專題1.2 集合間的基本關(guān)系【九大題型】(舉一反三)(人教A版2019必修第一冊)(解析版)_第1頁
專題1.2 集合間的基本關(guān)系【九大題型】(舉一反三)(人教A版2019必修第一冊)(解析版)_第2頁
專題1.2 集合間的基本關(guān)系【九大題型】(舉一反三)(人教A版2019必修第一冊)(解析版)_第3頁
專題1.2 集合間的基本關(guān)系【九大題型】(舉一反三)(人教A版2019必修第一冊)(解析版)_第4頁
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文檔簡介

專題1.2集合間的基本關(guān)系【九大題型】【人教A版(2019)】TOC\o"1-3"\h\u【題型1子集、真子集的概念】 2【題型2有限集合子集、真子集的確定】 3【題型3判斷兩個集合是否相等】 5【題型4根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)】 6【題型5空集的判斷及應(yīng)用】 7【題型6Venn圖表示集合的關(guān)系】 9【題型7集合間關(guān)系的判斷】 11【題型8利用集合間的關(guān)系求參數(shù)】 12【題型9集合間關(guān)系中的新定義問題】 14【知識點1子集與真子集】1.子集的概念定義一般地,對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素,稱集合A為集合B的子集記法

與讀法記作(或),讀作“A包含于B”(或“B包含A”)圖示或結(jié)論(1)任何一個集合是它本身的子集,即;

(2)對于集合A,B,C,若,且,則2.真子集的概念定義如果集合,但存在元素,且,我們稱集合A是集合B的真子集記法記作(或)圖示結(jié)論(1)且,則;

(2),且,則【注】(1)“A是B的子集”的含義:集合A中的任何一個元素都是集合B的元素,即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“AB”理解為“A是B中部分元素組成的集合”,因為集合A可能是空集,也可能是集合B.(3)特殊情形:如果集合A中存在著不是集合B中的元素,那么集合A不包含于B,或集合B不包含集合A.(4)對于集合A,B,C,若AB,BC,則AC;任何集合都不是它本身的真子集.(5)若AB,且A≠B,則AB.【題型1子集、真子集的概念】【例1】(2023·高一課時練習(xí))已知A是非空集合,則下列關(guān)系不正確的是(

)A.A?A B.A?≠A C【解題思路】根據(jù)集合間的關(guān)系,以及子集,真子集,空集的定義即可求解.【解答過程】由于A是非空集合,所以A?A,??A,??≠A,但是A不是故選:B.【變式1-1】(2023·高一課時練習(xí))集合A={x∣0≤xA.16 B.15 C.8 D.7【解題思路】用列舉法表示集合A,根據(jù)下面的結(jié)論求解:含有n個元素的集合的真子集的個數(shù)是2n【解答過程】A=0,1,2,3,集合A含有4個元素,真子集的個數(shù)是故選:B.【變式1-2】(2023·全國·高一假期作業(yè))已知集合A=0,1,2,3,則含有元素0的A的子集個數(shù)是(A.2 B.4C.6 D.8【解題思路】列出含有元素0的A的子集,求出答案.【解答過程】含有元素0的A的子集有0,0,1,0,2,0,3,0,1,2,0,1,3,0,2,3,0,1,2,3,故含有元素0的A的子集個數(shù)為8.故選:D.【變式1-3】(2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合A=x∈N-A.6 B.7 C.14 D.15【解題思路】根據(jù)自然數(shù)集的特征,結(jié)合子集的個數(shù)公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】因為A=所以集合A的元素個數(shù)為3,因此集合A的所有非空真子集的個數(shù)是23故選:A.【題型2有限集合子集、真子集的確定】【例2】(2023·高一課時練習(xí))滿足1,2?A?1,2,3,4的集合A.2 B.3 C.4 D.5【解題思路】利用列舉法求得集合A的個數(shù).【解答過程】由于1,2?所以A=1,2,A故選:C.【變式2-1】(2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12,則A.1 B.3 C.4 D.6【解題思路】首先列出集合A的非空子集,即可得到方程,解得即可.【解答過程】解:集合A=a,b的非空子集有a、所以a+解得a+故選:D.【變式2-2】(2023·全國·高一假期作業(yè))已知非空集合M?{1,2,3,4,5},若a∈M,則6-a∈M,那么集合M的個數(shù)為()A.5 B.6 C.7 D.8【解題思路】由條件知集合M的元素性質(zhì),分類討論驗證即可.【解答過程】∵a∈M,6-a∈M,M?{1,2,3,4,5},∴3在M中可單獨出現(xiàn),1和5,2和4必須成對出現(xiàn),逐個分析集合M元素個數(shù):一個元素時,為{3};兩個元素時,為{1,5},{2,4};三個元素時,為{3,1,5},{3,2,4};四個元素時,為{1,5,2,4};五個元素時,為{1,5,3,2,4},共7個.故選:C.【變式2-3】(2023·江西吉安·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知A=1,2,B=1,2,6,7,8,且A?A.6 B.7 C.8 D.9【解題思路】由集合間的基本關(guān)系A(chǔ)?C?B【解答過程】根據(jù)題意可知,集合C還應(yīng)包含集合B中除元素1,2之外的其他元素;若集合C中有三個元素,則C可以是1,2,6,,若集合C中有四個元素,則C可以是1,2,6,7,若集合C中有五個元素,則C可以是1,2,6,7,8;即這樣的集合C的個數(shù)為7個.故選:B.【知識點2集合相等與空集】1.集合相等的概念如果集合A的任何一個元素是集合B的元素,同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素,那么,集合A與集合B相等,記作A=B.也就是說,若A?B且B?A,則A=B.2.空集的概念(1)定義:不含任何元素的集合叫做空集,記為?.(2)規(guī)定:空集是任何集合的子集.3.Venn圖的優(yōu)點及其表示(1)優(yōu)點:形象直觀.(2)表示:通常用封閉曲線的內(nèi)部表示集合.【題型3判斷兩個集合是否相等】【例3】(2023·全國·高三專題練習(xí))已知集合M={1,0},則與集合M相等的集合為(

A.(x,yC.xx=(-1)【解題思路】求出每個選項的集合,即可比較得出.【解答過程】對A,(x,y對B,{(x,y對C,xx=(-1)對D,x-1<x<2故選:D.【變式3-1】(2023秋·遼寧沈陽·高一??茧A段練習(xí))下面說法中不正確的為(

)A.{x|xC.{x|x【解題思路】根據(jù)給定條件,利用集合的意義及表示法逐項分析判斷作答.【解答過程】對于A,因{x|x+y=1}=R對于B,因集合{(x,y)|x對于C,因集合{x|x>2}與{y|y對于D,由列舉法表示集合知{1,2}={2,1}正確,D正確.故選:B.【變式3-2】(2023·全國·高一假期作業(yè))已知集合M=(x,yA.P?M B.M?P C.【解題思路】先利用不等式的性質(zhì)化簡集合M,再利用集合與集合間的關(guān)系可知,M=N【解答過程】由x+y<0所以M=又P=(x故選:C.【變式3-3】(2023秋·四川眉山·高一??计谀┤艏螦=x|x=192kA.A?B B.B?A C.A=B【解題思路】對k分奇偶進(jìn)行討論,即可判斷集合A,B之間的關(guān)系.【解答過程】對于集合A,當(dāng)k=2nn∈Z時,A=x|故選:C.【題型4根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)】【例4】(2023春·湖南長沙·高二校考期末)已知實數(shù)集合A=1,a,A.-1 B.0 C.1 D.【解題思路】根據(jù)A=B,可得兩集合元素全部相等,分別求a2=1ab=b和a【解答過程】由題意A=得到a2=1ab=b解得a=-1b=0或故選:A.【變式4-1】(2023·廣西河池·校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)集合M={5,x2},N={5x,5}.若M=N,則實數(shù)x的值組成的集合為(

)A.{5} B.{1} C.{0,5} D.{0,1}【解題思路】利用集合相等求解.【解答過程】解:因為M=所以x2解得x=0或5∴x的取值集合為0,5故選:C.【變式4-2】(2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知集合A=1,a,b,B=aA.-1 B.0 C.1 D.【解題思路】根據(jù)A=B,可得兩集合元素全部相等,分別求a2=1ab=b和【解答過程】由題意A=B可知,兩集合元素全部相等,得到a2=1ab=b或a2=bab=1,又根據(jù)集合互異性,可知a≠1,解得a=1(舍)故選:A.【變式4-3】(2023·全國·高三專題練習(xí))已知集合A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3},當(dāng)A={2}時,集合B=(

)A.{1} B.{1,2}C.{2,5} D.{1,5}【解題思路】根據(jù)集合的相等的意義得到x2+px+q=x即x2+p-1x+q=0有且只有一個實數(shù)解【解答過程】由A={x|x2+px+q=x}={2}知,x2+px+q=x即x2+p∴22+2p+q=2,且Δ=(p-1)2-4q=0.計算得出p=-3,q=4.則(x-1)2+p(x-1)+q=x+3可化為(x-1)2-3(x-1)+4=x+3;即(x-1)2-4(x-1)=0;則x-1=0或x-1=4,計算得出x=1或x=5.所以集合B={1,5}.故選:D.【題型5空集的判斷及應(yīng)用】【例5】(2023·全國·高一假期作業(yè))下列集合中為?的是(

)A.0 B.?C.{x|x【解題思路】根據(jù)集合的表示方法,逐項判定,即可求解.【解答過程】對于A中,由集合0中有一個元素0,不符合題意;對于B中,由集合?中有一個元素?,不符合題意;對于C中,由方程x2+4=0,即x2對于D中,不等式x+1≤2x,解得x≥1,故選:C.【變式5-1】(2023·全國·高一假期作業(yè))下列四個集合中,是空集的是(

)A.x|x+3=3C.x|x2【解題思路】對每個集合進(jìn)行逐一檢驗,研究集合內(nèi)的元素是否存在即可選出.【解答過程】選項A,x|選項B,(x選項C,x|選項D,x2-x+1=0,Δ故選:D.【變式5-2】(2023·全國·高一假期作業(yè))已知六個關(guān)系式①?∈{?};②??≠{?};③{0}?≠?;④0??;⑤A.3 B.4 C.5 D.6【解題思路】根據(jù)空集的性質(zhì)、元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷各關(guān)系式的正誤.【解答過程】根據(jù)元素與集合、集合與集合關(guān)系:?是{?}的一個元素,故?∈{?},①?是任何非空集合的真子集,故??≠{?}、{0}?沒有元素,故0??,④正確;且?≠{0}、?≠{?},⑤錯誤,所以①②③④⑥正確.故選:C.【變式5-3】(2023春·寧夏銀川·高二校考期中)下列各式中:①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}?{2,1,0};③??{0,1,2};④?={0};⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0}.正確的個數(shù)是(A.1 B.2 C.3 D.4【解題思路】根據(jù)相等集合的概念,元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系,空集的性質(zhì)判斷各項的正誤.【解答過程】①集合之間只有包含、被包含關(guān)系,故錯誤;②兩集合中元素完全相同,它們?yōu)橥患?,則{0,1,2}?{2,1,0},正確;③空集是任意集合的子集,故??{0,1,2}④空集沒有任何元素,故?≠{0}⑤兩個集合所研究的對象不同,故{0,1},{(0,1)}為不同集合,錯誤;⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關(guān)系,故錯誤;∴②③正確.故選:B.【題型6Venn圖表示集合的關(guān)系】【例6】(2022·上海·高一專題練習(xí))已知集合U=R,則正確表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2-x=0}關(guān)系的文氏圖是()A. B.C. D.【解題思路】先求得集合N,判斷出M,N【解答過程】N={x|x2-x=0}={0,1},M={-1,0,1},所以N?M,所以選B.故選:B.【變式6-1】(2023·高一課時練習(xí))能正確表示集合M={x|x∈R且0≤x≤1}和集合N={x∈R|x2=x}關(guān)系的Venn圖是(

)A. B.C. D.【解題思路】先求集合N,再判斷集合間的關(guān)系【解答過程】N={x∈R|x2=x}={0,1},M={x|x∈R且0≤x≤1},∴N?M.故選:B.【變式6-2】(2022秋·浙江金華·高一??茧A段練習(xí))已知集合U=1,2,3,4,5,6,A=1,2,3,集合A與A.2,4,5 B.1,2,5 C.1,6 D.1,3【解題思路】由圖可得B?A【解答過程】解:由圖可知:B?∵A由選項可知:1,3?故選:D.【變式6-3】(2022秋·高一課時練習(xí))已知集合U、S、T、F的關(guān)系如圖所示,則下列關(guān)系正確的是()①S∈U;②F?T;③S?T;④S?F;⑤S∈F;⑥F?U.A.①③ B.②③C.③④ D.③⑥【解題思路】觀察Venn圖中集合U,S,T,F(xiàn)的關(guān)系,分別進(jìn)行判斷,能夠得到正確答案.【解答過程】觀察Venn圖中集合U,S,T,F(xiàn)的關(guān)系,①S∈U,故錯誤;②F?T,故錯誤,③S?T,故正確;④S?F;故錯誤,⑤S∈F,故錯誤,⑥F?U,故正確;故選D.【知識點3集合間關(guān)系的性質(zhì)】集合間關(guān)系的性質(zhì):(1)任何一個集合都是它本身的子集,即AA.(2)對于集合A,B,C,①若AB,且BC,則AC;②若AB,B=C,則AC.(3)若AB,A≠B,則AB.【題型7集合間關(guān)系的判斷】【例7】(2023·江蘇·高一假期作業(yè))集合A={(x,y)|A.AB.BC.B=D.集合A,【解題思路】根據(jù)結(jié)合A,B所表示點的幾何意義,以及原點(0,0)與集合A【解答過程】由集合A={(x,又由結(jié)合B={(x,因為(0,0)∈A,但(0,0)?B,所以集合A與B故選:D.【變式7-1】(2023春·北京·高三??奸_學(xué)考試)集合A=-2,-1,0,若A?BA.-1 B.-1,1 C.-1,0,1【解題思路】由題可得A是B的子集,據(jù)此可得答案.【解答過程】由題可得A是B的子集,則B=-故選:D.【變式7-2】(2023·全國·高三專題練習(xí))設(shè)集合M={x|x=kπ+π2A.M=N B.M?N C.【解題思路】對于集合N,令k=2m(m【解答過程】M={x|x=kπ2對于集合N,當(dāng)k=2m(m∈當(dāng)k=2m-1(m∴M故選:B.【變式7-3】(2023春·江西新余·高一??茧A段練習(xí))若A={x|x=k6A.A?B?C B.A?C【解題思路】分析給定的三個集合的約束條件,探討它們的關(guān)系即可判斷作答.【解答過程】依題意,A={x|C={x|x=4k+3因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素,即有C?B,集合B中的每一個元素都是集合A中的元素,即所以C?故選:C.【題型8利用集合間的關(guān)系求參數(shù)】【例8】(2023·全國·高三專題練習(xí))設(shè)集合A=0,-a,B=1,a-A.2 B.1 C.23 D.【解題思路】根據(jù)包含關(guān)系分a-2=0和2【解答過程】因為A?若a-2=0,解得a=2,此時A若2a-2=0,解得a=1,此時綜上所述:a=1故選:B.【變式8-1】(2023·四川成都·??寄M預(yù)測)已知集合A=x∈N|x<2,BA.12或1 B.0或1 C.1 D.【解題思路】先求得合A=0,1,再分a=0和【解答過程】解:由集合A=對于方程ax-當(dāng)a=0時,此時方程無解,可得集合B=?,滿足B當(dāng)a≠0時,解得x=1a,要使得BA,則滿足所以實數(shù)a的值為0或1.故選:B.【變式8-2】(2023·全國·高三專題練習(xí))設(shè)a,b∈R,A={1,a},BA.-1 B.-2 C.2 D【解題思路】根據(jù)集合的包含關(guān)系,結(jié)合集合的性質(zhì)求參數(shù)a、b,即可求a-【解答過程】由A?B知:A=B,即∴a-故選:D.【變式8-3】(2023春·河北保定·高三??茧A段練習(xí))已知集合A={x|x≥11},B=xA.-∞,4 B.-∞,4 C.【解題思路】由集合的包含關(guān)系列不等式,即可得結(jié)果.【解答過

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