2023-2024學(xué)年寧夏平羅縣高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期第一次月考試卷附答案解析

-2024學(xué)年寧夏平羅縣高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期第一次月考試卷試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘2024.04數(shù)學(xué)試卷一?單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1．在等差數(shù)列中，若，則（

）A．6 B．9 C．11 D．242．曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A．0 B．1 C．-1 D．23．高二某班4名同學(xué)分別從3處不同風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處進(jìn)行旅游觀光，則共有多少種選擇方案（

）A．種 B．種 C．種 D．種4．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A．B．C．D．5．用0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（

）A．24個(gè) B．30個(gè) C．36個(gè) D．42個(gè)6．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A． B．C． D．7．現(xiàn)有5種不同顏色要對如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有（

）A．150種 B．180種 C．240種 D．120種8．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)恒有，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有多選錯(cuò)選的得0分.）9．下列求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（

）．A． B．C． D．10．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，下列結(jié)論正確的是（

）

A．是函數(shù)的極值點(diǎn)B．是函數(shù)的極值點(diǎn)C．在處取得極大值D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增11．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足，對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在上為增函數(shù)B．是函數(shù)的極小值點(diǎn)C．函數(shù)必有個(gè)零點(diǎn)D．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和等于.14．已知函數(shù)在時(shí)取得極大值4，則．15．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．3名男生，4名女生，全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端的站法有種.四、解答題（本大題共6小題，共70分，其中第17題滿分10分，第18-22題每題滿分12分．每道題目應(yīng)給出必要的解答過程）17．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．?dāng)?shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的值．18．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在的最大值和最小值．19．在三棱臺(tái)中，平面，，，，為中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．已知函數(shù)(1)若函數(shù)在處取得極值，求的值；(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.22．已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，1．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量運(yùn)算求解．【詳解】設(shè)的公差為d，因?yàn)椋?，又，所以．故選：B．2．A【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求，即可得答案.【詳解】由，則，所以點(diǎn)處的切線斜率為.故選：A3．D【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可得解.【詳解】由題意知每位同學(xué)都有3種選擇，可分4步完成，每步由一位同學(xué)選擇，故共有種選擇方法.故選：D.4．C【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可得的單調(diào)性，即可結(jié)合選項(xiàng)求解.【詳解】由的圖象可知：當(dāng)和時(shí)，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，結(jié)合選項(xiàng)可知，只有C中函數(shù)符合要求，故選：C5．B【分析】根據(jù)給定條件，按個(gè)位數(shù)字是0和不是0分類，再利用排列知識(shí)求解作答.【詳解】計(jì)算偶數(shù)個(gè)數(shù)有兩類辦法：個(gè)位數(shù)字是0，十位和百位從另4個(gè)數(shù)字中選兩個(gè)進(jìn)行排列有種結(jié)果，個(gè)位數(shù)字不是0，從2和4中選一個(gè)作個(gè)位，從除0外的另3個(gè)數(shù)字中選一個(gè)作百位，再從余下3個(gè)數(shù)字中選一個(gè)作十位，共有種結(jié)果，由分類加法計(jì)數(shù)原理得，偶數(shù)共有種結(jié)果.故選：B6．B【分析】求導(dǎo)解不等式得單調(diào)增區(qū)間.【詳解】易知的定義域?yàn)椋?，?dāng)，得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.故選：B.7．B【分析】分步完成涂色，先涂，再涂，然后涂，．【詳解】分步涂色，第一步對涂色有5種方法，第二步對涂色有4種方法，第三步對涂色有3種方法，第四步對涂色有3種方法，∴總的方法數(shù)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分步乘法原理，解題關(guān)鍵是確定完成涂色這件事的方法：分類還是分步．8．B【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合選項(xiàng)，依次判斷.【詳解】設(shè)，則，由條件可知，，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即，故A錯(cuò)誤；由函數(shù)的單調(diào)性可知，，得，故B正確；由，得，故C錯(cuò)誤；由，得，故D錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，從而可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷選項(xiàng).9．AB【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式分別計(jì)算.【詳解】，A錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤；，C正確；，D正確．故選：AB．10．AD【分析】根據(jù)函數(shù)的極值的定義和判斷方法，通過圖像，可判斷出選項(xiàng)ABC的正誤；再通過函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷出選項(xiàng)D的正誤.【詳解】對于選項(xiàng)A，由圖像可知，在的左側(cè)，在的右側(cè)，所以由函數(shù)的極值的判斷方法可知，選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，由圖像可知，在的左側(cè)，在的右側(cè)，所以由函數(shù)的極值的判斷方法可知，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，根據(jù)圖像和極值的定義可知，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，由圖像可知，在區(qū)間上，恒有，且僅在處取到等號(hào)，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.11．BC【分析】根據(jù)題意可得導(dǎo)函數(shù)在有變號(hào)零點(diǎn)，從而建立不等式即可求解.【詳解】∵定義域?yàn)?，，又∵在上不單調(diào)，∴且在有變號(hào)零點(diǎn).即：且在有變號(hào)零點(diǎn).∴，∴，解得：.故選：BC.12．BD【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)滿足判斷選項(xiàng)AB，再結(jié)合，分，，判斷選項(xiàng)C；再由函數(shù)在上為增函數(shù)判斷選項(xiàng)D.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則，所以是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則，所以是減函數(shù)；故A錯(cuò)誤，B正確；又，則，當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可能有1個(gè)或個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，即，整理得，故D正確；故選：BD13．72【分析】利用等差數(shù)列的求和公式可得答案.【詳解】因?yàn)?，故答案為?214．【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，待定系數(shù)計(jì)算并驗(yàn)證即可.【詳解】由題意可知，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得極大值4，所以，解之得，檢驗(yàn)，此時(shí)，令或，令，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即滿足題意，故.故答案為：15．【分析】依題意，求導(dǎo)得函數(shù)在上單調(diào)遞增，原不等式可化為，解之可得答案．【詳解】，在上單調(diào)遞增，，，解得故答案為：.16．3720【分析】解法一，對特殊元素進(jìn)行分類，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解；解法二，采用間接法，和排列數(shù)公式，即可求解；解法三，特殊位置優(yōu)先法，列式求解.【詳解】解法一(特殊元素優(yōu)先法)：按甲是否在最右端分兩類：第一類：甲在最右端時(shí)有(種)第二類：甲不在最右端時(shí)，甲有個(gè)位置可選，而乙也有個(gè)位置，而其余全排有(種)故(種)．解法二(間接法)：無限制條件的排列數(shù)共有，而甲在左端或乙在右端的排法都有，且甲在左端且乙在右端的排法有故(種)．解法三(特殊位置優(yōu)先法)：按最左端優(yōu)先安排分步．對于左端除甲外有種排法，余下六個(gè)位置全排有，但減去乙在最右端的排法種，故(種)．17．（1）；（2）.【分析】（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，由其通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，將已知轉(zhuǎn)化為和d，即可表示，再帶入中，得答案；（2）因?yàn)樾碌臄?shù)列是等差數(shù)列加等比數(shù)列型，所以利用分組求和，再分別使用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，運(yùn)算得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有，解得，則．又，所以．（2）依題意得：．【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，特殊的等差數(shù)列和等比數(shù)列，多見于轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差或公比，還考查了分組求和求前n項(xiàng)和，屬于中檔題.18．(1)(2)最大值為，最小值為【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)值，即切線斜率；代入直線的點(diǎn)斜式方程即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性，求出極大值和極小值，再分別求出端點(diǎn)處的函數(shù)值比較即可得出其最大值和最小值．【詳解】（1）易知，函數(shù)的定義域?yàn)?；所以，則切點(diǎn)為又，則在點(diǎn)處的切線斜率，所以，切線方程為，整理可得即函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；或時(shí)，，在或上單調(diào)遞增；函數(shù)在上的單調(diào)性列表如下：13極大值極小值所以，的極大值為，極小值為；又，；綜上可得，函數(shù)在上的最大值為，最小值為19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，推出，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面與平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，得為的中位線，，且．由于∽，，故，而，，則，，四邊形為平行四邊形，．又平面，平面，平面．（2）如圖，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，所以，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，則可取．平面平面的法向量可取為．設(shè)平面與平面的夾角為，,則，平面與平面的夾角余弦值為.20．(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】（1）解：且，有，當(dāng)時(shí)，有，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，由，適合，所以.（2）由（1）知，，所以.21．(1)(2)【分析】（1）利用極值點(diǎn)的意義得到，從而求得，再進(jìn)行驗(yàn)證即可得解；（2）分類討論的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)得到的性質(zhì)，從而得到且，解之即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，解得，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，符合題意，故.（2）由，其中，當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，最大值為，又，且當(dāng)時(shí)，，所以要使得函數(shù)有兩