2023人教版新教材高中數學B選擇性必修第一冊同步練習-2 . 7 拋物線及其方程

2023人教版新教材高中數學B選擇性必修第一冊

第二章平面解析幾何

2.7拋物線及其方程

2.7.1拋物線的標準方程

基礎過關練

題組一拋物線的定義及應用

L（2020山西臨汾一中月考）在平面內，“點P到某定點的距離等于其到某條定直

線的距離”是“點P的軌跡為拋物線”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.（2022江西新余檢測）已知動點M的坐標滿足方程產"+r2|,則動點M

的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

3.已知拋物線C:y?=x的焦點為F,A（xo,y°）是C上一點，IAF|=常則x（）=（）

A.1B.2C.4D.8

4.（2020黑龍江哈爾濱六中期中）過焦點為F的拋物線y2=12x上一點M向其準線

作垂線,垂足為N,若|NF|=10,則|MF|=（）

A.學B.《C.《D.春

3333

題組二拋物線的標準方程和準線方程

22

5.（2021遼寧阜新模擬）若拋物線x2=2py（p〉0）的焦點與橢圓的上焦點重

合,則該拋物線的準線方程為（）

A.y=-lB.y=lC.y=-2D.y=2

6.（2020山東省實驗中學期中）已知d為拋物線y=2px2（p>0）的焦點到其準線的距

離，則Pd的值等于（）

12211

PRPC

一-

2-2D.4

7.（2021山東青島平度一中月考）已知點A（0,-2）,直線l:y=2,則過點A且與1相

切的圓的圓心的軌跡方程為.

22

8.（2022浙江溫州檢測）橢圓白5=1的左焦點F的坐標為,以F為焦點,

qD

坐標原點為頂點的拋物線方程為.

9.（2021山東淄博張店模擬）如圖所示，一隧道內設雙行線公路，其截面由矩形的

三條邊和拋物線的一段構成,為保證安全,要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道

頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5m.

⑴以拋物線的頂點為原點,對稱軸為y軸建立平面直角坐標系（如圖），求該拋物

線的方程；

（2）若行車道總寬度AB為7m,車輛禁止跨越道路中心線,請計算通過隧道的車輛

限制高度為多少米（精確到0.1m）.

能力提升練

題組一拋物線定義的應用

1.（2021山東濱州濱城高新一中模擬）若點A的坐標為（3,2）,F是拋物線y2=2x的

焦點，點M在拋物線上移動時，使MA|+1MF|取得最小值的M的坐標為（）

A.（0,0）B.g,l）C.（1,V2）D.（2,2）

2.（2020四J11成都外國語學校期中）拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線為1,P是1

上一點,連接PF并延長，交拋物線C于點Q,若|PF|胃|PQ|,則|QF|=（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2020吉林通化一中月考）設P是拋物線y2=4x上的一個動點,F為拋物線的焦

點

⑴若點P到直線x=-l的距離為d,A（-1,1）,求|PA|+d的最小值；

（2）若B（3,2）,求|PB|+1PF|的最小值.

題組二拋物線的方程及應用

4.（2022北京第十二中學檢測）設拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為F,點P在拋物

線C上，|FP|=10,若以FP為直徑的圓過點（0,3）,則p的值為（）

A.4或9B.4或18

C.2或18D.2或9

5.（2020安徽蚌埠月考）已知拋物線x2=4y的焦點為F,準線為1,P為拋物線上一

點，過P作PA_L1于點A,當NAF0=30°（0為坐標原點）時，|PF|=（）

AR

A.-B.-C.2D.3

33

6.（多選）（2020山東省實驗中學月考）已知拋物線C:x?=3y的焦點為F,過點F的

直線1交拋物線C于A,B兩點,其中點A在第一象限若弦AB的長為4,則（）

A.直線1的傾斜角為30°或150°

B.|AF|-|BF|=4

C.黑的值為5或3

|BF|3

9

D.SAAOB=~

7.（2021山東煙臺期末）汽車前照燈的反射鏡為一個拋物面，它由拋物線沿它的對

稱軸旋轉一周形成.通常前照燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成,其中

燈泡位于拋物面的焦點上,由燈泡發(fā)出的光經反射鏡反射后形成平行光束,再經

過透鏡的折射等作用達到照亮路面的效果.如圖,從燈泡發(fā)出的光線FP經拋物線

y2=2px(p>0)反射后,沿PN平行射出，ZFPN的平分線PM交x軸于點M,直線PM的

方程為2x+y-12=0,則拋物線的方程為

答案與分層梯度式解析

第二章平面解析幾何

2.7拋物線及其方程

2.7.1拋物線的標準方程

基礎過關練

1.8若點P的軌跡為拋物線,則點P到某定點的距離等于其到某條定直線的距

離,但若點P到某定點的距離等于其到某條定直線的距離,且該定點在該定直線

上,則點P的軌跡就不是拋物線,故應為必要不充分條件.

2.C方程尸了=史受烏表示動點M(x,y)與定點(0,0)間的距離等于動點M到

定直線3x+4y-12=0的距離,且定點不在定直線上,根據拋物線的定義可知,動點M

的軌跡是以定點(0,0)為焦點,定直線3x+4y-12=0為準線的一條拋物線.

2

3.A由拋物線C的方程y=x可得p=j,/.|AF|=|xo=xo+|=xo+i,解得x0=l.

4.8記準線與x軸的交點為A,易知|AF|=6,因為|NF|=10,所以|AN|=8,即點M

的縱坐標為8或-8,設點M的橫坐標為xM,則X、考哼故［MF|甘+3卷

5.C?.?橢圓白學1的上焦點坐標為(0,2)，.二拋物線的焦點坐標為(0.2)，，拋物

線的準線方程為y=-2,故選C.

6.D拋物線方程可化Zp為所以d4=P±,故pd=p-4P±=41

7.答案x2=-8y

解析由題意知，圓心在以A(0,-2)為焦點,直線y=2為準線的拋物線上,其方程

可設為x2=-2py(p〉0),則歲2,.5=4,.,.所求圓心的軌跡方程為x2=-8y.

8.答案(-1,0);y=-4x

解析由橢圓方程可得c2=a2-b2=4-3=l,所以F(T,0),故所求拋物線的焦點為

F(-l,0),設拋物線方程為y2=-2px(p>0),則占1,所以p=2,故所求拋物線的方程為

y2=-4x.

9.信息提取①拋物線與矩形的組合截面;②隧道高7叫寬10%矩形高2m;③

每條行車道的寬度為3.5m.

數學模型以隧道截面為情境，構建與拋物線相關的數學模型.(1)根據建立的平

面直角坐標系,設出拋物線的標準方程,由圖中數據找到拋物線上的點的坐標，代

入求出方程；⑵設限高為hm,用h表示臨界點D的坐標，代入拋物線方程求參數

解析(1)依題意,設該拋物線的方程為x2-2py(p>0).

如圖,因為點C(5,-5)在拋物線上，

所以52=-2pX(-5),所以p=|,

所以該拋物線的方程為x2=-5y.

⑵設車輛的限制高度為hm,則|DB|=h+0.5,故D(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,

解得h=4.05.所以通過隧道的車輛限制高度為4.0m.

方法點睛考查拋物線方程的實際應用,解題時注意結合圖形,將實際問題抽象為

數學問題,最后結果取近似值時,要結合實際情況(如本題中車輛高度不能超過

4.05m),否則容易出錯.

能力提升練

1.P如圖所示,過M作拋物線準線的垂線,垂足為B,過A作拋物線準線的垂線,

垂足為B',交拋物線于M'.由拋物線的定義得|MF|+|MA|=IMB|+1MA|,所以當

M,B,A三點共線,即M運動到M'時，|MB|+|MA|的值最小,此時M(2,2),故選D.

2.C設Q到1的距離為d,則由拋物線的定義可得，IQF|=d.

V|PF|=i|PQ|,A|PQ|=5|QF|=5d,

不妨設Q在第四象限，

則直線PF的斜率為-媽次=-2遍.

易知F(2,0)，，直線PF的方程為y=-2V6(x-2),與y2=8x聯(lián)立可得3x2-13x+12=0,

解得x=3或x=g,由題意可得點Q的橫坐標大于2,故x=3,

二|QF|=d=3+2=5.故選C.

3.解析(1)依題意,拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x=-l.由已知及拋物線

的定義,可知PF|=d,于是問題轉化為求IPA|+1PF|的最小值.由平面幾何知識知，

當F,P,A三點共線時，|PA|+1PF|取得最小值最小值為IAF|=圾即|PA|+d的最小

值為遮.

(2)把點B的橫坐標代入y2=4x中,得y=±2V3,因為2遮>2,所以點B在拋物線的

內部.過B作BQ垂直準線于點Q,交拋物線于點P,(如圖所示).由拋物線的定義，

可知|P0=|PF|,則|PB|+|PF|》EB|+|PQ|=|BQ|=3+1=4,所以|PB|+|PF|的最小

值為4.

4.C拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F的坐標為信0),設P(x,y),由拋物線的定義

知|PF|=x+>10,解得x=10-*

又以FP為直徑的圓的圓心是FP的中點，

所以圓心的橫坐標為空=5.

因為IFP|=10,所以圓的半徑為5,又以FP為直徑的圓過點(0,3),

所以該圓與y軸相切于點(0,3),故圓心的縱坐標為3,則點P的縱坐標為6.

2

即P(io/6),將其代入拋物線方程得p-20p+36=0,解得p=2或P=18.

5.A設1與y軸交于點B,在RtZiABF中，NAFB=30°,|BF|=2,所以|AB|=等.

設P(xo,y°),則x°=土竽,于是y。帶,從而|PF|=|PA|=y0+l=^.

6.AC由題意知故可設直線1的方程為y=kx+](kWO),A(xby),B(x2,y2),

2

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