




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文檔簡介
2020-2021學(xué)年江蘇省鹽城市東臺市九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試
卷
一、選擇題(共8小題,每題3分,共24分).
1.一元二次方程N=4的解是()
A.x=-2B.尤=2C.x=+-./2D.x=±2
2.二次函數(shù)y=-(尤-1)2+3圖象的對稱軸是()
A.直線x=lB.直線x=-lC.直線x=3D.直線x=-3
3.已知的半徑為6,點A與圓心。的距離為5,則點A與。O的位置關(guān)系是()
A.點A在。。外B.點A在。。內(nèi)
C.點A不在OO內(nèi)D.點A在OO上
4.某同學(xué)對數(shù)據(jù)31,36,36,47,5?,52進(jìn)行統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)其中一個兩位數(shù)的個位數(shù)字
被墨水涂污看不到了,則計算結(jié)果與被涂污數(shù)字無關(guān)的是()
A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.方差D.眾數(shù)
5.如圖,在Rt^ABC中,ZC=9O°,BC=4,AC=3,于。,設(shè)NACD=a,則
cosa的值為()
6.如圖,AB是OO的弦,半徑OCLAB于點D,若的半徑為10cm,AB=16cm,則
A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm
7.方程爐-5x-6=0的兩根之和為()
A.-6B.5C.-5D.1
8.對于二次函數(shù)y=/+bx+c(b,c是常數(shù))中自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如下表:
X???-101234???
??????
y1052125
下列結(jié)論錯誤的是()
A.函數(shù)圖象開口向上
B.當(dāng)x=5時,y=10
C.當(dāng)x>2時,y隨x的增大而增大
D.方程^+bx+c=O有兩個不相等的實數(shù)根
二、填空題(每題3分,滿分24分)
9.在比例尺為1:500000的地圖上,量得A、B兩地的距離為3cm,則A、B兩地的實際距
離為km.
10.二次函數(shù)y=x2-2x+3圖象的頂點坐標(biāo)為.
11.一個不透明的袋子中裝有9個小球,其中6個紅球、3個綠球,這些小球除顏色外無其
他差別.從袋子中隨機(jī)摸出一個小球,則摸出的小球是綠球的概率
是.
12.已知高為29的標(biāo)桿在水平地面上的影子長15%此時測得附近旗桿的影子長75".則
旗桿的高為m.
13.若圓錐的底面半徑為3c7小高是4c〃z,則它的側(cè)面展開圖的面積為.
14.如圖,二次函數(shù)>=-尤2+彳質(zhì)的圖象與X軸交于坐標(biāo)原點和(4,0),若關(guān)于尤的方程
X2-mx+t=0(f為實數(shù))在1<尤<4的范圍內(nèi)有解,則/的取值范圍是.
15.如圖,。。上有兩定點A、8,點P是。。上一動點(不與A、B兩點重合),若/OAB
=35°,則/AP2的度數(shù)是
O
A
16.如圖,在△ABC中,ZACB=90°,點。在邊AC上,AD=4CD,若乙BAC=2/CB,
則tanA=_____________________.
三、解答題(本大題共11小題,共102分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.計算:tan60°-2cos300+sin45°.
18.解方程:N-2x-3=0.
19.對垃圾進(jìn)行分類投放,能提高垃圾處理和再利用的效率,減少污染,保護(hù)環(huán)境.為了檢
查垃圾分類的落實情況,某居委會成立了甲、乙兩個檢查組,采取隨機(jī)抽查的方式分別
對轄區(qū)內(nèi)的A,B,C,。四個小區(qū)進(jìn)行檢查,并且每個小區(qū)不重復(fù)檢查.
(1)甲組抽到A小區(qū)的概率是;
(2)請用列表或畫樹狀圖的方法求甲組抽到A小區(qū),同時乙組抽到C小區(qū)的概率.
20.為了扎實推進(jìn)精準(zhǔn)扶貧工作,某地出臺了民生兜底、醫(yī)保脫貧、教育救助、產(chǎn)業(yè)扶持、
養(yǎng)老托管和易地搬遷這六種幫扶措施,每戶貧困戶都享受了2到5種幫扶措施,現(xiàn)把享
受了2種、3種、4種和5種幫扶措施的貧困戶分別稱為A、B、aD類貧困戶,為檢查
幫扶措施是否落實,隨機(jī)抽取了若干貧困戶進(jìn)行調(diào)查,現(xiàn)將收集的數(shù)據(jù)繪制成下面兩幅
不完整的統(tǒng)計圖:
戶數(shù)
260T.廠
80............................廠]
40...........?I
ABCD糊
圖1圖2
請根據(jù)圖中信息回答下面的問題:
(1)本次抽樣調(diào)查了戶貧困戶.
(2)本次共抽查了戶C類貧困戶,請補全條形統(tǒng)計圖.
(3)若該地共有13000戶貧困戶,請估計至少得到4項幫扶措施的大約有多少戶?
21.如圖,已知△A2C.
(1)用無刻度的直尺、圓規(guī)作AABC的外接圓(只需作出圖形,并保留作圖痕跡).
(2)若/BAC=110°,在△ABC的外接圓中,僅用無刻度的直尺能畫出的不同度數(shù)的
圓周角有(寫度數(shù)).
22.某商店經(jīng)銷一種成本為每千克20元的水產(chǎn)品,據(jù)市場分析,若按每千克30元銷售,一
個月能售出500依,銷售單價每漲1元,月銷售量就減少10依,解答以下問題.
(1)當(dāng)銷售單價定為每千克35元時,銷售量是千克、月銷售利潤是元;
(2)商店想在月銷售成本不超過6000元的情況下,使得月銷售利潤達(dá)到8000元,銷售
單價應(yīng)為多少?
23.如圖,在正方形ABCD中,E為邊AO上的點,點尸在邊C。上,NBEF=90°且CF
=3FD.
(1)求證:LABEsADEF;
(2)若AB=4,延長EF交的延長線于點G,求CG的長.
24.如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖,為了提高傳送過程的安全性,工人師傅欲減小傳
送帶與地面的夾角,使其由45。改為30°.已知原傳送帶AB長為網(wǎng)歷如
(1)求新傳送帶AC的長度;
(2)如果需要在貨物著地點C的左側(cè)留出5m的通道,試判斷距離B點4ym的貨物
MAQ尸是否需要挪走,并說明理由.
E
S
P
25.一次函數(shù)y=3x+6的圖象與x軸相父于點A,與y軸相父于點B,二次函數(shù)丁=加+了+匕
圖象經(jīng)過點A、B,與x軸相交于另一點C.
(1)求a、b的值;
(2)在直角坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象;
(3)求NABC的度數(shù).
X
26.如圖,在直角坐標(biāo)系中,0M的圓心M在y軸上,G)M與x軸交于點A、B,與y軸交
于點C、D,過點A作OM的切線A尸交y軸于點尸,若點C的坐標(biāo)為(0,2),點4的
坐標(biāo)為(-4,0).(1)求證:ZPAC=ZCAO,
(2)求點P的坐標(biāo);
(3)若點。為上任意一點,連接。。、尸。,問罷■的比值是否發(fā)生變化?若不變,
求出此值;若變化,說明變化規(guī)律.
27.數(shù)學(xué)實驗.如圖1,正方形ABC。的邊長48=10,點E、F分別在邊BC、C。上,Z
EAF=45:在探究△AM面積的最小值時,通過畫圖,度量和計算,收集到一組數(shù)據(jù)
如下表:(單位:厘米)
BE012345678910
DF108.186.665.384.293.33a1.761.110.530
EF109.188.668.388.298.33b8.769.119.5310
(1)求表格中的a,b的值(寫出計算過程);
數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn):
(2)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,選取上表中BE和所的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,設(shè)BE=x,EF=y,
以(x,y)為坐標(biāo),在圖2所示的坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點并連線.
(3)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及圖2畫的圖象,發(fā)現(xiàn):y的最小值約為(結(jié)果估計到
0.01),由此估計所面積的最小值約為(結(jié)果估計到01).
猜想并證明:
(4)如果正方形ABCD的邊長48=機(jī)(根為常數(shù),相>0),點£、尸分別在BC、CD
上,ZEAF=45°,猜想△AEP面積的最小值是(如-1)相?.請證明猜想.
模型應(yīng)用:
(5)如圖3是某市迎賓大道的一部分,因自來水搶修需在AB=7米,AD=10米的矩形
ABC。區(qū)域內(nèi)開挖一個△AEF的工作面,其中E、尸分別在BC、C。邊上(不與8、C、
D重合),且/EAP=45°,為減少對該路段的擁堵影響,要求△AEF面積最小,那么
是否存在一個面積最小的△/!£/?若不存在,請直接寫“不存在”;若存在,請直接寫
出△AM面積的最小值.
參考答案
一、選擇題(共8小題,每題3分,共24分).
1.一元二次方程爐=4的解是()
A.x=-2B.x=2C.x=+-^2D.x=±2
解:'."x2=4,.*.x=±2.故選:D.
2.二次函數(shù)y=-(x-1)2+3圖象的對稱軸是()
A.直線x=lB.直線x=-lC.直線x=3D.直線x=-3
解:二次函數(shù)y=-(x-1)2+3圖象的對稱軸是直線x=l,
故選:A.
3.已知OO的半徑為6,點A與圓心。的距離為5,則點A與OO的位置關(guān)系是()
A.點A在。。外B.點A在。。內(nèi)
C.點A不在OO內(nèi)D.點A在。。上
解:':OA<R,
.?.點A在圓內(nèi),
故選:B.
4.某同學(xué)對數(shù)據(jù)31,36,36,47,5B,52進(jìn)行統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)其中一個兩位數(shù)的個位數(shù)字
被墨水涂污看不到了,則計算結(jié)果與被涂污數(shù)字無關(guān)的是()
A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.方差D.眾數(shù)
解:這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和眾數(shù)都與被涂污數(shù)字有關(guān),而這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為36與
47的平均數(shù),與被涂污數(shù)字無關(guān).
故選:B.
5.如圖,在RtZxABC中,ZC=90°,BC=4,AC=3,于。,設(shè)/4CZ)=a,則
cosa的值為()
=22=
解:在直角△ABC中,^VAC+BCV32+42=5-
在RtZXABC中,ZC=9Q°,CD_LAB于D,
:.ZACD-^-ZBCD=90o,ZB+ZBCD=90°,
ZACD=ZB,
ABC4
?.?cosa=cosK==—.
AB5
故選:A.
6.如圖,AB是。0的弦,半徑。于點。,若。。的半徑為10。利,AB=16cmf則
A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm
解:連接。4則。4=10cm,
VOC±AB,OC過。,AB=16cm,
AODA—90°,AD—BD—Scm,
=22=
在RtZXOZM中,由勾股定理得:ODVOA-ADV102-82=6(刖),
??■OC=10cm,
:.CD=OC-OD=4cm,
故選:C.
7.方程好-5x-6=0的兩根之和為()
A.-6B.5C.-5D.1
解:設(shè)方程的兩根是沏、X2,那么有
K
xi+x2=---=-(-5)=5.
a
故選:B.
8.對于二次函數(shù)>=無2+區(qū)+。(6,c是常數(shù))中自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如下表:
X-101234…
y???1052125.??
下列結(jié)論錯誤的是()
A.函數(shù)圖象開口向上
B.當(dāng)x=5時,>=10
C.當(dāng)x>2時,y隨x的增大而增大
D.方程/+a+。=0有兩個不相等的實數(shù)根
解:A.由表格可得,當(dāng)尤<2時,y隨x的值增大而減?。划?dāng)x>2時,y隨x的值增大
而增大,
該函數(shù)開口向上,故選項A正確,不符合題意;
B.由表格可得,當(dāng)x=l和點無=3時,y=2,故該拋物線的對稱軸是直線x=2.
.?.點(-1,10)的對稱點是(5,10),
.?.點(5,10)在該函數(shù)的圖象上,故選項8正確,不符合題意;
C.由A的分析知,C正確,不符合題意;
D.由表格可得,該拋物線開口向上,且最小值是1,則該拋物線與無軸沒有交點,
方程x2+bx+c=0無實數(shù)根,故選項。錯誤,符合題意.
故選:D.
二、填空題(每題3分,滿分24分)
9.在比例尺為1:500000的地圖上,量得A、B兩地的距離為3e",則A、B兩地的實際距
離為15km.
解::比例尺為1:500000,量得兩地的距離是3厘米,
;.A、B兩地的實際距離3X500000=1500000CTTI=l5km,
故答案為15.
10.二次函數(shù)>=爐-2x+3圖象的頂點坐標(biāo)為(1,2).
解:Vy=x2-2x+3=(x-1)2+2,
拋物線頂點坐標(biāo)為(1,2).
故答案為:(1,2).
11.一個不透明的袋子中裝有9個小球,其中6個紅球、3個綠球,這些小球除顏色外無其
他差別.從袋子中隨機(jī)摸出一個小球,則摸出的小球是綠球的概率是.
一6一
解:因為袋中共有9+6+3=18個球,綠球有3個,
摸出的球是綠球的概率為2=巳
186
故答案為:
0
12.已知高為的標(biāo)桿在水平地面上的影子長15小此時測得附近旗桿的影子長75”.則
旗桿的高為10次
解:設(shè)旗桿的高度為x米,根據(jù)題意得:2=有三
解得:x=10.
故答案為:10.
13.若圓錐的底面半徑為3cm,高是4c則它的側(cè)面展開圖的面積為15元〃層.
解:因為圓錐的底面半徑為3cm,高是4cm,
所以圓錐的母線長=132+42=5(cm),
所以圓錐的側(cè)面展開圖的面積=J?2h?3?5=15n(cm2).
故答案為15ircm2.
14.如圖,二次函數(shù)y=-/+如的圖象與龍軸交于坐標(biāo)原點和(*0),若關(guān)于冗的方程
x2-mx+t=0(/為實數(shù))在1<%<4的范圍內(nèi)有解,則/的取值范圍是0VW4.
解:?.?拋物線的對稱軸為直線b=2,解得m=4,
.?.拋物線解析式為y=-x2+4x,
拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,4),
當(dāng)x=l時,y=-^+4x=-1+4=3;
當(dāng)x=4時,y=-x2+4x=-16+16=0,
當(dāng)x=2時,y=4,
在l<x<4時有公共點時
當(dāng)直線>=/與拋物線>=-/+4苫在1cx<4時有公共點時,0cW4,
故答案為0</W4.
15.如圖,。。上有兩定點A、3,點尸是。。上一動點(不與A、3兩點重合),若/。42
=35°,則NAPB的度數(shù)是55°或125°.
?:OA=OB,
:.ZOAB=ZOBA=35°,
:.ZAOB=HO°,
ZP=yZAOB=55B,
當(dāng)點尸在劣弧AB上時,ZAP'8=180°-ZAPB=125°,
故答案為:55°或125°.
16.如圖,在△ABC中,ZACB=90°,點。在邊AC上,AD=4CD,若NBAC=2/CBD,
711
則tanA=
5
B
LDc
VZACB=90°,
:.BC_LAC,
?:CE=CD,
???BC是OE的垂直平分線,
:.BD=BE,
:.ZE=ZBDE,
設(shè)NC80=a,則N8AC=2a,
;?NE=NBDE=90°-a,
ZABE=180°-ZE-BAC=180°-(90°-a)-2a=90°-a,
ZE=/ABE,
C.AB—AE,
設(shè)CD=x,則AD=4x,
.\AE=AB=6x,AC=5xf
在RtAABC中,SC=7AB2-AC2=V(6X)2-(5X)
..=里巫=叵
AC5x5
故答案為:但.
5
三、解答題(本大題共11小題,共102分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
17.計算:tan60°-2cos30°+sin45°.
解:原式=?-2X芋+苧
=返
2,
18.解方程:x2-2x-3=0.
解:原方程可以變形為(x-3)(x+1)=0
x-3=0,x+l=0
;.X1=3,X2=-1.
19.對垃圾進(jìn)行分類投放,能提高垃圾處理和再利用的效率,減少污染,保護(hù)環(huán)境.為了檢
查垃圾分類的落實情況,某居委會成立了甲、乙兩個檢查組,采取隨機(jī)抽查的方式分別
對轄區(qū)內(nèi)的A,B,C,D四個小區(qū)進(jìn)行檢查,并且每個小區(qū)不重復(fù)檢查.
(1)甲組抽到A小區(qū)的概率是4:
(2)請用列表或畫樹狀圖的方法求甲組抽到A小區(qū),同時乙組抽到C小區(qū)的概率.
解:(1):共有A,B,C,D,4個小區(qū),
.?.甲組抽到A小區(qū)的概率是二,
故答案為:
4
(2)根據(jù)題意畫樹狀圖如下:
開始
???共有12種等可能的結(jié)果數(shù),其中甲組抽到A小區(qū),同時乙組抽到C小區(qū)的結(jié)果數(shù)為1,
.?.甲組抽到A小區(qū),同時乙組抽到C小區(qū)的概率為今.
20.為了扎實推進(jìn)精準(zhǔn)扶貧工作,某地出臺了民生兜底、醫(yī)保脫貧、教育救助、產(chǎn)業(yè)扶持、
養(yǎng)老托管和易地搬遷這六種幫扶措施,每戶貧困戶都享受了2到5種幫扶措施,現(xiàn)把享
受了2種、3種、4種和5種幫扶措施的貧困戶分別稱為A、B、C、。類貧困戶,為檢查
幫扶措施是否落實,隨機(jī)抽取了若干貧困戶進(jìn)行調(diào)查,現(xiàn)將收集的數(shù)據(jù)繪制成下面兩幅
不完整的統(tǒng)計圖:
戶數(shù)
請根據(jù)圖中信息回答下面的問題:
(1)本次抽樣調(diào)查了500戶貧困戶.
(2)本次共抽查了120戶C類貧困戶,請補全條形統(tǒng)計圖.
(3)若該地共有13000戶貧困戶,請估計至少得到4項幫扶措施的大約有多少戶?
解:(1)本次抽樣調(diào)查了260?52%=500(戶)貧困戶,
故答案為:500;
(2)C類貧困戶有:500X24%=120(戶),
故答案為:120,
補全的條形統(tǒng)計圖如右圖所示;
(3)13000X(24%+16%)
=13000X40%
=5200(戶),
答:至少得到4項幫扶措施的大約有5200戶.
圖1
21.如圖,已知△ABC.
(1)用無刻度的直尺、圓規(guī)作△ABC的外接圓(只需作出圖形,并保留作圖痕跡).
(2)若/BAC=110。,在AABC的外接圓中,僅用無刻度的直尺能畫出的不同度數(shù)的
圓周角有110°和70°或90°(寫度數(shù)).
B
(2)ZBAC=110°,ZBDC=10°.NBCE=90°.
故答案為:110°和70?;?0。.
22.某商店經(jīng)銷一種成本為每千克20元的水產(chǎn)品,據(jù)市場分析,若按每千克30元銷售,一
個月能售出500依,銷售單價每漲1元,月銷售量就減少10依,解答以下問題.
(1)當(dāng)銷售單價定為每千克35元時,銷售量是450千克、月銷售利潤是6750元;
(2)商店想在月銷售成本不超過6000元的情況下,使得月銷售利潤達(dá)到8000元,銷售
單價應(yīng)為多少?
解:(1)500-10X(35-30)=450(千克),
(35-20)X450=6750(元).
故答案為:450;6750.
(2)設(shè)銷售單價應(yīng)為x元/千克,則每千克的利潤為(x-20)元,月銷售量為500-10
(x-30)=(800-10無)千克,
依題意得:(x-20)(800-10%)=8000,
整理得:x2-100x+2400=0,
解得:xi=40,%2=60.
當(dāng)尤=40時,20(800-10.r)=8000>6000,不合題意,舍去;
當(dāng)x=60時,20(800-10A)=4000<6000,符合題意.
答:銷售單價應(yīng)為60元/千克.
23.如圖,在正方形ABO中,E為邊AO上的點,點尸在邊C。上,NBEF=90。且CF
=3FD.
(1)求證:LABEsADEF;
(2)若AB=4,延長所交BC的延長線于點G,求CG的長.
【解答】(1)證明:???四邊形ABCD為正方形,
ZA=ZD=90o,
VZBEF=90°,
ZABE+ZAEB=ZAEB+ZDEF=90°,
:./ABE=/DEF,
:.AABEsADEF;
(2)?.?四邊形ABC。為正方形,
:.AB=AD=CD=4,AD//BG,
":CF=3FD,
.".DF=1,
設(shè)DE=x,
,DFJE
??應(yīng)而
即;q,
4-x4
解得:x=2,
:.DE=2,
\'AD//BG,
:.ZDEF=ZG,
??,ZDFE=ZCFG
:?叢CGFs叢DEF,
,DE_J)F
?,福F,
?:CF=3FD,
._2__
**CG-3
:.CG=6.
24.如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖,為了提高傳送過程的安全性,工人師傅欲減小傳
送帶與地面的夾角,使其由45。改為30°.已知原傳送帶A3長為%歷九
(1)求新傳送帶AC的長度;
(2)如果需要在貨物著地點C的左側(cè)留出5m的通道,試判斷距離B點46n的貨物
MNQ尸是否需要挪走,并說明理由.
解:(1)在RtAABZ)中,ZABD=45
V2
???AD=YAAB=4(m),
2
在RtZXACD中,ZAC£)=30°,
,'.AC—2AD—8(m),
答:新傳送帶AC的長度為8g
(2)在RtzXACD中,ZAC£>=30°,
,C£)=AS?cosNAC£>=4^/§(m),
在Rt/VIBO中,ZABD=45°,
.\BD—AD—4(m),
:.BC=CD-BD=(4/3-4)m,
:.PC=BP-BC=4y/3-(4?-4)=4(m),
V4<5,
貨物MNQP需要挪走.
25.一次函數(shù)y=3x+6的圖象與x軸相交于點A,與y軸相交于點3,二次函數(shù)》=0%2+_丫+匕
圖象經(jīng)過點A、B,與x軸相交于另一點C.
(1)求a、b的值;
(2)在直角坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象;
(3)求/A3C的度數(shù).
解:(1)當(dāng)x=0,y=3x+6=6,則8(0,6);
當(dāng)y=0時,3x+6=0,解得x=-2,則A(-2,0),
a=-l
把3(0,6),A(-2,0)代入y=ox2+x+。得.片2M解得
b=6
(2)拋物線解析式為>=-^+6,
19R
?.?y=-,+x+6=-(x--)2+——
24
???拋物線的頂點坐標(biāo)為(告,尊);
24
當(dāng)y=0時,-》2+工+6=0,解得制=-2,X2=3,
???拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為A(-2,0),C(3,0),
如圖,
%
8-
(3)作AH_LBC于",如圖,BC=^3^+6^=3-/5>AB=^22+^=2V10;
-:—OB-AC=--AH-BC,
22
6X5r~
,,AH=F^=2后,
在RfWnWS*孺考,
AZABH=45°,
即NABC=45°.
26.如圖,在直角坐標(biāo)系中,。知的圓心M在y軸上,與無軸交于點A、B,與y軸交
于點C、D,過點A作OM的切線AP交y軸于點P,若點C的坐標(biāo)為(0,2),點A的
坐標(biāo)為(-4,0).(1)求證:ZPAC=ZCAO;
(2)求點P的坐標(biāo);
(3)若點。為上任意一點,連接。。、尸。,問段的比值是否發(fā)生變化?若不變,
求出此值;若變化,說明變化規(guī)律.
ZMAC=ZMCA,
???A尸是。M的切線,
AZPAM=90°,
AZPAC+ZMAC=90°,
VZMCA+ZCAO=90°,
???ZPAC=ZCAO;
(2)解:如上圖,
VZAMO=ZPMA,ZAOM=ZPAM=90°,
???AAOM^APAM,
...MA=MO
…而一記'
:.MA2=MO^MP,
設(shè)AM=R,
■:A(-4,0),C(0,2),
OA=4,OC=2,
在RtZ\AOM中,
VOA=4,OM=R-2,
222
由AM=0^+042得,R2=(R-2)+4,
解得R=5,
即AM=5,
OM=5-2=3,
???25=3MP,
25
:.MP
~3
:.OP=MP-OM=—-3=—
33
二點尸的坐標(biāo)為(0,;
o
(3)解:不變,理由如下:
?NQ=MO
"MP-MQ
ZQMO=ZPMQ=90°,
:.AMOQs^MQP,
.0QM02
‘屈一=而一=可
.嗡不變,等培
27.數(shù)學(xué)實驗.如圖1,正方形ABCD的邊長43=10,點£、尸分別在邊3C、CD±,Z
EAF=45。,在探究△AEP面積的最小值時,通過畫圖,度量和計算,收集到一組數(shù)據(jù)
如下表:(單位:厘米)
BE012345678910
DF108.186.665.384.293.33a1.761.110.530
EF109.188.668.388.298.33b8.769.119.5310
(1)求表格中的。,6的值(寫出計算過程);
數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn):
(2)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,選取上表中BE和所的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,設(shè)BE=x,EF=y,
以(x,y)為坐標(biāo),在圖2所示的坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點并連線.
(3)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及圖2畫的圖象,發(fā)現(xiàn):y的最小值約為8.29(結(jié)果估計到
0.01),由此估計所面積的最小值約為41.4(結(jié)果估計到0.1).
猜想并證明:
(4)如果正方形ABCD的邊長AB=m(m為常數(shù),相>0),點、E、F分別在BC、CD
上,ZEAF=45°,猜想△AEP面積的最小值是(如-1)源.請證明猜想.
模型應(yīng)用:
(5)如圖3是某市迎賓大道的一部分,因自來水搶修需在48=7米,40=10米的矩形
A3CZ)區(qū)域內(nèi)開挖一個△從£P(guān)的工作面,其中E、P分別在BC、CD邊上(不與3、C、
D重合),且NEAF=45°,為減少對該路段的擁堵影響,要求△AEF面積最小,那么
是否存在一個面積最小的△/1£/?若不存在,請直接寫“不存在”;若存在,請直接寫
出△AEF面積的最小值.
解:(1)VCE—BC-6=4,DF=a,CE=10-a,
由表格知:EF=BE+DF=6+6〃,
由勾股定理得:4
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