2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型24專題專題24 圓內(nèi)最大張角米勒角問題含解析

2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專題24圓內(nèi)最大張角米勒角問題故事背景：米勒問題和米勒定理1471年，德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出了如下十分有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長？即在什么部位，視角最大？最大視角問題是數(shù)學(xué)史上100個著名的極值問題中第一個極值問題而引人注目，因為德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出這類問題，因此最大視角問題又稱之為“米勒問題”。米勒問題：已知點A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當(dāng)C在何處時，∠ACB最大？對米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題米勒定理：已知點AB是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的一動點，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大。證明：如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點C的任意一點，連結(jié)A，B，因為∠AC’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。米勒定理在解題中的應(yīng)用常常以解析幾何、平面幾何和實際應(yīng)用為背景進行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運用米勒定理解題，這將會突破思維瓶頸、大大減少運算量、降低思維難度、縮短解題長度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費時化力。下面舉例說明米勒定理在解決最大角問題中的應(yīng)用。典型例題：1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時，∠AED最大．2.如圖，是坐標原點，過點的拋物線與軸的另一個交點為，與軸交于點，其頂點為點．（1）求的值．（2）連接、，動點的坐標為．①當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求的值；②連接、，當(dāng)最大時，求出點的坐標．3.數(shù)學(xué)概念若點在的內(nèi)部，且、和中有兩個角相等，則稱是的“等角點”，特別地，若這三個角都相等，則稱是的“強等角點”.理解概念（1）若點是的等角點，且，則的度數(shù)是.（2）已知點在的外部，且與點在的異側(cè)，并滿足，作的外接圓，連接，交圓于點.當(dāng)?shù)倪厺M足下面的條件時，求證：是的等角點.（要求：只選擇其中一道題進行證明?。偃鐖D①，②如圖②，深入思考（3）如圖③，在中，、、均小于，用直尺和圓規(guī)作它的強等角點.（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）下列關(guān)于“等角點”、“強等角點”的說法：①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點；②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點；③正三角形的中心是它的強等角點；④若一個三角形存在強等角點，則該點到三角形三個頂點的距離相等；⑤若一個三角形存在強等角點，則該點是三角形內(nèi)部到三個頂點距離之和最小的點，其中正確的有.（填序號）4.一個角的頂點在圓外，兩邊都與該圓相交，則稱這個角是它所夾的較大的弧所對的圓外角．（1）證明：一條弧所對的圓周角大于它所對的圓外角；（2）應(yīng)用（1）的結(jié)論，解決下面的問題：某市博物館近日展出當(dāng)?shù)爻鐾恋恼滟F文物，該市小學(xué)生合唱隊計劃組織120名隊員前去參觀，隊員身高的頻數(shù)分布直方圖如圖1所示．該文物高度為，放置文物的展臺高度為，如圖2所示．為了讓參觀的隊員站在最理想的觀看位置，需要使其觀看該文物的視角最大（視角：文物最高點P、文物最低點Q、參觀者的眼睛A所形成的），則分隔參觀者與展臺的圍欄應(yīng)放在距離展臺多遠的地方？請說明理由．（說明：①參觀者眼睛A與地面的距離近似于身高；②通常圍欄的擺放位置需考慮參觀者的平均身高）專題24圓內(nèi)最大張角米勒角問題故事背景：米勒問題和米勒定理1471年，德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出了如下十分有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長？即在什么部位，視角最大？最大視角問題是數(shù)學(xué)史上100個著名的極值問題中第一個極值問題而引人注目，因為德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出這類問題，因此最大視角問題又稱之為“米勒問題”。米勒問題：已知點A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當(dāng)C在何處時，∠ACB最大？對米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題米勒定理：已知點AB是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的一動點，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大。證明：如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點C的任意一點，連結(jié)A，B，因為∠AC’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。米勒定理在解題中的應(yīng)用常常以解析幾何、平面幾何和實際應(yīng)用為背景進行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運用米勒定理解題，這將會突破思維瓶頸、大大減少運算量、降低思維難度、縮短解題長度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費時化力。下面舉例說明米勒定理在解決最大角問題中的應(yīng)用。典型例題：1．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點，且∠AFE＝90°（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時，∠AED最大．解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中點O，連接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°，∴OA＝OD＝OE＝OF，∴A、D、E、F四點共圓，∴∠AED＝∠AFD，∴當(dāng)⊙O與BC相切時，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，2.如圖，是坐標原點，過點的拋物線與軸的另一個交點為，與軸交于點，其頂點為點．（1）求的值．（2）連接、，動點的坐標為．①當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求的值；②連接、，當(dāng)最大時，求出點的坐標．解：（1）把代入，可得，解得；（2）①設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點．，，則，，令得，；令得，．解得或．，，，如圖1，過作的平行線與直線相交，則交點必為，設(shè)直線與軸交于點，則．，．又，，在和△中，，，；②如圖2，記的外心為，則在的垂直平分線上（設(shè)與軸交于點．連接、，則，，，的值隨著的增大而減?。?，當(dāng)取最小值時最大，即垂直直線時，最大，此時，與直線相切．，，坐標為．根據(jù)對稱性，另一點也符合題意．綜上可知，點坐標為或．3.數(shù)學(xué)概念若點在的內(nèi)部，且、和中有兩個角相等，則稱是的“等角點”，特別地，若這三個角都相等，則稱是的“強等角點”.理解概念（1）若點是的等角點，且，則的度數(shù)是.（2）已知點在的外部，且與點在的異側(cè)，并滿足，作的外接圓，連接，交圓于點.當(dāng)?shù)倪厺M足下面的條件時，求證：是的等角點.（要求：只選擇其中一道題進行證明?。偃鐖D①，②如圖②，深入思考（3）如圖③，在中，、、均小于，用直尺和圓規(guī)作它的強等角點.（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）下列關(guān)于“等角點”、“強等角點”的說法：①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點；②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點；③正三角形的中心是它的強等角點；④若一個三角形存在強等角點，則該點到三角形三個頂點的距離相等；⑤若一個三角形存在強等角點，則該點是三角形內(nèi)部到三個頂點距離之和最小的點，其中正確的有.（填序號）解：（1）（i）若=時，∴==100°（ii）若時，∴（360°－）=130°；（iii）若=時，360°－－=160°，綜上所述：=100°、130°或160°故答案為：100、130或160．（2）選擇①：連接∵∴∴∵，∴∴是的等角點．選擇②連接∵∴∴∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴∵∴∴是的等角點（3）作BC的中垂線MN，以C為圓心，BC的長為半徑作弧交MN與點D，連接BD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和作圖方法可得：BD=CD=BC∴△BCD為等邊三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分線交MN于點O以O(shè)為圓心OB為半徑作圓，交AD于點Q，圓O即為△BCD的外接圓∴∠BQC=180°－∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如圖③，點即為所求．（4）③⑤．①如下圖所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的內(nèi)心假設(shè)∠BAC=60°，∠ACB=30°∵點O是△ABC的內(nèi)心∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°顯然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①錯誤；②對于鈍角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角點的定義，故②錯誤；③正三角形的每個中心角都為：360°÷3=120°，滿足強等角點的定義，所以正三角形的中心是它的強等角點，故③正確；④由（3）可知，點Q為△ABC的強等角，但Q不在BC的中垂線上，故QB≠Q(mào)C，故④錯誤；⑤由（3）可知，當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角都小于時，必存在強等角點．如圖④，在三個內(nèi)角都小于的內(nèi)任取一點，連接、、，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，∵由旋轉(zhuǎn)得，，∴是等邊三角形．∴∴∵、是定點，∴當(dāng)、、、四點共線時，最小，即最小．而當(dāng)為的強等角點時，，此時便能保證、、、四點共線，進而使最?。蚀鸢笧椋孩邰荩?.一個角的頂點在圓外，兩邊都與該圓相交，則稱這個角是它所夾的較大的弧所對的圓外角．（1）證明：一條弧所對的圓周角大于它所對的圓外角；（2）應(yīng)用（1）的結(jié)論，解決下面的問題：某市博物館近日展出當(dāng)?shù)爻鐾恋恼滟F文物，該市小學(xué)生合唱隊計劃組織120名隊員前去參觀，隊員身高的頻數(shù)分布直方圖如圖1所示．該文物高度為，放置文物的展臺高度為，如圖2所示．為了讓參觀的隊員站在最理想的觀看位置，需要使其觀看該文物的視角最大（視角：文物最高點P、文物最低點Q、參觀者的眼睛A所形成的），則分隔參觀者與展臺的圍欄應(yīng)放在距離展臺多遠的地方？請說明理由．（說明：①參觀者眼睛A與地面的距離近似于身高；②通常圍欄的擺放位置需考慮參觀者的平均身高）解：（1）已知：如圖所示，點A，B，C在⊙O上，點P在⊙O外．求證：．證明：設(shè)交⊙O于點Q，連接，∵與同對，∴．∵在中，，∴，∴；（2）解：設(shè)合唱隊員平均身