)sinxBy=x2xc=xcosxDy=ln(l+x2)

2-1下列極限存計算不正確的是D).

Y2

A.lim—:]B.limln(l+x)=0

%-00x+2xf0

「sinx八

c.lim-------=0D.limxsin—=0

X—>00%8x

2-2當X—0時，變量:C)是無窮小量.

sin%1.1

A.-------B.—c.xsin—D.ln(x+2)

xXx

1smxx

當時，變量()是無窮小量.x

x-0cA—Bce-1D不

XXA

1sinx

.當Xf0時，變量(D)是無窮小量.A—Bc2XDln(x+1)

XX

下列變量中，是無窮小量的為(B)

x-2

Asin—(x^0)Bln(x+l)(x->0)cex(X-^QO)D.———%—>2)

x%2—4

/(1-20T⑴=(D).

3-1設(shè)/(x)在點x=i處可導，則lim

力-0h

A-f(l)B--/XI)c.2r⑴D.—21⑴

設(shè)/(x)在/可導，則lim).

h—>0h

A/U)B2尸(X。)C—/'Qo)D-2/U)

/(x-2/z)-/(x)_

設(shè)/(x)在/可導，則lim00—kL)J.

h—>02h

A.—2廣(%)B./U)c.2/U)D.

川+斕一川)=(A)Ae1

設(shè)/(%)=e"，則limB.2ec.-eD.—

AxfOAx24

3-2.下列等式不成立的是（D）.

A.exdx-dexB-sinxdx=6Z(cosx)c.—\=dx=dy[x

D.}nxdx=J(—)

14xx

下列等式中正確的是（B）.A.d（—二）=arctanxdxB.d(4)=-"

1+x2XX

c.或2,2）=29D.d(tanx)=cotxdx

4-1函數(shù)/（x）=/+4%-1的單調(diào)增加區(qū)間是（D）.

A.(一8,2)B.(-1,1)C.(2,+8)D.(-2,+00)

函數(shù)y=/+4%-5在區(qū)間（一6,6）內(nèi)滿足（A）.

A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降D.單調(diào)上升

.函數(shù)y=%2—%—6在區(qū)間（-5,5）內(nèi)滿足（A）

A先單調(diào)下降再單調(diào)上升B單調(diào)下降C先單調(diào)上升再單調(diào)下降D單調(diào)上升

.函數(shù)_y=x2-2x+6在區(qū)間（2,5）內(nèi)滿足（D）.

A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降D.單調(diào)上升

5-1若/（X）的一個原函數(shù)是'，則/''（%）=（D）.112

A.InXB.C.

7D9

xA

.若方(%)是/(x)的一個原函數(shù),則下列等式成立的是（A）。

Aff{x}dx=F(x)—F(a)BJF（x）dx=f（b）-f（a）

JaJa

?b

cf(x)=F(x)Df'(x)dx=F(b)-F(a)

Ja

若()則,

5-2/X=COSX,j/(x)dx=(B)

A.sinx+cB.cosx+cc.-sinx+cD.—COSX+C

下列等式成立的是(D).

,

A.j/(x)dx=/(x)B.J4(x)=/(x)

Wy(x)dx=/(尤)

c.djf(x)dx=/(%)D.

—fx2/(x3)dx=(B323C.g/(x)

).A./(X)B.X/(^)D.

dxJ

2911

—jj/(x)dx=(D)A獷(廠)B-/(%)dxC-/(X)Dxf(x2)dx

dx

則

A.F(Vx)+cB.2F(Vx)+cc.F(2Vx)+cD.+c

Nx

xr\d

補充：jef/(e—)dx=-F(e-)+c,無窮積分收斂的是X

J1X2

函數(shù)/（X）=10'+10r的圖形關(guān)于y軸對稱。

二、填空題

Jr2-9

1.函數(shù)/(x)=———-+ln(l+x)的定義域是(3,+=)

x-3

函數(shù)y=——-——+J4—X的定義域是(2,3)U(3,4]

ln(x-2)

函數(shù)/(無)=ln(x+5)—/的定義域是.(一5,2)

V2—x

X2+]%W0

若函數(shù)/(x)=1'—，則/(。)=_________1______.

T,x>0

.\_

2若函數(shù)/(%)=<(1+元尸，X<0,在％=0處連續(xù)，則上=e

x+k,x>0

-s-i-n-2-xVT4-0八

?函數(shù)/(%)={X在X=0處連續(xù)，則％=2

kx=0

x+1,x>0

函數(shù)y={的間斷點是x=o________

sinx,x<0

%2—2x_3

函數(shù)y=---------的間斷點是x=3

x—3

1

函數(shù)y=-----的間斷點是x=o

l-ex

3-1.曲線/（X）=4+1在（1,2）處的切線斜率是1/2.

曲線/（X）=Jx+2在（2,2）處的切線斜率是1/4.

曲線/（X）=e*+1在（0,2）處的切線斜率是1

.曲線/（%）=丁+1在（1,2）處的切線斜率是3.

3-2曲線/（%）=sinx在1）處的切線方程是y=l.切線斜率是0

曲線y=sinx在點（0,0）處的切線方程為y=x切線斜率是1

4.函數(shù)y=ln（l+x2）的單調(diào)減少區(qū)間是（一8,o）.

函數(shù)于（x）=e'的單調(diào)增加區(qū)間是（0,+8）.

.函數(shù)y=（x++1的單調(diào)減少區(qū)間是（一8,一1）.

.函數(shù)/（x）=x2+1的單調(diào)增加區(qū)間是（0,+8）

2

函數(shù)丁=€一r%的單調(diào)減少區(qū)間是(0,+8).

5-1dje-vdx=e7dxjsinx2(ix=sinx2.

r

j(tanx)dx=tanx+C

若J/(x)dx=sin3x+c，則/'(%)=-9sin3x

3

?1X

5-2J3（sin5x+5曲=3

I—dx=0ln(x+l)Jx=_o

L1

光2+1

下列積分計算正確的是（B）.

cj\x2dx=0DJ：|x|dx=O

A+er)dx=0B-/*比=0

三、計算題

（一）、計算極限（1小題，11分）

（1）利用極限的四則運算法則，主要是因式分解，消去零因子。

（2）利用連續(xù)函數(shù)性質(zhì)：/（%）有定義，則極限limf（x）=/（x0）

%—>%o

「sinx1「sinZx,「tankx,、，小

類型1：利用重要極限lim----=1,hm-----=k,hm-----=k計算

Xf。X°XX

sin6x

「sin6%

1-1求lim---------解:

sin5%x->osin5x%一。sin515

X

,rtanx「tan%tan%11

v1-2求lim-------解:lim-------=—lim-------=—x14=—

33x%-。3%3x-。x33

tan3%「tan3%「tan3%。。「

1-3求lim解:lim---------=lim---------.3=1x3=3

x->0xx%一03x

sin(x-a),「x-a

類型2：因式分解并利用重要極限lim---------------1,lim------------=1化簡計算。

%—(x-d)%—sm(x-a)

2-1求lim-T「%2—1「(x+1)

解：lim-------------=lim---.-(--x-----l-)-=lx(-l-l)=-2

%-Tsin(x+1)%"sin(x+1)%-tsin(x+1)

sin(x-l)解：lim迎H=lim四厘

2-2lim

x2-lIx2-1—(x-1)U+1)1+12

%2-4x+3「％2_4x+3,(x—3)(x—1)

2-3hm-----解--:-----lim----------------=lim-------------------:=lim(x-l)=2

—3sin(x-3)z3sin(x-3)tsin(x-3)x->3

類型3：因式分解并消去零因子，再計算極限

2

%—6x+8——6%+8r(%—4)(%—2)x—22

3-1hm-----解---：----h--m-................=lim-------------------=hm-------=一

z4x-5x+4x-5x+4I(x-4)(x-1)■Xf4JQ—13

1.爐+x—6x2+x-6(x+3)(x-2)x-25

3-2lim-------------lim-.................=lim7-------77-------$=lim-------=—

x―—3%-x-12x->_3%—JQ-12x->-3(x+3)(x-4)x->-3x-47

%2—3x+2>X?—3x+2

解=lim(X-2)。-1)=描上=1

3-3limlim

%―>2x2-4x—>2x2-4—2(x-2)(x+2)Xf2x+24

12

2—x

Vl+x-1「s…inx八「sin_

其他:lim=lim^—=0,lim/——=lim--=2

0sinx一。sinxBjx+l—l31

X

2

「x2+6x+5「x11「2x2+6x「2x22

hm—-------------=hm—=I,hm—；-------------=hm--=—

XT8X-4%-5XT8xx—>003x—4x—5%—>co3%23

tan8%

?…tan8%「tan8%

(0807考題)計算hm---------解:lim---------二lim____x__A

%-。sin4%*f0sin4x…sin4x

X

isinx「sinxsin%

(0801考題.)計算hm-------.解lim-------=-lim

%-。2x32x2a。X2

「％?—2x—3Im(%+1).(犬-3)

(0707考題.)lim----------------=lx(-l-3)=-4

1Tsin(x+1)sin(x+l)

（二）求函數(shù)的導數(shù)和微分（1小題，11分）

（D利用導數(shù)的四則運算法則3±v）'=/土"(uv)f=urv+uv'

（2）利用導數(shù)基本公式和復合函數(shù)求導公式

類型1：|加減法與乘法混合運算的求導，先加減求導，后乘法求導；括號求導最后計算|。

1-1y=（xVx+3）e”

(3(3(3、13、

、、3-?3

解：V=x2+3ex+x2+3=—x2ex+x2+3ex=—x2+x2+3e

2(2

)\.7

1-2=cotx+x2Inx

解：yr-(cotx)r+(x2Inx)r=-esc2x+(x2)rlnx+x2(lnx)r=-esc2x+2xlnx+x

1-3設(shè)y=/tan尤一In%，求y'.

解：yr=(e*tanx\—(Inx)'—(e")'tanx+e"(tanx)'——cxtanx+cxsec2x—

%x

類型2：|加減法與復合函數(shù)混合運算的求導，先加減求導，后復合求導|

2-1y=smx2+hx,求y'解：yr=(sinx2)r+(lnx)f=2xcosx2+—

x

.2

2-2y=cosex-smx,求

解：yr=(cosex)r-(sinx2)r=-sinex.(ex)r-cosx2.(x2)r=-exsine*-2xcosx2

5x4-5x

2-3y=ln5%+e-5%,求，解：=^5Xy+^e-y=—hix-5e

類型3：|乘積與復合函數(shù)混合運算的求導，先乘積求導，后復合求導|

y=e'cosx,求y'。解：/=(ex2)fcosx+(cosx)'=2xexcosx-ex~sinx

7cosx,

其他：y=2-------，求y。

x

,小八,,cos%、,ex]c(cosx)\x-cosx(x)rex】cxsinx+cosx

解：y=(2])'—(----)'=2%ln2—-----——-------=2^1n2+------------

X%X

smxf2smx2

0807.設(shè)y=ym*+sin%2,求y解：=(e)+(sinx)"=ecosx+2xcosx

0801.設(shè)y=xex2，求y'解：y'=(x)fex+x(ex)'=J+2x2ex2

0707.設(shè)y=esinx-x2,求解：V=esinx.(smx)r-(x2y=cosx^sinx-2x

0701.設(shè)y=In%+cose",求解：y'=(In%)'-sin￡*.(/)'=——e*sine"

x

（三）積分計算：《小題，共22分）—

湊微分類型1：「一」7cLx=—「??［（』）

J%JX

11

cos—

n產(chǎn)S"11.1

計算解：|—--dx——Icos-d(一)——sin—Fc

■XJxJxxx

.1

,1

sin—sin—iii

--解:一盧dx=-fsin—d(—)=cos—+c

xXJXXX

￡

re*ce'r']一

0701計算「Fdx.解：[—dx=-fexd(—)=-ex+c

JXJXJX

湊微分類型2：/??+讓=2b??46

=2fcosVxt/7x=2sinVx+c

0807.計算j解:dx=2|sin4xd4x=-2cosVx+c

湊微分類型3：…dlnx,???—dx=…d(a+ln%)

JX」x」

計算]——dx解：f—^dx=-i-du=ln|lnx|+c

JxlnxJxlnxJtaxJu

.je2+ln%ij「e2+lnXi「ei、i/ci、1小i、25

.計算J---------dx解：J----------dx=J(2+lnx)d(2+lnx)=—(2+lnx)2=—

ixixi2]2

0807fVxlnxdr=—flnxd=(—Inx——^=—+—

339199

re1re101o2a1

0707Ix?Inxdx——I/nxdx—(—xInx----x)——cH—

Ji3J139199

類型1：圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為/,問當?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大？

解：如圖所示，圓柱體高與底半徑r滿足A2+r2=Z2

圓柱體的體積公式為V=m2h=71(1。一無2)。

求導并令丫，=兀(/2_3//)=0

,V3,V6,

得h=——I,并由此解出r=——I

33

V6,V3,”

即當?shù)装霃綇S二1,局h=/時，圓柱體的體積最大.

33

類型2：已知體積或容積，求表面積最小時的尺寸。

2-1(0801考題)某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為“的有蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時用料最??？

解：設(shè)容器的底半徑為人高為/z,則其容積V==----

7i.r

2V

表面積為S=2兀?/+2兀論=2兀r9H----

r

2VIV

S'=4兀/-,由S'=O得/=：---,止匕時h=2r=

2兀

由實際問題可知，當?shù)装霃揭?/上與高/z=2廠時可使用料最省。

V27T

|一體積為力的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最??？|解：本題的解法和結(jié)果與2T完全相同。

生產(chǎn)一種體積為夕的無蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時用料最??？

2V

解：設(shè)容器的底半徑為廠，高為h,則無蓋圓柱形容器表面積為S=nr9+2jirh=Tir9+——，令

r

S'=2兀/一2^=0,得廠=3

71

由實際問題可知，當?shù)装霃綇S=J上與高力=廠時可使用料最省。

\71

2-2欲做一個底為正方形，容積為32立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最??？(0707考題)

9V

解：設(shè)底邊的邊長為X,高為h,用材料為y,由已知12/Z=V=32,h=—,

4V

表面積y=x9+4x/i=x9H----,

x

4V々V

令V=21...-=0,得=2V=64,此時x=4,h=—=2

xx

由實際問題可知，％=4是函數(shù)的極小值點，所以當％=4,/z=2時用料最省。

|欲做一個底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省”

解：.題的解法與2-2同，只需把V=62.5代入即可。

類型3求|求曲線丁2=1X上的點，使其到點A(〃，0)的距離最短.

曲線/=左》上的點到點A(a,0)的距離平方為L=(x-a)2+_y2=(x-a)2+kx

Lf=2(x—d)+k—G,2x=2a-k

3-1在拋物線=4x上求一點，使其與x軸上的點A(3,0)的距離最短.

解：設(shè)所求點P(X,y),則滿足y2=4x,點P到點A的距離之平方為

令L'=2(x—3)+4=0,解得x=l是唯一駐點，易知x=l是函數(shù)的極小值點,

當x=l時，y=2或丁二一2,所以滿足條件的有兩個點(1,2)和(1,—2)

3-21求曲線丁=2%上的點，使其到點A(2,0)的距離最短.

解：曲線/=2%上的點到點A(2,0)的距離之平方為L=(九一2尸+》2=(九一21+2%

令Z/=2(%—2)+2=0,得x=1,由此>2=2%=2,y=±V2

即曲線=2%上的點(i,J5)和(1,一行)到點人(2,0)的距離最短。

08074求曲線y=/上的點，使其到點A（0,2）的距離最短。

解：曲線y=上的點到點A（o,2）的距離公式為d=J尤2+（y_2）2=Jy+（y—2）?

d與if在同一點取到最大值，為計算方便求I?的最大值點，

3

令（［2）'=0得丁=一,并由此解出x=±——，

■22

2V63V63_

即曲線_y=x上的點（2）和點（——）到點A（o,2）的距禺最短

學號:姓名：

高等數(shù)學基礎(chǔ)第一次作業(yè)

第1章函數(shù)

第2章極限與連續(xù)

（-）單項選擇題

1.下列各函數(shù)對中，（C）中的兩個函數(shù)相等.

A./(x)=(Vx)2,g(x)=xB.=g(x)=x

Y2—1

C./(x)=Inx3,g(x)=31nxD.f(x)=x+l,g(x)=

x-1

2.設(shè)函數(shù)“X）的定義域為（—8,+8）,則函數(shù)/（尤）+/（—%）的圖形關(guān)于（C）對稱.

A.坐標原點B.X軸

C.y軸D.y=x

3.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B）.

A.y=ln(l+x2)B.y—xcosx

ax+a~x

,2D.y=ln(l+x)

4.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C）.

A.y=x+1B.y=-%

-1,x<0

C.y=x^D.y=<

1,x>Q

5.下列極限存計算不正確的是（D）

V2

A.lim—:1B.limln(l+x)=0

x+2x-?0

「sinx八

C.hm------=0D.limxsin—=0

X—>00XX—>00%

6.當XfO時，變量（C）是無窮小量.

sinx1

A.------B.—

XX

.1

C.xsin—D.In(x+2)

%

7.若函數(shù)/（X）在點/滿足（A）,則/（X）在點X。連續(xù)。

在點的某個鄰域內(nèi)有定義

A.lim/(x)=/(x0)B./（%）xo

x—>x0

C.lim/(x)=/(x0)D.lim/(x)=limf(x)

X->XQ君xfq

(二)填空題

X2-9

1.函數(shù)于(x)=------+ln(l+x)的定義域是］x|x>3}_____________.

x-3

2.已知函數(shù)/(x+1)=x2+x,則f(x)=X2—x.

3.lini(1H-)%=el/2.

2x—

，i

4.若函數(shù)/(無)=<(l+x)*，尤<°,在x=0處連續(xù)，則左=」.

x+k,x>0

x+1,x>0、一

5.函數(shù)y=\的間斷點是x=o__________.

sinx,x<0

6.若lim/(x)=A,則當x3%時，—A稱為無窮小量

(三)計算題

1.設(shè)函數(shù)

ex>0

/(x)=<

x,x<Q

求：/(-2),/(0),/(1).

解：f(—2)=—2f(0)=0f(1)=e!=e

2r-1

2.求函數(shù)y=lg----的定義域.

X

解：y=lg(2x-l/x)

xi

[或

xwO(xVO

有意義，要求l解得XHO

則定義域為{x|x<0或x>l/2}

3.設(shè)函數(shù)

(%—2)2,x〉1

/(X)=<X,-1<X<1

%+1,X<-1

討論/(x)的連續(xù)性.

解：分別對分段點X=—1,X=1處討論連續(xù)性

(1)

!im/(x)=limx=-1

lim/(x)=lim(x4-l)=-14-1=0

XT-1-X-*-1—

lim/(x)*lim/(x)

所以NT-1+XT-1-,即f(X)在X=-1處不連續(xù)

(2)

lim/(*)=lim(x—2)2=(1—2)2=1

8-<11+<1-1+

lim/(x)=limx=l

r(i)=i

Um/(x)=lira/(x)=/(l)

所以x-i+x-i-即r(x)在x=i處連續(xù)

由(1)(2)得/'(X)在除點x——1外均連續(xù)

故/(X)的連續(xù)區(qū)間為(一8,—1)11(-1,+8)

高等數(shù)學基礎(chǔ)第二次作業(yè)

第3章導數(shù)與微分

(一)單項選擇題

1.設(shè)/(0)=0且極限存在，則limd±=(B).

%—0%0%

A./(0)B,r(0)

C.f'(x)D.0

2.設(shè)/(x)在X。可導，則颼"X。―曾―/(Xo)=(D).

A.-2/U)B./'(x0)

C.2r(%)D.-f'(x0)

3.設(shè)小)2則螞"+、—")=(A).

A.eB.2e

11

C.—eD.le

24

4.^/(%)=%(x-l)(x-2)???(%-99),貝iJ/'(O)=(D).

A.99B.-99

C.99!D.-99!

5.下列結(jié)論中正確的是(C).

A.若/(x)在點有極限，則在點與可導.

B.若/(X)在點X。連續(xù)，則在點X?？蓪?

C.若/(%)在點與可導，則在點/有極限.

D.若/(X)在點X。有極限，則在點X。連續(xù).

(二)填空題

2?1c

xsin—,xH0,

1.設(shè)函數(shù)/'(x)={X,則f'(0)=無窮小量

0,%=0

2.設(shè)/(eT)=e?*+5e*,則1n")=2Inx+5x1/x.

dx

(三)計算題

i.求下列函數(shù)的導數(shù)y：

(1)y=(xVx+3)eJC

解：由導數(shù)四則運算法則

33

y'=((x4+3)e')，=(x‘+3)，e、+(x?+3)(e*)，

33

=((x~),+(3),)e*+(尸+3)e"

311311

=—x2ex+(x2+3)e*=(—x2+x2+3)e'

22

⑵y=cotx+x2tax

解：由導數(shù)四則運算法則

yr=(cotx+x2Inx)r=(cotxY+(A2Inx)r

--------—+(x~)，lnx+'(1nx)r

sin~x

111

=-、+2xlnx+x2?=-、+2xInx+x

sin-xxsin'x

(3)y=—

Inx

解：由導數(shù)四則運算法則

,X2,(/yinx-x'lnX)'

y=(——)=---------；---------

InxInx

21

2xInx-x?_,

xzxInx-x

In-xIn-x

2.求下列函數(shù)的導數(shù))'：

(l)y=e&

解：設(shè)〃=Jl-,v=1-x"?則有

y=e”,u=4,v=1-x"

由復合函數(shù)求導法則

y'=y：UW=(e")：(Vv)；(i-%2)；

⑵y=lncosx

解：設(shè)“=cosx?v=x3?則有

y=In〃，u=cosv?v=x3

由復合函數(shù)求導法則

yr=y：=(In(cos，)；?(『)；

1,22sinx’23

=-(-sinv)-3x=-3x-----=-3xtanx

ucosr

(x4)2=x

3.在下列方程中，y=y(%)是由方程確定的函數(shù)，求y'：

⑴ycosx=e2y

解法1：等式兩端對X求導

左=(ycosx)'=y'cosx+y(cos工)'

=yrcosr-ysinx

右=9一)；=(e')1?y'=2e''y'

由此得

yrcosx-ysinx=2e"y'

整理得

ysinx

y=~—

cosx-2e

(2)y=cosyInx

解法1:等式兩端對X求導

左=y，

右=(cosyInx)f=(cosy)；Inx+cosy(In"

=(cosy)；?y，bix+cosy?—="Inxsiny?y，+

x

由此得

,cosy

y=-Inxsmy-y+-------