2024屆浙江省杭州市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2浙江省杭州市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得：，解得：，由可得，即，即，解得：或，故，，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，，則，因?yàn)?，則，又，則，解得或，所以或，所以或，故選：B.3.已知隨機(jī)變量，分別滿足二項(xiàng)分布，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，所以，所以，則，若，則.所以“”是“”的充要條件.故選：C.4.若，則的最小值是（）A. B.6 C. D.9〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：A.5.冬季是流行病的高發(fā)季節(jié)，大部分流行病是由病毒或細(xì)菌引起的，已知某細(xì)菌是以簡單的二分裂法進(jìn)行無性繁殖，在適宜的條件下分裂一次（1個(gè)變?yōu)?個(gè)）需要23分鐘，那么適宜條件下1萬個(gè)該細(xì)菌增長到1億個(gè)該細(xì)菌大約需要（參考數(shù)據(jù)：）（）A.3小時(shí) B.4小時(shí) C.5小時(shí) D.6小時(shí)〖答案〗C〖解析〗設(shè)適宜條件下1萬個(gè)該細(xì)菌增長到1億個(gè)該細(xì)菌大約需要分鐘，則，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，，所以，所以大約需要小時(shí).故選：C.6.已知定義在上的函數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，，故恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即.故選：B7.已知數(shù)列，滿足，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，則，又，則，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為公比為的等比數(shù)列，由可得，則數(shù)列的各項(xiàng)為，其中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故選：D.8.已知四面體，是邊長為6的正三角形，，二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L為6的正三角形，，則由三線合一可知，所以二面角的平面角為，取三角形的外心，設(shè)外接球的球心為，則平面，且，其中為四面體外接球的半徑，過點(diǎn)作垂直平面，垂足為點(diǎn)，由對(duì)稱性可知點(diǎn)必定落在的延長線上面，由幾何關(guān)系，設(shè)，而由正弦定理邊角互換得，進(jìn)而，由勾股定理得，從而，，所以，，所以由得，，解得，所以四面體的外接球的表面積為.故選：B.二、選擇題9.已知平面向量，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗A.若，則，解得，故正確；B若，則，解得，故正確；C.若，或，故錯(cuò)誤；D.若，則，解得，故正確，故選：ABD.10.已知四棱柱的底面為菱形，且，，，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.可作為一組空間向量的基底B.可作為一組空間向量的基底C.直線平面D.向量在平面上的投影向量為〖答案〗BCD〖解析〗如圖所示，四棱柱，對(duì)于選項(xiàng)A，，三個(gè)向量都在平面，即三個(gè)向量共面，則也共面，不可作為一組空間向量的基底，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，兩個(gè)向量都在平面，顯然直線與平面是相交關(guān)系，不與平面平行，故三個(gè)向量不共面，可作為一組空間向量的基底，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由于，，易得平面，平面，從而有平面平面，且平面，所以直線平面，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，取作為一組空間向量的基底，，，，其中，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且，，，得，，所以，即，，其中，顯然，，所以，即，，因?yàn)?，，且平面，平面，，所以平面，所以向量在平面上的投影向量為，選項(xiàng)D正確；故選：BCD.11.已知函數(shù)，，則（）A.將函數(shù)的圖象右移個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象B.將函數(shù)的圖象右移個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象C.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，將函?shù)的圖象右移個(gè)單位可得到，將函數(shù)的圖象右移個(gè)單位可得到，故A正確，B錯(cuò)誤；由A選項(xiàng)可知，，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；若函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則在上取點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)必在上，所以，所以，故D正確.故選：ACD.12.（多選）已知數(shù)據(jù)，若去掉后剩余6個(gè)數(shù)的平均數(shù)比7個(gè)數(shù)的平均數(shù)大，記，，，的平均數(shù)與方差為，，記，，，的平均數(shù)與方差為，，則（）A.B.C.D.〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13.直線的傾斜角是___________.〖答案〗0〖解析〗的斜率為0，設(shè)傾斜角為，則，解得，故傾斜角0故〖答案〗為：0.14.已知二項(xiàng)式的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為84，則___________.〖答案〗〖解析〗二項(xiàng)式中含的項(xiàng)為：，該項(xiàng)的系數(shù)為，由于該項(xiàng)的系數(shù)為84，得方程，即，解得或（舍去），故〖答案〗為：.15.位于奧體核心的杭州世紀(jì)中心總投資近100億元，總建筑面積約53萬平方米，由兩座超高層雙子塔和8萬平方米商業(yè)設(shè)施構(gòu)成，外形為杭州的拼音首字母“H”，被譽(yù)為代表新杭州風(fēng)貌、迎接八方來客的“杭州之門”.如圖，為測量杭州世紀(jì)中心塔高，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得，，米，在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為80°，則塔高為___________米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗310〖解析〗設(shè)米，因?yàn)樵邳c(diǎn)C測得塔頂A的仰角為80°，所以，在中，，所以，在中，因?yàn)?，，所以，由正弦定理得，所以，則，所以米.故〖答案〗為：310.16.已知點(diǎn)P是雙曲線C：與圓在第一象限的公共點(diǎn)，若點(diǎn)P關(guān)于雙曲線C其中一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在y軸負(fù)半軸上，則雙曲線C的離心率___________.〖答案〗〖解析〗聯(lián)立，取，解得，即，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于雙曲線C的漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為，則恰好在軸負(fù)半軸上，且，所以，由點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于漸近線對(duì)稱，所以直線的斜率為，所以，即，化簡可得，所以.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，角C為銳角，已知的面積為.（1）求c；（2）若為上的中線，求的余弦值.解：（1）由的面積為可得：，因?yàn)?，，解得：得，由角為銳角得，故，解得.（2）因?yàn)闉樯系闹芯€，所以，所以，，解得：.故.18.已知為公差為2的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若數(shù)列為等差數(shù)列.（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，因?yàn)闉楣顬?的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則，解得.故.（2）由（1）得，故，故數(shù)列的前項(xiàng)和為.19.已知直三棱柱，，，D，E分別為線段，上的點(diǎn)，.（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)到平面的距離為，求直線與平面所成的角的正弦值.（1）證明：在直三棱柱中，，平面，所以以為原點(diǎn)，，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，，則，，，設(shè)，則，設(shè)平面和平面的法向量分別為，則，取，則；，取，則，因?yàn)?，所以平面平?（2）解：設(shè)點(diǎn)，由，得平面的法向量，由得點(diǎn)到平面的距離，解得，由，得，直線與平面所成的角的正弦值為.20.已知點(diǎn)，為橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，橢圓C上的點(diǎn)P，Q滿足，且P，Q在x軸上方，直線，交于點(diǎn)G.已知直線的斜率為.（1）當(dāng)時(shí)，求值；（2）記，的面積分別為，，求的最大值.解：（1）設(shè)直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性得，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.設(shè)點(diǎn)，.因?yàn)镃：中，所以，所以當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓的方程得，所以，所以，所以.（2）由題可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓得：，所以，，，所以當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，取到最大值.21.我國有天氣諺語“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”，說的是如果中秋節(jié)有降水，則來年的元宵節(jié)亦會(huì)有降水.某同學(xué)想驗(yàn)證該諺語的正確性，統(tǒng)計(jì)了40地5年共200組中秋節(jié)與來年元宵節(jié)的降水狀況，整理如下：中秋天氣元宵天氣合計(jì)降水無降水降水194160無降水5090140合計(jì)69131200（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為元宵節(jié)的降水與前一年的中秋節(jié)降水有關(guān)？（2）從以上200組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選擇2組，記隨機(jī)事件A為二組數(shù)據(jù)中中秋節(jié)的降水狀況為一降水一無降水，記隨機(jī)事件B為二組數(shù)據(jù)中元宵節(jié)的降水狀況為一降水一無降水，求.參考公式與數(shù)據(jù)：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)為：元宵節(jié)的降水與中秋節(jié)的降水無關(guān).，因?yàn)?，所以沒有充分證據(jù)推斷不成立，故元宵節(jié)的降水與中秋節(jié)的降水無關(guān).（2）中秋節(jié)的降水狀況為一降水一無降水概率為，中秋節(jié)、元宵節(jié)的降水狀況均為一降水一無降水概率為，故.22.定義滿足的實(shí)數(shù)為函數(shù)的然點(diǎn).已知.（1）證明：對(duì)于，函數(shù)必有然點(diǎn)；（2）設(shè)為函數(shù)的然點(diǎn)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明.（1）證明：，由得.令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故至多一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)椋?，所以使，故?duì)于，函數(shù)有唯一然點(diǎn).（2）解：由（1）得，令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，，故使，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，故，將代入，得，所以?個(gè)零點(diǎn).浙江省杭州市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得：，解得：，由可得，即，即，解得：或，故，，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，，則，因?yàn)椋瑒t，又，則，解得或，所以或，所以或，故選：B.3.已知隨機(jī)變量，分別滿足二項(xiàng)分布，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以，所以，則，若，則.所以“”是“”的充要條件.故選：C.4.若，則的最小值是（）A. B.6 C. D.9〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：A.5.冬季是流行病的高發(fā)季節(jié)，大部分流行病是由病毒或細(xì)菌引起的，已知某細(xì)菌是以簡單的二分裂法進(jìn)行無性繁殖，在適宜的條件下分裂一次（1個(gè)變?yōu)?個(gè)）需要23分鐘，那么適宜條件下1萬個(gè)該細(xì)菌增長到1億個(gè)該細(xì)菌大約需要（參考數(shù)據(jù)：）（）A.3小時(shí) B.4小時(shí) C.5小時(shí) D.6小時(shí)〖答案〗C〖解析〗設(shè)適宜條件下1萬個(gè)該細(xì)菌增長到1億個(gè)該細(xì)菌大約需要分鐘，則，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，，所以，所以大約需要小時(shí).故選：C.6.已知定義在上的函數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗令，，故恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即.故選：B7.已知數(shù)列，滿足，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，則，又，則，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別為公比為的等比數(shù)列，由可得，則數(shù)列的各項(xiàng)為，其中奇數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故選：D.8.已知四面體，是邊長為6的正三角形，，二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L為6的正三角形，，則由三線合一可知，所以二面角的平面角為，取三角形的外心，設(shè)外接球的球心為，則平面，且，其中為四面體外接球的半徑，過點(diǎn)作垂直平面，垂足為點(diǎn)，由對(duì)稱性可知點(diǎn)必定落在的延長線上面，由幾何關(guān)系，設(shè)，而由正弦定理邊角互換得，進(jìn)而，由勾股定理得，從而，，所以，，所以由得，，解得，所以四面體的外接球的表面積為.故選：B.二、選擇題9.已知平面向量，，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗A.若，則，解得，故正確；B若，則，解得，故正確；C.若，或，故錯(cuò)誤；D.若，則，解得，故正確，故選：ABD.10.已知四棱柱的底面為菱形，且，，，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.可作為一組空間向量的基底B.可作為一組空間向量的基底C.直線平面D.向量在平面上的投影向量為〖答案〗BCD〖解析〗如圖所示，四棱柱，對(duì)于選項(xiàng)A，，三個(gè)向量都在平面，即三個(gè)向量共面，則也共面，不可作為一組空間向量的基底，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，兩個(gè)向量都在平面，顯然直線與平面是相交關(guān)系，不與平面平行，故三個(gè)向量不共面，可作為一組空間向量的基底，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由于，，易得平面，平面，從而有平面平面，且平面，所以直線平面，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，取作為一組空間向量的基底，，，，其中，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且，，，得，，所以，即，，其中，顯然，，所以，即，，因?yàn)椋?，且平面，平面，，所以平面，所以向量在平面上的投影向量為，選項(xiàng)D正確；故選：BCD.11.已知函數(shù)，，則（）A.將函數(shù)的圖象右移個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象B.將函數(shù)的圖象右移個(gè)單位可得到函數(shù)的圖象C.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，將函?shù)的圖象右移個(gè)單位可得到，將函數(shù)的圖象右移個(gè)單位可得到，故A正確，B錯(cuò)誤；由A選項(xiàng)可知，，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；若函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則在上取點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)必在上，所以，所以，故D正確.故選：ACD.12.（多選）已知數(shù)據(jù)，若去掉后剩余6個(gè)數(shù)的平均數(shù)比7個(gè)數(shù)的平均數(shù)大，記，，，的平均數(shù)與方差為，，記，，，的平均數(shù)與方差為，，則（）A.B.C.D.〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題13.直線的傾斜角是___________.〖答案〗0〖解析〗的斜率為0，設(shè)傾斜角為，則，解得，故傾斜角0故〖答案〗為：0.14.已知二項(xiàng)式的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為84，則___________.〖答案〗〖解析〗二項(xiàng)式中含的項(xiàng)為：，該項(xiàng)的系數(shù)為，由于該項(xiàng)的系數(shù)為84，得方程，即，解得或（舍去），故〖答案〗為：.15.位于奧體核心的杭州世紀(jì)中心總投資近100億元，總建筑面積約53萬平方米，由兩座超高層雙子塔和8萬平方米商業(yè)設(shè)施構(gòu)成，外形為杭州的拼音首字母“H”，被譽(yù)為代表新杭州風(fēng)貌、迎接八方來客的“杭州之門”.如圖，為測量杭州世紀(jì)中心塔高，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得，，米，在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為80°，則塔高為___________米.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗310〖解析〗設(shè)米，因?yàn)樵邳c(diǎn)C測得塔頂A的仰角為80°，所以，在中，，所以，在中，因?yàn)椋?，所以，由正弦定理得，所以，則，所以米.故〖答案〗為：310.16.已知點(diǎn)P是雙曲線C：與圓在第一象限的公共點(diǎn)，若點(diǎn)P關(guān)于雙曲線C其中一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在y軸負(fù)半軸上，則雙曲線C的離心率___________.〖答案〗〖解析〗聯(lián)立，取，解得，即，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于雙曲線C的漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為，則恰好在軸負(fù)半軸上，且，所以，由點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于漸近線對(duì)稱，所以直線的斜率為，所以，即，化簡可得，所以.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，角C為銳角，已知的面積為.（1）求c；（2）若為上的中線，求的余弦值.解：（1）由的面積為可得：，因?yàn)?，，解得：得，由角為銳角得，故，解得.（2）因?yàn)闉樯系闹芯€，所以，所以，，解得：.故.18.已知為公差為2的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若數(shù)列為等差數(shù)列.（1）求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，因?yàn)闉楣顬?的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則，解得.故.（2）由（1）得，故，故數(shù)列的前項(xiàng)和為.19.已知直三棱柱，，，D，E分別為線段，上的點(diǎn)，.（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)到平面的距離為，求直線與平面所成的角的正弦值.（1）證明：在直三棱柱中，，平面，所以以為原點(diǎn)，，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，，，，則，，，設(shè)，則，設(shè)平面和平面的法向量分別為，則，取，則；，取，則，因?yàn)?，所以平面平?（2）解：設(shè)點(diǎn)，由，得平面的法向量，由得點(diǎn)到平面的距離，解得，由，得，直線與平面所成的角的正弦值為.20.已知點(diǎn)，為橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，橢圓C上的點(diǎn)P，Q滿足，且P，Q在x軸上方，直線，交于點(diǎn)G.已知直