重視概念教學(xué)中的知識(shí)生成

重視概念教學(xué)中的知識(shí)生成——《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)實(shí)錄與反思一個(gè)數(shù)學(xué)概念的背后往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，有的數(shù)學(xué)概念本質(zhì)就是一種數(shù)學(xué)觀念，是一種分析、處理問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法。重視概念的“自然生成”，可以使學(xué)生對(duì)原有知識(shí)、技能再認(rèn)識(shí)、再加工，進(jìn)一步深化提高，可以把學(xué)生頭腦中已有的相關(guān)認(rèn)知能力調(diào)動(dòng)起來(lái)，積極參與到新的學(xué)習(xí)活動(dòng)中來(lái)，加深對(duì)新知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)。最近，筆者對(duì)教研組長(zhǎng)學(xué)習(xí)會(huì)上執(zhí)教了一節(jié)研究課：《函數(shù)的單調(diào)性》，本著“關(guān)注預(yù)設(shè)，注重生成”的理念，以“問(wèn)題引領(lǐng)，對(duì)話交流”的教學(xué)模式，取得了較好的效果，現(xiàn)將這節(jié)課的課堂教學(xué)實(shí)錄如下，并談?wù)勛约旱脑O(shè)計(jì)意圖和教學(xué)反思，敬請(qǐng)同行指正。課堂實(shí)錄：1.1回顧舊知、創(chuàng)設(shè)情境、引入課題問(wèn)題1：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們把生活中大量變量與變量的關(guān)系統(tǒng)一定義為了函數(shù)關(guān)系，而對(duì)于函數(shù)關(guān)系，我們可以用表格、圖象、解析式進(jìn)行表示。對(duì)于確定的函數(shù)關(guān)系，我們需要去研究它的性質(zhì)，進(jìn)而解決一些問(wèn)題，那么哪些問(wèn)題是我們需要研究的呢？其實(shí)，如果隨著時(shí)間的推移，我們的學(xué)業(yè)、事業(yè)如果呈現(xiàn)“蒸蒸日上”的走勢(shì)，我們就會(huì)比較高興，如果呈現(xiàn)“每況愈下”的走勢(shì)，我們就會(huì)比較難過(guò)，不過(guò)生活中這種走勢(shì)往往是“波瀾起伏”。所以函數(shù)關(guān)系的走勢(shì)是我們研究函數(shù)的一個(gè)基本方面。我們以前面接觸過(guò)的一個(gè)函數(shù)關(guān)系為例，下圖是某市一天24小時(shí)氣溫y隨時(shí)間x的變化圖，觀察氣溫變化圖，從圖中你能獲取哪些信息？（意圖：從學(xué)生熟悉的三個(gè)成語(yǔ)出發(fā)，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有初步的認(rèn)識(shí)；以接觸過(guò)的函數(shù)關(guān)系為例，用開(kāi)放性的問(wèn)題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“單調(diào)”）生：這天中，4時(shí)氣溫最低位-2攝氏度，14時(shí)，氣溫最高10攝氏度，并且0到4時(shí)，氣溫呈下降趨勢(shì)，4到14時(shí)，氣溫呈上升趨勢(shì)，14到24時(shí)，氣溫再次呈下降趨勢(shì)；師：總結(jié)板書(shū)師：你能說(shuō)說(shuō)在[4，14]內(nèi)氣溫隨著時(shí)間的增大而增大，函數(shù)圖象具有怎樣的特點(diǎn)嗎？在區(qū)間[0,4],[14,24]內(nèi)函數(shù)的圖象又具有怎樣的特點(diǎn)？生：我們發(fā)現(xiàn)在區(qū)間[4,14]上氣溫隨著時(shí)間的增大而增大，函數(shù)的圖象呈現(xiàn)出的特點(diǎn)是在向右的同時(shí)，在向上；在區(qū)間[0,4],[14,24]內(nèi)氣溫隨著時(shí)間的增大而減小，函數(shù)的圖象呈現(xiàn)出的特點(diǎn)是在向右的同時(shí)，在向下；師：繼續(xù)板書(shū)師：我們把像[4,14]這樣的區(qū)間，稱為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大（大的自變量，大的函數(shù)值）；函數(shù)圖象特征：向右的同時(shí)在向上；我們把像[0，4]，[14，24]這樣的區(qū)間，稱為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，函數(shù)值y隨著自變量x的增大而減少（大的自變量，小的函數(shù)值）；函數(shù)圖象特征：向右的同時(shí)在向下；單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱單調(diào)區(qū)間；由[4,14]是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間，我們稱y=f(x)是區(qū)間[4,14]上的單調(diào)增函數(shù)，同樣，由[0,4],[14,24]分別是y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間，我們稱y=f(x)是區(qū)間[0,4],[14,24]上的單調(diào)減函數(shù)；因?yàn)閥=f(x)在區(qū)間[0,4],[4,14],[14,24]上單調(diào)增或者單調(diào)減，我們稱y=f(x）在這三個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性，所以，單調(diào)性，是一個(gè)函數(shù)的局部性質(zhì)；繼續(xù)板書(shū)（意圖：以學(xué)生初中已有的知識(shí)作為基礎(chǔ)，從學(xué)生已有的只是出發(fā)，建立對(duì)新知識(shí)的初步認(rèn)識(shí)，并呈現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性“形”的特征）問(wèn)題2：在初中我們學(xué)習(xí)了哪些基本函數(shù)，你能分別舉例，并結(jié)合圖象說(shuō)說(shuō)它的單調(diào)區(qū)間嗎？生1：是R上的單調(diào)增函數(shù)；（師補(bǔ)充：我們也稱R是的單調(diào)增區(qū)間）生2：是上的減函數(shù)，是的單調(diào)減區(qū)間；生3：是上的增函數(shù)，是的單調(diào)增區(qū)間；（意圖：通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生繼續(xù)通過(guò)原有的只是熟悉新知識(shí)—單調(diào)性，并進(jìn)一步熟悉“形”對(duì)單調(diào)性的描述）問(wèn)題3（1）下圖是函數(shù)y=f(x)的圖象，你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性嗎？生：不具有單調(diào)性，因?yàn)閥不隨x的增大有增大和減小的變化：師：其實(shí)，我畫(huà)的是的圖象，由此，你能再說(shuō)說(shuō)這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性嗎？生：那y隨著自變量x的增大而增大，是[0，6]上的單調(diào)增函數(shù)；師：由于函數(shù)的圖象缺乏精確性，所以用函數(shù)圖象解決這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，就失效了；問(wèn)題3（2）你知道函數(shù)在區(qū)間(0,1)上的單調(diào)性如何嗎？生（猶豫半天）…單調(diào)減（不確定）；師：為什么？生：我取了，相應(yīng)的函數(shù)值分別為，我發(fā)現(xiàn)，所以，我認(rèn)為單調(diào)減；師：函數(shù)的單調(diào)減應(yīng)該是對(duì)所有大的自變量，都有大的函數(shù)值，你只取了2個(gè)值就下結(jié)論，可以嗎？所以這種方法，只能用來(lái)猜測(cè)。那為啥用關(guān)系走勢(shì)做判斷會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題？生：在（0，1）上，隨著x的增大，x在增大，在減小，進(jìn)而和無(wú)法確定是增大還是減??；師：從上面的兩個(gè)例子，我們發(fā)現(xiàn)，單純的通過(guò)圖象對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行刻畫(huà)，缺乏精確性，并且對(duì)于有些函數(shù)，我們根本不知道其形狀，所以，完全依賴“形”并不能很好的解決單調(diào)性的所有問(wèn)題.(意圖：通過(guò)2個(gè)“形”不能解決的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步對(duì)單調(diào)性進(jìn)一步認(rèn)識(shí)的欲望，進(jìn)而為“數(shù)”的刻畫(huà)，引入單調(diào)的概念做好鋪墊）問(wèn)題4：如何用“數(shù)”的語(yǔ)言對(duì)單調(diào)增進(jìn)行刻畫(huà)？請(qǐng)大家做小組交流。生：在區(qū)間上取2個(gè)點(diǎn)，如果有時(shí)，有；師：可以嗎？生：不行，只取2個(gè)點(diǎn)不行，應(yīng)該是任意，當(dāng)時(shí)，都有；師：實(shí)際上，對(duì)單調(diào)增的刻畫(huà)，（在區(qū)間I上，_______當(dāng)）橫線處填寫(xiě)“任意”還是“存在”是我們需要探討的問(wèn)題，下面，我們就通過(guò)一組思考，來(lái)進(jìn)一步加以認(rèn)識(shí)；(1)對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若在區(qū)間(0，+∞)上，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝3，能否說(shuō)y=f(x)在該區(qū)間上y隨x的增大而增大呢?生：不行，上黑板畫(huà)了一個(gè)反例圖；若x＝1，2，3，4，時(shí)，相應(yīng)地y＝1，3，4，6，能否說(shuō)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)增呢？生：不行，我只要在[0,4]上單調(diào)，滿足函數(shù)值要求，后面可以任意畫(huà)；若有n個(gè)正數(shù)x1<x2<x3<······<xn，它們的函數(shù)值滿足:y1<y2<y3<······<yn．能否說(shuō)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)增呢？生：不行，n也是個(gè)有限值；師：那如果我將上面改成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)呢？生1：行；生2：不行，無(wú)數(shù)個(gè)不等于任意個(gè)；師:那你舉個(gè)反例呢？生2：思考一會(huì)，我還沒(méi)想好；師：那大家交流討論下呢；生3：我可以將這無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，全部放在（0，1）內(nèi)；后面隨意畫(huà)；師：那該如何刻畫(huà)？生4：應(yīng)該取所有點(diǎn)；師：如何刻畫(huà)所有？任意如何排？生5：任意，當(dāng)時(shí)，都有；繼續(xù)板書(shū)：（意圖：通過(guò)這樣的一個(gè)探索的過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)于定義的理解，呈現(xiàn)知識(shí)的自然生成）1.2知識(shí)建構(gòu)：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義域?yàn)锳，區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2),那么就說(shuō)y＝f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)(increasingfunction),I稱為y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間(increasinginterval)．師：類似，你能給出函數(shù)單調(diào)減的定義嗎？生：如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值x1,x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說(shuō)y＝f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)(decreasingfunction),I稱為y＝f(x)的單調(diào)減區(qū)間(decreasinginterval)．如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性.單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間.師：這樣，我們就從形和數(shù)兩個(gè)方面對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行了刻畫(huà)，函數(shù)單調(diào)性反映的是函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上y隨x變化的趨勢(shì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)。1.3練習(xí)：(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(3)＞f(2)，則函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù).()(2)函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù),則必有f(3)＞f(2).()(3)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(3)＞f(2)，則函數(shù)f(x)在R上不是減函數(shù).()1.4例1畫(huà)出下列函數(shù)圖像，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間：1.5例2求證:函數(shù)在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)減函數(shù)；1.6小結(jié)：1.函數(shù)單調(diào)性"形”、“數(shù)”刻畫(huà)；2.利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并判斷其單調(diào)性.3.利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性.1.7布置作業(yè):習(xí)題2.2272.教后反思：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：由于數(shù)學(xué)高度抽象的特點(diǎn)，注意體現(xiàn)基本概念的來(lái)龍去脈，在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實(shí)例抽象數(shù)學(xué)概念的過(guò)程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。概念形成的教學(xué)通常需要有一個(gè)從舊知到新知，由表及里的過(guò)程。理解是一個(gè)個(gè)性化、自我實(shí)現(xiàn)的行為過(guò)程，它既是數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)在品質(zhì)，又是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地理解是數(shù)學(xué)教學(xué)最基本的價(jià)值最求，所以，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)為促進(jìn)學(xué)生的理解而教。學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，為學(xué)生創(chuàng)建一種有意義的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，營(yíng)造一個(gè)適合學(xué)生自主探究，合作交流的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從知識(shí)層面的理解上升到數(shù)學(xué)層面的理解，是學(xué)生建構(gòu)自己的理解的關(guān)鍵所在。讓學(xué)生建構(gòu)自己的理解，要循著學(xué)生的思維路線，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)適合學(xué)生自主探究、合作交流的過(guò)程，“沒(méi)有過(guò)程等于沒(méi)有思想”，在探究過(guò)程中，如果沒(méi)有學(xué)生自己的感知、領(lǐng)悟、體會(huì)以及同伴之間積極的相互影響、碰撞，怎能主動(dòng)塑造，主動(dòng)完善、主動(dòng)內(nèi)化，談何理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，談何建構(gòu)自己的理解。學(xué)之道在于“悟”，在于理解