2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編不等式(組)含答案

2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題匯編不等式(組)選擇題1．(2024·浙江麗水·模擬)a，b都是實(shí)數(shù)，且a＜b，則下列不等式的變形正確的是（）．A．a(chǎn)＋x＞b＋xB．－a＋1＜－b＋1C．3a＜3bD.eq\f(a,2)＞eq\f(b,2)答案:C2.（2024·紹興市浣紗初中等六?！?月聯(lián)考模擬）紹興市出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價8元（即行駛距離不超過3千米都需付8元車費(fèi)），超過3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米計）．某人從甲地到乙地經(jīng)過的路程是千米，出租車費(fèi)為15.5元，那么的最大值是（） A．11B．8C．7D．5 答案：B3、（2024齊河三模）不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（） A．B．C． D．答案：D4、2024青島一模）解不等式組：．【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式，得：x≥1，解不等式7x﹣8＜5x，得：x＜4，故不等式組解集為：1≤x＜4．5、（2024泰安一模）如果不等式組的解集是x＜2，那么m的取值范圍是（）A．m=2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≥2【考點(diǎn)】解一元一次不等式組；不等式的解集．【專題】計算題．【分析】先解第一個不等式，再根據(jù)不等式組的解集是x＜2，從而得出關(guān)于m的不等式，解不等式即可．【解答】解：解第一個不等式得，x＜2，∵不等式組的解集是x＜2，∴m≥2，故選D．6．(2024·云南省曲靖市羅平縣·二模)不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求出不等式的解集，根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出即可．【解答】解：，由①得：x≥1，由②得：x＜2，在數(shù)軸上表示不等式的解集是：故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查對不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式（組），在數(shù)軸上表示不等式的解集等知識點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．7．(2024·云南省·一模)不等式組的解集是（）A．x≤﹣2 B．x＞3 C．3＜x≤﹣2 D．無解【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．【分析】先解第二個不等式，根據(jù)第一個不等式解集按照口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式x﹣2＞1，得：x＞3，又∵x≤﹣2，∴不等式組無解，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查求不等式組解集的能力，關(guān)鍵是確定兩個不等式解集的公共部分，記住并熟練應(yīng)用口訣是根本所在．8．(2024·云南省·二模)不等式組的解集是（）A．x≥5 B．5≤x＜8 C．x＞8 D．無解【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．【分析】分別求出每個不等式的解集，根據(jù)同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組解集即可．【解答】解：解≥1，得：x≥5，解不等式8﹣x＞0，得：x＜8，故不等式組的解集為：5≤x＜8，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查解不等式組的基本能力，解每個不等式是求不等式組解集的根本，根據(jù)口訣確定解集的公共部分是解不等式組的關(guān)鍵．9．(2024·鄭州·二模)把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，下列選項(xiàng)正確的是答案：B10.（2024·吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)·一模）不等式組中的兩個不等式的解集在同一個數(shù)軸上表示正確的是 答案：A11．（2024·河南洛陽·一模）一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來，正確的是【】答案：B12．（2024·吉林長春朝陽區(qū)·一模）不等式組中的兩個不等式的解集在同一個數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組．【分析】先分別解兩個不等式得到x＜3和x≤1，然后利用數(shù)軸分別表示出x＜3和x≤1，于是可得到正確的選項(xiàng)．【解答】解：解不等式x﹣1≤0得x≤1，所以不等式組的兩個不等式的解集在同一個數(shù)軸上表示為：．故選C．【點(diǎn)評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集：用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可．定邊界點(diǎn)時要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．13．（2024·湖南省岳陽市十二校聯(lián)考·一模）一個關(guān)于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖，則該不等式組的解集是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3【考點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集．【分析】根據(jù)不等式組的解集是大于大的，可得答案．【解答】解：一個關(guān)于x的一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的表示如圖，則該不等式組的解集是x＞3．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了不等式組的解集，不等式組的解集是大于大的．14.（2024·河北石家莊·一模）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式組．【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可【解答】解：由x﹣1≥0，得x≥1，由4﹣2x＞0，得x＜2，不等式組的解集是1≤x＜2，故選：D．【點(diǎn)評】考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．15.（2024·河大附中·一模）不等式組的整數(shù)解的個數(shù)是()A．5B．4C．3D．無數(shù)個答案：A16.（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）關(guān)于x的不等式組的解集在數(shù)軸上表示為() 答案：C17.（2024·廣東·一模）已知下列式子不成立的是()A.B.C.D.如果答案：D二、填空題1．(2024·重慶巴蜀·一模）從﹣，﹣1，0，1這四個數(shù)中，任取一個數(shù)作為m的值，恰好使得關(guān)于x，y的二元一次方程組有整數(shù)解，且使以x為自變量的一次函數(shù)y=（m+1）x+3m﹣3的圖象不經(jīng)過第二象限，則取到滿足條件的m值的概率為．【分析】首先由題意可求得滿足條件的m值，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵關(guān)于x，y的二元一次方程組有整數(shù)解，∴，∴m的值為：﹣1，0，1；∵一次函數(shù)y=（m+1）x+3m﹣3的圖象不經(jīng)過第二象限，∴，解得：﹣1＜m≤1，∴m的值為：0，1；綜上滿足條件的m值為：0，1；∴取到滿足條件的m值的概率為：=．故答案為：．2．(2024·重慶銅梁巴川·一模）從﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3這七個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)記為a，則a的值是不等式組的解，但不是方程x2﹣3x+2=0的實(shí)數(shù)解的概率為．【分析】首先解不等式組，即可求得a的取值范圍，解一元二次方程x2﹣3x+2=0，可求得a的值，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：，由①得：x＞﹣2，由②得：x＞﹣，∵a的值是不等式組的解，∴a=0，1，2，3，∵x2﹣3x+2=0，∴（x﹣1）（x﹣2）=0，解得：x1=1，x2=2，∵a不是方程x2﹣3x+2=0的實(shí)數(shù)解，∴a=0或3；∴a的值是不等式組的解，但不是方程x2﹣3x+2=0的實(shí)數(shù)解的概率為：．故答案為：．3．(2024·重慶巴南·一模）從﹣2、﹣1、﹣、0、1這五個數(shù)字中，隨機(jī)抽取一個數(shù)，記為a，則使得關(guān)于x的方程=1的解為非負(fù)數(shù)，且滿足關(guān)于x的不等式組至少有三個整數(shù)解的概率是．【分析】首先確定能使得關(guān)于x的方程=1的解為非負(fù)數(shù)，然后找到滿足關(guān)于x的不等式組至少有三個整數(shù)解的a的值，然后利用概率公式求解即可．【解答】解：解方程=1得：x=，∵解為非負(fù)數(shù)，∴＞0，解得：a＜1，解不等式組得：a＜x≤2，∵至少有三個整數(shù)解，∴a≤﹣1，∴則使得關(guān)于x的方程=1的解為非負(fù)數(shù)，且滿足關(guān)于x的不等式組至少有三個整數(shù)解的a的值有﹣2一個，∴P=．故答案為：．4.（2024·棗莊41中·一模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3．【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）．【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的圖象即可得出結(jié)論．【解答】解：∵由函數(shù)圖象可知，當(dāng)﹣1＜x＜3時，函數(shù)圖象在x軸的下方，∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3．故答案為：﹣1＜x＜3．5．(2024·上海浦東·模擬)不等式的解集是答案：6．(2024·上海閔行區(qū)·二模)不等式組的解集是﹣＜x≤3．【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3，解不等式4x+3＞﹣x，得：x＞﹣，所以不等式組的解集為：﹣＜x≤3，故答案為：﹣＜x≤3．【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．7.（2024·上海市閘北區(qū)·中考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測4月卷）不等式組的解集是．答案：1＜x＜3；8.（2024·黑龍江大慶·一模）不等式組的解集為____________．答案：-2＜x≤39.（2024·廣東河源·一模）不等式2+9≥3（+2）的正整數(shù)解是。答案：1，2，3三解答題1．(2024·山西大同·一模）已知（1）化簡A（2）當(dāng)x滿足不等式組，且x為奇數(shù)時，求A的值.答案：（1）（2）x-10X-3<2∴1x<5又∵x為奇數(shù)，且x1，∴x=3∴A=2.(2024·四川峨眉·二模）已知關(guān)于、的方程組的解滿足，求的取值范圍.答案：解：由①+②得：由②-①得：由題可得：解得k>13．(2024·重慶巴南·一模）先化簡，再求值：÷（﹣x﹣2）﹣，其中x是不等式組的整數(shù)解．【分析】原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分后兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結(jié)果，求出不等式組的整數(shù)解確定出x的值，代入計算即可求出值．【解答】解：原式=÷﹣=?﹣=﹣==﹣，不等式組，解得：1≤x＜4，即整數(shù)解為1，2，3，當(dāng)x=3時，原式=﹣．4．(2024·重慶巴南·一模）為了盡快的適應(yīng)中招體考項(xiàng)目，現(xiàn)某校初二（1）班班委會準(zhǔn)備籌集1800元購買A、B兩種類型跳繩供班級集體使用．（1）班委會決定，購買A種跳繩的資金不少于B種跳繩資金的2倍，問最多用多少資金購買B種跳繩？（2）經(jīng)初步統(tǒng)計，初二（1）班有25人自愿參與購買，那么平均每生需交72元．初三（1）班了解情況后，把體考后閑置的跳繩贈送了若干給初二（1）班，這樣只需班級共籌集1350元．經(jīng)初二（1）班班委會進(jìn)一步宣傳，自愿參與購買的學(xué)生在25人的基礎(chǔ)上增加了4a%．則每生平均交費(fèi)在72元基礎(chǔ)上減少了2.5a%，求a的值．【分析】（1）設(shè)購買A種跳繩的為x元，則購買B種跳繩的有（1800﹣x）元，利用“購買A種跳繩的資金不少于B種跳繩資金的2倍”，列出不等式求解即可；（2）根據(jù)“自愿參與購買的學(xué)生在25人的基礎(chǔ)上增加了2a%．則每生平均交費(fèi)在72元基礎(chǔ)上減少了1.25a%”列出方程求解即可．【解答】解：（1）設(shè)用于購買A種跳繩的為x元，則購買B種跳繩的有（1800﹣x）元，根據(jù)題意得：2（1800﹣x）≤x，解得：x≥1200，∴x取得最小值1200時，1800﹣x取得最大值600，答：最多用600元購買B種跳繩；（2）根據(jù)題意得：25（1+4a%）×72（1﹣2.5a%）=1350，令a%=m，則整理得：40m2﹣6m﹣1=0，解得：m=或a=﹣（舍去），∴a=25所以a的值是25．5．(2024·重慶巴蜀·一模）某商家預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用13200元購進(jìn)了一批這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求，商家又用28800元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍，但單價貴了10元．（1）該商家購進(jìn)的第一批襯衫是多少件？（2）若兩批襯衫按相同的標(biāo)價銷售，最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出，如果兩批襯衫全部售完后利潤不低于25%（不考慮其他因素），那么每件襯衫的標(biāo)價至少是多少元？【分析】（1）可設(shè)該商家購進(jìn)的第一批襯衫是x件，則購進(jìn)第二批這種襯衫是2x件，根據(jù)第二批這種襯衫單價貴了10元，列出方程求解即可；（2）設(shè)每件襯衫的標(biāo)價y元，求出利潤表達(dá)式，然后列不等式解答．【解答】解：（1）設(shè)該商家購進(jìn)的第一批襯衫是x件，則購進(jìn)第二批這種襯衫是2x件，依題意有+10=，解得x=120，經(jīng)檢驗(yàn)，x=120是原方程的解，且符合題意．答：該商家購進(jìn)的第一批襯衫是120件．（2）3x=3×120=360，設(shè)每件襯衫的標(biāo)價y元，依題意有（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．答：每件襯衫的標(biāo)價至少是150元．6．(2024·重慶巴蜀·一模）閱讀材料：材料一：對于任意的非零實(shí)數(shù)x和正實(shí)數(shù)k，如果滿足為整數(shù)，則稱k是x的一個“整商系數(shù)”．例如：x=2時，k=3?=2，則3是2的一個整商系數(shù)；x=2時，k=12?=8，則12也是2的一個整商系數(shù)；x=時，k=6?=1，則6是的一個整商系數(shù)；結(jié)論：一個非零實(shí)數(shù)x有無數(shù)個整商系數(shù)k，其中最小的一個整商系數(shù)記為k（x），例如k（2）=材料二：對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，兩根x1，x2有如下關(guān)系：x1+x2=﹣；x1x2=應(yīng)用：（1）k（）=2k（﹣）=（2）若實(shí)數(shù)a（a＜0）滿足k（）＞k（），求a的取值范圍？（3）若關(guān)于x的方程：x2+bx+4=0的兩個根分別為x1、x2，且滿足k（x1）+k（x2）=9，則b的值為多少？【分析】（1）求出最小的個整商系數(shù)即可．（2）根據(jù)k（）＞k（）分類討論列出不等式解不等式即可．（3）利用根與系數(shù)關(guān)系把k（x1）+k（x2）=9，轉(zhuǎn)化為含有b的方程，記得分類討論即可．【解答】解：（1）k（）=2，k（﹣）=．故答案分別為2，．（2）∵k（）＞k（），當(dāng)﹣1＜a＜0時，原式化為＞3（a+1）∴a＜﹣，即﹣1＜a＜﹣，當(dāng)a＜﹣1時，原式化為＞﹣3（a+1）解得a＞﹣2，故可知a的取值范圍為﹣2＜a＜﹣1或﹣1＜a＜﹣．（3）設(shè)方程的兩個根有x1＜x2，由于x1x2=，故x1與x2同號．當(dāng)x2＜0時，k（x1）+k（x2）=﹣=﹣=，解得b=12．當(dāng)x1＞0時，k（x1）+k（x2）===，解得b=﹣12．綜上b=±12．7．(2024·重慶銅梁巴川·一模）現(xiàn)從A，B向甲、乙兩地運(yùn)送蔬菜，A，B兩個蔬菜市場各有蔬菜14噸，其中甲地需要蔬菜15噸，乙地需要蔬菜13噸，從A到甲地運(yùn)費(fèi)50元/噸，到乙地30元/噸；從B地到甲運(yùn)費(fèi)60元/噸，到乙地45元/噸．（1）設(shè)A地到甲地運(yùn)送蔬菜x噸，請完成下表：運(yùn)往甲地（單位：噸）運(yùn)往乙地（單位：噸）Ax14﹣xB15﹣xx﹣1（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為W元，請寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式．（3）怎樣調(diào)運(yùn)蔬菜才能使運(yùn)費(fèi)最少？【分析】（1）根據(jù)題意A，B兩個蔬菜市場各有蔬菜14噸，其中甲地需要蔬菜15噸，乙地需要蔬菜13噸，可得解．（2）根據(jù)從A到甲地運(yùn)費(fèi)50元/噸，到乙地30元/噸；從B地到甲運(yùn)費(fèi)60元/噸，到乙地45元/噸可列出總費(fèi)用，從而可得出答案．（3）首先求出x的取值范圍，再利用w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)最值即可．【解答】解：（1）如圖所示：運(yùn)往甲地（單位：噸）運(yùn)往乙地（單位：噸）Ax14﹣xB15﹣xx﹣1（2）由題意，得W=50x+30（14﹣x）+60（15﹣x）+45（x﹣1）=5x+1275（1≤x≤14）．（3）∵A，B到兩地運(yùn)送的蔬菜為非負(fù)數(shù)，∴，解不等式組，得：1≤x≤14，在W=5x+1275中，∵k=5＞0，∴W隨x增大而增大，∴當(dāng)x最小為1時，W有最小值，∴當(dāng)x=1時，A：x=1，14﹣x=13，B：15﹣x=14，x﹣1=0，即A向甲地運(yùn)1噸，向乙地運(yùn)13噸，B向甲地運(yùn)14噸，向乙地運(yùn)0噸才能使運(yùn)費(fèi)最少．8.（2024·天津北辰區(qū)·一摸）解不等式組請結(jié)合題意填空，完成本題的解答．（Ⅰ）解不等式①，得______________；（Ⅱ）解不等式②，得______________；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來： （Ⅳ）原不等式組的解集為_______________．解：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（Ⅳ）．9．（2024·天津南開區(qū)·二模）解不等式組：，并把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來．考點(diǎn)：一次不等式（組）的解法及其解集的表示答案：見解析試題解析：由①得，x≥﹣1，由②得，x＜4，故此不等式組的解集為：﹣1≤x＜4．在數(shù)軸上表示為：．10．（2024·天津南開區(qū)·二模）某中學(xué)在“五月份學(xué)習(xí)競賽月”中舉辦了演講、書法、作文、手抄報、小品、漫畫六項(xiàng)比賽某租賃公司共有50臺聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型20臺，乙型30臺.現(xiàn)將這50臺聯(lián)合收割機(jī)派往A、B兩地收割小麥，其中30臺派往A地，20臺派往B地.兩地區(qū)與該租賃公司商定的每天的租賃價格如下：（1）設(shè)派往A地x臺乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這50臺聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金為y（元），請用x表示y，并注明x的范圍．（2）若使租賃公司這50臺聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金總額不低于79600元，說明有多少種分派方案，并將各種方案寫出．考點(diǎn)：一次方程（組）的應(yīng)用一元一次不等式的應(yīng)用答案：見解析試題解析：（1）y=（30﹣x）×1800+（x﹣10）×1600+1600x+（30﹣x）×1200=200x+74000，10≤x≤30；（2）200x+74000≥79600，解得x≥28，三種方案，依次為x=28，29，30的情況①當(dāng)x=28時，派往A地28臺乙型聯(lián)合收割機(jī)，那么派往B地2臺乙，派往A地的2臺甲型收割機(jī)，派往B地18臺甲．②當(dāng)x=29時，派往A地29臺乙型聯(lián)合收割機(jī)，那么派往B地1臺乙，派往A地的1臺甲型收割機(jī)，派往B地19臺甲．③當(dāng)x=30時，派往A地30臺乙型聯(lián)合收割機(jī)，那么派往B地0臺乙，派往A地的0臺甲型收割機(jī)，派往B地20臺甲．11．（2024·天津市和平區(qū)·一模）解不等式組．【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．【分析】分別求出各個不等式的解集，再求出這些解集的公共部分即可．【解答】解：，解不等式①得到：x＜4．解不等式②得到：x＞1．則該不等式組的解集是：1＜x＜4．【點(diǎn)評】本題考查不等式組的解法及解集的表示法，一定要把每個不等式正確的解出來．12．（2024·天津市和平區(qū)·一模）某商店銷售每臺A型電腦的利潤為100元，銷售每臺B型電腦的利潤為150元，該商店計劃一次購進(jìn)A，B兩種型號的電腦共100臺．（1）設(shè)購進(jìn)A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元．①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；②該商店計劃一次購進(jìn)A，B兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的2倍，那么商店購進(jìn)A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大？（2）實(shí)際進(jìn)貨時，廠家對A型電腦出廠價下調(diào)m（50＜m＜100）元，且限定商店最多購進(jìn)A型電腦70臺，若商店保持同種電腦的售價不變，請你根據(jù)以上信息及（1）中的條件，設(shè)計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案．【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用．【分析】（1）①根據(jù)題意列出關(guān)系式為：y=100x+150（100﹣x），整理即可；②利用不等式求出x的范圍，又因?yàn)閥=﹣50x+15000是減函數(shù)，所以x取34，y取最大值；（2）據(jù)題意得，y=（100+m）x﹣150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，當(dāng)50＜m＜100時，m﹣50＞0，y隨x的增大而增大，進(jìn)行求解．【解答】解：（1）①據(jù)題意得，y=100x+150（100﹣x），即y=﹣50x+15000，②據(jù)題意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，∵y=﹣50x+15000，﹣50＜0，∴y隨x的增大而減小，∵x為正整數(shù)，∴當(dāng)x=34時，y取最大值，則100﹣x=66，即商店購進(jìn)34臺A型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大．（2）據(jù)題意得，y=（100+m）x+150（100﹣x），即y=（m﹣50）x+15000，33≤x≤70當(dāng)50＜m＜100時，m﹣50＞0，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=70時，y取得最大值．即商店購進(jìn)70臺A型電腦和30臺B型電腦的銷售利潤最大．【點(diǎn)評】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)x值的增大而確定y值的增減情況．13．（2024·天津市南開區(qū)·一模）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、、，求這個三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格解不等式組請結(jié)合題意填空，完成本題的解答（1）解不等式①，得x≥﹣2（2）解不等式②，得x＜1（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來（4）原不等式組的解集為﹣2≤x＜1．【考點(diǎn)】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集．【專題】計算題．【分析】（1）通過移項(xiàng)可得到x的范圍；（2）去分母，再移項(xiàng)可得到x的范圍；（3）利用數(shù)軸表示解集；（4）利用大小小大中間找；【解答】解：（1）解不等式①，得x≥﹣2，（2）解不等式②，得x＜1，（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示為：（4）原不等式組的解集為﹣2≤x＜1．故答案為x≥﹣2，x＜1，﹣2≤x＜1．【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到．14.（2024·天津五區(qū)縣·一模）解不等式組請結(jié)合題意填空，完成本題的解答．（Ⅰ）解不等式①，得x＜2；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：（Ⅳ）原不等式組的解集為﹣1≤x＜2．【考點(diǎn)】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集．【分析】分別求出每一個不等式的解集，將不等式的解集表示在數(shù)軸上，即可確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式①，得：x＜2，解不等式②，得：x≥﹣1，把不等式①和②的解集表示在數(shù)軸上如下：故不等式組的解集為：﹣1≤x＜2，故答案為：（Ⅰ）x＜2；（Ⅱ）x≥﹣1；（Ⅳ）﹣1≤x＜2．【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，正確將不等式解集表示在數(shù)軸上是解答此題的關(guān)鍵．15.(2024·浙江麗水·模擬)解不等式.解：16.(2024·浙江鎮(zhèn)江·模擬)解不等式：≥．解：≥≥x≤8，則不等式的解集為：x≤8．（兩邊同乘以2，下略，參照給分）16．(2024·新疆烏魯木齊九十八中·一模)某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃建A、B兩種戶型的住房共80套，該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房成本和售價如下表：AB成本（萬元/套）2528售價（萬元/套）3034（1）該公司對這兩種戶型住房有哪幾種建房方案？（2）該公司如何建房獲得利潤最大？（3）根據(jù)市場調(diào)查，每套B型住房的售價不會改變，每套A型住房的售價將會提高a萬元（a＞0），且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何建房獲得利潤最大？注：利潤=售價﹣成本．【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用．【專題】方案型．【分析】（1）根據(jù)“該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元”，列出不等式進(jìn)行求解，確定建房方案；（2）根據(jù)：利潤=售價﹣成本，利潤就可以寫成關(guān)于x的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，就可以求出函數(shù)的最大值；（3）利潤W可以用含a的代數(shù)式表示出來，對a進(jìn)行分類討論．【解答】解：（1）設(shè)A種戶型的住房建x套，則B種戶型的住房建（80﹣x）套．由題意知2090≤25x+28（80﹣x）≤2096解得48≤x≤50∵x取非負(fù)整數(shù)，∴x為48，49，50．∴有三種建房方案：方案一：A種戶型的住房建48套，B種戶型的住房建32套，方案二：A種戶型的住房建49套，B種戶型的住房建31套，方案三：A種戶型的住房建50套，B種戶型的住房建30套；（2）設(shè)該公司建房獲得利潤W（萬元）．由題意知W=（30﹣25）x+（34﹣28）（80﹣x）=5x+6（80﹣x）=480﹣x，∴當(dāng)x=48時，W最大=432（萬元）即A型住房48套，B型住房32套獲得利潤最大；（3）由題意知W=（5+a）x+6（80﹣x）=480+（a﹣1）x∴當(dāng)0＜a＜1時，x=48，W最大，即A型住房建48套，B型住房建32套．當(dāng)a=1時，a﹣1=0，三種建房方案獲得利潤相等．當(dāng)a＞1時，x=50，W最大，即A型住房建50套，B型住房建30套．【點(diǎn)評】本題主要考查不等式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，是一個函數(shù)與不等式相結(jié)合的問題．在運(yùn)算過程中要注意對a進(jìn)行分類討論．17.（2024蘇州二模）解不等式組①并寫出它的整數(shù)解.,②答案：解：不等式組的整數(shù)解是－1，0，1，2.18.（（2024·江蘇丹陽市丹北片·一模）12分）（1）解方程：（2）解不等式組：答案：（1）（4分）x=-5（檢驗(yàn)）（4分）（2）>5（4分）19．（2024·湖南湘潭·一模）（本小題6分）目前農(nóng)村勞動力大量流向城市,某村莊共有100名勞動力,如果在農(nóng)村種地,平均每人全年可創(chuàng)造產(chǎn)值m元,現(xiàn)在村委會決定從中分流若干人進(jìn)城打工.假設(shè)分流后,繼續(xù)從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的勞動力平均每人全年創(chuàng)造的農(nóng)業(yè)產(chǎn)值可增加20%,而分流到城市打工的人員平均每人全年可創(chuàng)造產(chǎn)值3.5m元,如果要保證分流后,該村農(nóng)業(yè)全年的總產(chǎn)值不少于分流前農(nóng)業(yè)全年的總產(chǎn)值,而進(jìn)城打工人員全年創(chuàng)造的總產(chǎn)值不少于分流前該村農(nóng)業(yè)全年的總產(chǎn)值的一半.請你幫助村主任算一下應(yīng)該分流多少人進(jìn)城打工.答案：（解:設(shè)應(yīng)該分流x人進(jìn)城打工.根據(jù)題意,得解得:因?yàn)閤為整數(shù),所以x=15或16.答:應(yīng)該分流15人或16人進(jìn)城打工.20.（2024·湖北襄陽·一模）歐洲某國政府為了盡快安置逃往該國的敘利亞難民，給某廠下達(dá)了生產(chǎn)A種板材48000m2和B種板材24000m2的任務(wù).板房A種板材（m2）B種板材（m2）安置人數(shù)甲型1106112乙型1605310⑴如果該廠安排280人生產(chǎn)這兩種板材，每人每天能生產(chǎn)A種板材60m2或B種板材40m2，請問：應(yīng)分別安排多少人生產(chǎn)A種板材和B種板材，才能確保同時完成各自的生產(chǎn)任務(wù)？⑵某難民安置點(diǎn)計劃用該廠生產(chǎn)的兩種板材搭建甲、乙兩種規(guī)格的板房共400間，已知建設(shè)一間甲型板房和一間乙型板房所需板材及安置人數(shù)如右表所示：①共有多少種建房方案可供選擇？②若這個難民安置點(diǎn)有4700名災(zāi)民需要安置，這400間板房能否滿足需要？若不能滿足請說明理由；若能滿足，請說明應(yīng)選擇什么方案．答案：解：（1）設(shè)安排x人生產(chǎn)A種板材，則安排（280－x）人生產(chǎn)B種板材根據(jù)題意，得解得x＝160經(jīng)檢驗(yàn)x＝160是原方程的根，240－x＝120∴安排160人生產(chǎn)A種板材，安排120人生產(chǎn)B種板材（2）設(shè)建甲型m間，則建乙型（400－m）間①根據(jù)題意，得解得320≤m≤350∵m是整數(shù)∴符合條件的m值有31個∴共有31種建房方案可供選擇②這400間板房能滿足需要由題意，得12m＋10（400－m）≥4700解得m≥350∵320≤m≤350∴m＝350∴建甲型350間，建乙型50間能滿足需要。21.（2024·廣東·一模）（本題滿分8分）我國中東部地區(qū)霧霾天氣趨于嚴(yán)重，環(huán)境治理已刻不容緩．我市某電器商場根據(jù)民眾健康需要，代理銷售某種家用空氣凈化器，其進(jìn)價是200元/臺．經(jīng)過市場銷售后發(fā)現(xiàn)：在一個月內(nèi)，當(dāng)售價是400元/臺時，可售出200臺，且售價每降低10元，就可多售出50臺．若供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺，代理銷售商每月要完成不低于450臺的銷售任務(wù)．（1）試確定月銷售量y（臺）與售價x（元/臺）之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)售價x（元/臺）定為多少時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？解：（1）根據(jù)題中條件銷售價每降低10元，月銷售量就可多售出50千克，則月銷售量y（臺）與售價x（元/臺）之間的函數(shù)關(guān)系式：y=200+50×，化簡得：y=﹣5x+2200；供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價不能低于300元/臺，代理銷售商每月要完成不低于450臺，則，解得：300≤x≤350．∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．∵x=320在300≤x≤350內(nèi)，∴當(dāng)x=320時，最大值為72000，即售價定為320元/臺時，商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w最大，最大利潤是72000元．22.（2024·廣東東莞·聯(lián)考）為促進(jìn)資源節(jié)約型和環(huán)境友好型社會建設(shè)，根據(jù)國家發(fā)改委實(shí)施“階梯電價”的有關(guān)文件要求，廣州市決定從2012年7月1日起對居民生活用電試行“階梯電價”收費(fèi)，具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（非夏季標(biāo)準(zhǔn)）見下表：一戶居民一個月用電量的范圍電費(fèi)價格（單位：元/千瓦時）不超過200千瓦時的部分0.61超過200千瓦時，但不超過400千瓦時的部分0.66超過400千瓦時的部分0.91（1）如果小明家3月用電120度，則需交電費(fèi)多少元？（2）求“超過200千瓦時，但不超過400千瓦時的部分”每月電費(fèi)y（元）與用電量x（千瓦時）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）試行“階梯電價”收費(fèi)以后，小明家用電量多少千瓦時，其當(dāng)月的平均電價每千瓦時不超過0.71元？【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)表格可知，當(dāng)居民生活用電一個月不超過200千瓦時，電費(fèi)價格為0.61元/千瓦時，所以如果小明家3月用電120度，則需交電費(fèi)0.61×120，計算即可求解；（2）根據(jù)表格可知，當(dāng)用電量x超過200千瓦時，但不超過400千瓦時時，每月電費(fèi)y=0.61×200+0.66×（x﹣200），化簡即可；（3）根據(jù)當(dāng)居民月用電量x≤200時，0.61x≤0.71x，當(dāng)居民月用電量x滿足200＜x≤400時，0.66x﹣10≤0.71x，當(dāng)居民月用電量x滿足x＞400時，0.91x﹣110≤0.71x，分別得出即可．【解答】解：（1）0.61×120=73.2（元）．答：如果小明家3月用電120度，則需交電費(fèi)73.2元；（2）當(dāng)200＜x≤400時，y=0.61×200+0.66×（x﹣200）=0.66x﹣10，即每月電費(fèi)y（元）與用電量x（千瓦時）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=0.66x﹣10（200＜x≤400）；（3）當(dāng)居民月用電量x≤200時，y=0.61x，由0.61x≤0.71x，解得x≥0，當(dāng)居民月用電量x滿足200＜x≤400時，0.66x﹣10≤0.71x，解得：x＞﹣200，當(dāng)居民月用電量x滿足x＞400時，y=0.61×200+0.66×（400﹣200）+0.91×（x﹣400）=0.91x﹣110，0.91x﹣110≤0.71x，解得：x≤550，綜上所述，試行“階梯電價”收費(fèi)以后，小明家用電量不超過550千瓦時，其當(dāng)月的平均電價每千瓦時不超過0.71元．【點(diǎn)評】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分段函數(shù)的應(yīng)用，列一元一次不等式解實(shí)際問題的運(yùn)用，根據(jù)自變量取值范圍不同得出x的取值是解題關(guān)鍵．23.（2024·廣東河源·一模）閱讀下面的例題，并回答問題?！纠}】解一元二次不等式：。解：對分解因式，得，∴.由“兩實(shí)數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)”，可得①或②解①得＞4；解②得＜－2.故的解集是＞4或＜-2.（1）直接寫出的解是；（2）仿照例題的解法解不等式：；（3）求分式不等式：的解集。（1）>3或<-3（2）解：，∴.由“兩實(shí)數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)”，可得①或②解①得-7＜＜3;②無解.故的解集是-7＜＜3.24．（2024·河南三門峽·一模）（10分）春節(jié)期間，某超市雞蛋供應(yīng)緊張，需每天從外地調(diào)運(yùn)雞蛋1200斤．超市決定從甲、乙兩大型養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋，已知甲養(yǎng)殖場每天最多可調(diào)出800斤，乙養(yǎng)殖場每天最多可調(diào)出900斤，從兩養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋到超市的路程和運(yùn)費(fèi)如表：到超市的路程（千米）運(yùn)費(fèi)（元/斤?千米）甲養(yǎng)殖場2000.012乙養(yǎng)殖場1400.015（1）若某天調(diào)運(yùn)雞蛋的總運(yùn)費(fèi)為2670元，則從甲、乙兩養(yǎng)殖場各調(diào)運(yùn)了多少斤雞蛋？（2）設(shè)從甲養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋x斤，總運(yùn)費(fèi)為W元，試寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式，怎樣安排調(diào)運(yùn)方案才能使每天的總運(yùn)費(fèi)最?。拷猓海?）設(shè)從甲養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋x公斤，從乙養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)雞蛋y公斤，根據(jù)題意得：，解得：，∵500＜800，700＜900，∴符合條件．答：從甲、乙兩養(yǎng)殖場各調(diào)運(yùn)了500公斤，700公斤雞蛋；（2）從甲養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)了x公斤雞蛋，從乙養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)了（1200﹣x）公斤雞蛋，根據(jù)題意得：解得：300≤x≤800，總運(yùn)費(fèi)W=200×0.012x+140×0.015×（1200﹣x）=0.3x+2520，（300≤x≤800），∵W隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=300時，W最小=2610元，∴每天從甲養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)了300公斤雞蛋，從乙養(yǎng)殖場調(diào)運(yùn)了900公斤雞蛋，每天的總運(yùn)費(fèi)最省。二元一次方程(組)及其應(yīng)用一．選擇題1．(2024·重慶銅梁巴川·一模）如圖，分別用火柴棍連續(xù)搭建正三角形和正六邊形，公共邊只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六邊形共用了2024根火柴棍，并且正三角形的個數(shù)比正六邊形的個數(shù)多6個，那么能連續(xù)搭建正三角形的個數(shù)是（）A．222 B．280 C．286 D．292【分析】設(shè)連續(xù)搭建三角形x個，連續(xù)搭建正六邊形y個，根據(jù)搭建三角形和正六邊形共用了2024根火柴棍，并且三角形的個數(shù)比正六邊形的個數(shù)多6個，列方程組求解【解答】解：設(shè)連續(xù)搭建三角形x個，連續(xù)搭建正六邊形y個．由題意得，，解得：．故選D．2．(2016·浙江金華東區(qū)·4月診斷檢測已知方程組的解是，則方程組的解是（）A． B． C． D．答案：C3.（2024泰安一模）小龍和小剛兩人玩“打彈珠”游戲，小龍對小剛說：“把你珠子的一半給我，我就有10顆珠子”．小剛卻說：“只要把你的給我，我就有10顆”．如果設(shè)小剛的彈珠數(shù)為x顆，小龍的彈珠數(shù)為y顆，則列出的方程組是（）A． B．C． D．【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組．【分析】設(shè)小剛的彈珠數(shù)為x顆，小龍的彈珠數(shù)為y顆，根據(jù)題意，列方程組即可．【解答】解：設(shè)小剛的彈珠數(shù)為x顆，小龍的彈珠數(shù)為y顆，由題意得，x+y=10，x+y=10化簡得，．故選A．4.（2024·上海市閘北區(qū)·中考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測4月卷）方程組的解是（▲）（A）；（B）；（C）；（D）．答案：B5.（2024·湖南省岳陽市十二校聯(lián)考·一模）解方程組：．【考點(diǎn)】解二元一次方程組．【專題】計算題．【分析】方程組利用代入消元法求出解即可．【解答】解：將①代入②得：5x+2x﹣3=11，解得：x=2，將x=2代入①得：y=1，故方程組的解為：．【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．6．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）某班級勞動時，將全班同學(xué)分成x個小組，若每小組11人，則余下1人；若每小組12人，則有一組少4人.按下列哪個選項(xiàng)重新分組，能使每組人數(shù)相同？()A.3組 B.5組 C.6組 D.7組答案：D二．填空題1．(2024·重慶巴蜀·一模）從﹣，﹣1，0，1這四個數(shù)中，任取一個數(shù)作為m的值，恰好使得關(guān)于x，y的二元一次方程組有整數(shù)解，且使以x為自變量的一次函數(shù)y=（m+1）x+3m﹣3的圖象不經(jīng)過第二象限，則取到滿足條件的m值的概率為．【分析】首先由題意可求得滿足條件的m值，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵關(guān)于x，y的二元一次方程組有整數(shù)解，∴，∴m的值為：﹣1，0，1；∵一次函數(shù)y=（m+1）x+3m﹣3的圖象不經(jīng)過第二象限，∴，解得：﹣1＜m≤1，∴m的值為：0，1；綜上滿足條件的m值為：0，1；∴取到滿足條件的m值的概率為：=．故答案為：．2．(2024·重慶巴南·一模）二元一次方程組的解為．【分析】方程組利用代入消元法求出解即可．【解答】解：，把①代入②得：2x+x﹣1=5，解得：x=2，把x=2代入①得：y=1，則方程組的解為．故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．3.（2024青島一模）某公司銷售甲、乙兩種球鞋，去年賣出12200雙，今年甲種鞋賣出的量比去年去年增加6%，乙種球鞋賣出的數(shù)量比去年減少5%，兩種球鞋的總銷量增加了50雙．求去年甲，乙兩種球鞋各賣出多少雙？若設(shè)去年甲種球鞋賣了x雙，乙兩種球鞋賣了y雙，則根據(jù)題意可列方程組為．【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組．【分析】設(shè)去年甲種球鞋賣了x雙，乙種球鞋賣了y雙，根據(jù)條件“去年賣出12200雙，今年甲種鞋賣出的量比去年去年增加6%，乙種球鞋賣出的數(shù)量比去年減少5%，兩種球鞋的總銷量增加了50雙”建立方程組即可．【解答】解：設(shè)去年甲種球鞋賣了x雙，乙兩種球鞋賣了y雙，則根據(jù)題意可列方程組為．故答案為：．三．解答題1.(2024·四川峨眉·二模）已知關(guān)于、的方程組的解滿足，求的取值范圍.答案：解：由①+②得：由②-①得：由題可得：解得k>12．(2024·山西大同·一模）(1)計算：(2)已知x，y滿足方程組，求的值.答案：（1）（2）化簡得x-y=-2∴2x-2y=2（x-y）=-43．(2024·浙江鎮(zhèn)江·模擬)（本小題滿分5分）解方程組：；解：；①×3得：3x+3y=0③③－②得x=－3將x=－3代入①式，得y=3則方程組的解為：3．(2024·云南省曲靖市羅平縣·二模)目前節(jié)能燈在城市已基本普及，今年云南省面向縣級及農(nóng)村地區(qū)推廣，為相應(yīng)號召，某商場計劃用3800元購進(jìn)節(jié)能燈120只，這兩種節(jié)能燈的進(jìn)價、售價如下表：進(jìn)價（元/只）售價（元/只）甲型2530乙型4560（1）求甲、乙兩種節(jié)能燈各進(jìn)多少只？（2）全部售完120只節(jié)能燈后，該商場獲利潤多少元？【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)商場購進(jìn)甲種節(jié)能燈x只，則購進(jìn)乙種節(jié)能燈y只，根據(jù)兩種節(jié)能燈的總價為3800元建立方程求出其解即可；（2）根據(jù)售完這120只燈后，得出利潤即可．【解答】解：（1）設(shè)商場購進(jìn)甲種節(jié)能燈x只，則購進(jìn)乙種節(jié)能燈y只，由題意得：，解得：，答：甲、乙兩種節(jié)能燈分別進(jìn)80、40只；（2）由題意得：80×5+40×15=1000，答：全部售完120只節(jié)能燈后，該商場獲利潤1000元．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．綜合性問題一.選擇題1.（2024·河北石家莊·一模）在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，連接OB、OC，過點(diǎn)O作EF∥BC分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，已知BC=a（a是常數(shù)），設(shè)△ABC的周長為y，△AEF的周長為x，在下列圖象中，大致表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（）第1題A． B． C． D．【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】由于點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB，又EF∥BC，可得到∠1=∠3，則EO=EB，同理可得FO=FC，再根據(jù)周長的所以可得到y(tǒng)=x+a，（x＞0），即它是一次函數(shù)，即可得到正確選項(xiàng)．【解答】解：如圖，∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∴∠1=∠2，又∵EF∥BC，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴EO=EB，同理可得FO=FC，∵x=AE+EO+FO+AF，y=AE+BE+AF+FC+BC，∴y=x+a，（x＞0），即y是x的一次函數(shù)，所以C選項(xiàng)正確．故選C．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)）的圖象和性質(zhì)．也考查了內(nèi)心的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)．2.（2024·湖北襄陽·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60°.若動點(diǎn)P以2cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿著B→A的方向運(yùn)動，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿著A→C的方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t(s)，當(dāng)△APQ是直角三角形時，t的值為（）A.B.C.或D.或或第2題答案：C3.（2024·天津南開區(qū)·二模）下列圖形中陰影部分的面積相等的是（

）A．②③ B．③④ C．①② D．①④考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合答案：A試題解析：①：圖中的函數(shù)為正比例函數(shù)，與坐標(biāo)軸只有一個交點(diǎn)（0，0），由于缺少條件，無法求出陰影部分的面積；②：直線y=﹣x+2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0），（0，2），故S陰影=×2×2=2；③：此函數(shù)是反比例函數(shù)，那么陰影部分的面積為：S=xy=×4=2；④：該拋物線與坐標(biāo)軸交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故陰影部分的三角形是等腰直角三角形，其面積S=×2×1=1；②③的面積相等，故選：A．4.(2024·山西大同·一模）如圖（1），E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B沿折線BE-ED-DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止．點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，它們運(yùn)動的速度都是1cm/s．若點(diǎn)P、Q同時開始運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），△BPQ的面積為y（cm2），已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖（2）所示，那么下列結(jié)論錯誤的是_______（填序號）（1）．AE=6 （2）．當(dāng)0＜t≤10時，y=t2（3）．sin∠EBQ= （4）．當(dāng)t=12s時，△BPQ是等腰三角形答案：（4）二.填空題1.（2024·河北石家莊·一模）如圖，P是雙曲線y=（x＞0）的一個分支上的一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，1個單位長度為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與直線y=3相切時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）或（2，2）．第1題【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．【分析】利用切線的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出，P點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該有兩個求出即可；【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），∵P是雙曲線y=（x＞0）的一個分支上的一點(diǎn)，∴xy=k=4，∵⊙P與直線y=3相切，∴p點(diǎn)縱坐標(biāo)為：2，∴p點(diǎn)橫坐標(biāo)為：2，∵⊙P′與直線y=3相切，∴p點(diǎn)縱坐標(biāo)為：4，∴p點(diǎn)橫坐標(biāo)為：1，∴x=1或2，P的坐標(biāo)（1，4）或（2，2）；故答案為：（1，4）或（2，2）；【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題關(guān)鍵．2.（2024·天津北辰區(qū)·一摸）如圖，在ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，P是BC邊中點(diǎn)，AP交BD于點(diǎn)Q.則的值為___________．第第2題ACDBOPQ答案：3.（2024·天津南開區(qū)·二模）如圖，點(diǎn)A為直線y=-x上一點(diǎn)，過A作OA的垂線交雙曲線y=（x＜0）于點(diǎn)B，若OA2﹣AB2=12，則k的值為

．考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合答案：-6試題解析：延長AB交x軸于C點(diǎn)，作AF⊥x軸于F點(diǎn)，BE⊥x軸于E點(diǎn)，如圖，∵點(diǎn)A為直線y=﹣x上一點(diǎn)，∴∠AOC=90°，∵AB⊥直線y=﹣x，∴△AOC、△BEC為等腰直角三角形，∴AC=AO=AF，BC=BE=CE，AF=OC，∴AB=AC﹣BC=（AF﹣BE），∵OA2﹣AB2=12，∴（AF）2﹣[（AF﹣BE）]2=12，整理得2AF?BE﹣BE2=6，∴BE（2AF﹣BE）=6，∴BE（OC﹣CE）=6，即BE?OE=6，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則BE=y，OE=﹣x，∴BE?OE=﹣xy=6，∴xy=﹣6，∴k=﹣6．故答案為﹣6．4.（2024·上海市閘北區(qū)·中考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測4月卷）在平面直角坐標(biāo)系中，⊙C的半徑為r，點(diǎn)P是與圓C不重合的點(diǎn)，給出如下定義：若點(diǎn)為射線CP上一點(diǎn)，滿足，則稱點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于⊙C的反演點(diǎn)．如圖為點(diǎn)P及其關(guān)于⊙C的反演點(diǎn)的示意圖．寫出點(diǎn)M(，0)關(guān)于以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的⊙O的反演點(diǎn)的坐標(biāo)▲．xxyP'CP（第4題圖）O答案：（2，0）；三.解答題1.（2024·河北石家莊·一模）如圖，拋物線y=﹣x2+x+1與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（3，0）（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）動點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個單位的速度向C移動，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）由題意易求得A與B的坐標(biāo)，然后有待定系數(shù)法，即可求得直線AB的函數(shù)關(guān)系式；（2）由s=MN=NP﹣MP，即可得s=﹣t2+t+1﹣（t+1），化簡即可求得答案；（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，即可得方程：﹣t2+t=，解方程即可求得t的值，再分別分析t取何值時四邊形BCMN為菱形即可．【解答】解：（1）∵當(dāng)x=0時，y=1，∴A（0，1），當(dāng)x=3時，y=﹣×32+×3+1=2.5，∴B（3，2.5），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則：，解得：，∴直線AB的解析式為y=x+1；（2）根據(jù)題意得：s=MN=NP﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；（3）若四邊形BCMN為平行四邊形，則有MN=BC，此時，有﹣t2+t=，解得t1=1，t2=2，∴當(dāng)t=1或2時，四邊形BCMN為平行四邊形．①當(dāng)t=1時，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，又在Rt△MPC中，MC=，故MN=MC，此時四邊形BCMN為菱形，②當(dāng)t=2時，MP=2，NP=，故MN=NP﹣MP=，又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠M(fèi)C，此時四邊形BCMN不是菱形．【點(diǎn)評】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，線段的長與函數(shù)關(guān)系式之間的關(guān)系，平行四邊形以及菱形的性質(zhì)與判定等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2.（2024·河北石家莊·一模）如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，【操作1】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q．在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當(dāng)時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明．【操作2】在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖3，當(dāng)時EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說明理由．【總結(jié)操作】根據(jù)你以上的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)時，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系是什么？其中m的取值范圍是什么？（直接寫出結(jié)論，不必證明）m．第2題【考點(diǎn)】相似形綜合題．【分析】（操作1）連接BE，根據(jù)已知條件得到E是AC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以證明DE=CE，∠PBE=∠C．根據(jù)等角的余角相等可以證明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，從而證明結(jié)論；（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根據(jù)兩個角對應(yīng)相等證明△MEP∽△NWQ，發(fā)現(xiàn)EP：EQ=EM：EN，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EM：EN=AE：CE；（總結(jié)操作）根據(jù)（2）中求解的過程，可以直接寫出結(jié)果；要求m的取值范圍，根據(jù)交點(diǎn)的位置的限制進(jìn)行分析．【解答】（操作1）EP=EQ，證明：連接BE，根據(jù)E是AC的中點(diǎn)和等腰直角三角形的性質(zhì)，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，∵∠BEC=∠FED=90°∴∠BEP=∠CEQ，在△BEP和△CEQ中，∴△BEP≌△CEQ（ASA），∴EP=EQ；如圖2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，∴∠EMP=∠ENC，∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，∴∠MEP=∠NEF，∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；如圖3，過E點(diǎn)作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，∵在四邊形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，∴∠EPB+∠EQB=180°，又∵∠EPB+∠MPE=180°，∴∠MPE=∠EQN，∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，∴=，Rt△AME∽Rt△ENC，∴=m=，∴=1：m=，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式1：m，即EQ=mEP，∴0＜m≤2+，（因?yàn)楫?dāng)m＞2+時，EF和BC變成不相交）．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，證明過程類似．3．（2024·河北石家莊·一模）先閱讀材料，再解答問題：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的角時了解到：在同圓或等圓中，同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角相等．如圖，點(diǎn)A、B、C、D均為⊙O上的點(diǎn)，則有∠C=∠D．小明還發(fā)現(xiàn)，若點(diǎn)E在⊙O外，且與點(diǎn)D在直線AB同側(cè)，則有∠D＞∠E．請你參考小明得出的結(jié)論，解答下列問題：第3題（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，7），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．①在圖1中作出△ABC的外接圓（保留必要的作圖痕跡，不寫作法）；②若在x軸的正半軸上有一點(diǎn)D，且∠ACB=∠ADB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7，0）；（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，n），其中m＞n＞0．點(diǎn)P為x軸正半軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)∠APB達(dá)到最大時，直接寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【分析】（1）①作出△ABC的兩邊的中垂線的交點(diǎn)，即可確定圓心，則外接圓即可作出；②D就是①中所作的圓與x軸的正半軸的交點(diǎn)，根據(jù)作圖寫出坐標(biāo)即可；（2）當(dāng)以AB為弦的圓與x軸正半軸相切時，對應(yīng)的∠APB最大，根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求解．【解答】解：（1）①②根據(jù)圖形可得，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（7，0）；（2）當(dāng)以AB為弦的圓與x軸正半軸相切時，作CD⊥y軸，連接CP、CB．∵A的坐標(biāo)為（0，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，n），∴D的坐標(biāo)是（0，），即BC=PC=，在直角△BCD中，BC=，BD=，則CD==，則OP=CD=，故P的坐標(biāo)是（，0）．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，正確理解當(dāng)以AB為弦的圓與x軸正半軸相切時，對應(yīng)的∠APB最大，是關(guān)鍵．4.（2024·河大附中·一模）（本題滿分10分）在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC.問題發(fā)現(xiàn)：(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時（不與點(diǎn)B重合），如圖1，請你判斷線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論）；拓展探究：(2)如果AB=AC，∠BAC=90°，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時，如圖2，請判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，如成立，請證明你的結(jié)論。問題解決：(3)如圖3，AB≠AC，∠BAC≠90。，若點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動，試探究：當(dāng)銳角∠ACB等于度時，線段CE和BD之間的位置關(guān)系仍然成立（點(diǎn)C、E重合除外）。此時作DF⊥AD交線段CE于點(diǎn)F，AC=3，線段CF長的最大值是．答案：第4題答案：5.．（2024·河大附中·一模）（本題滿分11分）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線y=x+l+交與A,B兩點(diǎn)，其中A在y軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，P為拋物線上一動點(diǎn)。過點(diǎn).P作PC垂直于AB，垂足為C．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P在直線AB上方的拋物線上，設(shè)P的橫坐標(biāo)為m，用m的代數(shù)式表示線段PC的長，并求出線段PC的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，且滿足0°<∠PAB≤45°．請直接寫出①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；②縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P為“巧點(diǎn)”，“巧點(diǎn)”的個數(shù).第5題答案：6.（2024·黑龍江大慶·一模）（本題9分）在平面直角坐標(biāo)系中，有三點(diǎn)A（-1，0），B（0，錯誤！未找到引用源。），C（3，0）．（1）求過點(diǎn)A、B、C的拋物線的解析式；（2）如圖1，在線段AC上有一動點(diǎn)P，過P點(diǎn)作直線PD∥AB交BC于點(diǎn)D，求出△PBD面積的最大值；（3）如圖2，在（2）的情況下，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QBD的面積與△PBD面積相等，如存在，直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)，如不存在，請說明理由．第6題圖1圖2答案：解:（1）∵所求的函數(shù)解析式過A（-1，0），B（0，錯誤！未找到引用源。），C（3，0），∴設(shè)所求的函數(shù)解析式為：，當(dāng)，時，，解得：，∴所求的函數(shù)解析式為:或． 2分（2）∵A（-1，0），B（0，錯誤！未找到引用源。），C（3，0），OA=1，OB=，OC=3，OB⊥AC，∴在Rt△AOB和Rt△BOC中，tan∠BAO=，tan∠BCO=，∴∠BAO=60°，∠BCO=30°則∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC=2OB=；又∵AB⊥BC，PD//AB，∴PD⊥AC，∵P在線段AC上，設(shè)P（m，0），∴PC==3-m∵∠BCO=30°，PD⊥AC，∴PD=PC=；DC===，BD=BC-DC==，∴=，∴△PBD面積的最大值是； 5分（3）（，），（，），（1，），（2，）． 9分圖1圖27.（2024·黑龍江大慶·一模）（本題9分）如圖，直徑為10的半圓O，tan∠DBC=，∠BCD的平分線交⊙O于F，E為CF延長線上一點(diǎn)，且∠EBF=∠GBF．（1）求證：BE為⊙O切線；（2）求證：；（3）求OG的值．第7題答案：證明：（1）由同弧所對的圓周角相等得∠FBD=∠DCF，又∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF，已知∠EBF=∠GBF，∴∠EBF=∠∠BCF，∵BC為⊙O直徑，∴∠BFC=90°，∴∠FBC+∠FCB=90°，∴∠FBC+∠EBF=90°，∴BE⊥BC，∴BE為⊙O切線； 3分（2）證明：由（1）知∠BFC=∠EBC=90°，∠EBF=∠ECB，∴△BEF∽△CEB，∴，又∠EBF=∠GBF，BF⊥EG，∴△BEF≌△BGF，∴BE=BG，EF=FG，∴； 6分（3）如圖，過G作GH⊥BC于H，由已知CF平分∠BCD得GH=GD，又由tan∠DBC=得sin∠DBC=，∵BC=10，∴BD=8，BG=BD-GD=8-GD，∴，∴GD=GH=3，BG=5，BH=4，∵BC=10，∴OH=OB-BH=1，在Rt△OGH中，由勾股定理得OG=． 9分8.（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）（本題12分）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在軸的正半軸上，頂點(diǎn)D在軸的正半軸上，點(diǎn)B、點(diǎn)C在第一象限，sin∠OAD=，線段AD、AB的長分別是方程的兩根（AD＞AB）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求直線AB的解析式；（3）在直線AB上是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)C、點(diǎn)B、點(diǎn)M為頂點(diǎn)的三角形與△OAD相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．第8題答案：（1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E解方程得.∵AD>AB∴AD=8，AB=3∵∠OAD=,∴∠OAD=60°.∴∠BAE=30°OA=AD×cos60°=4∴AE=AB×cos30°=3×=，BE=AB×sin30°=∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（）（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b(k≠0).則，解得∴直線AB的解析式為y=x-.錯誤！未找到引用源。（3）存在，、、、.9.（2024·湖北襄陽·一模）（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于A（－3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）點(diǎn)Q是直線AC上方的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE垂直于軸，垂足為E．是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；第9題答案：解：（1）由拋物線過點(diǎn)A（－3，0），B（1，0），則…………1分解得………………2分∴二次函數(shù)的關(guān)系解析式．…………3分（2）連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．…4分設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），則．PM=，，AO=3．（5分）當(dāng)時，＝２．∴OC=2．……………6分＝＝＝．8分∵＝－１＜0，∴當(dāng)時，函數(shù)有最大值．此時＝．…………9分∴存在點(diǎn)，使△ACP的面積最大．……………10分（3）存在點(diǎn)Q，坐標(biāo)為：，．………13分分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三種情況討論可得出．10.(2024·浙江杭州蕭山區(qū)·模擬)如圖，△ABC和△DEF均是邊長為4的等邊三角形，△DEF的頂點(diǎn)D為△ABC的一邊BC的中點(diǎn)，△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，且邊DF、DE始終分別交△ABC的邊AB、AC于點(diǎn)H、G，圖中直線BC兩側(cè)的圖形關(guān)于直線BC成軸對稱．連結(jié)HH′、HG、GG′、H′G′，其中HH′、GG′分別交BC于點(diǎn)I、J．（1）求證：△DHB∽△GDC；（2）設(shè)CG=x，四邊形HH′G′G的面積為y，①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍．②求當(dāng)x為何值時，y的值最大，最大值為多少？【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【分析】（1）由等邊三角形的特點(diǎn)得到相等關(guān)系，即可；（2）由相似三角形得到，再結(jié)合對稱，表示出相關(guān)的線段，四邊形HH′G′G的面積為y求出即可．【解答】證明：（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠BHD+∠BDH=120°，在正△DEF中，∠EDF=60°，∴∠GDC+∠BDH=120°，∴∠BHD=∠GDC，∴△DHB∽△GDC，（2）①∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=CD=2，由△DHB∽△GDC，∴，即：，∴BH=，∵H，H′和G，G′關(guān)于BC對稱，∴HH′⊥BC，GG′⊥BC，∴在RT△BHI中，BI=BH=，HI=BH=，在RT△CGJ中，CJ=CG=，GJ=CG=，∴HH′=2HI=，GG’=2GJ=x，IJ=4﹣﹣，∴y=（+x）（4﹣﹣）（1≤x≤4）②由①得，y=﹣（+x）2+2（+x），設(shè)=a，得y=﹣a2+2a，當(dāng)a=4時，y最大=4，此時=4，解得x=2．【點(diǎn)評】此題是幾何變換綜合題，主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定以及對稱的性質(zhì)，用x表示線段是解決本題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．11.(2024·浙江麗水·模擬)（本題12分）如圖，將邊長為2的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD上，落點(diǎn)記為E（不與點(diǎn)C，D重合），點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕MN交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．（1）、若，①求出BN的長；②求的值；(2)若則的值是多少（用含的式子表示）．解：（1）①.②.（1）①∵沿MN折疊B和E重合，∴BN=NE，∵，CD=2，∴CE=1，設(shè)BN=NE=x在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE2=CE2+CN2，

x2=12+（2-x）2

x=，BN=NE=②∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=∠D=90°，∴∠QEN=∠B=90°，∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，∴∠DQE=∠CEN，∵∠D=∠C=90°，∴△DQE∽△CEN，∴，∴，DQ=，EQ=，∵折疊A和F重合，B和E重合，

∴∠F=∠A=90°，EF=AB=2，AM=MF，

在Rt△MFQ中，由勾股定理得：MQ2=MF2+FQ2，

（2---AM）2=AM2+（2-）2，

AM=∵沿MN折疊B和E重合，∴BN=NE，∵=，CD=2，∴CE=，設(shè)BN=NE=x在Rt△CEN中，由勾股定理得：NE2=CE2+CN2，x2=+（2-x）2x=，BN=NE=．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=∠D=90°，∴∠QEN=∠B=90°，∴∠DQE+∠DEQ=∠CEN+∠DEQ=90°，∴∠DQE=∠CEN，∵∠D=∠C=90°，∴△DQE∽△CEN，∴12.(2024·浙江金華東區(qū)·4月診斷檢測（本題12分）在平面直角坐標(biāo)系O中，矩形AOBD的頂點(diǎn)A為（0，），頂點(diǎn)B為（6，0），取OB、BD邊上的中點(diǎn)分別記為點(diǎn)E、F，以BE，BF為邊作矩形BEGF（如圖24-1），將矩形BEGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中OE、DF所在直線交于點(diǎn)M.（1）當(dāng)矩形BEGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖24-2時，求證：△OEB∽△DFB；（2）當(dāng)矩形BEGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到60°時，①求點(diǎn)M坐標(biāo)；②求點(diǎn)M在這個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路徑長；（3）在矩形BEGF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周的過程中，點(diǎn)E能否與點(diǎn)M重合，若能畫出相應(yīng)狀態(tài)圖，并求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不能，請說明理由.圖24-2圖24-1圖24-2圖24-1答案：（1）略（4分）；（2）①（2分）；②2（2分