2024年浙江寧波高三二模高考數(shù)學(xué)模擬試卷試題（答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁寧波市2023學(xué)年第二學(xué)期高考模擬考試高三數(shù)學(xué)試題卷本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卷上.將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上.3，非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊?不要弄破.選擇題部分（共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．2 D．2．若為銳角，，則（

）A． B． C． D．3．已知平面，則“”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知直線與圓相離，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．某校數(shù)學(xué)建模興趣小組為研究本地區(qū)兒子身高與父親身高之間的關(guān)系，抽樣調(diào)查后得出與線性相關(guān)，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.調(diào)查所得的部分樣本數(shù)據(jù)如下：父親身高164166170173173174180兒子身高165168176170172176178則下列說法正確的是（

）A．兒子身高是關(guān)于父親身高的函數(shù)B．當(dāng)父親身高增加時(shí)，兒子身高增加C．兒子身高為時(shí)，父親身高一定為D．父親身高為時(shí)，兒子身高的均值為6．已知數(shù)列滿足，對(duì)任意都有，且對(duì)任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．在正四棱臺(tái)中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．已知集合且，若中的點(diǎn)均在直線的同一側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．若平面向量滿足且，則（

）A．的最小值為2B．的最大值為5C．的最小值為2D．的最大值為10．已知函數(shù)，（

）A．若，則是最小正周期為的偶函數(shù)B．若為的一個(gè)零點(diǎn)，則必為的一個(gè)極大值點(diǎn)C．若是的一條對(duì)稱軸，則的最小值為D．若在上單調(diào)，則的最大值為11．指示函數(shù)是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)函數(shù)，通常用來表示某個(gè)條件的成立情況.已知為全集且元素個(gè)數(shù)有限，對(duì)于的任意一個(gè)子集，定義集合的指示函數(shù)若，則（

）注：表示中所有元素所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值之和（其中是定義域的子集）.A．B．C．D．非選擇題部分（共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．在中，，則.13．某快遞公司將一個(gè)快件從寄件人甲處攬收開始直至送達(dá)收件人乙，需要經(jīng)過5個(gè)轉(zhuǎn)運(yùn)環(huán)節(jié)，其中第1，2兩個(gè)環(huán)節(jié)各有兩種運(yùn)輸方式，第3，4兩個(gè)環(huán)節(jié)各有兩種運(yùn)輸方式，第5個(gè)環(huán)節(jié)有兩種運(yùn)輸方式.則快件從甲送到乙恰用到4種運(yùn)輸方式的不同送達(dá)方式有種.14．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)間的“曼哈頓距離”.已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，軸.點(diǎn)滿足.若直線與的交點(diǎn)在軸上，則的最大值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．在菱形中，，以為軸將菱形翻折到菱形，使得平面平面，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.16．已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．三個(gè)人利用手機(jī)軟件依次進(jìn)行拼手氣搶紅包活動(dòng)，紅包的總金額數(shù)為個(gè)單位.第一個(gè)人搶到的金額數(shù)為1到個(gè)單位且等可能（記第一個(gè)人搶完后剩余的金額數(shù)為），第二個(gè)人在剩余的個(gè)金額數(shù)中搶到1到個(gè)單位且等可能，第三個(gè)人搶到剩余的所有金額數(shù)，并且每個(gè)人搶到的金額數(shù)均為整數(shù)個(gè)單位.三個(gè)人都搶完后，獲得金額數(shù)最高的人稱為手氣王（若有多人金額數(shù)相同且最高，則先搶到最高金額數(shù)的人稱為手氣王）.(1)若，則第一個(gè)人搶到的金額數(shù)可能為個(gè)單位且等可能.（i）求第一個(gè)人搶到金額數(shù)的分布列與期望；（ii）求第一個(gè)人獲得手氣王的概率；(2)在三個(gè)人搶到的金額數(shù)為的一個(gè)排列的條件下，求第一個(gè)人獲得手氣王的概率.18．已知雙曲線，上頂點(diǎn)為，直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)（在第一象限），與軸交于點(diǎn).設(shè)直線的傾斜角分別為.(1)若，（i）若，求；（ii）求證：為定值；(2)若，直線與軸交于點(diǎn)，求與的外接圓半徑之比的最大值.19．定義：對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減），在區(qū)間上單調(diào)遞減（遞增），則稱這個(gè)函數(shù)為單峰函數(shù)且稱為最優(yōu)點(diǎn).已知定義在區(qū)間上的函數(shù)是以為最優(yōu)點(diǎn)的單峰函數(shù)，在區(qū)間上選取關(guān)于區(qū)間的中心對(duì)稱的兩個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，稱使得較小的試驗(yàn)點(diǎn)為好點(diǎn)（若相同，就任選其一），另一個(gè)稱為差點(diǎn).容易發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)點(diǎn)與好點(diǎn)在差點(diǎn)的同一側(cè).我們以差點(diǎn)為分界點(diǎn)，把區(qū)間分成兩部分，并稱好點(diǎn)所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設(shè)存優(yōu)區(qū)間為，再對(duì)區(qū)間重復(fù)以上操作，可以找到新的存優(yōu)區(qū)間，同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間，滿足，可使存優(yōu)區(qū)間長(zhǎng)度逐步減小.為了方便找到最優(yōu)點(diǎn)（或者接近最優(yōu)點(diǎn)），從第二次操作起，將前一次操作中的好點(diǎn)作為本次操作的一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，若每次操作后得到的存優(yōu)區(qū)間長(zhǎng)度與操作前區(qū)間的長(zhǎng)度的比值為同一個(gè)常數(shù)，則稱這樣的操作是“優(yōu)美的”，得到的每一個(gè)存優(yōu)區(qū)間都稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，稱為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間常數(shù).對(duì)區(qū)間進(jìn)行次“優(yōu)美的”操作，最后得到優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，令，我們可任取區(qū)間內(nèi)的一個(gè)實(shí)數(shù)作為最優(yōu)點(diǎn)的近似值，稱之為在區(qū)間上精度為的“合規(guī)近似值”，記作.已知函數(shù)，函數(shù).(1)求證：函數(shù)是單峰函數(shù)；(2)已知為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)，為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn).（i）求證：；（ii）求證：.注：.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和模進(jìn)行求解.【詳解】由，可得，所以.故選：B2．A【分析】根據(jù)同角關(guān)系得，即可由和差角公式求解.【詳解】為銳角，,故，所以，故選：A3．C【分析】根據(jù)線面垂直即可求證面面垂直，即可說明充分性，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，即可利用線面垂直的判斷求證必要性.【詳解】由于，所以，若，則，，故充分性成立，若，，設(shè)，，則存在直線使得，所以，由于，故，同理存在直線使得，所以，由于，故，由于不平行，所以是平面內(nèi)兩條相交直線，所以，故必要性成立，故選：C4．B【分析】根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑列不等式求解.【詳解】圓即，則圓圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相離所以，解得.故選：B.5．D【分析】根據(jù)變量的線性相關(guān)、經(jīng)驗(yàn)回歸方程特點(diǎn)逐項(xiàng)分析即可得結(jié)論.【詳解】由題意知父親身高與兒子身高具有線性相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系，故A不正確；當(dāng)父親身高增加時(shí)，兒子身高約增加，故B不正確；當(dāng)兒子身高為時(shí)，代入可得，父親身高可能為，故C不正確；若某父親身高為，則其兒子的身高估計(jì)為，故D正確．故選：D．6．C【分析】由題意可得數(shù)列在上是遞減數(shù)列，數(shù)列在上是遞增數(shù)列，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意都有，所以數(shù)列在上是遞減數(shù)列，因?yàn)閷?duì)任意都有，所以數(shù)列在上是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.7．C【分析】根據(jù)勾股定理求解棱臺(tái)的高,進(jìn)而根據(jù)相切，由勾股定理求解球半徑，即可由表面積公式求解.【詳解】設(shè)棱臺(tái)上下底面的中心為,連接，則，所以棱臺(tái)的高,設(shè)球半徑為,根據(jù)正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知：球與上底面相切于,與棱均相切于各邊中點(diǎn)處，設(shè)中點(diǎn)為，連接,所以，解得，所以球的表面積為，故選：C8．A【分析】依題意可得，令，求出與的交點(diǎn)坐標(biāo)，依題意只需或，即可求出的取值范圍.【詳解】依題意集合即為關(guān)于、的方程組的解集，顯然，所以，即，令，由，解得或，即函數(shù)與的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，又，所以為奇函數(shù)，因?yàn)榕c在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，依題意與、的交點(diǎn)在直線的同側(cè)，只需或，即或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為與、的交點(diǎn)在直線的同側(cè).9．BD【分析】由向量方向間的關(guān)系，判斷的最大值和最小值；由，通過的最值，計(jì)算的最值.【詳解】當(dāng)向量方向相同，與方向相反時(shí)，滿足，此時(shí)有最小值，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)向量方向相同時(shí)，滿足，此時(shí)有最大值，B選項(xiàng)正確；，有，即，則，向量方向相同時(shí)，的最小值為0，的最小值為3，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；向量方向相反時(shí)，的最大值為2，的最大值為，D選項(xiàng)正確.故選：BD10．ACD【分析】根據(jù)選項(xiàng)中的條件，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像、性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】若，則，所以是最小正周期為的偶函數(shù)，A正確；若，則是最小正周期為，若為的一個(gè)零點(diǎn)，則為的一個(gè)極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)，B錯(cuò)誤；若是的一條對(duì)稱軸，則，所以，即，又，所以的最小值為，C正確；若則，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，令，解得，又在上單調(diào)，所以當(dāng)時(shí)，，即，解得，則的最大值為，D正確.故選：ACD.11．BCD【分析】根據(jù)的定義，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，由于,所以故，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若,則，此時(shí)滿足，若且時(shí)，，若且時(shí)，，若且時(shí)，，綜上可得，故B正確，對(duì)于C，而，由于，所以故,C正確，,當(dāng)時(shí)，此時(shí)中至少一個(gè)為1，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)均為0，所以，故,故D正確，故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：充分利用的定義以及的定義，由此可得時(shí)，此時(shí)均為0，時(shí)，此時(shí)中至少一個(gè)為1，結(jié)合的定義化簡(jiǎn)求解.12．2【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由余弦定理可得,故答案為：213．16【分析】根據(jù)題意，1，2，3，4個(gè)環(huán)節(jié)必須包含三種不同的運(yùn)輸方式，分為若第1，2個(gè)環(huán)節(jié)運(yùn)輸方式相同，和第1，2個(gè)環(huán)節(jié)運(yùn)輸方式不相同兩類，分類分步研究可解.【詳解】快遞從甲送到乙有4種運(yùn)輸方式，且第5個(gè)環(huán)節(jié)從d，e兩種運(yùn)輸方式中選一種，1，2，3，4個(gè)環(huán)節(jié)必須包含三種不同的運(yùn)輸方式，若第1，2個(gè)環(huán)節(jié)運(yùn)輸方式相同，則只能都選，則3，4個(gè)環(huán)節(jié)一個(gè)選，一個(gè)選，則有種，若第1，2個(gè)環(huán)節(jié)運(yùn)輸方式不相同，則已經(jīng)包含兩種運(yùn)輸方式，則3，4個(gè)環(huán)節(jié)一個(gè)選，一個(gè)選，或者都選，則由種，快遞從甲送到乙有4種運(yùn)輸方式的運(yùn)輸順序共有種.故答案為：16．14．【分析】先根據(jù)條件找出坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合三角換元可得答案.【詳解】設(shè),由題意，；不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，由可得,設(shè)直線與的交點(diǎn)為，則有,;，由可得，整理得①；，由可得，整理得②；聯(lián)立①②可得，由題意，所以，由橢圓的對(duì)稱性可知，，因?yàn)?，設(shè)，，，其中；所以當(dāng)時(shí)，取到最大值.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有三個(gè)：一是理解新定義的含義；二是根據(jù)條件找出坐標(biāo)的關(guān)系;三是借助三角函數(shù)求解最值.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用面面平行的判定定理證明平面平面，從而根據(jù)線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）法1：根據(jù)面面垂直得線面垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解線面夾角即可；法2：根據(jù)點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，利用等體積轉(zhuǎn)化求解到平面的距離，從而轉(zhuǎn)化求解直線與平面所成角得正弦值.【詳解】（1）平面平面平面.同理可得平面.又平面，平面平面.平面平面.（2）法1：取中點(diǎn)，易知.平面平面，平面平面，又平面，平面.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則.從而，得.又，設(shè)平面的法向量，有，得，解得，取，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.法2：取中點(diǎn)，則是平行四邊形，所以.從而與平面所成角即為與平面所成角，設(shè)為.過作交于，過作交于，過作交于.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，從而平面，因?yàn)槠矫妫?，又，平面，從而平?所以的長(zhǎng)即為到平面的距離.由，可得.又，所以到平面的距離設(shè)為即為到平面的距離，即.又，可得.在中，，所以，得.所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.16．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系，作差可得，即可利用等比數(shù)列的定義求解，（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和以及分組求解，結(jié)合等差等比數(shù)列求和求解.【詳解】（1）時(shí)，，即.又，也符合，所以時(shí)，，即.又，所以，所以，所以數(shù)列成等比數(shù)列.（2）由（1）易得.由可得，所以.所以，所以.令，則，所以，所以.17．(1)（i）分布列見解析，2；（ii）；(2).【分析】（1）（i）根據(jù)題意可得，即可得的分布列與期望；（ii）將三個(gè)人搶到的金額數(shù)記作，根據(jù)的取值情況，分類求解所需概率；（2）利用條件概率公式分析求解即可得結(jié)論.【詳解】（1）若第一個(gè)人搶到的金額數(shù)為個(gè)單位，第二個(gè)人搶到的金額數(shù)為個(gè)單位，第三個(gè)人搶到的金額數(shù)為個(gè)單位，我們將三個(gè)人搶到的金額數(shù)記作.（i），所以的分布列為123.（ii）第一個(gè)人獲得手氣王時(shí)，三個(gè)人搶到的金額數(shù)只可能為，故第一個(gè)人獲得手氣王的概率.（2）記事件“三個(gè)人搶到的金額數(shù)為的一個(gè)排列”，事件“第一個(gè)人獲得手氣王”.所要求的是條件概率，有.當(dāng)三個(gè)人搶到的金額數(shù)為的一個(gè)排列時(shí)，總金額數(shù)為9，故第一個(gè)人搶到的金額數(shù)可能為.又，，故.18．(1)（i）；（ii）證明見解析.(2)2【分析】（1）（i）先求直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線斜率，進(jìn)而求解即可；（ii）法1，設(shè)直線的方程為形式，并聯(lián)立雙曲線方程，求直線的斜率的斜率和，進(jìn)而得證為定值；法2，設(shè)直線的方程為形式，并聯(lián)立雙曲線方程，求直線的斜率的斜率和，進(jìn)而得證為定值；（2）先對(duì)直線、斜率不存在的情形進(jìn)行驗(yàn)證；法1：和均存在時(shí)，設(shè)，求得，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值；法2，和均存在時(shí)，由三點(diǎn)共線可得，求得的值和，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值；法3，若和均存在，設(shè)，則，得到，求得，從而得到與的外接圓半徑之比的最大值.【詳解】（1）（i），所以直線.直線與聯(lián)立可得，解得或，所以.所以，所以；（ii）法1：①直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，設(shè)由得所以.當(dāng)時(shí)，由（i）可得；當(dāng)時(shí)，設(shè)的斜率分別為..所以，.所以.因?yàn)樵诘谝幌笙?，所以，所以，所?②直線斜率不存在時(shí)，可得，可得，所以，同理可得.綜上可得，為定值，得證.法2：①時(shí)，由（i）可得；②時(shí)，設(shè)的斜率分別為.設(shè)，由在直線上可得.與聯(lián)立可得，即，所以就是方程的兩根.所以，，因?yàn)樵诘谝幌笙蓿?，所以，所?綜上可得，為定值，得證.（2）由（1）可得時(shí)，.①不存在，則，由①（i）可得，所以，所以.②不存在，則，則，此時(shí)，由圖可得.③法1：若和均存在，設(shè)，則與雙曲線聯(lián)立可得.所以.所以，所以.設(shè)與的外接圓半徑分別為，從而.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.法2：若和均存在，設(shè)，則.由三點(diǎn)共線可得.所以，所以.所以.所以，所以.設(shè)與的外接圓半徑分別為，從而.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.法3：若和均存在，設(shè)，則，則.記直線的傾斜角為，則，所以所以.設(shè)與的外接圓半徑分別為，從而.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.所以與的外接圓半徑之比的最大值為2.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理