2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 概率(原卷版)

2012-2021.十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編概率（原卷版）

一，選擇題

1.（2021年高考全國甲卷理科）將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個。不相鄰地概率為（）

1224

A.-B.-C.-D.一

3535

7

2.（2021年高考全國乙卷理科）在區(qū)間（0,1）與（1,2）中各隨機(jī)取1個數(shù),則兩數(shù)之和大于一地概率為（）

4

72392

A.-B.—C.—D.-

932329

3.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科）在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)地頻率分別為0，2，。3，。4，且以，=1，

/=1

則下面四種情形中，對應(yīng)樣本地標(biāo)準(zhǔn)差最大地一組是（）

=4

A.=p4=0.1,p2=P3O-B.P]=p&=0.4,2=Ps=01

C.p[=pA=0.2,p2=p3=0.3D.P\=PA=0.3,p2=P）=0.2

4.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國I卷理科）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物地變化.每一“重卦”由

從下到上排列地6個

爻組成，爻分為陽爻“------”和陰爻“一一”，右圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)

取一重圭卜,則該重卦恰有3個陽爻地概率是（）

5.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷（理））某群體中地每位成員使用移動支付地概率都為p,各成員地支付方式

相互獨(dú)立，設(shè)X為該群體地10位成員中使用移動支付地人數(shù)=2.4,尸（X=4）〈尸（X=6）,則

p=（）

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

6.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷（理））我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想地研究中得到了世界領(lǐng)先地成

果.哥德巴赫猜想是"每個大于2地偶數(shù)可以表示為兩個素?cái)?shù)地和"，如30=7+23.在不超過30地素?cái)?shù)

中，隨機(jī)選取兩個不同地?cái)?shù)，其和等于30地概率是（）

“1?1°1cl

A.—B.—C.—D.—

12141518

7.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I（理））下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究地幾何圖形。此圖由三個半

圓構(gòu)成，三個半圓地直徑分別為直角三角形A8C地斜邊8C,直角邊/BMC.A48c地三邊所圍成地

區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分記為III,在整個圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)此點(diǎn)取自1川,山地概率分別記

為％則()

A.[=6B.[=4C.D.

8.（2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科）如圖,正方形/BCD內(nèi)地圖形來自中國古代地太極圖.正方形內(nèi)切圓

中地黑色部分和白色部分有關(guān)正方形地中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分

9.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)n卷理科）從區(qū)間［0,1］隨機(jī)抽取2〃個數(shù)須，％，…，X”，乂，月，…，K，構(gòu)成“個數(shù)

對（不凹），（工2，%），…，（x,“K）,其中兩數(shù)地平方和小于1地?cái)?shù)對共有加個，則用隨機(jī)模擬地方式得到

地圓周率兀地近似值為（）

4〃2〃4m2m

A.mB.mc.?D.?

10.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1卷理科）某公司地班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到

達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站地時刻是隨機(jī)地,則他等車時長不超過10分鐘地概率是（）

11.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科）投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次

投籃投中地概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過測試地概率為（）

A.0.648B.432C.0.36D.0.312

12.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天地空氣質(zhì)量為優(yōu)良地概率是0.75,連

續(xù)兩為優(yōu)良地概率是0.6,已知某天地空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天地空氣質(zhì)量為優(yōu)良地概率是（）

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

13.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科）4位同學(xué)各自在周六，周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六，周日都

有同學(xué)參加公益活動地概率（）

二，填空題

14.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國I卷理科）甲，乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利

時，該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束）.依據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)地主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主

場取勝地概率為0.6,客場取勝地概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝地概率

是.

15.（2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科）一批產(chǎn)品地二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地

抽取100次，X表示抽到地二等品件數(shù),則DX=

16.（2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科）從〃個正整數(shù)1,2,??n中任意取出兩個不同地?cái)?shù)，若取出地兩數(shù)之和等于

1

5地概率為——，則n—_______.

14

17.（2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科）某個部件由三個電子圓件按如圖所示方式連接而成,圓件1或圓件2正常工

作，且圓件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個電子圓件地使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布

N（1000,50）,且各個圓件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件地使用壽命超過1000小時地概率為

——元件1I-----------

——一|元件3------------

——|元件2|-----------

三，解答題

18.（2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科）甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被

淘汰。比賽前抽簽決定首先比賽地兩人,另一人輪空。每場比賽地勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者

下一場輪空,直至有一人被淘汰。當(dāng)一人被淘汰后,剩余地兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰，另一人

最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲，乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝地概率都為二，

（1）求甲連勝四場地概率。

（2）求需要進(jìn)行第五場比賽地概率。

（3）求丙最終獲勝地概率.

19.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國II卷理科）11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成10：10平后,每球

交換發(fā)球權(quán),先多得2分地一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲，乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得

分地概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分地概率為0.4,各球地結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)

球,兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.

⑴求P（X=2）.

（2）求事件“X=4且甲獲勝”地概率.

20.（2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國I卷理科）為治療某種疾病，研制了甲，乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,

為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選

一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪地治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈地白鼠

比另一種藥治愈地白鼠多4只時，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多地藥更有效.為了方便描述問題,約定,

對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥地白鼠治愈且施以乙藥地白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得一1分。若施以乙

藥地白鼠治愈且施以甲藥地白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得一1分。若都治愈或都未治愈則兩種藥均

得0分.甲，乙兩種藥地治愈率分別記為a和尸，一輪試驗(yàn)中甲藥地得分記為X.

⑴求x地分布列。

⑵若甲藥，乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分,p,（i=0,1,…,8）表示“甲藥地累計(jì)得分為i時，最終認(rèn)為甲

藥比乙藥更有效”地概率，則pg=0,P.=1,pj=ap-+bPi+cpM（z=l,2,???,7）,

其中a=P(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=l).假設(shè)a=0.5,/7=0.8.

(i)證明：{pM-p,}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列。

（ii）求p4，并依據(jù)A地值解釋這種試驗(yàn)方案地正確性.

21.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷（理））（12分）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單

位：億圓）地折線圖.

為了預(yù)測該地區(qū)2018年地環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時長變量f地兩個線性回歸模型.依據(jù)2000

年至2016年地?cái)?shù)據(jù)（時長變量t地值依次為1,2,…,17）建立模型①：y=-30.4+13.5r。依據(jù)2010年至

2016年地?cái)?shù)據(jù)（時長變量t地值依次為1,2,…,7）建立模型②：夕=99+17.5/.

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年地環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額地預(yù)測值。

（2）你認(rèn)為用哪個模型得到地預(yù)測值更可靠？并說明理由.

22.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I（理））（12分）某工廠地某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付

用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢

驗(yàn)，再依據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下地所有產(chǎn)品作檢驗(yàn),設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品地概率都為p（0</?<!）,

且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

⑴記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品地概率為/（p）,求/（p）地最大值點(diǎn)po?

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定地po作為p地值.已知每件產(chǎn)品地

檢驗(yàn)費(fèi)用為2圓,若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25圓地賠償費(fèi)用.

⑴若不對該箱余下地產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品地檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用地和記為X,求EX;

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和地期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下地所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

23.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科)(12分)為了監(jiān)控某種零件地一款生產(chǎn)線地生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每天從

該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：。加).依據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這款生產(chǎn)線

正常狀態(tài)下生產(chǎn)地零件地尺寸服從正態(tài)分布N(〃,b?).

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取地16個零件中其尺寸在(〃-3b,〃+3b)之外地零件數(shù),

求P(XN1)及X地?cái)?shù)學(xué)期望。

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在(〃-3b,〃+3cr)之外地零件,就認(rèn)為這款生產(chǎn)線在這一天地

生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天地生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方式地正確性。

(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取地16個零件地尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.981004

10269.91101310029.22100410059.95

經(jīng)計(jì)算得亍;行工乂產(chǎn)9.97,s=—￡(七一亍>=、一(+>,2-16亍2)2°0.212,其中七為抽取地

16,=,，16方\16汽

第i個零件地尺寸，i=1,2,…,16.

用樣本平均數(shù)元作為〃地估計(jì)值A(chǔ),用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為o地估計(jì)值3,利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)

天地生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(。-3色衣+33)之外地?cái)?shù)據(jù)，用剩下地?cái)?shù)據(jù)估計(jì)〃和。(精確到

0.01).

附：若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布"(〃,〃)，則P(〃一3<T<Z<〃+3b)=0.9974,

0.997416=0.9592,Jo.008?0.09.

24.(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)川卷理科)某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4圓,售

價(jià)每瓶6圓,未售出地酸奶降價(jià)處理，以每瓶2圓地價(jià)格當(dāng)天全部處理完.依據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求

量與當(dāng)天最高氣溫(單位:。C)相關(guān).假如最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;假如最高氣溫位于區(qū)間

[20,25),需求量為300瓶;假如最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份地訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了

前三年六月份各天地最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面地頻數(shù)分布表：

最高[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

氣溫

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間地頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間地概率.

（I）求六月份這種酸奶一天地需求量x（單位:瓶）地分布列；

（II）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶地利潤為y（單位:圓）.當(dāng)六月份這種酸奶一天地進(jìn)貨量n（單位:瓶）為

多少時，y地?cái)?shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

25.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷理科）（本題滿分12分）某險(xiǎn)種地基本保費(fèi)為。（單位：圓），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種地

投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人地本年度地保費(fèi)與其上年度地出險(xiǎn)次數(shù)地關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險(xiǎn)次

01234>5

數(shù)

0.85。1.25a1.75a

保費(fèi)a1.5。2a

設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:

一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)01234>5

概率0.300.150.200.200.100.05

⑴求一續(xù)保人本年度地保費(fèi)高于基本保費(fèi)地概率。

（II）若一續(xù)保人本年度地保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%地概率.

（川）求續(xù)保人本年度地平均保費(fèi)與基本保費(fèi)地比值.

26.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科）（本小題滿分12分）某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被

淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200圓.在機(jī)器使用期

間，假如備件不足再購買,則每個500圓.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并

整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換地易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

頻數(shù).

40...............................-一

891011更換的易損零件數(shù)

以這100臺機(jī)器更換地易損零件數(shù)地頻率代替1臺機(jī)器更換地易損零件數(shù)發(fā)生地概率,記X表示2臺機(jī)

器三年內(nèi)共需更換地易損零件數(shù)，〃表示購買2臺機(jī)器地同時購買地易損零件數(shù).

⑴求X地分布列。

（II）若要求P（XW〃）20.5,確定〃地最小值。

（III）以購買易損零件所需費(fèi)用地期望值為決策依據(jù),在〃=19與〃=20之中選其一,應(yīng)選用哪個?

27.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科）（本題滿分12分）某公司為了解用戶對其產(chǎn)品地滿意度，從8兩地區(qū)

分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品地滿意度評分如下:

Z地區(qū)：62738192958574645376

78869566977888827689

8地區(qū)：73836251914653736482

93486581745654766579

（I）依據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分地莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分地平均

值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值,得出結(jié)論即可）。

〃地區(qū)8地區(qū)

4

5

6

7

8

9

（n）依據(jù)用戶滿意度評分，將用戶地滿意度從低到高分為三個等級:

滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

記事件C：“/地區(qū)用戶地滿意度等級高于6地區(qū)用戶地滿意度等級”.假設(shè)兩地區(qū)用戶地評價(jià)結(jié)果相

互獨(dú)立.依據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生地頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生地概率，求C地概率.

28.（2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科）從某企業(yè)地某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品地一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測

量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:

（1）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值地樣本平均數(shù)X和樣本方差52（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間地中點(diǎn)值作代表）;

（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品地質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布,其中〃近似為樣本

平均數(shù)二5近似為樣本方差52.

（i）利用該正態(tài)分布，求尸（187.8vZv212.2）；

（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間

（187.8,212.2）地產(chǎn)品件數(shù),利用⑴地結(jié)果，求EX.

Pft:V150?12.2.

若,則P（公4<2<辦"）=0.6826P{m-2d<Z<辦24）=0.9544.

29.（2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi)，每售出It該產(chǎn)品獲利潤500

圓,未售出地產(chǎn)品，每1t虧損300圓.依據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量地頻率分布直方圖，如

圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品.以X（單位:t,100WXW150）表示下一個銷

售季度內(nèi)地市場需求量,7（單位：圓）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品地利潤.

頻率/組距

o30

o.o25

o.o20

o.o15

s1

SO0

100110120130140150需求量/t

（1）將T表示為X地