高等數(shù)學(xué)重要公式

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《高等數(shù)學(xué)》〔?？粕究啤硰?fù)習(xí)資料

一、復(fù)習(xí)參考書：全國各類?？破瘘c(diǎn)升本科教材

高等數(shù)學(xué)〔一〕第3版本書編寫組高等教育出版社

二、復(fù)習(xí)內(nèi)容及方法：

第一部分函數(shù)、極限、連續(xù)

復(fù)習(xí)內(nèi)容

函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性。數(shù)列的極限與函數(shù)的極限概念。收斂數(shù)列的基本性質(zhì)及函數(shù)極限的四那么運(yùn)算法那么。數(shù)列極限的存在準(zhǔn)那么與兩個(gè)重要的函數(shù)極限。無窮小量與無窮大量的概念及其基本性質(zhì)。常見的求極限的方法。連續(xù)函數(shù)的概念及基本初等函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類與連續(xù)函數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，即最值定理、介值定理與零點(diǎn)存在定理。

復(fù)習(xí)要求

會求函數(shù)的定義域與判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性。掌控?cái)?shù)列極限的計(jì)算方法與理解函數(shù)在某一點(diǎn)極限的概念，同時(shí)會利用恒等變形、四那么運(yùn)算法那么、兩個(gè)重要極限等常見方法計(jì)算函數(shù)的極限。掌控理解無窮小量與無窮大量的概念及相互關(guān)系，在求函數(shù)極限的時(shí)候能運(yùn)用等價(jià)代換。理解函數(shù)連續(xù)性的定義，會求給定函數(shù)的連續(xù)區(qū)間及間斷點(diǎn)；；能運(yùn)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證明一些基本的命題。

重要結(jié)論

1.兩個(gè)奇〔偶〕函數(shù)之和仍為奇〔偶〕函數(shù)；兩個(gè)奇〔偶〕函數(shù)之積必為偶函數(shù)；奇

函數(shù)與偶函數(shù)之積必為奇函數(shù)；奇〔偶〕函數(shù)的復(fù)合必為偶函數(shù)；

2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限；

3.假設(shè)一個(gè)數(shù)列收斂，那么其任一個(gè)子列均收斂，但一個(gè)數(shù)列的子列收斂，該數(shù)列不肯定

收斂；

4.假設(shè)一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限大于零，那么肯定存在該點(diǎn)的一個(gè)鄰域，函數(shù)在其上也大于

零；

5.無窮小〔大〕量與無窮小〔大〕量的乘積還是無窮小〔大〕量，但無窮小量與無窮

大量的乘積那么有多種可能

6.初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)；

7.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必能取到最大值與最小值。

重要公式

1.假設(shè)limf(*)A,limg(*)B,那么**0**0

**0lim[f(*)g(*)]limf(*)limg(*)AB；**0**0

limf(*)f(*)**0Alim。(B0)**0g(*)limg(*)B

**0

2.兩個(gè)重要極限公式

1sin11；2〕lim1e，lim1**e。1〕lim*0**0***

高等數(shù)學(xué)重要公式

3.在求極限的運(yùn)算中留意運(yùn)用等價(jià)無窮小量的代換，常見的等價(jià)無窮小量代換有：當(dāng)

*0時(shí)，

*2

*(*)~*,sin*~*,tan*~*,1cos*~,e1~*。ln12

第二部分一元函數(shù)微積分

復(fù)習(xí)內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何、物理意義、基本求導(dǎo)公式與各種求導(dǎo)法那么，微分的概念及計(jì)算，羅爾定理、拉格朗日中值定理，洛必達(dá)法那么，函數(shù)增減性的判定，函數(shù)的極值與極值點(diǎn)、最大值與最小值，函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)，曲線的漸近線。

復(fù)習(xí)要求

理解導(dǎo)數(shù)的定義，同時(shí)掌控幾種等價(jià)定義，即

f(*0)yf(*0*)f(*0)f(*0*)f(*0*)f(*)f(*0)；掌**2***0

握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義；掌控連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系，即連續(xù)不肯定可導(dǎo)，而可導(dǎo)肯定連續(xù)；嫻熟掌控基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算法那么、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法那么，掌控對數(shù)求導(dǎo)法與高階導(dǎo)數(shù)的求法；理解微分的定義，明確一個(gè)函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系，即可微肯定可導(dǎo)，反之一樣；嫻熟掌控微分的四那么運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)的微分；理解羅爾中值定理與拉格朗日中值定理，了解其幾何意義；能嫻熟運(yùn)用洛必達(dá)法那么求極限，需要記住運(yùn)用洛必達(dá)法那么的條件，同時(shí)應(yīng)留意以下幾個(gè)問題：

1.假如運(yùn)用洛必達(dá)法那么后，問題仍舊是未定型極限，且仍滿意洛必達(dá)法那么的條件，那么可再次運(yùn)用洛必達(dá)法那么，2.假如在“0/0”型或“/”型極限中含有非零因子，該非零因子可以單獨(dú)求極限，不必參加洛必達(dá)法那么運(yùn)算，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的，3.假如能進(jìn)行等價(jià)無窮小量代換或恒等變形協(xié)作運(yùn)用洛必達(dá)法那么，也可以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的；會利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求已知曲線的切線方程與法線方程，會利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，嫻熟掌控函數(shù)的極值與最值的求法即需掌控以下步驟：1.求出函數(shù)yf(*)的定義域，2.求出f(*)，并在函數(shù)的定義域內(nèi)求出導(dǎo)數(shù)等于零與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)〔駐點(diǎn)〕3.判定駐點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號，

4.假如駐點(diǎn)處函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)易求，可再次求導(dǎo)通過在該點(diǎn)的符號來判斷極值，5.求最值時(shí)，只需求出全部的極值點(diǎn)與端點(diǎn)的值，最大〔小〕者即為最大〔小〕值；掌控判斷曲線yf(*)的拐點(diǎn)、凹凸性的一般方法：1.求出該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，并求出其二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，2.同時(shí)求出二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，3.判定上述各點(diǎn)兩側(cè)，該函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是否異號，假如f(*)在*0的兩側(cè)異號，那么〔*0,f(*0)〕為曲線yf(*)的拐點(diǎn)，4.在f(*)0的*的取值范圍內(nèi)，曲線是弧是下凹的，在f(*)0的*的取值范圍內(nèi)，曲線弧是上凸的.；了解漸近線的定義，并會求水平漸近線與鉛直漸近線，即limf(*)C，那么yC為曲線*

yf(*)的水平漸近線，假設(shè)limf(*)，那么稱**0為曲線yf(*)的鉛直漸近線；**0

高等數(shù)學(xué)重要公式

重要結(jié)論

1.假如函數(shù)yf(*)在點(diǎn)*0的導(dǎo)數(shù)f(*0)存在，那么在幾何上說明曲線yf(*)在點(diǎn)

〔*0,f(*0)〕處存在切線，且切線的斜率為f(*0)，且切線方程為

yf(*0)f(*0)(**0)，

當(dāng)f(*0)0時(shí)，法線方程為

yf(*0)1(**0)，f(*0)

2.假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)*0處可導(dǎo)，那么函數(shù)f(*)在點(diǎn)*0處必定連續(xù)，反之不肯定；

3.函數(shù)yf(*)在點(diǎn)*可微的充分須要條件是yf(*)在點(diǎn)*處可導(dǎo)，且有

dyf(*)d*yd*；

4.羅爾定理：假設(shè)函數(shù)yf(*)滿意以下條件：

1〕在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，2〕在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，3〕f(a)f(b)，

那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得f()0；

5.拉格郎日中值定理：假設(shè)函數(shù)yf(*)滿意以下條件：

1〕在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，2〕在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，

那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得

f(b)f(a)f()(ba)。

重要公式

1.設(shè)uu(*)與vv(*)在點(diǎn)*可導(dǎo)，那么

uvuvu(v0)(uv)uvuv，2vv

2.設(shè)復(fù)合函數(shù)yf(g(*))，假設(shè)ug(*)點(diǎn)*處可導(dǎo)，yf(u)在相應(yīng)的點(diǎn)可導(dǎo)，那么復(fù)

合函數(shù)yf(g(*))在點(diǎn)*處可導(dǎo)，且有鏈?zhǔn)椒敲?/p>

dydyduf(u)g(*)d*dud*

高等數(shù)學(xué)重要公式

3.設(shè)yf(*)是由*(t)所確定，其中(t),(t)都為可導(dǎo)函數(shù)，且(t)0，那么y(t)

dy

dy(t)，d*d*(t)

dt

4.在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，有時(shí)要留意對數(shù)求導(dǎo)法的應(yīng)用

5.洛必達(dá)公式：當(dāng)f(*),F(*)滿意肯定條件時(shí)，有

**0limf(*)f(*)f(*)f(*)，limlimlim****0F(*)F(*)F(*)F(*)

同時(shí)應(yīng)留意可轉(zhuǎn)化為“0/0”型或“/”型的極限

第三部分一元函數(shù)積分學(xué)

復(fù)習(xí)內(nèi)容

不定積分的概念與性質(zhì)，不定積分的基本公式，積分第一換元法與第二換元法，分部積分公式與應(yīng)用分部積分公式時(shí)應(yīng)留意的一般原那么，定積分的基本概念與基本性質(zhì)，牛頓-萊布尼茨公式，定積分的換元積分法與分部積分法，無窮區(qū)間上的廣義積分，求平面圖形的面積，求旋轉(zhuǎn)體體積。

復(fù)習(xí)要求

理解原函數(shù)與不定積分定義，了解不定積分的幾何意義與隱函數(shù)存在定理；嫻熟掌控不定積分的性質(zhì)與不定積分的基本公式，理解積分第一換元法，即設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),u(*)存在連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，那么有換元公式

f[(*)](*)d*f(u)duF(u)u(*)CF((*))C.

了解積分第二換元法；掌控分部積分公式，同時(shí)應(yīng)留意在運(yùn)用時(shí)應(yīng)遵循的一般原那么；理解定積分的定義與定積分的幾何意義；嫻熟掌控定積分的性質(zhì)與牛頓-萊布尼茨公式；嫻熟運(yùn)用定積分的換元積分法與分部積分法；了解無窮區(qū)間上的廣義積分的求法；會用定積分的性質(zhì)求平面圖形的面積與旋轉(zhuǎn)體的體積。

重要結(jié)論

1.假設(shè)F(*)為f(*)在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，那么F(*)C為f(*)的全部原函

數(shù)，稱為f(*)的不定積分，記為

2.f(*)d*；定積分表示一個(gè)數(shù)值，它只取決于函數(shù)f(*)與積分區(qū)間，與積分變量無關(guān)，

即b

af(*)d*f(t)dt；ab

高等數(shù)學(xué)重要公式

3.

4.

5.假如函數(shù)f(*)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么定積分baf(*)d*必定存在；以yf(*),*a,*b及O*軸所圍成的曲邊梯形的面積等于baf(*)d*；假如f(*)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么在[a,b]上至少存在一點(diǎn)，使得

6.baf(*)d*f()(ba)；假如f(*)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，那么積分上限函數(shù)(*)*

af(t)dt在區(qū)間

(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且

(*)[f(t)dt]f(*)；a*

7.假設(shè)f(*)是區(qū)間[a,a]上的連續(xù)函數(shù)(a0)，那么

a

a0,f(*)為奇函數(shù)。f(*)d*a2f(*)d*，f(*)為偶函數(shù)0

重要公式

1.先積分后求導(dǎo)，作用抵消，即

(f(*)d*)f(*),

先求導(dǎo)后積分，相差一個(gè)常數(shù)，即

f(*)d*

2.分部積分公式：f(*)C

uvd*uvuvd*

3.牛頓-萊布尼茨公式：1〕假如f(*)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，2〕F(*)為f(*)在(a,b)

內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，那么

b

af(*)d*F(*)aF(b)F(a)。b

4.定積分的換元公式：設(shè)f(*)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，函數(shù)*(t)滿意以下條件：

1〕()a,()b;

2〕(t)在[,]上為單值、有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，那么有

baf(*)d*f((t))(t)dt。

高等數(shù)學(xué)重要公式

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二、復(fù)習(xí)內(nèi)容及方法：

第一部分函數(shù)、極限、連續(xù)

復(fù)習(xí)內(nèi)容

函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性。數(shù)列的極限與函數(shù)的極限概念。收斂數(shù)列的基本性質(zhì)及函數(shù)極限的四那么運(yùn)算法那么。數(shù)列極限的存在準(zhǔn)那么與兩個(gè)重要的函數(shù)極限。無窮小量與無窮大量的概念及其基本性質(zhì)。常見的求極限的方法。連續(xù)函數(shù)的概念及基本初等函數(shù)的連續(xù)性。函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類與連續(xù)函數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，即最值定理、介值定理與零點(diǎn)存在定理。

復(fù)習(xí)要求

會求函數(shù)的定義域與判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性。掌控?cái)?shù)列極限的計(jì)算方法與理解函數(shù)在某一點(diǎn)極限的概念，同時(shí)會利用恒等變形、四那么運(yùn)算法那么、兩個(gè)重要極限等常見方法計(jì)算函數(shù)的極限。掌控理解無窮小量與無窮大量的概念及相互關(guān)系，在求函數(shù)極限的時(shí)候能運(yùn)用等價(jià)代換。理解函數(shù)連續(xù)性的定義，會求給定函數(shù)的連續(xù)區(qū)間及間斷點(diǎn)；；能運(yùn)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)證明一些基本的命題。

重要結(jié)論

1.兩個(gè)奇〔偶〕函數(shù)之和仍為奇〔偶〕函數(shù)；兩個(gè)奇〔偶〕函數(shù)之積必為偶函數(shù)；奇

函數(shù)與偶函數(shù)之積必為奇函數(shù)；奇〔偶〕函數(shù)的復(fù)合必為偶函數(shù)；

2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限；

3.假設(shè)一個(gè)數(shù)列收斂，那么其任一個(gè)子列均收斂，但一個(gè)數(shù)列的子列收斂，該數(shù)列不肯定

收斂；

4.假設(shè)一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限大于零，那么肯定存在該點(diǎn)的一個(gè)鄰域，函數(shù)在其上也大于

零；

5.無窮小〔大〕量與無窮小〔大〕量的乘積還是無窮小〔大〕量，但無窮小量與無窮

大量的乘積那么有多種可能

6.