北師大版版（2019）必修第一冊全冊檢測卷（一）

北師大版版（2019）必修第一冊全冊檢測卷（一）

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z=N3是虛數(shù)單位），則I所對應(yīng)的點所在象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.在AABC中，角A,B,C所對的邊分別是。，b,c,若廿+°2="+秘，則角A的

大小為（）

A.2B.工C.至D.2

6336

3.如圖①，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如圖②，已知圓柱的底面

直徑4?=16米，母線長相>=4米，圓錐的高2。=6米，則該蒙古包的側(cè)面積約為

（）

A.336兀平方米B.272兀平方米C.208兀平方米D.144兀平方米

4.如圖，正方形ABCD中，點E是邊DC的中點，點廠是邊BC的靠近8點的三等分點,

那么礪=（）

B.-AB+-AD

42

1——?1——?1>2>

C.-AB+-ADD.-AB——AD

2223

5.若函數(shù)人）""+"（。>0）的圖象相鄰兩支截直線y=l所得線段長為則

下列結(jié)論錯誤的是（）

A.函數(shù)/*）的最小正周期為！B.函數(shù)Ax）在區(qū)間上單調(diào)遞增

2\oo7

C.函數(shù)"X）的圖像與直線x=?不相交D.函數(shù)/（X）的圖像關(guān)于點I?,。］對稱

6.已知"2,W是兩條不同的直線，a,夕是兩個不同的平面，給出下列四個命題:

①如果wua,mlip,n//（3,那么〃〃/〃；

②如果〃〃/",nLa,那么mVa?,

③如果e_L￡,mua,nu/3,那么m±n-

④如果aCl￡=相，m±n,wua,那么〃_L￡.

其中正確命題的個數(shù)有（）

A.4個B.3個

C.2個D.1個

7.已知函數(shù)/（x）=>/^sin2（yx+2cos2（yx-l（0>O）,若/⑺在（0,n）上有2個極大

值，則。的取值范圍是（）

713、75_713,75

6663J6663J

8.已知三棱錐S-ABC的四個頂點都在球。的球面上SA=SB=SC=是邊長

為由的正三角形，則球。的表面積等于（）

64萬「1004

A.-----B.------C.167rD.367r

99

9.把函數(shù)/（x）=cos（2尤+（J的圖象向右平移（個單位長度,再把橫坐標壓縮到原來

的3倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（尤）的圖象，則g（x）（）

A.最小正周期為2萬B.奇函數(shù)

C.偶函數(shù)D.且仁-^二8⑴

10.如圖所示，AABC的面積為述，其中AB=2,NABC=60。，A。為BC邊上的高,

2

M為的中點，若說=/O豆+〃前貝！M+2〃的值為（）

71

11.已知函數(shù)/(X)=sinx+acosx滿足：/(%)</若函數(shù)/（%）在區(qū)間［%,%］上單調(diào)，

且滿足/（石）+/（%2）=。，則|%+馬|的最小值為（)

12.如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，3。_1面4。64，CA=Cq=2CB,則直線BC1

與直線A4夾角的余弦值為()

二、填空題

13.在直角坐標系龍?zhí)幹?，?的始邊為x正半軸，頂點為坐標原點，若角。的終邊經(jīng)

過點(-3,4),則sin(or+%)=

14.已知向量2=(—1,2),3=(4,1),(￡+6)邛￡悶，則實數(shù)f的值為.

15.方程sinx+/cosx=1在區(qū)間［0,3句上的所有解的和等于.

JT3

16.在RtaABC中，ZBAC=-,AB=AC=2,點M在AABC內(nèi)部，cosZAMC=一一，

25

則MB^MA2的最小值為.

三、解答題

17.已知復(fù)數(shù)Za=a“+6/(%也eR),滿足4=1,Z用=Z>l+2i(〃eN*),其中i為虛

數(shù)單位，％表示Z”的共軌復(fù)數(shù).

(1)求區(qū)|的值;

(2)求Zu)。.

18.如圖，四棱錐P-ABC。中，四邊形ABC。為直角梯形，尸8,尸D在底面A8CD內(nèi)的

射影分別為AB，AD,PA^AB=2AD^2CD^2.

⑴求證：PC±BC；

(2)求D到平面PBC的距離.

19.已知函數(shù)"X)=asinoxcos?x(a>0,?>0).從下列四個條件中選擇兩個作為已知，

使函數(shù)/(X)存在且唯一確定.

⑴求“X)的解析式；

⑵設(shè)g(x)=/(x)-2cos20x+l,求函數(shù)g(x)在(0,%)上的單調(diào)遞增區(qū)間.

條件①：=

條件②：為偶函數(shù)；

條件③：的最大值為1;

條件④：/'(X)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為

注：如果選擇的條件不符合要求，第(1)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分

別解答，按第一個解答計分.

20.在中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a2-b2+^bc=accosB.

⑴求角A；

(2)若6sinA=6sin8,求AABC面積的最大值.

21.在平面直角坐標系xQy中，在以原點。為圓心半徑等1的圓上，將射

I22)

線。4繞原點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)a后交該圓于點8,設(shè)點8的橫坐標為/(a),縱坐標

g(a).

⑴如果sina=機，0<m<l,求/(c)+g(。)的值(用加表示);

(2)如果=2,求的值.

g(a)

22.如圖，四棱錐E-ABCD中，底面ABC。為直角梯形，其中ABL3C,CD//AB,

面ABE_L面ABC。，且AfiMAEMBEnZBCnZCDu*點M在棱AE上.

⑴若2EM=AM,求證：CE〃平面

(2)當AE_L平面時，求點E到平面8OM■的距離.

參考答案:

1.A

【解析】

【分析】

化簡z=2-i,由共朝復(fù)數(shù)的定義知W=2+i，再由復(fù)數(shù)的幾何意義知三所對應(yīng)的點為（2,1）,

在第一象限，即可得出答案.

【詳解】

3+i(3+i)(l-i)4-2i

貝!，

I+T-(l+i)(l-i)-2=2—i,Jz=2+i

三所對應(yīng)的點為（2,1）,在第一象限.

故選：A.

2.B

【解析】

【分析】

由已知利用余弦定理的推論可得cosA=；,結(jié)合范圍Ae（0/）,可求角A得值.

【詳解】

解：

\'b2+c2=a1+be

，由余弦定理的推論，可得

2bc2

又???Aw（0,萬）

71

二.A4=—

3

故選：B.

3.D

【解析】

【分析】

首先根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖為長方形求出圓柱的側(cè)面積，再根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖為扇形求

出圓錐的側(cè)面積，進而得到蒙古包的側(cè)面積.

【詳解】

答案第1頁，共15頁

依題意得，

圓柱的側(cè)面積S]=27ix]；A3)xAZ)=27ix；x16x4=64?!,

■.-DC^AB=16,..℃=；10c=gxl6=8,

在RtAPQC中，pc=yjPQ2+QC2=A/62+82=10,

圓錐的側(cè)面積邑=JxPCx2兀xQC=gxl0x2兀X8=80TT,

,該蒙古包的側(cè)面積5=工+邑=64兀+80兀=144兀,

故選：D.

4.D

【解析】

【分析】

由向量線性運算直接求解即可.

【詳解】

___,____,___,9__.1_____9___.1___.1____k9____

EF=CF-CE=-CB——CD=-DA——BA=-AB——AD.

323223

故選：D.

5.D

【解析】

【分析】

由周期求出。，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)判斷.

【詳解】

jrjr

由已知選項A顯然正確，則一=1，3=1,

32

71

/(x)=tan(2xd■一),

6

xe(一￡,￡)時，2x+￡e(-￡,g)u(-g,f),B正確；

6666222

元=：時，2x+—=—,tan彳無意義，C正確；

6622

x=彳時，2x+g=尋，D錯誤，

463k4；

故選：D.

6.D

答案第2頁，共15頁

【解析】

【分析】

根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.

【詳解】

解：對于①如果根uc,nc=a,ml1/3,n///3,那么相〃〃或機與〃相交，故①錯誤；

對于②如果租〃“，nLa,由線面垂直的性質(zhì)可知,故②正確；

對于③如果■6，muc,"u￡,那么〃z_L〃或就"或機與”相交（不垂直）或機與〃異

面（不垂直），故③錯誤；

對于④如果an/=〃2,〃2_L〃，"ua,那么或"與尸相交（不垂直），

當且僅當a^（3=m,m±n,"ua,那么“_L6，故④錯誤.

故選：D

7.C

【解析】

【分析】

JTTTTT

先對函數(shù)化簡，然后由0<x<萬,，所以一<201+—<20萬+一.再由/（?在（0,加）上有2

666

57ryrQTT

個極大值，可得一<2。"+J4咚，從而可求出。的取值范圍

262

【詳解】

由題意可得/(%)=V^sin2Gx+cos2s=2sin(2s+看).

TTTTTT

因為0<%<匹，所以一<2刃工+一<2刃萬+一.

666

因為/（X）在（0,萬）上有2個極大值,

所以工-v2G萬+,

262

所以:713

66

故選：C

8.B

【解析】

【分析】

直接利用外接球和三棱錐的關(guān)系求出球的半徑，計算即可.

【詳解】

答案第3頁，共15頁

已知三棱錐S-ABC的四個頂點都在球。的球面上，SA=SB=SC=MAABC是邊長為斯

的正三角形，如圖所示：

取的中點。，點H為底面的中心，所以立,===

223

設(shè)外接球的半徑為R，所以SH=J(廂)2-1=3,

利用勾股定理可得，爐=(3-④2+12,解得R=：.

則球。的表面積為s=4%改=等.

9

故選：B.

【解析】

【分析】

根據(jù)平移變換和周期變換的原則求出函數(shù)g(x),再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式逐一判

斷各個選項即可.

【詳解】

解：把函數(shù)〃x)=cos(2x+g]的圖象向右平移三個單位長度，

兀

H+-

再把橫坐標壓縮到原來的W倍，縱坐標不變,

^fy=cos|4x-y,艮|]g(尤)=cos(4x-[],

答案第4頁，共15頁

則最小正周期為q27r=7gT，故A錯誤；

42

因為所以函數(shù)g(x)是非奇非偶函數(shù)，故BC錯誤;

4x-gJ=g(x),故D正確.

=cos-4x+2^+—=cos

I3

故選：D

10.C

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的面積公式可求得BC,再根據(jù)A。為BC邊上的高，求出3D,從而可得出點。

的位置，再根據(jù)平面向量的線性運算將說用南，亞表示，再根據(jù)平面向量基本定理求出

%〃，即可得解.

【詳解】

解：

S,ABRCr=-2AB-BC-sinZAB2C=—B2C=—,

所以3c=3,

因為AQ為8C邊上的高，

所以=ABsinZABC=1=；BC,

因為M為的中點，

所以說=海=(回+而)=g1

+-

3

T通+；國_砌

=LAB+LAC,

又因為汨=4通+〃衣,

所以4=:,〃=J,

3o

2

所以彳+2嶗.

故選：C.

11.C

【解析】

【分析】

答案第5頁，共15頁

利用輔助角公式化簡，結(jié)合已知可求解析式，然后由/（占）+/（馬）=0可知中等于函數(shù)圖

象對稱中心橫坐標，求出函數(shù)對稱中心可得.

【詳解】

/（%）=sinx+acosx=y/a2+1sin（x+<p）,<Pw

因為小卜/㈢，所以當x=g時，/（x）取得最大值，即sin（W+e）=l

16/66

所以即夕=￡

o23

因為〃再）+〃無2）=。,所以a,/4））,（馬,/（為））的中點是函數(shù)的對稱中心，

冗兀

由尤+—=ki,keZ,得％=左左--,keZ

33

所以三等=一

23

所以|再+%21=2kji—，左￡Z

易知,當左=0時歸+即取得最小值

故選：C

12.C

【解析】

【分析】

連接C4交8G于。，若E是AC的中點，連接3E,EO,易得ED//AB「即直線BQ與直線

4片夾角為N以汨或補角，進而求其余弦值.

【詳解】

連接C4交2G于。，若E是AC的中點，連接BE,ED,

由A3C-A與C為直棱柱，各側(cè)面四邊形為矩形，易知：。是C4的中點,

答案第6頁，共15頁

所以ED//AB「故直線8G與直線4片夾角，即為即與BG的夾角N3OE或補角,

若8c=1,貝lJCE=l,BD=CD=—

2

BC_L面ACCiA，ECu面ACGA，則CB_LCE,

而ECLCG，又BCnCG=C,BC,CC|U面BCG耳，故EC上面BCGA，

又CDu面BCGA，所以CE_LCO.

所以匹=JCZ^+CE?=；,BE7cB2+CE?=0，

BD2+ED2-BE2

在小BDE中cosNBDE=旦

2BDED5

故選：C

4

13.——##-0.8

5

【解析】

【分析】

結(jié)合三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式求得正確答案.

【詳解】

444

sina=—.==—,sin(6Z+4)=-sina=——

7^7755-

4

故答案為：

14.5

【解析】

【分析】

由向量數(shù)量積的坐標運算可得答案.

【詳解】

,?R+可=(3,3),Ga-S]=(-r-4,2r-l),

；.(a+b),[a-=—3t—12+6?—3=0,解得t=5.

故答案為：5.

答案第7頁，共15頁

15,

66

【解析】

【分析】

由已知可得sin（x+]|=；,由x」0,3句可求得x+。的取值范圍，求出原方程的根，相加可

得結(jié)果.

【詳解】

由sinx+Gcosx=2sin[x+qj=1可得sin(x+"J=5,

八c皿萬,乃，10%nf5?13萬17%

vO<x<3^-,貝！二所以，X+-G^--

33331666

解得XG

因此，方程sinx+百cosx=1在區(qū)間[。,3句上的所有解的和

2626

故答案為：W297T

o

16.2

【解析】

【分析】

先利用正弦定理求得AAMC的外接圓半徑R=1,建立平面直角坐標系，利用坐標法把

4

Affi2_M42轉(zhuǎn)化為肱^—肱^=7-5sin6?,即可求出MB?-朋/V的最小值.

【詳解】

因為zS4AfCe（0,萬），cosZ.AMC=――,所以sinNAA/C=—=：.

2

在AAMC中，由正弦定理得：.工…/?（R為AAMC的外接圓半徑），所以4

sinZAMC-

解得：R=J.

4

答案第8頁，共15頁

如圖所示：設(shè)△AMC的外接圓的圓心為0,建立如圖示的坐標系.

設(shè)E為AC的中點，所以AE=CE=1,OE=^]R2-AE2=3

4

x=—cos6

所以點〃的軌跡為：/+丁=§,可寫出＜（。為參數(shù)）.

y=—sine

4

(55、44

因為點M在△ABC內(nèi)部，所以M[]Cos<9,1SineJ(其中。滿足—W<COS6<M,?！?0㈤).

所以MB?—M4?=f-cos0+1^+f-sin6?-—-(*cos<9+l]+f-sin<9--^

=7-5sin，

因為e滿足-■|<cose<1,6e(O,乃)，所以I'Vsinewi,

所以當sin，=l時“8?-MA?=7-5=2最小.

故答案為：2

17.(1)2A/2;(2)100+2z.

【解析】

【分析】

(1)將〃=2代入Z..=Z；+l+2*”eN*)中，可得Z?,利用復(fù)數(shù)的模長公式求解即可；

(2)由Z.M=Z.+1+2》eN*)以及Z?+1=an+i+bn+ii,可得出al00和bl00,代入可得Z100.

【詳解】

(1)由題意知，Z2=a2+b2i,4=l,Z2=Z+l+2，=2+2i

22

|Z2|=V2+2=272；

答案第9頁，共15頁

(2)%=1,%=2；4=0也=2

z

-?=an-bni(an,bnGR),:.Zn+l=Zn+\+2i=an-bni+\+2i=an+l+｛2-bn)i

又Z“+|=an+1+bn+li,an+1=an+1,bn+1=2-bn

則｛%｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，?100=1+99x1=100

■:b、—0,Z?2=2,..Z?3—0,=2...,,,"loo=2

故Zm=100+2L

18.(1)證明見解析

⑵走

3

【解析】

【分析】

(1)由題意可證45_LK4、AB±PA,則可得PA_L面ABCD,即可知PA_L_BC,又AC_L8c

則可得3。_1面巳4。，即可證尸C_L5C.

(2)分別計算出SBCD與SpBC，再利用等體積法/JBC=%.BCD即可求出答案.

(1)

因為PB在底面ABCD內(nèi)的射影為4B,所以面245_1_面4^8,

又因為AD_LAB,面PABc面ABCD=AB,A￡>u面ABC。

所以4￡>_1面上45,

又因PAu面E4B因此AD_LR4,

同理

又ABcAD=A,ADu面ABCDABi面ABC。

所以24_1_面/15。。，

又3Cu面A8CD,所以PAJL3C,

連接AC,易得AC=g，ZBAC=45°,又AB=2,

故ACJ_BC,

又叢口46=4,叢（=面上4。,「41^面抬。

因此3。，面尸4。，

又PCu面PAC

答案第10頁，共15頁

即PC±BC；

（2）

在RThPAC中PC=，4+2=V6.

在RTAACB中3c=」4-2=&.

把D到平面PBC的距離看作三棱錐D-PBC的高h,

由等體積法得，/一PBC=Vp_BCD，

,2r

故;倉HpBC/7=:倉688PA>即,7=-=-j—,

33SPBC上倉指03

2

故D到平面PBC的距離為B

3

19.(1)選擇①④或③④均可得到/(x)=sin2x

【解析】

【分析】

（1）首先利用二倍角的正弦公式化簡函數(shù)，即可得到②與題設(shè)沖突，再分選擇①③、①④、

③④三種情況討論，分別根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出。、。，即可求出函數(shù)解析式；

（2）由（1）可得g（尤）=sin2x-2cos2尤+1,再利用二倍角公式及輔助角公式化簡，最后根

據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得;

⑴

解:因為/(x)=asinGxcosa>x(a>0Q>0),所以/(%)=—asin2a)x

2

顯然當。wo時”X）為奇函數(shù)，故②不能選,

若選擇①③，即〃尤）=；asin2ty尤最大值為1,所以：。=1,解得。=2,所以=sin2@x,

又d￡|=l,所以/d=sin（2ox￡|=l,即30=?+2而，左eZ,解得0=1+43左eZ,

故“力不能唯一確定，故舍去；

若選擇①④，即/（無）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為g,所以棄=萬，解得。=1,所

22（0

答案第11頁，共15頁

以/(x)=gasin2x,又=；asin(2x?1=1,所以；°=1,解得.=2,所以

/(x)=sin2%；

若選擇③④，即/(尤)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為g,所以==%，解得。=1,所

22co

以/(x)=：asin2x,又〃x)的最大值為1,所以ga=l,解得a=2,所以〃x)=sin2x；

⑵

解：由(1)可得g(x)=/(x)—2cos2Gx+I=sin2x-2cos2尤+I=sin2兀一cos2x

sin2A交

cos2x=A/2sin\2x~-

274

jrS77"

令2k7T-^-<2x-^<2k冗+%,keZ解得k兀-gwxWk兀+姜,kcZ,所以函數(shù)的單調(diào)

88

3洲

遞增區(qū)間為kjr----,kjr+keZ,又xe((U),所以g(無)在(0,%)上的單調(diào)遞增區(qū)間

8

20.(l)A=j

⑵9

【解析】

【分析】

(1)先利用正弦定理及余弦定理求得cosA的值，進而求得角A的值;

(2)先利用余弦定理構(gòu)造關(guān)于拉。的不等式，進而得到6。的最大值，即可求得AABC面積

的最大值.

⑴

2a+c

由4-Zx+—bc=accosB,可得。?一片=ac.——2_一,

2lac2

得人2+/一a?=A,貝"cosA=b+；——=《,

2bc2

■jr

由于OVAVTT,所以A=§.

Q)

由/?sinA=6sin8，可得asinB=^sinB,XsinB>0,則〃=石,

貝la?=Z?2+c2-2bccosA=b2+c2—bc>2bc—bc,(當且僅當》=c時等號成立)

答案第12頁，共15頁

則(當且僅當6=c=6時等號成立)

刖c17