函數(shù)的表示法 2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第二冊）

3.1.2

函數(shù)的表示法自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑規(guī)范解答

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、函數(shù)的表示方法1.給出下列三個對應(yīng)關(guān)系:①x,y∈R,y=4x-1;②③它們分別是用什么形式表達(dá)兩個變量x,y之間的對應(yīng)關(guān)系的?它們是否都是函數(shù)關(guān)系?提示:分別用解析法、列表法、圖象法表示對應(yīng)關(guān)系,它們都是函數(shù)關(guān)系.2.函數(shù)的三種表示方法:(1)解析法,就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系;(2)列表法,就是列出表格表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系;(3)圖象法,就是用圖象表達(dá)兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.3.函數(shù)三種表示方法的比較

二、分段函數(shù)1.某商店銷售一種商品,當(dāng)銷售量x不超過20件時,單價為100元;當(dāng)銷售量超過20件時,超出部分按原件的90%計算,那么銷售收入y與銷售量x的函數(shù)關(guān)系應(yīng)怎么表達(dá)?提示:當(dāng)0≤x≤20時,y=100x;當(dāng)x>20時,y=100×20+(x-20)×90.2.在函數(shù)定義域內(nèi),對于自變量x的不同取值區(qū)間,有著不同的對應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).答案:AD【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)任何函數(shù)都可以用解析式表示.(×)(2)函數(shù)y=x2+1不能用列表法表示.(√)(3)函數(shù)的圖象一定是一條連續(xù)不斷的曲線.(×)(4)分段函數(shù)是由幾個函數(shù)組合而成的.(×)

合作探究·釋疑解惑探究一

函數(shù)的表示方法【例1】

某商店新進(jìn)了10部手機,每部售價3000元,試分別用列表法、圖象法、解析法表示售出部數(shù)x與銷售額y之間的函數(shù)關(guān)系.解:(1)列表法:如下表.(2)圖象法:如圖.

(3)解析法:y=3

000x,x∈{1,2,3,…,10}.反思感悟1.列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法,無論用哪種方式表示函數(shù),都必須滿足函數(shù)的概念.2.判斷所給圖象、表格、解析式是否表示函數(shù)的關(guān)鍵在于是否滿足函數(shù)的定義.3.函數(shù)的三種表示法互相兼容或補充,許多函數(shù)是可以用三種方法表示的,但在實際操作中,仍以解析法為主.【變式訓(xùn)練1】

已知函數(shù)f(x),g(x)分別由下表給出:(1)求f(g(1)),g(f(3))的值;(2)求滿足f(g(x))>g(f(x))的x的值.解:(1)f(g(1))=f(3)=1,g(f(3))=g(1)=3.(2)當(dāng)x=1時,f(g(1))=f(3)=1,g(f(1))=g(1)=3,不符合題意;當(dāng)x=2時,f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,符合題意;當(dāng)x=3時,f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不符合題意;綜上,x的值等于2.探究二

函數(shù)的圖象及其畫法解:(1)圖象為一次函數(shù)y=1-x所對應(yīng)的直線上的一些離散的點,如圖所示.(3)該函數(shù)為分段函數(shù),其圖象由兩部分組成,當(dāng)0≤x≤1時,為拋物線y=x2的一段;當(dāng)-1≤x<0時,為直線y=x+上的一段,如圖所示.反思感悟畫函數(shù)圖象的常用方法(1)描點作圖法:這是畫函數(shù)圖象的基本方法,其步驟是列表、描點、連線.(2)基本函數(shù)法:對于我們熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等,可直接根據(jù)以前學(xué)過的知識畫出圖象.(3)分段函數(shù)分段法:對于分段函數(shù),應(yīng)分段畫圖,將每一段區(qū)間上對應(yīng)的函數(shù)圖象畫出,即得該分段函數(shù)的圖象.【變式訓(xùn)練2】

畫出下列函數(shù)的圖象,并求出定義域和值域:解:(1)畫出f(x)的圖象,如圖所示.

觀察函數(shù)圖象可知,函數(shù)f(x)的定義域為R,值域為[0,1].觀察函數(shù)圖象可知,函數(shù)g(x)的定義域為R,值域為[-1,+∞).探究三

分段函數(shù)的求值問題解:依題意有f(-7)=f(-7+2)=f(-5)=f(-5+2)=f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=2×1-3=-1.反思感悟求分段函數(shù)的函數(shù)值的方法:(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間;(2)代入相應(yīng)段的解析式求值,直到求出值為止;(3)當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))形式的求值問題時,應(yīng)由內(nèi)到外依次求值.規(guī)范解答分段函數(shù)的解析式問題【典例】

已知函數(shù)f(x)=x2+1,g(x)=2x+4.若定義函數(shù)h(x):當(dāng)f(x)≥g(x)時,h(x)=f(x)-2g(x);當(dāng)f(x)<g(x)時,h(x)=2f(x)-g(x).(1)寫出h(x)的解析式;(2)求h(h(g(-2)))的值.審題策略:(1)由給出的h(x)的定義,通過解不等式得出自變量的兩個不同取值區(qū)間,按照分段函數(shù)的形式寫出解析式;(2)由內(nèi)向外逐步求值.規(guī)范展示:(1)當(dāng)f(x)≥g(x),即x2+1≥2x+4時,解得x≤-1或x≥3,此時h(x)=f(x)-2g(x)=x2+1-2(2x+4)=x2-4x-7;當(dāng)f(x)<g(x),即x2+1<2x+4時,解得-1<x<3,此時h(x)=2f(x)-g(x)=2(x2+1)-(2x+4)=2x2-2x-2.(2)因為g(-2)=2×(-2)+4=0,所以h(h(g(-2)))=h(h(0)),而h(0)=2×02-2×0-2=-2,所以h(h(g(-2)))=h(-2)=(-2)2-4×(-2)-7=5.答題模板:第1步:由f(x)≥g(x)求得x的取值范圍,并寫出此時h(x)的解析式.?第2步:由f(x)<g(x)求得x的取值范圍,并寫出此時h(x)的解析式.?第3步:根據(jù)分段函數(shù)的形式寫出h(x)的解析式.?第4步:先求g(-2)的值,再求h(g(-2))的值,最后求得h(h(g(-2)))的值.失誤展示造成失分的主要原因如下:(1)解錯不等式,導(dǎo)致分段函數(shù)的分段范圍錯誤;(2)計算化簡錯誤,導(dǎo)致h(x)的解析式錯誤;(3)h(x)的結(jié)果不符合分段函數(shù)的要求;(4)計算出錯,導(dǎo)致結(jié)果錯誤.【變式訓(xùn)練】

為鼓勵節(jié)約用水,某市打算出臺一項水費政策措施,規(guī)定每季度每人用水量不超過5噸時,每噸水費收基本價1.3元,超過5噸而不超過6噸時,超過部分的水費加收200%,超過6噸而不超過7噸時,超過部分的水費加收400%.如果某人本季度實際用水量為x(x≤7)噸,那么本季度他應(yīng)繳多少水費?解:用y(單位:元)表示本季度應(yīng)繳水費.當(dāng)0<x≤5時,y1=1.3x.當(dāng)5<x≤6時,應(yīng)把x分成兩部分:5與(x-5)分別計算,第一部分收基本水費1.3×5,第二部分由基本水費與加價水費組成,即1.3(x-5)+1.3(x-5)