第八章 模型2圓錐曲線中的斜率模型 （含解析）2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺考點(diǎn)歸納

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)模型2圓錐曲線中的斜率模型【問題背景】近年來新高考中有一種常見的熱點(diǎn)問題，在圓錐曲線綜合題中有一類涉及斜率和、斜率積的試題，常常與定點(diǎn)、定值、最值問題交匯在一起，各種條件錯(cuò)綜復(fù)雜，難以入手．如果沒有成型的解題模型，解題時(shí)就會(huì)茫然失措，毫無章法．其實(shí)，這類題型有其解題模型，解題過程也是有章可循的．【解決方法】【典例1】（2024海南?？诩蝿赘呒?jí)中學(xué)8月模擬）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為軸上存在一點(diǎn)（點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)），過的直線與橢圓交于點(diǎn)和點(diǎn)（異于橢圓左、右頂點(diǎn)），且與互為補(bǔ)角，求面積的最大值．【套用模型】第一步：做好解題準(zhǔn)備工作．由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，則，由消去并整理得關(guān)于的方程，由，可得①，【?黑板】點(diǎn)在橢圓外，所以要保證直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，必須滿足設(shè)，則．第二步：由斜率列出表達(dá)式．與互為補(bǔ)角，，則，【建立敏感度】解析幾何涉及角的關(guān)系，要立刻聯(lián)想到直線的傾斜角，進(jìn)而聯(lián)系到斜率，得到斜率之間的關(guān)系，如斜率相等、斜率和為0等第三步：得到相關(guān)參數(shù)關(guān)系．解得直線的方程為，且由①可得，即．第四步：求解題干問題．點(diǎn)到直線的距離，．令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，面積的最大值為．【典例2】（試題調(diào)研原創(chuàng)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓．直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，且，求的取值范圍．【套用模型】第一步：做好解題準(zhǔn)備工作．設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，由消去得關(guān)于的方程，，則．第二步：由斜率列出表達(dá)式．因?yàn)?，所以，則，第三步：得到相關(guān)參數(shù)關(guān)系．整理得，則且恒成立．第四步：求解題干問題．，又且，故．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，【易遺漏】涉及直線斜率的問題，直線斜率可能不存在，不要遺漏，所得結(jié)果取并集則，又，得，則．綜上，的取值范圍為．【典例3】（2024四川宜賓第四中學(xué)8月開學(xué)考試）如圖1，已知拋物線的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)是在第一象限內(nèi)且在上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與軸垂直時(shí)，，過點(diǎn)作與相切的直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交拋物線于兩點(diǎn)．圖1（1）求的方程．（2）延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)．設(shè)直線（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，證明：為定值．（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，，則由拋物線的定義可得，解得，所以的方程為．（2）【套用模型】第一步：做好解題準(zhǔn)備工作．設(shè)，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，所以，直線的斜率為．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去并化簡(jiǎn)，得，易得，設(shè)，則，所以．【抓條件】直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)，這是一個(gè)直白的、但容易燈下黑的條件，這里根據(jù)“”可以直接求出把點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入，得，所以．第二步：列出斜率表達(dá)式．因?yàn)橹本€與切線垂直，所以，而，所以．又為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以．第三步：求解題干問題．所以．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，所以．綜上，為定值2．（2024·重慶·二模）1．已知拋物線，過點(diǎn)作兩條斜率為，的直線與拋物線的準(zhǔn)線分別相交于點(diǎn)，．分別過，作的垂線交拋物線于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值是（

）A．1 B． C． D．（23-24高三下·黑龍江鶴崗·開學(xué)考試）2．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且離心率為．三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)它的三條邊AB、BC、AC的中點(diǎn)分別為D、E、M、且三條邊所在直線的斜率分別為、、，且、、均不為0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若直線OD、OE、OM的斜率之和為1，則（

）A．－1 B．C． D．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）3．已知橢圓的右焦點(diǎn)為外的一點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且，若直線的斜率之積為，則．（2024·貴州黔東南·一模）4．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)，過，分別作的垂線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，的斜率分別為，，則的最小值為．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）5．已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)在直線上，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)的任一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線與直線交于點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，則的值為．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)，，M是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之間，且．(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡；(2)設(shè)過的直線交曲線于C，D兩點(diǎn)，Q為平面上一動(dòng)點(diǎn)，直線QC，QD，QP的斜率分別為，，，且滿足．問：動(dòng)點(diǎn)Q是否在某一定直線上？若在，求出該定直線的方程；若不在，請(qǐng)說明理由．（23-24高三下·湖南·階段練習(xí)）7．如圖，已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線的方程為.（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓經(jīng)過定點(diǎn)的任意一條弦(不經(jīng)過點(diǎn))，設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，記直線，，的斜率依次為，，，問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（23-24高三上·湖北武漢·開學(xué)考試）8．已知橢圓，過點(diǎn)且與軸平行的直線與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸平行的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為軸上的一點(diǎn)，設(shè)直線和的斜率分別為和，若為定值，求點(diǎn)的坐標(biāo).（23-24高三上·湖北·期中）9．已知橢圓：的離心率為，橢圓的短軸長(zhǎng)等于4．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，，過且斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線，分別交：于異于點(diǎn)的點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率為，直線，的斜率分別為．①求證：為定值；②求證：直線過定點(diǎn).（23-24高三上·內(nèi)蒙古包頭·開學(xué)考試）10．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為，記點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程，并說明是什么曲線；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)并延長(zhǎng)交曲線于點(diǎn).（?。┳C明：直線與的斜率之積為定值；（ⅱ）求面積的最大值.（23-24高三上·湖北武漢·開學(xué)考試）11．已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)四等分點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)A且斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)，直線，分別交：于異于點(diǎn)的點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率為，求實(shí)數(shù)，使得，恒成立.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）12．已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)設(shè)，延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為，求證：為定值．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．C【分析】設(shè)，，直線，與拋物線聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，由求得a的值.則直線過定點(diǎn)，則到直線的最大距離即MN.【詳解】解：設(shè)，，直線，由，得．則．，∴，得．∴直線過定點(diǎn)，則到直線的距離．當(dāng)，即，或，時(shí)取等號(hào)．故選：C．2．C【分析】根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)為，且離心率為，求出橢圓方程，由三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，利用點(diǎn)差法求解.【詳解】因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，且離心率為，所以，，解得，所以橢圓方程為，設(shè)，則，兩式相減得：，即，即，同理，，，又直線??的斜率之和為1，所以，，故C正確.故選：C.3．【分析】取線段的中點(diǎn)為，利用邊長(zhǎng)比值關(guān)系可得，進(jìn)而借助點(diǎn)差法求解的值.【詳解】解：如圖，取線段的中點(diǎn)為，連接，

則由題意可得，，又，所以．因?yàn)橹本€的斜率之積為，所以．設(shè)，則，兩式相減可得，整理得，即，所以，所以．故答案為：．4．2【分析】將直線與拋物線方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理表示出，利用換元法以及基本不等式即可求解.【詳解】由已知可設(shè)，代入得：．設(shè)，則，由，得．，，由題意得：，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即取到最小值為．故答案為：25．【分析】根據(jù)題意求出，進(jìn)而寫出橢圓方程，設(shè)點(diǎn)的切線方程為，與橢圓聯(lián)立，由得到，然后依次表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式表示出，進(jìn)而化簡(jiǎn)整理即可求出結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)闄E圓的兩個(gè)頂點(diǎn)在直線上，所以，所以橢圓方程為，所以,設(shè)點(diǎn)的切線方程為，，聯(lián)立，消去得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，所以，所以，所以點(diǎn)，又，所以，所以，設(shè)點(diǎn)，又在切線上，所以，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，注意不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.6．(1)(2)在定直線y＝8（x≠0）上．【詳解】（1）設(shè)，則，由題意知－4＜x＜4．∵，∴，即，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為．（2）存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．理由如下：當(dāng)直線CD的斜率存在時(shí)，設(shè)直線CD的方程為y＝kx＋1．設(shè)，，，則，，，由此知．將y＝kx＋1代入，得，于是，．①條件即，也即．將，代入得．顯然不在直線y＝kx＋1上，∴，從而得，即．將，代入得．將式①代入得，解得．當(dāng)直線CD的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．因此存在滿足題意的Q，在定直線y＝8（x≠0）上．【反思】由于關(guān)于橢圓的極線是直線y＝8，若恒成立，由命題5知點(diǎn)Q在極線y＝8上，因此存在滿足題意的Q，其軌跡為y＝8（x≠0）．本題實(shí)質(zhì)是命題5的逆向應(yīng)用．7．（1）；（2）存在，.【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上以及離心率列出關(guān)于的方程組，結(jié)合求解出的值，則橢圓方程可求；（2）先假設(shè)存在，然后設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，得到對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的韋達(dá)定理，根據(jù)結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，同時(shí)計(jì)算出坐標(biāo)，表示出，由此可判斷出與的倍數(shù)關(guān)系，則可求.【詳解】（1）由題意可知：，所以，所以橢圓；（2）假設(shè)存在滿足題意，顯然直線的斜率存在，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以存在滿足題意.8．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到橢圓的下頂點(diǎn)為和橢圓過點(diǎn)求解；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與聯(lián)立，由，結(jié)合韋達(dá)定理求解；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)驗(yàn)證即可.【詳解】（1）解：由題意，橢圓的下頂點(diǎn)為，故.由對(duì)稱性，橢圓過點(diǎn)，代入橢圓方程有，解得：.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與聯(lián)立得：.設(shè)，則.，，，為定值，即與無關(guān)，則，此時(shí).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)也滿足，故點(diǎn)坐標(biāo)為.9．(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得到方程組，解之即可求出結(jié)果；（2）①設(shè)出直線MN的方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到，化簡(jiǎn)整理即可求出結(jié)果；②設(shè)PQ的方程，與聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，進(jìn)而可以求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）①設(shè)MN的方程為，與聯(lián)立得：，設(shè)，，則，②設(shè)PQ的方程為，與聯(lián)立，設(shè)，則由，即此時(shí)，的方程為，故直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．10．(1)，為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)；(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）.【分析】（1）直接利用斜率公式即可求解；（2）（i）設(shè)直線的方程為聯(lián)立橢圓方程可得點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)坐標(biāo)之間的聯(lián)系可得直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立運(yùn)用韋達(dá)定理求出的坐標(biāo)，再利用斜率公式求出，進(jìn)而即得；（ii）由題可得，再利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，所以，所以，化解得?/p>

所以為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)；（2）（?。┰O(shè)直線的斜率為，則其方程為，由，得，記，則，，，

于是直線的斜率為，方程為，由，得①，設(shè)，則和是方程①的解，故，由此得，從而直線的斜率，所以，即直線與的斜率之積為定值；（ⅱ）由（ⅰ）可知，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.11．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，求得b，再根據(jù)離心率和，即可求得a，從而得出答案；（2）設(shè)，直線MN的方程為，則直線BM的方程為，與聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求得點(diǎn)，的坐標(biāo)，從而得出直線的斜率，整理可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，所以，又，且，則，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，直線MN的方程為，則直線BM的方程為，與聯(lián)立，得：，由，且點(diǎn)在上，得，又，即，代入上式得，，即點(diǎn)，同理，則，將代入上式，得，所以時(shí)，，恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓、圓的位置關(guān)系，考查了計(jì)算能力和邏輯推理能力，難度較大.12．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程，解