空間平面方程_第1頁
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文檔簡介

關(guān)于空間平面方程一、平面的確定條件

由立體幾何知道，過空間一點可以而且只可以作一個垂直于一條已知直線的平面．利用這個結(jié)論，若平面經(jīng)過一定點M0(x0,y0,z0),

且與向量n={A,B,C}垂直,則這個平面就唯一確定了．與平面垂直的非零向量稱為該平面的法向量．那么，可以確定平面的兩個條件是：返回下一頁上一頁第2頁,共13頁，2024年2月25日，星期天返回下一頁上一頁下面我們利用以上結(jié)論建立平面的方程．第3頁,共13頁，2024年2月25日，星期天

現(xiàn)在來建立平面

的方程.設(shè)平面

過點是平面

的法向量.

在平面

上任取一點

M(x,y,z)，則點

M

在平面

上的充要條件是nMM0

二、點法式方程返回下一頁上一頁第4頁,共13頁，2024年2月25日，星期天該方程稱為平面

的點法式方程.所以有返回下一頁上一頁第5頁,共13頁，2024年2月25日，星期天例

5-10

求過點(2,1,1)且垂直于向量i+2j+3k

的平面方程.

解

所求平面的法向量n=i+2j+3k

，又因為平面過(2,1,1)，所以由公式可得該平面方程為即

x+2y+3z－7=0.返回下一頁上一頁第6頁,共13頁，2024年2月25日，星期天解所求平面方程為化簡得例5-11求過三點)4,1,2(-A、)2,3,1(--B和)3,2,0(C的平面方程.返回下一頁上一頁取第7頁,共13頁，2024年2月25日，星期天由平面的點法式方程平面的一般方程法向量三、平面的一般方程返回下一頁上一頁第8頁,共13頁，2024年2月25日，星期天平面一般方程的幾種特殊情況：平面通過坐標原點；平面通過軸；平面平行于軸；平面平行于坐標面；類似地可討論

情形.類似地可討論情形返回下一頁上一頁第9頁,共13頁，2024年2月25日，星期天例5-12

設(shè)一平面通過

x軸和點M(4,

3,1)，試求該平面的方程.解因為所求平面通過x軸，

所以可設(shè)它的方程為By+Cz=0.由于點M

在所求的平面上，因此有3B

C=0，將C=3B

代回方程④，并簡化，即得所求平面方程為y

3z=0④返回下一頁上一頁第10頁,共13頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)平面兩平面法向量的夾角稱為兩平面的夾角.它們的夾角為

.④四、兩平面的夾角返回下一頁上一頁第11頁,共13頁，2024年2月25日，星期天返回下一頁上一頁則平面

1、

2

垂直的充要條件是A1A2+B1B2+C1C2=0

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