2019年理科數(shù)學普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(模擬試題)第一套

…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第頁2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（模擬試題）理科數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．作答時，務必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列命題中，真命題是（

）A.

若與互為負向量，則+=0

B.

若?=0，則=或=

C.

若，都是單位向量，則?=1

D.

若k為實數(shù)且k=，則k=0或=2.已知函數(shù)f（x）=cos2x，若把f（x）的圖象向左平移個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）的解析式為（）A.

B.

g（x）=cos2x

C.

g（x）=﹣sin2x

D.

g（x）=﹣cos2x3.集合A={x|（1+x）（1﹣x）＞0}，B={x|y=}，則A∩B=（

）A.

（﹣1，1）

B.

（0，1）

C.

[0，1）

D.

（﹣1，0]4.如圖，某校一文化墻上的一幅圓形圖案的半徑為分米，其內(nèi)有一邊長為分米的正六邊形的小孔，現(xiàn)向該圓形圖案內(nèi)隨機地投入一飛鏢(飛鏢的大小忽略不計)，則該飛鏢落在圓形圖案的正六邊形小孔內(nèi)的概率為（

）A.

B.

C.

D.

5.已知，則的大小關系為（

）A.

B.

C.

D.

6.等比數(shù)列中，，若，則k等于A.

4

B.

5

C.

6

D.

427.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（

）A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限8.已知拋物線和點，為拋物線上的點，則滿足的點有（

）個。A.

0

B.

2

C.

3

D.

49.已知曲線，則下列說法正確的是（

）A.

把上各點橫坐標伸長到原來的倍，再把得到的曲線向右平移，得到曲線

B.

把上各點橫坐標伸長到原來的倍，再把得到的曲線向右平移，得到曲線

C.

把向右平移，再把得到的曲線上各點橫坐標縮短到原來的，得到曲線

D.

把向右平移，再把得到的曲線上各點橫坐標縮短到原來的，得到曲線10.(5分)已知函數(shù)，若a、b、c互不相等，且，則a＋b＋c的取值范圍是（

）A.

（1，2014）

B.

（1，2015）

C.

（2，2015）

D.

[2，2015]11.(5分)函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A.

和

B.

和

C.

和

D.

和12.(5分)已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）與過原點的直線交于A、B兩點，右焦點為F，∠AFB=120°，若△AFB的面積為4，則橢圓E的焦距的取值范圍是（

）A.

[2，+∞）

B.

[4，+∞）

C.

[2，+∞）

D.

[4，+∞）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設復數(shù)z的共軛復數(shù)為=1﹣i（i為復數(shù)單位），則﹣的值為________．14.三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和為14，它們的積為64，則這三個數(shù)為________．15.已知函數(shù)f（x）=sin5x+1，則：∫f（x）dx等于________．16.已知函數(shù)，，若對任意，存在，使，則實數(shù)的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分。17.(12分)已知數(shù)列滿足，，且．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設數(shù)列的前項和為，求出的表達式．18.(12分)近年來，武漢市出現(xiàn)了非常嚴重的霧霾天氣，而燃放煙花爆竹會加重霧霾，是否應該全面禁放煙花爆竹已成為人們議論的一個話題．武漢市環(huán)保部門就是否贊成禁放煙花爆竹，對400位老年人和中青年市民進行了隨機問卷調(diào)查，結(jié)果如下表：贊成禁放不贊成禁放合計老年人60140200中青年人80120200合計140260400附：K2=P（k2＞k0）0.0500.0250.010k03.8415.0246.635（1）有多大的把握認為“是否贊成禁放煙花爆竹”與“年齡結(jié)構(gòu)”有關？請說明理由；（2）從上述不贊成禁放煙花爆竹的市民中按年齡結(jié)構(gòu)分層抽樣出13人，再從這13人中隨機的挑選2人，了解他們春節(jié)期間在煙花爆竹上消費的情況．假設一位老年人花費500元，一位中青年人花費1000元，用X表示它們在煙花爆竹上消費的總費用，求X的分布列和數(shù)學期望．19.(12分)（2018?卷Ⅰ）設橢圓的右焦點為，過得直線與交于兩點，點的坐標為.（1）當與軸垂直時，求直線的方程；（2）設為坐標原點，證明：.20.(12分)如圖，在四面體中，分別是線段的中點，，，，直線與平面所成的角等于．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．21.(12分)已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若，且對任意，，，都有，求實數(shù)a的最小值．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分．22.[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標系xoy中，曲線C1是以C1（3，1）為圓心，為半徑的圓．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線C2：ρsinθ﹣ρcosθ=1．（1）求曲線C1的參數(shù)方程與直線C2的直角坐標方程；（2）直線C2與曲線C1相交于A，B兩點，求△ABC1的周長．23.[選修4－5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)的最小值為（，，為正數(shù)）.（1）求的最小值；（2）求證：.

答案解析部分一、單選題1.【答案】D【考點】向量的加法及其幾何意義，向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，平面向量數(shù)量積的運算【解析】【解答】解：若與互為負向量，則+=，故A為假命題；若?=0，則=或=或⊥，故B為假命題；若，都是單位向量，則﹣1≤?≤1，故C為假命題；若k為實數(shù)且k=，則k=0或=，故D為真命題；故選D【分析】根據(jù)兩個向量和仍然是一個向量，可以判斷A的真假；根據(jù)向量數(shù)量積為0，兩個向量可能垂直，可以判斷B的真假；根據(jù)向量數(shù)量積公式，我們可以判斷C的真假；根據(jù)數(shù)乘向量及其幾何意義，可以判斷D的真假；進而得到答案．2.【答案】C【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換【解析】【解答】解：函數(shù)f（x）=cos2x，圖象向左平移個單位得到：cos2（x+）=cos（2x）=﹣sin2x=g（x）．故答案為：C．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換左加右減，注意提出2單獨對x進行變換。3.【答案】C【考點】交集及其運算【解析】【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由B中y=，得到x≥0，即B=[0，+∞），則A∩B=[0，1），故選：C．【分析】求出A中不等式的解集確定出A，求出B中x的范圍確定出B，找出兩集合的交集即可．4.【答案】B【考點】幾何概型【解析】【解答】半徑為6的圓形圖案的面積為36π，其圓內(nèi)接正六邊形的面積為：6××1×sin60°=

，故所求的概率為：P=

=

．故答案為：B．【分析】分別計算半徑為6的圓形圖案的面積及其圓內(nèi)接正六邊形的面積，可得所求概率.5.【答案】C【考點】對數(shù)值大小的比較【解析】【解答】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖形與性質(zhì)，可得，所以的大小關系為，故答案為：C.

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，取中間量進行比較即可.6.【答案】C【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)【解析】

【分析】∵a2=3，a3=9∴q=3∴ak=a2*qk-2=3*3k-2=243∴k=6,故答案為：C7.【答案】D【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，復數(shù)代數(shù)形式的加減運算【解析】【分析】因為，所以其對應點為（1，-2），位于第四象限.選D.8.【答案】A【考點】拋物線的標準方程，拋物線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】設方程無解，所以點不存在9.【答案】B【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換【解析】【解答】對于，對于,,對于，,對于，,故答案為:B.【分析】由三角函數(shù)的圖象變換對各選項變換進行對比.10.【答案】C【考點】對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，正弦函數(shù)的圖象【解析】【分析】

函數(shù)，的圖象如下圖所示，

由正弦曲線的對稱性可知，而

所以，

所以選C.11.【答案】A【考點】正弦函數(shù)的圖象，正弦函數(shù)的單調(diào)性【解析】【解答】

最小正周期為，最大值為，故答案為：A.【分析】根據(jù)題目中所給的條件的特點，根據(jù)同角的三角函數(shù)關系化f（x）為正弦型函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求f（x）的最小正周期和最大值．12.【答案】B【考點】橢圓的簡單性質(zhì)【解析】【解答】解：取橢圓的左焦點F1，連接AF1，BF1，則AB與FF1互相平分，∴四邊形AFBF1是平行四邊形，∴AF1=BF，∵AF+AF1=2a，∴AF+BF=2a，∵S△ABF=AF?BF?sin120°=AF?BF=4，∴AF?BF=16，∵2a=AF+BF≥2=8，∴a≥4，又S△ABF==c?|yA|=4，∴c=，∴當|yA|=b=時，c取得最小值，此時b=c，∴a2=3c2+c2=4c2，∴2c=a，∴2c≥4．故選B．【分析】利用三角形的面積公式和橢圓的性質(zhì)得出a≥4，再根據(jù)三角形的面積公式得出當A與短軸端點重合時，c取得最小值，利用橢圓的性質(zhì)求出2c的最小值即可．二、填空題13.【答案】1【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【解析】【解答】解：∵=1﹣i，∴z=1+i，則﹣=1﹣i﹣==1﹣i﹣=1﹣i+i=1．

故答案為：1．

【分析】利用共軛復數(shù)的定義、復數(shù)運算法則即可得出．14.【答案】8，4，2或2，4，8【考點】等比數(shù)列的通項公式【解析】【解答】解：設此等比數(shù)列的公比為q，第二項為a，則?a?aq=64，+a+aq=14，解得a=4，q=或2．∴這三個數(shù)為：8，4，2或2，4，8．故答案為：8，4，2或2，4，8．【分析】設此等比數(shù)列的公比為q，第二項為a，利用它們的和為14，它們的積為64，列出方程，解出即可得出．15.【答案】π【考點】定積分【解析】【解答】解：∫f（x）dx=

=．

∵函數(shù)y=sin5x為奇函數(shù)，∴其圖象關于原點中心對稱，

又積分區(qū)間關于原點對稱，∴=0．

則∫f（x）dx==．

故答案為：π．

【分析】由和的積分等于積分的和展開，由定積分的幾何意義可得，然后直接求定積分得答案．16.【答案】【考點】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用【解析】【解答】函數(shù)的導函數(shù),，若,,為增函數(shù);若,或,為減函數(shù)；在上有極值,在x=1處取極小值也是最小值；,對稱軸x=b,,當時,在x=1處取最小值；當時,在x=b處取最小值；當時,在上是減函數(shù),；對任意,存在,使,只要的最小值大于等于的最小值即可,當時,,計算得出,故b無解;當時,,計算得出,綜上:,因此，本題正確答案是:.【分析】由題意得f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可,對f(x)用導數(shù)求最小值,對g(x)分類求最小值,再求b的范圍.三、解答題17.【答案】（1）證明：因，且，故，故.又因，故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列

（2）解：由(1)知數(shù)列的通項公式為，又，所以.故所以【考點】等差關系的確定，數(shù)列的求和【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件有，結(jié)合等差數(shù)列的定義得知數(shù)列為等差數(shù)列。

（2）首先根據(jù)（1）得出數(shù)列的通項公式，根據(jù)數(shù)列求和中裂相相消法得前n項和。

18.【答案】（1）解：因為K2=≈4.3956＞3.841，所以有95%把握認為“是否贊成禁放煙花爆竹”與“年齡結(jié)構(gòu)”有關

（2）解：因為140：120=7：6，所以13人中有老年人7人，中青年人6人．那么X=2000，1500，1000．P（X=2000）==，P（X=1500）==，P（X=1000）==，所以X的分布列為：X200015001000P所以EX=2000×+1500×+1000×=≈1462【考點】獨立性檢驗的應用，離散型隨機變量及其分布列【解析】【分析】（1）求出K2≈4.3956＞3.841，得有95%把握認為“是否贊成禁放煙花爆竹”與“年齡結(jié)構(gòu)”有關．（2）13人中有老年人7人，中青年人6人．那么X=2000，1500，1000．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列與EX．19.【答案】（1）解：由已知得，l的方程為x=1.由已知可得，點A的坐標為或.所以AM的方程為或.

（2）解：當l與x軸重合時，.當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以.當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為，，則，直線MA，MB的斜率之和為.由得.將代入得.所以，.則.從而，故MA，MB的傾斜角互補，所以.綜上，.【考點】橢圓的應用【解析】【分析】(1)由橢圓方程得F的坐標,得到直線l的方程,代入橢圓方程中求出點A,B的坐標,再求出直線AM的方程;(2)等價于直線MA,MB的斜率互為相反數(shù),設出直線l的方程代入到橢圓的方程中,消去x得到關于y的二次方程,由韋達定理計算直線MA,MB的斜率的和為0,得證.20.【答案】解：（Ⅰ）在中，是斜邊的中點，所以.因為是的中點，所以，且，所以，所以.又因為，所以，又，所以平面，因為平面，所以平面平面．（Ⅱ）方法一：取中點，連，則，因為，所以.又因為，，所以平面，所以平面．因此是直線與平面所成的角．故，所以.過點作于，則平面，且．過點作于，連接，則為二面角的平面角．因為，所以，所以，因此二面角的余弦值為．方法二：如圖所示，在平面BCD中，作x軸⊥BD，以B為坐標原點，BD，BA所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系．因為

(同方法一,過程略)則，,．所以,,，設平面的法向量，則，即，取,得．設平面的法向量則，即，取,得．所以，由圖形得二面角為銳角，因此二面角的余弦值為．【考點】直線與平面垂直的判定，平面與平面垂直的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用勾股定理，可證，再證，得到平面，即可證明結(jié)論；

（Ⅱ）先作輔助線，可證平面，得到是直線與平面所成的角，再證平面，得到為二面角的平面角，利用即可求出二面角的余弦值.21.【答案】（1）解：當時，．則

令，得，即，解得：或．因為函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．

（2）解：由函數(shù)．因為函數(shù)在上是增函數(shù)，所以對恒成立

即對恒成立．所以

即實數(shù)a的取值范圍是．

（3）解：因為，由知函數(shù)在上是增函數(shù)．因為，，，不妨設，所以由恒成立，可得，即恒成立．令，則在上應是增函數(shù)所以對恒成立．即對恒成立．即對恒成立因為當且僅當即時取等號，所以．所以實數(shù)a的最小值為．【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【解析】【分析】（1）利用a=-1的已知條件代入函數(shù)解析式中求出函數(shù)，再利用求導的方法判斷函數(shù)單調(diào)性，從而求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間。

（2）利用求導的方法判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合不等式恒成立問題的解決方法求出a的取值范圍。

（3）根據(jù)第二問得到的函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合不等式恒成立問題的解決方法和函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)有關的不等式條件求出a的最小值。22.【答案】（1）解：因為曲線C1是以C1（3，1）為圓心，以為半徑的圓，所以曲線C1的參數(shù)方程為

（α為參數(shù)），由直線C2的極坐標方程化為直角坐標方程得y﹣x=1，即x﹣y+1=0．

（2）因為圓心C1（3，1）到直線x﹣y+1=0的距離為d=，所以直線C2被曲線C1截得的弦長|AB|=2=2=，所以△ABC1的周長為+2．【考點】簡單曲線的極坐標方程【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出的參數(shù)方程，由極坐標方程定義得出直角坐標方程；（2）根據(jù)垂徑定理，算出弦長AB，則的周長為弦長加上半徑的2倍.23.【答案】（1）解：∵（當且僅當時取等號），由題意，得.根據(jù)柯西不等式，可知

，∴.∴的最小值為36

（2）證明：∵，，，∴

，∴【考點】基本不等式，不等式的綜合【解析】【分析】（1）根據(jù)絕對值中符號判斷以及柯西不等式求解a2+b2+c2的最小值.

（2）根據(jù)基本