第1課時(shí)　并集、交集 高一數(shù)學(xué)

1.3集合的基本運(yùn)算第1課時(shí)

并集、交集自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑思想方法

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、并集1.觀察下列各個(gè)集合.①A={-1,0},B={1,3},C={-1,0,1,3};②A={x|x是偶數(shù)},B={x|x是奇數(shù)},C={x|x是整數(shù)};③A={1,2},B={1,3,4},C={1,2,3,4}.(1)你能說(shuō)出集合C與集合A,B之間的關(guān)系嗎?(2)①中集合C的元素個(gè)數(shù)等于集合A,B的元素個(gè)數(shù)的和嗎?③呢?提示:(1)集合C是由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的.(2)在①中,集合C中有4個(gè)元素,集合A,B中各有2個(gè)元素,4=2+2;在③中,集合C中有4個(gè)元素,集合A中有2個(gè)元素,集合B中有3個(gè)元素,4<2+3.2.3.若集合M={-1,0,1},N={0,1,2},則M∪N等于(

)A.{0,1} B.{-1,0,1}C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}解析:集合A,B的所有元素有-1,0,1,2,即M∪N={-1,0,1,2},故選D.答案:D二、交集1.觀察下列集合,你能說(shuō)出集合C與集合A,B之間有什么關(guān)系嗎?(2)A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},C={x|x是等腰直角三角形};(3)A={x|x≤1},B={x|x≥0},C={x|0≤x≤1}.提示:集合C是由所有既屬于集合A又屬于集合B的元素組成的.2.若集合A={-1,0,1},B={2,4,6,8},則A∩B存在嗎?提示:存在,A∩B=?.3.

4.已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},則A∩B等于(

)A.{0} B.{-1,0}C.{0,1} D.{-1,0,1}解析:∵A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},∴A∩B={-1,0}.答案:B三、交集與并集的運(yùn)算性質(zhì)1.已知集合A={x|x2+1=0},B={0,2},則A∪B,A∩B與集合A,B有什么關(guān)系?提示:∵A=?,B={0,2},∴A∪B=B,A∩B=A.2.你能用Venn圖表示出任意兩個(gè)非空集合的所有可能關(guān)系嗎?提示:兩個(gè)非空集合的所有可能關(guān)系如下圖所示:3.你能從問(wèn)題2所畫的圖中發(fā)現(xiàn)哪些重要的結(jié)論?提示:由Venn圖,我們能夠發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論:A∩B=B∩A,A∪B=B∪A;(A∩B)?A,(A∩B)?B;A?(A∪B),B?(A∪B),(A∩B)?(A∪B).4.(1)A∪A=A,A∪?=A;A∩A=A,A∩?=?.(2)若集合A是集合B的子集,如下圖所示,則A?B?A∩B=A?A∪B=B.(3)若集合A,B沒有公共元素,如下圖所示,則A∩B=?.【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)交集的元素個(gè)數(shù)一定比參與運(yùn)算的任何一個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)少.(×)(2)集合A∪B的元素個(gè)數(shù)就是集合A和集合B的元素個(gè)數(shù)和.(×)(3)若A∪B=A,則B中的每一個(gè)元素都在集合A中.(√)(4)若A∩B=C∩B,則A=C.(×)

合作探究·釋疑解惑探究一

集合的并集與交集運(yùn)算【例1】

求下列兩個(gè)集合的并集和交集:(1)A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3};(2)A={x|x≤-2,或x>5},B={x|1<x≤7}.解:(1)∵A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3},∴A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},A∩B={1,2,3}.(2)將x≤-2或x>5及1<x≤7在數(shù)軸上表示出來(lái),如圖所示,

故A∪B={x|x≤-2,或x>1},A∩B={x|5<x≤7}.反思感悟求集合的并集與交集的兩種基本方法(1)定義法:若集合是用列舉法表示的,則直接利用并集和交集的定義求解,但要注意集合中元素的互異性.(2)數(shù)形結(jié)合法:若集合是用描述法表示的由實(shí)數(shù)組成的數(shù)集,則可以借助數(shù)軸,利用數(shù)軸分析求解,但要注意端點(diǎn)值的取舍.【變式訓(xùn)練1】

(1)已知集合A={x|(x-1)(x+2)=0},B={x|(x+2)(x-3)=0},則集合A∪B是(

)A.{-1,2,3} B.{-1,-2,3}C.{1,-2,3} D.{1,-2,-3}(2)若集合A={x|-2≤x<3},B={x|0≤x<4},則A∪B=

,A∩B=

.

解析:(1)∵A={1,-2},B={-2,3},∴A∪B={1,-2,3}.(2)將-2≤x<3與0≤x<4在數(shù)軸上表示出來(lái),如圖所示.

根據(jù)并集、交集的定義,知A∪B={x|-2≤x<4},A∩B={x|0≤x<3}.答案:(1)C

(2){x|-2≤x<4}

{x|0≤x<3}探究二

由集合的交集、并集求參數(shù)【例2】

已知集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5}.(1)若A∩B=?,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若A∪B=R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析:借助于數(shù)軸,列出關(guān)于a的不等式(組)求解.解:(1)由A∩B=?,知①若A=?,則2a>a+3,即a>3.②若A≠?,將集合A,B在數(shù)軸上表示出來(lái),如圖,(2)由A∪B=R,將集合A,B在數(shù)軸上表示出來(lái),如圖所示,反思感悟當(dāng)出現(xiàn)交集為空集的情形時(shí),應(yīng)首先考慮已知集合有沒有可能為空集,其次在與不等式有關(guān)的集合的交、并運(yùn)算中,數(shù)軸分析法直觀清晰,應(yīng)重點(diǎn)考慮,提升直觀想象素養(yǎng).【變式訓(xùn)練2】

已知集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=?,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若A∪B={x|x<1},求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)將集合A,B在數(shù)軸上表示出來(lái),如圖所示,由圖可知,要使A∩B=?,實(shí)數(shù)a需滿足a≤-1.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤-1}.(2)將集合A,B在數(shù)軸上表示出來(lái),如圖所示,

要使A∪B={x|x<1},實(shí)數(shù)a需滿足-1<a≤1,即a的取值范圍為{a|-1<a≤1}.探究三

并集、交集性質(zhì)的運(yùn)用【例3】

已知集合A={x|0≤x≤4},集合B={x|m+1≤x≤1-m},且A∪B=A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:∵A∪B=A,∴B?A.∵A={x|0≤x≤4}≠?,∴B=?或B≠?.當(dāng)B=?時(shí),有m+1>1-m,解得m>0.當(dāng)B≠?時(shí),在數(shù)軸上表示出集合A和B,如圖所示,解得-1≤m≤0.綜上所得,實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥-1.將本例中“A∪B=A”改為“A∩B=A”,其他條件不變,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|m≤-3}.解:∵A∩B=A,∴A?B.用數(shù)軸表示出集合A,B,如圖,反思感悟1.在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時(shí),若條件中出現(xiàn)A∩B=A或A∪B=B,應(yīng)首先轉(zhuǎn)化為A?B,然后用集合間的關(guān)系解決問(wèn)題,并注意A=?的情況,切不可漏掉.2.集合運(yùn)算常用的性質(zhì):(1)A∪B=B?A?B;(2)A∩B=A?A?B;(3)A∩B=A∪B?A=B等.思想方法等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想在集合中的應(yīng)用【典例】

設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a-1)x+(a2-5)=0},且A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.審題視角:A∪B=A→B?A→討論集合B→列方程→求a解:由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故A={1,2}.因?yàn)锳∪B=A,所以B?A.當(dāng)Δ=4(a-1)2-4(a2-5)=24-8a<0,即a>3時(shí),B=?,滿足條件.當(dāng)Δ=24-8a=0,即a=3時(shí),B={-2}不滿足條件.當(dāng)Δ=24-8a>0,即a<3時(shí),x2+2(a-1)x+(a2-5)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,又B?A,所以1,2均為關(guān)于x的方程x2+2(a-1)x+(a2-5)=0的實(shí)根,即1+2(a-1)+(a2-5)=0,且4+4(a-1)+(a2-5)=0,這是不可能的.綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a>