導數(shù)的概念教學設計

教學設計課題名稱：導數(shù)的概念(新授課)學科年級：高二數(shù)學教材版本：人教A版一、教學內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容選自人教A版選修1-1第三章第一節(jié)的內(nèi)容，具體內(nèi)容包括：變化率問題、導數(shù)的概念。導數(shù)是微積分中的核心概念，它有極其豐富的實際背景和廣泛的應用。本章是在學生學習了物理的平均速度和瞬時速度的背景下，闡述了平均變化率和瞬時變化率的關系，從實例出發(fā)得到導數(shù)的概念，為以后更好地研究導數(shù)的幾何意義和導數(shù)的應用奠定基礎。課標教材不介紹極限的形式化定義及相關知識，而是從平均變化率入手，通過列表計算、直觀地把握函數(shù)變化趨勢（蘊涵著極限的描述性定義），用形象直觀的“逼近”方法定義導數(shù)。更有利于學生理解和接受。二、教學目標知識與技能：理解導數(shù)的概念，知道瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內(nèi)涵；會求函數(shù)在某點的導數(shù)過程與方法：在教師指導下，讓學生積極主動地探索導數(shù)概念的形成過程，鍛煉運用分析、抽象、歸納、總結形成數(shù)學概念的能力,體會數(shù)學知識在現(xiàn)實生活中的廣泛應用。情感態(tài)度與價值觀：學生通過置疑與探究，培養(yǎng)學生獨立的人格與敢于創(chuàng)新精神。三、學習者特征分析所教學生是文科生，數(shù)學基礎薄弱，尤其是高一所學的函數(shù)知識已經(jīng)遺忘了，因此學習導數(shù)這一章應該有一定的困難，因此課堂要化講授為活動，化抽象為形象。四、教學策略選擇與設計課堂上設計了學生的動手實驗、分組計算、教師的幾何畫板演示、學生的總結交流、課堂自我評價等活動。讓學生積極主動地探索導數(shù)概念的形成過程，鍛煉運用分析、抽象、歸納、總結形成數(shù)學概念的能力,體會數(shù)學知識在現(xiàn)實生活中的廣泛應用。五、教學重點及難點重點：導數(shù)的概念的建立難點：豐富學生的感性經(jīng)驗，通過實例引出所學概念，運用逼近的思想方法引導學生探索理解導數(shù)的思想及內(nèi)涵。六、教學過程教師活動預設學生活動設計意圖問題1經(jīng)營收益率假設你準備用10萬元進行投資,現(xiàn)有A、B兩個投資項目,經(jīng)過市場分析,獲悉其預期收益是固定的:項目A在6個月內(nèi)的收益為2萬元,項目B在兩年內(nèi)的收益為9萬元,問:你會選擇哪個項目投資?學生根據(jù)已有的生活經(jīng)驗，通過計算能夠對兩個項目的效益做出判定：應該用盈利和時間比值來判定。由實際生活中的例子讓學生體會只比較一個量的變化是不行的，必須綜合考慮兩個量的變化情況，激發(fā)學生學習的興趣。且此例子中的兩個變量較明顯，為后面“氣球膨脹率”和“高臺跳水”問題提供研究方向。實例2：將班內(nèi)同學平均分成4組，每組發(fā)一只氣球，各有一位同學負責將氣球吹起，其他同學觀察氣球在吹起過程中的變化，并做好準備回答以下問題：（1）氣球在吹起過程中，隨著吹入氣體的增加，它的膨脹速度有何變化？（2）你認為膨脹速度與哪些量有關系？（3）試用兩個變量之間的關系來表述氣球的膨脹率問題？教師引導學生把空氣容量的增加轉化為體積的增大，從而由體積變化量和半徑變化量的比值得到氣球膨脹率。思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?總結：學生可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來越慢，即氣球的膨脹速度越來越慢，如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么當V從0增加到1時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為當V從1增加到2時,氣球半徑增加了氣球的平均膨脹率為可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了．通過分析生活實例，提煉數(shù)學模型，為歸納函數(shù)平均變化率概念提供具體背景。用幾何畫板直觀地演示當球的體積增大（黑色部分面積變大，綠色越來越薄）時，半徑增大越來越小。學生觀察、體會通過觀察和計算，用數(shù)據(jù)解釋上述現(xiàn)象，并通過幾何畫板演示，更逼真的感受上述現(xiàn)象。實例3：在高臺跳水運動中，運動員相對水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關系：h（t）=－4.9t2＋6.5t＋10.問題一：計算運動員在這段時間里的平均速度，它的物理意義是什么？學生通過手工計算得到：在這段時間里，；在這段時間里，通過物理知識不難解釋這兩個平均速度的物理意義。如表示運動員在0到0.5秒這段時間內(nèi)上升了1.6米。讓學生結合兩個實例，對比、分析，抽象概括出一般形式，經(jīng)歷由特殊到一般的數(shù)學過程。對比三個問題平均變化率計算關系式，他們有什么共同特點?對于一般函數(shù)f(x)，如何計算其平均變化率？學生討論，分析，歸納根據(jù)前面的實例，得到結論：定義：一般地,函數(shù)y=f(x)中，式子稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率，其中△x、△y的值可正、可負，但△x值不能為0，△y的值可為0。并借助于幾何畫板給予直觀解釋。讓學生結合兩個實例，對比、分析，抽象概括出一般形式，經(jīng)歷由特殊到一般的數(shù)學過程。觀察函數(shù)f(x)的平均變化率，你能聯(lián)想到什么？從幾何角度得到平均變化率的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)形結合的思想。計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考以下問題：（1）運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？（2）認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？學生計算并思考使學生初步感受平均變化率的不足，激發(fā)進一步探求新知的欲望。用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)會出現(xiàn)悖論：運動員在運動，但平均速度是0。那么如何求運動員的瞬時速度呢？可以t=2時刻的瞬時速度為例進行研究。當Δt趨于0時，通過計算觀察平均速度的變化趨勢：可以看出，當增量△t趨近于0時平均速度越來越接近于瞬時速度。數(shù)學中用簡潔的符號來表示，即。并通過幾何畫板，拖動A點向B點運動的過程，更深入的體會逼近思想。幫助學生體會從平均速度到瞬時速度的過渡，理解學習瞬時速度的必要性和合理性。運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示呢？學生用代替2,通過類比得到將問題一般化，從特殊到一般，符合學生的認知規(guī)律,提高了他們的思維能力。回顧問題2氣球在體積時的瞬時膨脹率如何表示呢？學生得到瞬時膨脹率的表示。借助其他實例，抽象導數(shù)的概念，體會瞬時變化率不同的實際意義。對于一般函數(shù)在處的瞬時變化率如何表示呢？一般地，函數(shù)在處的瞬時變化率是：稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù),記作 或，即：引導學生舍棄具體問題的實際意義，抽象得出函數(shù)在某點處的瞬時變化率，即導數(shù)，幫助學生實現(xiàn)認識上的飛躍。七、教學評價設計將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產(chǎn)品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第xh時候，原油溫度（單位：）為。（1）計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。（2）計算第3h和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。2．已知一個物體運動的位移（m）與時間t（s）滿足關系S（t）＝-2t2+5t（1）求物體第5秒和第6秒的瞬時速度。（2）求物體在t時刻的瞬時速度。（3）求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動？讓學生學會用數(shù)學的眼光去看待物理模型，更深刻地把握事物變化的規(guī)律。八、板書設計一、平均變化率：一般地,函數(shù)y=f(x)中，式子稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率。幾何意義：平均變化率即反映了直線AB的斜率。二、瞬時變化率：函數(shù)在處的瞬時變化率是：（導數(shù)）稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0