2022年大連交通大學(xué)理學(xué)院814數(shù)學(xué)分析考研導(dǎo)師圈點必考題匯編

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2022年大連交通高校理學(xué)院814數(shù)學(xué)分析考研導(dǎo)師圈點必考題匯編〔一〕(2)

2022年大連交通高校理學(xué)院814數(shù)學(xué)分析考研導(dǎo)師圈點必考題匯編〔二〕(8)

2022年大連交通高校理學(xué)院814數(shù)學(xué)分析考研導(dǎo)師圈點必考題匯編〔三〕(18)

2022年大連交通高校理學(xué)院814數(shù)學(xué)分析考研導(dǎo)師圈點必考題匯編〔四〕(26)

2022年大連交通高校理學(xué)院814數(shù)學(xué)分析考研導(dǎo)師圈點必考題匯編〔五〕(34)

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2022年大連交通高校理學(xué)院814數(shù)學(xué)分析考研導(dǎo)師圈點必考題匯編〔一〕

說明：①本資料為VIP學(xué)員內(nèi)部運用，整理匯編了歷屆導(dǎo)師圈點的重點試題及?？荚囶}。

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一、證明題

1．求證

：

在

上全都收斂.【答案】方法一：由

可得

又

收斂，由M判別法即得原級數(shù)在

上全都收斂.

方法二：記先求函數(shù)

的最大值，由于

為奇函數(shù)，只需爭論

的

情形

.

又

故

是函數(shù)

的最大值點.因此

2．設(shè)當(dāng)

時而

證明：

兩者中至多有一個在*=0連續(xù).

【答案】反證法.假設(shè)f(*)、g(*)都在*=0連續(xù)，

那么

由于

時

(*),所以

從而

這與題設(shè)

沖突.故f與g兩

者中至多有一個在*=0連續(xù).

二、試解以下各題

3．在什么條件下，函數(shù)

的反函數(shù)就是它本身？

【答案】〔1〕設(shè)c=0,

此時

要使反函數(shù)存在必有

函數(shù)

的反函數(shù)是

它們是同一函數(shù)的充要條件是即〔a+d〕〔a—d〕=0,b〔a+d〕=0.可

見，當(dāng)c=0時，當(dāng)且僅當(dāng)

或

時，它的反函數(shù)就是它本身.

〔2〕設(shè)

此時

的定義域為

要使它的反函數(shù)存在，需要有它的反函數(shù)是等式要對除外的一切實數(shù)成立.去分母后，再比較*的系數(shù)，得到

由此可知，當(dāng)

時，當(dāng)且僅

當(dāng)時，它的反函數(shù)就是它本身.另外，留意到在情形〔1〕中，

時也

成立.

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綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)并且a+d=0或時，函數(shù)的反函數(shù)

就是它本身.

4．求指數(shù)

使得曲線積分

與路徑無關(guān)并求k.

【答案】設(shè)

那么

由

得

這時

所以積分與路徑無關(guān)，由于

及

所以

5．方程

在哪些點的鄰域內(nèi)可惟一地確定連續(xù)可導(dǎo)的隱函數(shù)

【答案】先求定義域.由

所以I

且

令_

由

知即

令

那么

在D內(nèi)每一鄰域內(nèi)有定義且連續(xù)；

在D

每一鄰域內(nèi)都連續(xù)

.

故方

程

可在D上惟一確定隱函

數(shù)

6．討論函數(shù)

處的各階導(dǎo)數(shù).【答案】

故

在

處連續(xù)

.

于是

一階導(dǎo)數(shù)

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于是即二階導(dǎo)數(shù)

由于所以三階導(dǎo)數(shù)不存在，并且當(dāng)

時都不存在.

7．求空間曲線

上對應(yīng)于點*=l的處的切線方程與法平面方程.【答案】當(dāng)*=l時，有

解之得于是對應(yīng)于*=1的點是

設(shè)

通過計算易知，

在點

有

于是，切線方