用空間向量研究距離、夾角問題(2) 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(2)內(nèi)容索引學習目標活動方案檢測反饋學習目標1.理解兩異面直線所成角與它們的方向向量之間的關(guān)系，會用向量方法求兩異面直線所成的角．2.理解直線與平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關(guān)系，會用向量方法求直線與平面所成的角．3.理解二面角的夾角與兩個平面法向量的夾角之間的關(guān)系，會用向量方法求二面角的大小．活動方案思考1???在空間向量運算的坐標表示這一節(jié)中，已經(jīng)涉及借助空間向量的坐標解決兩條異面直線所成角的余弦值問題，能否總結(jié)回顧一下它的原理？活動一利用向量方法求兩異面直線所成的角【解析】

先求出兩條異面直線的方向向量，再利用空間向量的數(shù)量積公式，求出兩個向量夾角的余弦值，再回到異面直線所成的角的問題．例1如圖，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值．又△ABC和△ACD均為等邊三角形，

如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，求直線EF和BC1所成角的大?。每臻g向量求兩條異面直線所成角的步驟：(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系；(2)求出兩條異面直線的方向向量的坐標；(3)利用向量的夾角公式求出兩條直線方向向量的夾角；(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩條異面直線所成的角．思考2???我們已經(jīng)知道利用向量可以解決異面直線所成角的問題，能否用向量方法求直線與平面所成的角？活動二利用向量方法求直線與平面所成角及平面與平面所成角的大小思考3???除了異面直線所成的角和直線與平面所成的角以外，空間中還有什么角？是否也能用向量方法去解決？【解析】

空間中還有平面與平面所成的角，也可以用向量方法去解決．例2如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P為BC的中點，點Q，R分別在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1.求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值．【解析】

以C1為坐標原點，C1A1，C1B1，C1C所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．設平面A1B1C1的法向量為n1，平面PQR的法向量為n2，則平面PQR與平面A1B1C1的夾角就是n1與n2的夾角或其補角．因為C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一個法向量為n1＝(0,0,1)．根據(jù)所建立的空間直角坐標系，可知P(0,1,3)，Q(2，0,2)，R(0,2,1)，利用向量方法求平面與平面所成角的大小時，多采用法向量法，即求出兩個面的法向量，然后通過法向量的夾角來得到二面角的大?。詈蠼Y(jié)合平面與平面所成角的范圍得到平面與平面所成角的大小．但求解二面角的大小時，要注意結(jié)合圖形觀察分析，確定二面角是銳角還是鈍角，不能將兩個法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來．

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大?。窘馕觥?/p>

以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則A(2,0,0)，C(0，2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0，2,2)．易得n1＝(1,1,0)是平面A1C1C的一個法向量．設平面A1B1C的法向量是n2＝(x，y，z)．空間中角的問題都可以用向量的夾角去解決，先將圖形問題化為向量問題，再進行向量計算，最后回到圖形問題，從而問題得以解決．檢測反饋245131.若平面α的一個法向量為n1＝(1,0,1)，平面β的一個法向量是n2＝(－3,1,3)，則平面α與β所成角的大小為(

)A.30° B.45°C.60° D.90°【解析】

因為n1·n2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，所以α⊥β，即平面α與β所成的角等于90°.【答案】D245132.(2022·陽江四校期中聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，CC1＝3，∠ACB＝90°，

則BC1與A1C所成的角的余弦值為(

)24513【答案】A24533.(多選)(2022·山東省實驗中學階段性檢測)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，則下列說法中不正確的是(

)12453124531【答案】AC24534.已知正方形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，則平面PAB與平面PCD的夾角為________.1【答案】45°24535.(2022·無錫一中期中)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD上靠近點A的三等分點，PA＝6，AC＝4，AB＝2.求：(1)直線ND與直線BE所成角的余弦值；(2)平面CEM與平面MNE夾角的余弦值．124531【解析】(1)在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，故以A為坐標原點，AB，AC，AP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD上靠近點A的三等分點，PA＝