多邊形的內(nèi)角和外角

關(guān)于多邊形的內(nèi)角和外角目錄1.多邊形的定義2.正多邊形的定義3.多邊形的對角線4.多邊形的內(nèi)角和5.多邊形的外角和第2頁,共36頁，2024年2月25日，星期天試一試

三角形有三個內(nèi)角、三條邊，我們也可以把三角形稱為三邊形（但我們習(xí)慣稱為三角形）．

你能說出三角形的定義嗎？三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形

第3頁,共36頁，2024年2月25日，星期天既然我們已經(jīng)知道什么叫三角形，你能根據(jù)三角形的定義，說出什么叫四邊形嗎？四邊形是由四條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為四邊形ABCD第4頁,共36頁，2024年2月25日，星期天什么叫五邊形？五邊形，它是由五條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為五邊形ABCDE

第5頁,共36頁，2024年2月25日，星期天一般地，由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為n邊形，又稱為多邊形．那么多邊形的定義呢？第6頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

下面所示的圖形也是多邊形，但不在我們現(xiàn)在研究的范圍內(nèi)。注意我們現(xiàn)在研究的是如右圖所示的多邊形，也就是所謂的凸多邊形

有什么不同？凹多邊形凸多邊形第7頁,共36頁，2024年2月25日，星期天1.如圖8.3.2所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四邊形ABCD的四個內(nèi)角

3.∠CBE和∠ABF都是與∠ABC相鄰的外角，兩者互為對頂角，四邊形有八個外角。

既然三角形有三個內(nèi)角、三條邊，六個外角，那么四邊形有幾個內(nèi)角？幾條邊？幾個外角呢？2.AB，BC，CD，DA是四邊形ABCD的四條邊

第8頁,共36頁，2024年2月25日，星期天那么五邊形有幾個內(nèi)角？幾條邊？幾個外角呢？那么六邊形有幾個內(nèi)角？幾條邊？幾個外角呢？那么n邊形有幾個內(nèi)角？幾條邊？幾個外角呢？六邊形有6個內(nèi)角，6條邊，12個外角五邊形有5個內(nèi)角，5條邊，10個外角n邊形有n個內(nèi)角，n條邊，2n個外角第9頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

請大家細(xì)心地填一填，多邊形的內(nèi)角，邊，外角三者的關(guān)系表，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？3344556677nn681012142n第10頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

三角形如果三條邊都相等，三個角也都相等，那么這樣的三角形就叫做正三角形。

如果多邊形各邊都相等，各個角也都相等，那么這樣的多邊形就叫做正多邊形。如正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形等等。正三角形正四邊形正五邊形正六邊形正八邊形(或正三邊形)(或正四邊形)第11頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

連結(jié)多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.線段AC是四邊形ABCD的一條對角線；多邊形的對角線用虛線表示。第12頁,共36頁，2024年2月25日，星期天試一試請大家思考：五邊形ABCDE共有幾條對角線呢？五邊形ABCDE共有5條對角線。第13頁,共36頁，2024年2月25日，星期天請大家思考：六邊形ABCDEF共有幾條對角線呢？試一試六邊形ABCDEF共有9條對角線。有沒有什么規(guī)律呢？第14頁,共36頁，2024年2月25日，星期天請問：四邊形從一個頂點出發(fā)，能引出幾條對角線？請問：五邊形從一個頂點出發(fā)，能引出幾條對角線？請問：六邊形從一個頂點出發(fā)，能引出幾條對角線？請問：N邊形從一個頂點出發(fā)，能引出幾條對角線？

……123N-3第15頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

我們已經(jīng)知道一個三角形的內(nèi)角和等于180°，那么四邊形的內(nèi)角和等于多少呢？五邊形、六邊形呢？由此，n邊形的內(nèi)角和等于多少呢？我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思想什么？化未知為已知

那么我們能不能利用三角形的內(nèi)角和，來求出四邊形的內(nèi)角和，以及五邊形、六邊形，n邊形的內(nèi)角和？第16頁,共36頁，2024年2月25日，星期天探索新知

請你認(rèn)真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形？345n-2540°720°900°180°(n-2)1.從一個頂點出發(fā)第17頁,共36頁，2024年2月25日，星期天由此，我們就可以得出:n邊形的內(nèi)角和為_________________．(n-2)180°

它有什么作用呢?1.知道多邊形的邊數(shù),可以求出多邊形的度數(shù).2.知道多邊形的度數(shù),可以求出多邊形的邊數(shù).第18頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例1.求八邊形的內(nèi)角和的度數(shù)．

解（n－2）×180°=（8－2）×180°=1080°分析:n邊形的內(nèi)角和公式為(n-2)180°,現(xiàn)在知道這個多邊形的邊數(shù)是，代入這個公式既可求出.老師,可以用計算器嗎?第19頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例2.已知多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為900°，則這個多邊形的邊數(shù)為________解（n－2）×180°=900°

（n－2）=900°/180°

（n－2）=5

n=5+2n=77哇!這么簡單呀!第20頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

例3.已知在一個十邊形中，九個內(nèi)角的和的度數(shù)是1290°，求這個十邊形的另一個內(nèi)角的度數(shù).解:（10－2）×180°=1440°

則十邊形的另一個內(nèi)角的度數(shù)為

1440°-1290°=150°先求出十邊形的內(nèi)角和再減去1290°,就可以得出.第21頁,共36頁，2024年2月25日，星期天那么對于正多邊形來說,又遇到怎樣的問題呢?因為正多邊形的每個角相等,所以知道正多邊形的邊數(shù),就可以求出每一個內(nèi)角的度數(shù).（n－2）×180°/n第22頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例4.正五邊形的每一個內(nèi)角等于_____,外角等于___.例5.如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于120°,則這個多邊形的邊數(shù)是_____解:（n－2）×180°/n=（5－2）×180°/5=540°/5=108°解:120°n=（n－2）×180°120°n=n×180°-360°

60°n=360°

n=6第23頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例5.如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于150°,則這個多邊形的邊數(shù)是_____A.12B.9C.8D.7A例7.如果一個多邊形的邊數(shù)增加1,則這個多邊形的內(nèi)角和_____增加180°例6.如果一個多邊形的每一個外角等于30°,則這個多邊形的邊數(shù)是_____第24頁,共36頁，2024年2月25日，星期天解;設(shè)五邊形中前四個角的度數(shù)分別是x,2x,3x,4x,則第五個角度數(shù)是x+100°.X+2x+3x+4x+x+100°=（5－2）×180°11X+100°=540°11X=440°X=40°則這個五邊形的內(nèi)角分別為40,80°,120°,160°,140°.例8.五邊形中,前四個角的比是1:2:3:4,第五個角比最小角多100°,則這個五邊形的內(nèi)角分別為_____第25頁,共36頁，2024年2月25日，星期天探索新知

請你認(rèn)真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形？23456n-1180°360°540°720°900°180°(n-1)-180°2.從邊上的一個點出發(fā)第26頁,共36頁，2024年2月25日，星期天探索新知

請你認(rèn)真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形？34567n180°360°540°720°900°180°n-360°3.從多邊形內(nèi)一個點出發(fā)第27頁,共36頁，2024年2月25日，星期天探索新知

請你認(rèn)真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形？180°n-360°=180°n-2X180°=180°(n-2)4.從多邊形外一個點出發(fā)第28頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

前面我們學(xué)習(xí)了三角形的外角和是360°

，當(dāng)時是怎樣研究出來的？ABCDEF1.先把三角形的三個外角和三個內(nèi)角這六個角的和求出來，剛好是三個平角。2.再用這六個角的和減去三個內(nèi)角的和，剩下的就是三角形的外角和了！第29頁,共36頁，2024年2月25日，星期天那么你能研究出四邊形的外角和嗎？整體思路：1.先求4個外角+4個內(nèi)角的和；2.再減去4個內(nèi)角的和容易看出，4個外角+4個內(nèi)角=4個平角而4個內(nèi)角的和是360°

，那么四邊形的外角和就是4X180°-360°=360°第30頁,共36頁，2024年2月25日，星期天那么出五邊形，六邊形，n邊形的外角和嗎？五邊形的外角和就是5X180°-540°=360°六邊形的外角和就是6X180°-720°=360°。。。。。。n邊形的外角和就是nX180°-(n-2)X180°=(n-n+2)X180°

=360°任意多邊形的外角和都為360°

第31頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例9.正五邊形的每一個外角等于___.每一個內(nèi)角等于_____,72°144°例10.如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于120°,則這個多邊形的邊數(shù)是_____6例11.如果一個正多邊形的一個內(nèi)角等于150°,則這個多邊形的邊數(shù)是_____A.12B.9C.8D.7A例12.如果一個多邊形的每一個外角等于30°,則這個多邊形的邊數(shù)是_____12第32頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例13.一個正多邊形的一個內(nèi)角和是外角和的2倍,則這個多邊形為()

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形例14.一個正多邊形的一個內(nèi)角和與外角和的比是7:2,則這個多邊形的邊數(shù)為()

第33頁,共36頁，2024年2月25日，