易錯(cuò)拔尖：相交線(xiàn)（解析版）

易錯(cuò)拔尖：相交線(xiàn)（解析版）易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)1：對(duì)頂角概念理解出錯(cuò)1．（2021春?寧德期末）下列命題是真命題的有幾個(gè)？（）①對(duì)頂角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③若兩個(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角；④若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角不相等．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)思路引領(lǐng)：根據(jù)題目中的說(shuō)法可以判斷各個(gè)命題是否為真命題，從而可以解答本題．解：對(duì)頂角相等，故①是真命題，相等的角不一定是對(duì)頂角，如兩直線(xiàn)平行，同位角相等，而這兩個(gè)同位角不是對(duì)頂角，故②是假命題，因?yàn)閷?duì)頂角相等，所以?xún)蓚€(gè)角不相等，則這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角，故③是真命題，若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角可能相等，如兩直線(xiàn)平行，同位角相等，則這兩個(gè)同位角不是對(duì)頂角，故④是假命題，故選：B．總結(jié)提升：本題考查命題和定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，可以判斷題目中的命題是否為真命題．誤點(diǎn)警示：對(duì)頂角必須滿(mǎn)足具有公共邊，兩個(gè)角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，這兩個(gè)條件只滿(mǎn)足其中一個(gè)條件是不能判定這兩個(gè)角是對(duì)頂角的，在平時(shí)作業(yè)過(guò)程中，如果兩個(gè)角只滿(mǎn)足對(duì)頂角的一個(gè)特征，不少同學(xué)就誤認(rèn)為這兩個(gè)角是對(duì)頂角．易錯(cuò)點(diǎn)2：鄰補(bǔ)角與補(bǔ)角區(qū)分不清2．如圖，點(diǎn)O是直線(xiàn)AB上的任意一點(diǎn)，OC，OD，OE是過(guò)點(diǎn)O的三條射線(xiàn)，若∠AOD＝∠COE＝90°，則下列說(shuō)法：①與∠AOC互為鄰補(bǔ)角的角只有一個(gè)；②與∠AOC互為補(bǔ)角的角只有一個(gè)；③與∠AOC互為鄰補(bǔ)角的角有兩個(gè)；④與∠AOC互為補(bǔ)角的角有兩個(gè)．其中正確的是（）A．②③ B．①② C．③④ D．①④解析：由圖可知，∠AOC只有一個(gè)鄰補(bǔ)角∠BOC，①正確③錯(cuò)誤；∵∠AOD=∠COE=90°∴∠AOE+∠EOD=∠COD+∠EOD∴∠AOE=∠COD.又∵∠AOE+∠BOC=∠COD+∠EOD=90°所以∠BOC=∠EOD.∴與∠AOC互為補(bǔ)角的角有兩個(gè)，分別為∠BOC和∠EOD，②錯(cuò)誤④正確；故選D誤點(diǎn)警示：鄰補(bǔ)角既包含數(shù)量關(guān)系，又包含位置關(guān)系，補(bǔ)角僅包含數(shù)量關(guān)系，本題容易因?qū)︵徰a(bǔ)角和補(bǔ)角區(qū)分不清而出錯(cuò)。拔尖角度角度1利用鄰補(bǔ)角及對(duì)頂角的性質(zhì)求角1．如圖所示，直線(xiàn)AB、CD、EF兩兩相交，若∠1＝30°，∠2＝60°，則∠3＝，∠4＝，∠5＝，∠6＝．思路引領(lǐng)：根據(jù)對(duì)頂角相等可求∠3，∠4，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可求∠5，∠6，從而求解．解：∵∠1＝30°，∠2＝60°，∴∠3＝30°，∠4＝60°，∠5＝180°﹣30°＝150°，∠6＝180°﹣60°＝120°．故答案為：30°，60°，150°，120°．總結(jié)提升：此題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．2．（2021春?祥云縣期末）如圖，直線(xiàn)AB、CD、EF相交于點(diǎn)O．（1）寫(xiě)出∠COE的鄰補(bǔ)角；（2）分別寫(xiě)出∠COE和∠BOE的對(duì)頂角；（3）如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念即可解答；（2）根據(jù)對(duì)頂角的概念即可解答；（3）因?yàn)椤螧OF＝90°，所以AB⊥EF，由此可得∠AOF，再根據(jù)對(duì)頂角的概念可得∠FOC的度數(shù)．解：（1）∠COE的鄰補(bǔ)角為∠COF和∠EOD；（2）∠COE和∠BOE的對(duì)頂角分別為∠DOF和∠AOF；（3）∵∠BOF＝90°，∴AB⊥EF∴∠AOF＝90°，又∵∠AOC＝∠BOD＝60°∴∠FOC＝∠AOF+∠AOC＝90°+60°＝150°．總結(jié)提升：本題考查的主要內(nèi)容是鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的概念，以及角的和差計(jì)算，掌握鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的概念是解題的關(guān)鍵．角度2利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求折疊中的角（折疊法）3．（2021秋?成都期末）直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD相交于點(diǎn)O，∠AOD＝90°，射線(xiàn)OF在∠BOD內(nèi)部．（1）如圖1，射線(xiàn)OE在∠AOD內(nèi)部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，請(qǐng)比較∠AOE和∠DOF的大小，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，小亮將∠BOF沿射線(xiàn)OH折疊，使OF與OD重合，OB落在∠AOD的內(nèi)部為OG．小亮提出了以下問(wèn)題，請(qǐng)你解決：①∠BOG等于∠COF嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；②現(xiàn)有一條射線(xiàn)OM在∠AOD內(nèi)部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，請(qǐng)求出∠MOH的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）因?yàn)椤螦OD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，所以∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，則∠AOE＝∠DOF；（2）①因?yàn)椤螧OD＝90°，所以∠BOF+∠DOF＝90°，由折疊可知，∠BOF＝∠GOD，所以∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，因?yàn)镃OB＝90°，所以∠COB＝∠GOF，則∠BOG＝∠COF；②因?yàn)椤螧OF＝50°，所以∠DOF＝40°，由折疊可知，OH平分∠DOF，所以∠DOH＝∠FOH＝20°，因?yàn)椤螱OD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，所以∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．解：（1）∠AOE＝∠DOF，理由如下：∵∠AOD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，∴∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，∴∠AOE＝∠DOF；（2）①∠BOG＝∠COF，理由如下：∵∠BOD＝90°，∴∠BOF+∠DOF＝90°，∵∠BOF沿射線(xiàn)OH折疊得到∠GOD，∴∠BOF＝∠GOD，∴∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，∵∠COB＝90°，∴∠COB＝∠GOF，∴∠COB+∠BOF＝∠GOF+∠BOF，∴∠BOG＝∠COF；②∵∠BOF＝50°，∴∠DOF＝40°∵沿射線(xiàn)OH折疊，OF與OD重合，∴OH平分∠DOF，∴∠DOH＝∠FOH＝20°，∵∠GOD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，∴∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．總結(jié)提升：本題考查了垂線(xiàn)、角平分線(xiàn)的定義、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線(xiàn)定義．4．如圖，AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，如果∠AOC＝65°，∠DOF＝50°．（1）求∠BOE的度數(shù)．（2）通過(guò)計(jì)算∠AOF，∠AOC的度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)射線(xiàn)OA有什么特殊性嗎？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠BOD＝∠AOC＝65°，∠COE＝∠DOF＝50°，再根據(jù)題意解答即可；（2）由（1）的結(jié)論解答即可．解：（1）∵∠AOC＝65°，∠DOF＝50°，∴∠AOC＝∠BOD＝65°，∠COE＝∠DOF＝50°，∴∠BOE+∠AOF＝360﹣65°×2﹣50°×2＝130°，又∵∠BOE＝∠AOF，∴∠BOE=12×130（2）射線(xiàn)OA平分∠COF，理由如下：由（1）得，∠AOF＝65°，∴∠AOC＝∠AOF，∴射線(xiàn)OA平分∠COF．總結(jié)提升：此題主要考查了鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角，以及角平分線(xiàn)，關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，對(duì)頂角相等．角度3利用鄰補(bǔ)角及對(duì)頂角的性質(zhì)探究角的變化5．如圖，直線(xiàn)AB、CD交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．（1）∠AOC＝50°，求∠DOF與∠DOE的度數(shù)，并計(jì)算∠EOF的度數(shù)；（2）當(dāng)∠AOC的度數(shù)變化時(shí)，∠EOF的度數(shù)是否變化？若不變，求其值；若變化，說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，可得∠BOD、∠AOD，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得∠DOF與∠DOE的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得∠DOF與∠DOE的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案．解：（1）由對(duì)頂角相等，得∠BOD＝∠AOC＝50°，由OF平分∠BOD，得∠DOF=12∠BOD=12由鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，得∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，由OE平分∠AOD，得∠DOE=12∠AOD=12由角的和差，得∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝25°+65°＝90°；（2）∠AOC的度數(shù)變化時(shí)，∠EOF的度數(shù)沒(méi)有變化，理由：由OF平分∠BOD，得∠DOF=12∠由OE平分∠AOD，得∠DOE=12∠由角的和差，得∠EOF＝∠DOF+∠DOE=12∠BOD+=12（∠AOD+∠=12∠AOB＝總結(jié)提升：本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，利用了對(duì)頂角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，角的和差．角度4利用鄰補(bǔ)角及對(duì)頂角的定義進(jìn)行計(jì)數(shù)（基本圖形法）6．（1）觀察圖①，圖中共有條直線(xiàn)，對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．（2）觀察圖②，圖中共有條直線(xiàn)，對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．（3）觀察圖③，圖中共有條直線(xiàn)，對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．（4）若有n條不同直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，則可以形成對(duì)對(duì)頂角，對(duì)鄰補(bǔ)角．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義得到2×1＝2對(duì)對(duì)頂角，4對(duì)鄰補(bǔ)角；（2）根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義得到3×2＝6對(duì)對(duì)頂角，12對(duì)鄰補(bǔ)角；（3）根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義得到4×3＝12對(duì)對(duì)頂角，24對(duì)鄰補(bǔ)角；（4）根據(jù)前面的規(guī)律得到：有n條不同直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，可以得到n（n﹣1）對(duì)對(duì)頂角，2n（n﹣1）對(duì)鄰補(bǔ)角．解：（1）圖①中共有2條直線(xiàn)，2對(duì)對(duì)頂角，4對(duì)鄰補(bǔ)角；（2）圖②中共有3條直線(xiàn)，6對(duì)對(duì)頂角，12對(duì)鄰補(bǔ)角；（3）圖③中共有4條直線(xiàn)，12對(duì)對(duì)頂角，24對(duì)鄰補(bǔ)角．（4）若有n條不同直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，則可以形成n（n﹣1）對(duì)對(duì)頂角，2n（n﹣1）對(duì)鄰補(bǔ)角．總結(jié)提升：本題考查了對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角；只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．角度5方程思想的運(yùn)用7．（2021春?撫遠(yuǎn)市期末）如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE＝7：1，求∠AOF的度數(shù)．思路引領(lǐng)：設(shè)∠AOD＝7x°，則∠BOE＝x°，由角平分線(xiàn)的定義可求解x值，進(jìn)而可求解∠COE的度數(shù)，由角平分線(xiàn)的定義可得∠COF的度數(shù)，再根據(jù)∠A