2020-2021學(xué)年江蘇省鹽城市東臺市九年級(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版)_第1頁
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文檔簡介

2020-2021學(xué)年江蘇省鹽城市東臺市九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試

一、選擇題(共8小題,每題3分,共24分).

1.一元二次方程N=4的解是()

A.x=-2B.尤=2C.x=+-./2D.x=±2

2.二次函數(shù)y=-(尤-1)2+3圖象的對稱軸是()

A.直線x=lB.直線x=-lC.直線x=3D.直線x=-3

3.已知的半徑為6,點A與圓心。的距離為5,則點A與。O的位置關(guān)系是()

A.點A在。。外B.點A在。。內(nèi)

C.點A不在OO內(nèi)D.點A在OO上

4.某同學(xué)對數(shù)據(jù)31,36,36,47,5?,52進(jìn)行統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)其中一個兩位數(shù)的個位數(shù)字

被墨水涂污看不到了,則計算結(jié)果與被涂污數(shù)字無關(guān)的是()

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.方差D.眾數(shù)

5.如圖,在Rt^ABC中,ZC=9O°,BC=4,AC=3,于。,設(shè)NACD=a,則

cosa的值為()

6.如圖,AB是OO的弦,半徑OCLAB于點D,若的半徑為10cm,AB=16cm,則

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

7.方程爐-5x-6=0的兩根之和為()

A.-6B.5C.-5D.1

8.對于二次函數(shù)y=/+bx+c(b,c是常數(shù))中自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如下表:

X???-101234???

??????

y1052125

下列結(jié)論錯誤的是()

A.函數(shù)圖象開口向上

B.當(dāng)x=5時,y=10

C.當(dāng)x>2時,y隨x的增大而增大

D.方程^+bx+c=O有兩個不相等的實數(shù)根

二、填空題(每題3分,滿分24分)

9.在比例尺為1:500000的地圖上,量得A、B兩地的距離為3cm,則A、B兩地的實際距

離為km.

10.二次函數(shù)y=x2-2x+3圖象的頂點坐標(biāo)為.

11.一個不透明的袋子中裝有9個小球,其中6個紅球、3個綠球,這些小球除顏色外無其

他差別.從袋子中隨機(jī)摸出一個小球,則摸出的小球是綠球的概率

是.

12.已知高為29的標(biāo)桿在水平地面上的影子長15%此時測得附近旗桿的影子長75".則

旗桿的高為m.

13.若圓錐的底面半徑為3c7小高是4c〃z,則它的側(cè)面展開圖的面積為.

14.如圖,二次函數(shù)>=-尤2+彳質(zhì)的圖象與X軸交于坐標(biāo)原點和(4,0),若關(guān)于尤的方程

X2-mx+t=0(f為實數(shù))在1<尤<4的范圍內(nèi)有解,則/的取值范圍是.

15.如圖,。。上有兩定點A、8,點P是。。上一動點(不與A、B兩點重合),若/OAB

=35°,則/AP2的度數(shù)是

O

A

16.如圖,在△ABC中,ZACB=90°,點。在邊AC上,AD=4CD,若乙BAC=2/CB,

則tanA=_____________________.

三、解答題(本大題共11小題,共102分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.計算:tan60°-2cos300+sin45°.

18.解方程:N-2x-3=0.

19.對垃圾進(jìn)行分類投放,能提高垃圾處理和再利用的效率,減少污染,保護(hù)環(huán)境.為了檢

查垃圾分類的落實情況,某居委會成立了甲、乙兩個檢查組,采取隨機(jī)抽查的方式分別

對轄區(qū)內(nèi)的A,B,C,。四個小區(qū)進(jìn)行檢查,并且每個小區(qū)不重復(fù)檢查.

(1)甲組抽到A小區(qū)的概率是;

(2)請用列表或畫樹狀圖的方法求甲組抽到A小區(qū),同時乙組抽到C小區(qū)的概率.

20.為了扎實推進(jìn)精準(zhǔn)扶貧工作,某地出臺了民生兜底、醫(yī)保脫貧、教育救助、產(chǎn)業(yè)扶持、

養(yǎng)老托管和易地搬遷這六種幫扶措施,每戶貧困戶都享受了2到5種幫扶措施,現(xiàn)把享

受了2種、3種、4種和5種幫扶措施的貧困戶分別稱為A、B、aD類貧困戶,為檢查

幫扶措施是否落實,隨機(jī)抽取了若干貧困戶進(jìn)行調(diào)查,現(xiàn)將收集的數(shù)據(jù)繪制成下面兩幅

不完整的統(tǒng)計圖:

戶數(shù)

260T.廠

80............................廠]

40...........?I

ABCD糊

圖1圖2

請根據(jù)圖中信息回答下面的問題:

(1)本次抽樣調(diào)查了戶貧困戶.

(2)本次共抽查了戶C類貧困戶,請補全條形統(tǒng)計圖.

(3)若該地共有13000戶貧困戶,請估計至少得到4項幫扶措施的大約有多少戶?

21.如圖,已知△A2C.

(1)用無刻度的直尺、圓規(guī)作AABC的外接圓(只需作出圖形,并保留作圖痕跡).

(2)若/BAC=110°,在△ABC的外接圓中,僅用無刻度的直尺能畫出的不同度數(shù)的

圓周角有(寫度數(shù)).

22.某商店經(jīng)銷一種成本為每千克20元的水產(chǎn)品,據(jù)市場分析,若按每千克30元銷售,一

個月能售出500依,銷售單價每漲1元,月銷售量就減少10依,解答以下問題.

(1)當(dāng)銷售單價定為每千克35元時,銷售量是千克、月銷售利潤是元;

(2)商店想在月銷售成本不超過6000元的情況下,使得月銷售利潤達(dá)到8000元,銷售

單價應(yīng)為多少?

23.如圖,在正方形ABCD中,E為邊AO上的點,點尸在邊C。上,NBEF=90°且CF

=3FD.

(1)求證:LABEsADEF;

(2)若AB=4,延長EF交的延長線于點G,求CG的長.

24.如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖,為了提高傳送過程的安全性,工人師傅欲減小傳

送帶與地面的夾角,使其由45。改為30°.已知原傳送帶AB長為網(wǎng)歷如

(1)求新傳送帶AC的長度;

(2)如果需要在貨物著地點C的左側(cè)留出5m的通道,試判斷距離B點4ym的貨物

MAQ尸是否需要挪走,并說明理由.

E

S

P

25.一次函數(shù)y=3x+6的圖象與x軸相父于點A,與y軸相父于點B,二次函數(shù)丁=加+了+匕

圖象經(jīng)過點A、B,與x軸相交于另一點C.

(1)求a、b的值;

(2)在直角坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象;

(3)求NABC的度數(shù).

X

26.如圖,在直角坐標(biāo)系中,0M的圓心M在y軸上,G)M與x軸交于點A、B,與y軸交

于點C、D,過點A作OM的切線A尸交y軸于點尸,若點C的坐標(biāo)為(0,2),點4的

坐標(biāo)為(-4,0).(1)求證:ZPAC=ZCAO,

(2)求點P的坐標(biāo);

(3)若點。為上任意一點,連接。。、尸。,問罷■的比值是否發(fā)生變化?若不變,

求出此值;若變化,說明變化規(guī)律.

27.數(shù)學(xué)實驗.如圖1,正方形ABC。的邊長48=10,點E、F分別在邊BC、C。上,Z

EAF=45:在探究△AM面積的最小值時,通過畫圖,度量和計算,收集到一組數(shù)據(jù)

如下表:(單位:厘米)

BE012345678910

DF108.186.665.384.293.33a1.761.110.530

EF109.188.668.388.298.33b8.769.119.5310

(1)求表格中的a,b的值(寫出計算過程);

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn):

(2)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,選取上表中BE和所的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,設(shè)BE=x,EF=y,

以(x,y)為坐標(biāo),在圖2所示的坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點并連線.

(3)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及圖2畫的圖象,發(fā)現(xiàn):y的最小值約為(結(jié)果估計到

0.01),由此估計所面積的最小值約為(結(jié)果估計到01).

猜想并證明:

(4)如果正方形ABCD的邊長48=機(jī)(根為常數(shù),相>0),點£、尸分別在BC、CD

上,ZEAF=45°,猜想△AEP面積的最小值是(如-1)相?.請證明猜想.

模型應(yīng)用:

(5)如圖3是某市迎賓大道的一部分,因自來水搶修需在AB=7米,AD=10米的矩形

ABC。區(qū)域內(nèi)開挖一個△AEF的工作面,其中E、尸分別在BC、C。邊上(不與8、C、

D重合),且/EAP=45°,為減少對該路段的擁堵影響,要求△AEF面積最小,那么

是否存在一個面積最小的△/!£/?若不存在,請直接寫“不存在”;若存在,請直接寫

出△AM面積的最小值.

參考答案

一、選擇題(共8小題,每題3分,共24分).

1.一元二次方程爐=4的解是()

A.x=-2B.x=2C.x=+-^2D.x=±2

解:'."x2=4,.*.x=±2.故選:D.

2.二次函數(shù)y=-(x-1)2+3圖象的對稱軸是()

A.直線x=lB.直線x=-lC.直線x=3D.直線x=-3

解:二次函數(shù)y=-(x-1)2+3圖象的對稱軸是直線x=l,

故選:A.

3.已知OO的半徑為6,點A與圓心。的距離為5,則點A與OO的位置關(guān)系是()

A.點A在。。外B.點A在。。內(nèi)

C.點A不在OO內(nèi)D.點A在。。上

解:':OA<R,

.?.點A在圓內(nèi),

故選:B.

4.某同學(xué)對數(shù)據(jù)31,36,36,47,5B,52進(jìn)行統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)其中一個兩位數(shù)的個位數(shù)字

被墨水涂污看不到了,則計算結(jié)果與被涂污數(shù)字無關(guān)的是()

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.方差D.眾數(shù)

解:這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差和眾數(shù)都與被涂污數(shù)字有關(guān),而這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為36與

47的平均數(shù),與被涂污數(shù)字無關(guān).

故選:B.

5.如圖,在RtZxABC中,ZC=90°,BC=4,AC=3,于。,設(shè)/4CZ)=a,則

cosa的值為()

=22=

解:在直角△ABC中,^VAC+BCV32+42=5-

在RtZXABC中,ZC=9Q°,CD_LAB于D,

:.ZACD-^-ZBCD=90o,ZB+ZBCD=90°,

ZACD=ZB,

ABC4

?.?cosa=cosK==—.

AB5

故選:A.

6.如圖,AB是。0的弦,半徑。于點。,若。。的半徑為10。利,AB=16cmf則

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

解:連接。4則。4=10cm,

VOC±AB,OC過。,AB=16cm,

AODA—90°,AD—BD—Scm,

=22=

在RtZXOZM中,由勾股定理得:ODVOA-ADV102-82=6(刖),

??■OC=10cm,

:.CD=OC-OD=4cm,

故選:C.

7.方程好-5x-6=0的兩根之和為()

A.-6B.5C.-5D.1

解:設(shè)方程的兩根是沏、X2,那么有

K

xi+x2=---=-(-5)=5.

a

故選:B.

8.對于二次函數(shù)>=無2+區(qū)+。(6,c是常數(shù))中自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如下表:

X-101234…

y???1052125.??

下列結(jié)論錯誤的是()

A.函數(shù)圖象開口向上

B.當(dāng)x=5時,>=10

C.當(dāng)x>2時,y隨x的增大而增大

D.方程/+a+。=0有兩個不相等的實數(shù)根

解:A.由表格可得,當(dāng)尤<2時,y隨x的值增大而減?。划?dāng)x>2時,y隨x的值增大

而增大,

該函數(shù)開口向上,故選項A正確,不符合題意;

B.由表格可得,當(dāng)x=l和點無=3時,y=2,故該拋物線的對稱軸是直線x=2.

.?.點(-1,10)的對稱點是(5,10),

.?.點(5,10)在該函數(shù)的圖象上,故選項8正確,不符合題意;

C.由A的分析知,C正確,不符合題意;

D.由表格可得,該拋物線開口向上,且最小值是1,則該拋物線與無軸沒有交點,

方程x2+bx+c=0無實數(shù)根,故選項。錯誤,符合題意.

故選:D.

二、填空題(每題3分,滿分24分)

9.在比例尺為1:500000的地圖上,量得A、B兩地的距離為3e",則A、B兩地的實際距

離為15km.

解::比例尺為1:500000,量得兩地的距離是3厘米,

;.A、B兩地的實際距離3X500000=1500000CTTI=l5km,

故答案為15.

10.二次函數(shù)>=爐-2x+3圖象的頂點坐標(biāo)為(1,2).

解:Vy=x2-2x+3=(x-1)2+2,

拋物線頂點坐標(biāo)為(1,2).

故答案為:(1,2).

11.一個不透明的袋子中裝有9個小球,其中6個紅球、3個綠球,這些小球除顏色外無其

他差別.從袋子中隨機(jī)摸出一個小球,則摸出的小球是綠球的概率是.

一6一

解:因為袋中共有9+6+3=18個球,綠球有3個,

摸出的球是綠球的概率為2=巳

186

故答案為:

0

12.已知高為的標(biāo)桿在水平地面上的影子長15小此時測得附近旗桿的影子長75”.則

旗桿的高為10次

解:設(shè)旗桿的高度為x米,根據(jù)題意得:2=有三

解得:x=10.

故答案為:10.

13.若圓錐的底面半徑為3cm,高是4c則它的側(cè)面展開圖的面積為15元〃層.

解:因為圓錐的底面半徑為3cm,高是4cm,

所以圓錐的母線長=132+42=5(cm),

所以圓錐的側(cè)面展開圖的面積=J?2h?3?5=15n(cm2).

故答案為15ircm2.

14.如圖,二次函數(shù)y=-/+如的圖象與龍軸交于坐標(biāo)原點和(*0),若關(guān)于冗的方程

x2-mx+t=0(/為實數(shù))在1<%<4的范圍內(nèi)有解,則/的取值范圍是0VW4.

解:?.?拋物線的對稱軸為直線b=2,解得m=4,

.?.拋物線解析式為y=-x2+4x,

拋物線的頂點坐標(biāo)為(2,4),

當(dāng)x=l時,y=-^+4x=-1+4=3;

當(dāng)x=4時,y=-x2+4x=-16+16=0,

當(dāng)x=2時,y=4,

在l<x<4時有公共點時

當(dāng)直線>=/與拋物線>=-/+4苫在1cx<4時有公共點時,0cW4,

故答案為0</W4.

15.如圖,。。上有兩定點A、3,點尸是。。上一動點(不與A、3兩點重合),若/。42

=35°,則NAPB的度數(shù)是55°或125°.

?:OA=OB,

:.ZOAB=ZOBA=35°,

:.ZAOB=HO°,

ZP=yZAOB=55B,

當(dāng)點尸在劣弧AB上時,ZAP'8=180°-ZAPB=125°,

故答案為:55°或125°.

16.如圖,在△ABC中,ZACB=90°,點。在邊AC上,AD=4CD,若NBAC=2/CBD,

711

則tanA=

5

B

LDc

VZACB=90°,

:.BC_LAC,

?:CE=CD,

???BC是OE的垂直平分線,

:.BD=BE,

:.ZE=ZBDE,

設(shè)NC80=a,則N8AC=2a,

;?NE=NBDE=90°-a,

ZABE=180°-ZE-BAC=180°-(90°-a)-2a=90°-a,

ZE=/ABE,

C.AB—AE,

設(shè)CD=x,則AD=4x,

.\AE=AB=6x,AC=5xf

在RtAABC中,SC=7AB2-AC2=V(6X)2-(5X)

..=里巫=叵

AC5x5

故答案為:但.

5

三、解答題(本大題共11小題,共102分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.計算:tan60°-2cos30°+sin45°.

解:原式=?-2X芋+苧

=返

2,

18.解方程:x2-2x-3=0.

解:原方程可以變形為(x-3)(x+1)=0

x-3=0,x+l=0

;.X1=3,X2=-1.

19.對垃圾進(jìn)行分類投放,能提高垃圾處理和再利用的效率,減少污染,保護(hù)環(huán)境.為了檢

查垃圾分類的落實情況,某居委會成立了甲、乙兩個檢查組,采取隨機(jī)抽查的方式分別

對轄區(qū)內(nèi)的A,B,C,D四個小區(qū)進(jìn)行檢查,并且每個小區(qū)不重復(fù)檢查.

(1)甲組抽到A小區(qū)的概率是4:

(2)請用列表或畫樹狀圖的方法求甲組抽到A小區(qū),同時乙組抽到C小區(qū)的概率.

解:(1):共有A,B,C,D,4個小區(qū),

.?.甲組抽到A小區(qū)的概率是二,

故答案為:

4

(2)根據(jù)題意畫樹狀圖如下:

開始

???共有12種等可能的結(jié)果數(shù),其中甲組抽到A小區(qū),同時乙組抽到C小區(qū)的結(jié)果數(shù)為1,

.?.甲組抽到A小區(qū),同時乙組抽到C小區(qū)的概率為今.

20.為了扎實推進(jìn)精準(zhǔn)扶貧工作,某地出臺了民生兜底、醫(yī)保脫貧、教育救助、產(chǎn)業(yè)扶持、

養(yǎng)老托管和易地搬遷這六種幫扶措施,每戶貧困戶都享受了2到5種幫扶措施,現(xiàn)把享

受了2種、3種、4種和5種幫扶措施的貧困戶分別稱為A、B、C、。類貧困戶,為檢查

幫扶措施是否落實,隨機(jī)抽取了若干貧困戶進(jìn)行調(diào)查,現(xiàn)將收集的數(shù)據(jù)繪制成下面兩幅

不完整的統(tǒng)計圖:

戶數(shù)

請根據(jù)圖中信息回答下面的問題:

(1)本次抽樣調(diào)查了500戶貧困戶.

(2)本次共抽查了120戶C類貧困戶,請補全條形統(tǒng)計圖.

(3)若該地共有13000戶貧困戶,請估計至少得到4項幫扶措施的大約有多少戶?

解:(1)本次抽樣調(diào)查了260?52%=500(戶)貧困戶,

故答案為:500;

(2)C類貧困戶有:500X24%=120(戶),

故答案為:120,

補全的條形統(tǒng)計圖如右圖所示;

(3)13000X(24%+16%)

=13000X40%

=5200(戶),

答:至少得到4項幫扶措施的大約有5200戶.

圖1

21.如圖,已知△ABC.

(1)用無刻度的直尺、圓規(guī)作△ABC的外接圓(只需作出圖形,并保留作圖痕跡).

(2)若/BAC=110。,在AABC的外接圓中,僅用無刻度的直尺能畫出的不同度數(shù)的

圓周角有110°和70°或90°(寫度數(shù)).

B

(2)ZBAC=110°,ZBDC=10°.NBCE=90°.

故答案為:110°和70?;?0。.

22.某商店經(jīng)銷一種成本為每千克20元的水產(chǎn)品,據(jù)市場分析,若按每千克30元銷售,一

個月能售出500依,銷售單價每漲1元,月銷售量就減少10依,解答以下問題.

(1)當(dāng)銷售單價定為每千克35元時,銷售量是450千克、月銷售利潤是6750元;

(2)商店想在月銷售成本不超過6000元的情況下,使得月銷售利潤達(dá)到8000元,銷售

單價應(yīng)為多少?

解:(1)500-10X(35-30)=450(千克),

(35-20)X450=6750(元).

故答案為:450;6750.

(2)設(shè)銷售單價應(yīng)為x元/千克,則每千克的利潤為(x-20)元,月銷售量為500-10

(x-30)=(800-10無)千克,

依題意得:(x-20)(800-10%)=8000,

整理得:x2-100x+2400=0,

解得:xi=40,%2=60.

當(dāng)尤=40時,20(800-10.r)=8000>6000,不合題意,舍去;

當(dāng)x=60時,20(800-10A)=4000<6000,符合題意.

答:銷售單價應(yīng)為60元/千克.

23.如圖,在正方形ABO中,E為邊AO上的點,點尸在邊C。上,NBEF=90。且CF

=3FD.

(1)求證:LABEsADEF;

(2)若AB=4,延長所交BC的延長線于點G,求CG的長.

【解答】(1)證明:???四邊形ABCD為正方形,

ZA=ZD=90o,

VZBEF=90°,

ZABE+ZAEB=ZAEB+ZDEF=90°,

:./ABE=/DEF,

:.AABEsADEF;

(2)?.?四邊形ABC。為正方形,

:.AB=AD=CD=4,AD//BG,

":CF=3FD,

.".DF=1,

設(shè)DE=x,

,DFJE

??應(yīng)而

即;q,

4-x4

解得:x=2,

:.DE=2,

\'AD//BG,

:.ZDEF=ZG,

??,ZDFE=ZCFG

:?叢CGFs叢DEF,

,DE_J)F

?,福F,

?:CF=3FD,

._2__

**CG-3

:.CG=6.

24.如圖是某貨站傳送貨物的平面示意圖,為了提高傳送過程的安全性,工人師傅欲減小傳

送帶與地面的夾角,使其由45。改為30°.已知原傳送帶A3長為%歷九

(1)求新傳送帶AC的長度;

(2)如果需要在貨物著地點C的左側(cè)留出5m的通道,試判斷距離B點46n的貨物

MNQ尸是否需要挪走,并說明理由.

解:(1)在RtAABZ)中,ZABD=45

V2

???AD=YAAB=4(m),

2

在RtZXACD中,ZAC£)=30°,

,'.AC—2AD—8(m),

答:新傳送帶AC的長度為8g

(2)在RtzXACD中,ZAC£>=30°,

,C£)=AS?cosNAC£>=4^/§(m),

在Rt/VIBO中,ZABD=45°,

.\BD—AD—4(m),

:.BC=CD-BD=(4/3-4)m,

:.PC=BP-BC=4y/3-(4?-4)=4(m),

V4<5,

貨物MNQP需要挪走.

25.一次函數(shù)y=3x+6的圖象與x軸相交于點A,與y軸相交于點3,二次函數(shù)》=0%2+_丫+匕

圖象經(jīng)過點A、B,與x軸相交于另一點C.

(1)求a、b的值;

(2)在直角坐標(biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象;

(3)求/A3C的度數(shù).

解:(1)當(dāng)x=0,y=3x+6=6,則8(0,6);

當(dāng)y=0時,3x+6=0,解得x=-2,則A(-2,0),

a=-l

把3(0,6),A(-2,0)代入y=ox2+x+。得.片2M解得

b=6

(2)拋物線解析式為>=-^+6,

19R

?.?y=-,+x+6=-(x--)2+——

24

???拋物線的頂點坐標(biāo)為(告,尊);

24

當(dāng)y=0時,-》2+工+6=0,解得制=-2,X2=3,

???拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為A(-2,0),C(3,0),

如圖,

%

8-

(3)作AH_LBC于",如圖,BC=^3^+6^=3-/5>AB=^22+^=2V10;

-:—OB-AC=--AH-BC,

22

6X5r~

,,AH=F^=2后,

在RfWnWS*孺考,

AZABH=45°,

即NABC=45°.

26.如圖,在直角坐標(biāo)系中,。知的圓心M在y軸上,與無軸交于點A、B,與y軸交

于點C、D,過點A作OM的切線AP交y軸于點P,若點C的坐標(biāo)為(0,2),點A的

坐標(biāo)為(-4,0).(1)求證:ZPAC=ZCAO;

(2)求點P的坐標(biāo);

(3)若點。為上任意一點,連接。。、尸。,問段的比值是否發(fā)生變化?若不變,

求出此值;若變化,說明變化規(guī)律.

ZMAC=ZMCA,

???A尸是。M的切線,

AZPAM=90°,

AZPAC+ZMAC=90°,

VZMCA+ZCAO=90°,

???ZPAC=ZCAO;

(2)解:如上圖,

VZAMO=ZPMA,ZAOM=ZPAM=90°,

???AAOM^APAM,

...MA=MO

…而一記'

:.MA2=MO^MP,

設(shè)AM=R,

■:A(-4,0),C(0,2),

OA=4,OC=2,

在RtZ\AOM中,

VOA=4,OM=R-2,

222

由AM=0^+042得,R2=(R-2)+4,

解得R=5,

即AM=5,

OM=5-2=3,

???25=3MP,

25

:.MP

~3

:.OP=MP-OM=—-3=—

33

二點尸的坐標(biāo)為(0,;

o

(3)解:不變,理由如下:

?NQ=MO

"MP-MQ

ZQMO=ZPMQ=90°,

:.AMOQs^MQP,

.0QM02

‘屈一=而一=可

.嗡不變,等培

27.數(shù)學(xué)實驗.如圖1,正方形ABCD的邊長43=10,點£、尸分別在邊3C、CD±,Z

EAF=45。,在探究△AEP面積的最小值時,通過畫圖,度量和計算,收集到一組數(shù)據(jù)

如下表:(單位:厘米)

BE012345678910

DF108.186.665.384.293.33a1.761.110.530

EF109.188.668.388.298.33b8.769.119.5310

(1)求表格中的。,6的值(寫出計算過程);

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn):

(2)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,選取上表中BE和所的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,設(shè)BE=x,EF=y,

以(x,y)為坐標(biāo),在圖2所示的坐標(biāo)系中描出對應(yīng)的點并連線.

(3)結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及圖2畫的圖象,發(fā)現(xiàn):y的最小值約為8.29(結(jié)果估計到

0.01),由此估計所面積的最小值約為41.4(結(jié)果估計到0.1).

猜想并證明:

(4)如果正方形ABCD的邊長AB=m(m為常數(shù),相>0),點、E、F分別在BC、CD

上,ZEAF=45°,猜想△AEP面積的最小值是(如-1)源.請證明猜想.

模型應(yīng)用:

(5)如圖3是某市迎賓大道的一部分,因自來水搶修需在48=7米,40=10米的矩形

A3CZ)區(qū)域內(nèi)開挖一個△從£P(guān)的工作面,其中E、P分別在BC、CD邊上(不與3、C、

D重合),且NEAF=45°,為減少對該路段的擁堵影響,要求△AEF面積最小,那么

是否存在一個面積最小的△/1£/?若不存在,請直接寫“不存在”;若存在,請直接寫

出△AEF面積的最小值.

解:(1)VCE—BC-6=4,DF=a,CE=10-a,

由表格知:EF=BE+DF=6+6〃,

由勾股定理得:4

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