【數(shù)學(xué)】條件概率與全概率公式學(xué)案-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

高二數(shù)學(xué)大單元整體學(xué)習(xí)學(xué)程《7.1條件概率與全概率公式》7.1.1條件概率【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.結(jié)合古典概型，了解條件概率與概率的乘法公式。；2.能說出條件概率與獨立性的關(guān)系；3.能計算簡單隨機事件的條件概率.【預(yù)習(xí)案】一、知識回顧1.概率是隨機事件發(fā)生可能性大小的度量.2.古典概型：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，簡稱古典概型3.一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率，其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù).4.事件A與B同時發(fā)生的事件叫做事件A與事件B的積事件，記為A∩B（或AB）；事件A與B至少有一個發(fā)生的事件叫做A與B的和事件,記為；5.若A發(fā)生不影響事件B的發(fā)生，則稱事件A與事件B相互獨立；任意兩個事件A與B，如果有P(AB)=P(A)P(B成立)，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱獨立6.若事件A與事件B相互獨立時，有P(AB)=P(A)P(B).7.若事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說,則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）概率的基本性質(zhì)：對任意事件A，都有;必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即；如果事件A與事件B互斥，那么如果事件A與事件B互為對立事件，那么;如果，那么.設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有思考：如果事件A與B不相互獨立，如何求P(AB)呢？下面我們從具體問題入手.1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次．(1)兩次都是正面向上的概率是多少？(2)在已知有一次出現(xiàn)正面向上的條件下，兩次都是正面向上的概率是多少？(3)在第一次出現(xiàn)正面向上的條件下，第二次出現(xiàn)正面向上的概率是多少？假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個小孩的家庭，隨機選擇一個家庭，那么該家庭中兩個小孩都是女孩的概率是多大？如果已經(jīng)知道這個家庭有女孩，那么兩個小孩都是女孩的概率有是多大？【概念生成】條件概率：一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱．[微提醒]A與B相互獨立時，可得P(AB)＝P(A)P(B)，則P(B|A)＝P(B)．【探究案】【學(xué)習(xí)活動一】條件概率的理解【例1】現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求：(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．【變式探究1】(變設(shè)問)本例條件不變，試求在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到語言類節(jié)目的概率．【方法技巧】計算條件概率有兩種方法，分別是定義法和縮小樣本空間法．1．利用定義計算條件概率的步驟(1)分別計算概率P(AB)和P(A)；(2)將它們相除得到條件概率P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))，這個公式適用于一般情形，其中AB表示A，B同時發(fā)生．2．利用縮小樣本空間法求條件概率的步驟(1)縮：將原來樣本空間Ω縮小為事件A，原來的事件B縮小為事件AB；(2)數(shù)：數(shù)出A中事件AB所包含的樣本點；(3)算：利用P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A))求得結(jié)果．【跟蹤訓(xùn)練1】從混有5張假鈔的20張百元鈔票中任意抽取兩張，將其中一張放到驗鈔機上檢驗發(fā)現(xiàn)是假鈔，求兩張都是假鈔的概率．【學(xué)習(xí)活動二】概率的乘法公式三張獎券中只有一張能中獎，現(xiàn)分別由甲、乙兩名同學(xué)有放回地抽取，事件A為“甲沒有抽到中獎獎券”，事件B為“乙抽到中獎獎券”，事件A的發(fā)生會不會影響事件B發(fā)生的概率？P(B|A)與P(B)有什么關(guān)系？【概念生成】概率的乘法公式：對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝【微提醒】(1)P(AB)表示A，B都發(fā)生的概率，P(B|A)表示A先發(fā)生，然后B發(fā)生；(2)在P(B|A)中，事件A成為樣本空間，而在P(AB)中，樣本空間為所有事件的總和；(3)當(dāng)P(B|A)＝P(B)時，事件A與事件B是相互獨立事件．【例2.1】氣象資料表明，某地區(qū)每年七月份刮臺風(fēng)的概率為eq\f(3,5)，在刮臺風(fēng)的條件下，下大雨的概率為eq\f(9,10)，則該地區(qū)七月份既刮臺風(fēng)又下大雨的概率為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(27,50)C．eq\f(9,10)D．eq\f(3,10)【例2.2】在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回.求：（1）第1次抽到代數(shù)題目第2次抽到幾何題的概率；（2）在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.【例2.3】已知3張獎券中只有1張有獎，甲、乙、丙3名同學(xué)依次無放回地各抽一張.他們中獎的概率與抽獎的次序有關(guān)嗎？分析：要知道中獎概率是否與抽獎次序有關(guān)，只要考察甲、乙、丙3名同學(xué)的中獎概率是否相等.因為只有1張有獎，所以“乙中獎”等價于“甲沒中獎且乙中獎”，“丙中獎”等價于“甲和乙都沒中獎：利用乘法公式可求出乙、丙中獎的概率.【方法技巧】利用乘法公式的一般步驟1．首先判斷應(yīng)用題是否可以應(yīng)用乘法公式求解，即對任意兩個事件A與B，是否有P(A)>0；2．根據(jù)已知條件表示出各事件的概率；3．代入乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)求出所求的概率．【跟蹤訓(xùn)練2.1】一個口袋中裝有30個除顏色外完全相同的球，其中有10個白球．若甲、乙兩人不放回地各抽取一次，且甲抽完后乙再抽，則甲未抽中白球而乙抽中白球的概率為()eq\f(10,29)B．eq\f(20,87)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)【跟蹤訓(xùn)練2.2】銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機上取錢時，忘記了密碼的最后1位數(shù)字，求：（1）任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；（2）如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率.【學(xué)習(xí)活動三】條件概率的性質(zhì)在必修第二冊中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了概率的基本性質(zhì)，基本性質(zhì)包括什么？提示：性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：性質(zhì)4：性質(zhì)5：性質(zhì)6：條件概率的性質(zhì)：設(shè)P(A)>0，則(1)P(Ω|A)＝．(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝(3)設(shè)eq\o(B,\s\up10(－))和B互為對立事件，則P(eq\o(B,\s\up10(－))|A)＝【微提醒】(1)A與B互斥，即A，B不同時發(fā)生，則P(AB)＝0，故P(B|A)＝0；(2)互斥事件的條件概率公式可以將復(fù)雜事件分解為簡單事件的概率和．【例3】在某次考試中，要從20道題中隨機地抽出6道題，考生能答對其中的4道題即可通過，能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀．已知某考生能答對其中的10道題，并且知道他在這次考試中已經(jīng)通過，則他獲得優(yōu)秀成績的概率為【方法技巧】應(yīng)用條件概率的性質(zhì)解題的方法在應(yīng)用條件概率公式求概率時，如果事件包含的情況較復(fù)雜，可將其分解為幾個互斥事件的和，然后根據(jù)條件概率的性質(zhì)求解，即若B與C互斥，那么P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，此公式可推廣到多個事件互斥的情況．【跟蹤訓(xùn)練3】在10000張有獎儲蓄的獎券中，設(shè)有1個一等獎，5個二等獎，10個三等獎，從中依次買兩張，求在第一張中一等獎的條件下，第二張中二等獎或三等獎的概率．【訓(xùn)練案】1．設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0，若P(AB)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,3)，則P(B|A)等于()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,9)D．eq\f(4,9)2．拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)．若已知出現(xiàn)的點數(shù)不超過4，則出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)的概率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,2)3．已知一種元件的使用壽命超過1年的概率為0.8，超過2年的概率為0.6，若一個這種元件使用到1年時還未失效，則這個元件使用壽命超過2年的概率為()A．0.75B．0.6C．0.52D．0.484．若B，C是互斥事件且P(B|A)＝eq\f(1,3)，P(C|A)＝eq\f(1,4)，則P(B∪C|A)等于()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,10)D．eq\f(7,12)5．有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍(lán)色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機任取兩瓶，若取得的兩瓶中有一瓶是藍(lán)色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為．6.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.457．在某班學(xué)生考試成績中，數(shù)學(xué)不及格的占15%，語文不及格的占5%，兩門都不及格的占3%．已知一名學(xué)生數(shù)學(xué)不及格，則他語文也不及格的概率是()A．0.2B．0.33C．0.5D．0.68．(多選)設(shè)P(A|B)＝P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(1,3)，則()A．P(AB)＝eq\f(1,6)B．P(AB)＝eq\f(5,6)C．P(B)＝eq\f(1,3)D．P(B)＝eq\f(1,12)9．(多選)拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，設(shè)事件A為“藍(lán)色骰子的點數(shù)為3或6”，事件B為“兩顆骰子的點數(shù)之和大于8”，則有()A．P(A)＝eq\f(1,3)B．P(B)＝eq\f(5,18)C．P(AB)＝eq\f(5,18)D．當(dāng)已知藍(lán)色骰子的點數(shù)為3或6時，兩顆骰子的點數(shù)之和大于8的概率為eq\f(1,2)10．有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取1粒，則這粒種子能長成幼苗的概率為．11．某氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率為eq\f(4,15)，刮四級以上風(fēng)的概率為eq\f(2,15)，既刮四級以上的風(fēng)又下雨的概率為eq\f(1,10).設(shè)A為下雨，B為刮四級以上的風(fēng)，則P(B|A)＝，P(A|B)＝．11.(多選)已知P(B)>0，A1A2＝?，則下列式子一定成立的是()A．P(A1|B)≥0B.P(A1∪A2|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)C．P((A1A2)|B)≠0D.P((eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2)|B)＝112.一袋中共有10個大小相同的黑球和白球，若從袋中任意摸出2個球，至少有1個白球的概率為eq\f(13,15)，現(xiàn)從中不放回地取球，每次取1球，取2次，在已知第2次取得白球的條件下，第1次取得黑球的概率為()A．eq\f(4,9)B．eq\f(5,9)C．eq\f(7,9)D．eq\f(13,18)13.從1～100共100個正整數(shù)中任取一數(shù)，已知取出的一個數(shù)不大于50，則此數(shù)是2或3的倍數(shù)的概率為．(多選)為吸引顧客，某商場舉辦購物抽獎活動，抽獎規(guī)則是：從裝有2個白球和3個紅球(小球除顏色外，完全相同)的抽獎箱中，每次摸出一個球，不放回地依次摸取兩次，記為一次抽獎．若摸出的2個球顏色相同則為中獎，否則為不中獎．下列隨機事件的概率正確的是()A．某顧客抽獎一次中獎的概率是eq\f(2,5)B．某顧客抽獎三次，至少有一次中獎的概率是eq\f(98,125)C．在一次抽獎過程中，若已知顧客第一次抽出了紅球，則該顧客中獎的概率是eq\f(3,10)D．在一次抽獎過程中，若已知顧客第一次抽出了紅球，則該顧客中獎的概率是eq\f(1,2)7.1.2全概率公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能利用概率的加法公式和乘法公式推導(dǎo)全概率公式．2.能利用全概率公式計算概率．*3.了解貝葉斯公式，并會簡單應(yīng)用．【預(yù)習(xí)案】從有a個紅球和b個藍(lán)球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回．顯然，第1次摸到紅球的概率為eq\f(a,a＋b).那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計算這個概率呢？【概念生成】一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝我們稱上面的公式為全概率公式.全概率公式是概率論中最基本的公式之一.【微提醒】使用全概率公式計算目標(biāo)事件B的概率，必須是找到樣本空間Ω的一個完備事件組A1，A2，…，An，而這一完備事件組恰恰可以理解為是事件B產(chǎn)生的幾個原因.全概率公式相當(dāng)于將產(chǎn)生B的全部原因一一進(jìn)行考察，將每一個可能性都考慮進(jìn)來，這就是“全”的含義所在.,直觀解釋為：B發(fā)生的概率與P(BAi)(i＝1，2，…，n)有關(guān)，且B發(fā)生的概率等于所有這些概率的和，即P(B)＝P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai)【學(xué)習(xí)活動一】全概率公式【例1.1】某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.【例1.2】有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.任取一個零件，計算它是次品的概率．【變式探究】(變條件、變設(shè)問)兩臺機床加工同樣的零件，第一臺的廢品率為0.04，第二臺的廢品率為0.07，加工出來的零件混放，并設(shè)第一臺加工的零件是第二臺加工零件的2倍．現(xiàn)任取一零件，求合格品的概率．【方法技巧】全概率公式針對的是某一個過程中已知條件求出最后結(jié)果的概率，解題步驟如下：(1)找出條件事件里的某一個完備事件組，分別命名為Ai；(2)命名目標(biāo)的概率事件為事件B；(3)代入全概率公式求解．【跟蹤訓(xùn)練1】假設(shè)某市場供應(yīng)的智能手機中，市場占有率和優(yōu)質(zhì)率的信息如下表所示：品牌甲乙其他市場占有率50%30%20%優(yōu)質(zhì)率95%90%70%在該市場中任意買一部智能手機，求買到的是優(yōu)質(zhì)品的概率．【學(xué)習(xí)活動二】*貝葉斯公式貝葉斯公式和全概率公式有什么聯(lián)系？【概念生成】設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝【微提醒】P(Ai)是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)的，通常稱為先驗概率；獲取了新信息后算出的概率P(Ai|B)，通常稱為后驗概率．貝葉斯公式指的是，通過先驗概率以及其他信息，可以算出后驗概率．實際上，貝葉斯公式可以看成要根據(jù)事件發(fā)生的結(jié)果找原因，看看這一結(jié)果由各種可能原因?qū)е碌母怕适嵌嗌伲纠?】某人到武漢參加會議，他乘火車、輪船、汽車或飛機去的概率分別為0.2，0.1，0.3，0.4.如果他乘火車、輪船、汽車前去，遲到的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,12)和eq\f(1,4)，乘飛機不會遲到．結(jié)果他遲到了，則他乘汽車去的概率是多少？應(yīng)用貝葉斯公式求概率的步驟1．根據(jù)題目的提問，事件B是由多個原因引起，這多個原因為A1，A2，…，An，且A1，A2，…，An是樣本空間Ω的一個劃分．2．利用全概率公式求出P(B)．3．代入貝葉斯公式求得概率．【跟蹤訓(xùn)練2】倉庫中有不同工廠生產(chǎn)的燈管，其中甲廠生產(chǎn)的為1000支，次品率為2%；乙廠生產(chǎn)的為2000支，次品率為3%；丙廠生產(chǎn)的為3000支，次品率為4%．如果從中隨機抽取一支，發(fā)現(xiàn)為次品，問該次品是甲廠產(chǎn)品的概率為多少？【訓(xùn)練案】1．袋中有50個乒乓球，其中20個是黃球，30個是白球．今有兩人依次隨機地從袋中各取一球，取后不放回，則第二人取得黃球的概率為()A．eq\f(3,5)B．eq\f(19,49)C．eq\f(20,49)D．eq\f(2,5)2.已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，現(xiàn)隨機選一人，則此人恰是色盲的概率是()A．0.01245B．0.05786C．0.02625D．0.028653.已知P(BA)＝0.4，P(Beq\o(A,\s\up6(－)))＝0.2，則P(B)的值為()A．0.08B．0.8C．0.6D．0.54.人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化，往往會去分析影響股票價格的基本因素，比如利率的變化．現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析