(四川卷)高考數(shù)學(xué)試題詳細(xì)解答及考點解讀

普通高等學(xué)校招生考試(四川卷)

理科數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分.第I卷共12小

題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

參考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互獨立，那么P(A-B)=P(A)-P(B)

如果事件A在一次試驗發(fā)生的概率是P,那么n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率

巴僅)=0(1-p廣,

球的表面積公式：S=4TTR2,其中H表示球的半徑

4

球的體積公式：S=—7TK,其中R表示球的半徑

3

第I卷

一、選擇題

(1)設(shè)集合S={x||x|<5},r={x|x2+4x-21<o},則ST=

(A){x|—7<x<-5}(B){x|3<x<5}

(C){x|-5<x<3}(D){x|-7<x<5}

a+log2x(當(dāng)x>2日寸)

(2)已知函數(shù)/*(x)=1%2_4在％=2處連續(xù)，則常數(shù)。

---(當(dāng)x<2H寸)

.x—2

的值是

(A)2(B)3(C)4(D)5

(3)復(fù)數(shù)(L+2'匚的值是

3-4;

(A)1(B)-1(C)(D)-i

TT

已知函數(shù)/(x)=sin(x—彳)(XGR),下面結(jié)論管醫(yī)的是

(A)函數(shù)/(x)的最小正周期為24

(B)函數(shù)/(x)在［03］上是增函數(shù)

(C)函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于x=0對稱

(D)函數(shù)/(x)是奇函數(shù)

(5)如圖，已知六棱錐P—ABCDEF的底面是正六邊形，PA_L平面ABC,PA=2AB,則下

列結(jié)論正確的是

(A)PB1AD/

(B)平面PABJ_平面PBC/\X.

(C)直線BC//平面PAE/日\D%

(D)直線PD與平面ABC所成的角為45°

(6)己知a,b,c,d為實數(shù)，且c〉d,則“。>力"是"a-c>b-d”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

(7)已知雙曲線5—營=1(⑦>0)的左、右焦點為"、工，其一條漸近線方程為丁=%，

點p(G,打)在該雙曲線上，則刊>貨=

(A)-12(B)-2(C)0(D)4

(8)如圖，在半徑為3的球面上有A、B、C三點,

ZABC=90°,BA=BC,球心O到平面ABC的距離

C兩點的球面距離是

(D)2乃

(9)已知直線小4x—3y+6=0和直線4：x=—1，拋物線y?=4x上一動點P到直線4

和直線12的距離之和的最小值為

(A)2(B)3(C)——(D)——

516

(10)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸，

生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸

乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超

過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是

(A)12萬元(B)20萬元(C)25萬元(D)27萬元

(11)3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3為女生中有且只有

兩位女生相鄰，則不同的排法種數(shù)是

(A)360(B)288(C)216(D)96

(12)已知函數(shù)/(x)是定R上的不恒為O的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有

x汽料1)=(x+1)/(;,則的值是

(A)0(B)-(C)1(D)-

22

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.

(13)(2x-1-)6的展開式的常數(shù)項是(用數(shù)字作答)

2x

(14)若O：￡+>2=5與O]：(x-m)2+y2=20(meR)相交于A、B兩點，且

兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是

(15)如圖，已知正三棱柱ABC-A4G的各棱長

都相等，M是側(cè)棱CC的中點，則異面直線A4和

BM所成的角的大小是

(16)設(shè)V是已知平面M上所有向量的集合，

對于映射了：V—V,aeV,記。的象為/(a).

若映射fV滿足：對所有a、小eV及任意實數(shù)2、"都有

f(Aa+pb)=Af(a)+//f(b)，則/稱為平面M上的線性變換.現(xiàn)有下列命題:

①設(shè)/是平面M上的線性變換，則/(0)=0

②對aeV,設(shè)/(a)=2a,則/是平面M上的線性變換.

③若e是平面M上的單位向量，對“eV,設(shè)/(a)=a-e,則/是平面M上的線性變換.

④設(shè)/是平面M上的線性變換，a、b^V,若a、6共線，則/(a)、/(b)也共線.

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

(17)(本小題滿分12分)在△ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對的邊分別為。，

口o.3.口M

且cos2A--,sinB=---

510

(I)求A+B的值

(II)若a-6=及一1,求c的值

(18)(本小題滿分12分)為振興旅游業(yè)，四川省面向國內(nèi)發(fā)行總量為2000萬張的熊貓優(yōu)

惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡稱銀

卡).某旅游公司組織一個有36名游客的旅游團(tuán)到四川旅游，其中士是省外游客，其余是省

4

內(nèi)游客.在省外游客中有上1持金卡，在省內(nèi)游客中有土2持銀卡.

33

(I)在該團(tuán)中隨機采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率；

(H)在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡的人數(shù)為隨機變量求J的

分布列及數(shù)學(xué)期望

(19)(本小題滿分12分)如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在的平面

互相垂直，Z\ABE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,ZAEF=45°.

(I)求證：EF_L平面BCE；

(ID設(shè)線段CD的中點為P,在直線AE上

是否存在一點M,使得PM〃平面BCE?

若存在，請指出點M的位置，并證明你

的結(jié)論；若不存在，請說明理由；

(Ill)求二面角F—BD—A的大小.

(20)(本小題滿分12分)已知橢圓=1(。>6>0)的左、右焦點分別為A、

/十瓦F2,

離心率e=二，右準(zhǔn)線方程為x=2.

2

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)過點6的直線/與該橢圓相交于M、N兩點，且IKM+6N|=2g,求直線/的

方程

(21)(本小題滿分12分)已知。〉0且awi,函數(shù)y(x)=iog“a—優(yōu))

(I)求函數(shù)/(X)的定義域，并判斷了(X)的單調(diào)性；

”(〃)

(II)若neN*,求lim-----；

me+a

(HD當(dāng)a=e(e是自然對數(shù)的底數(shù))時，設(shè)/z(x)=(l-e"月)(尤?一m+1).若函數(shù)以為)的

極值存在，求實數(shù)，〃的取值范圍以及函數(shù)〃(幻的極值.

(22)(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列｛叫的前〃項和為S“，對任意正整數(shù)〃，都有=5S,,+1

4+ci

成立，記b-----(〃cN*)

(I)求數(shù)列｛勿｝的通項公式；

(H)記c.=恁一砥t"wN*),設(shè)數(shù)列的前〃項和為7；,求證：對任意正整數(shù)〃，都

3

有小屋

(III)設(shè)數(shù)列｛a｝的前〃項之和為(，已知正實數(shù);I滿足：對任意正整數(shù)〃，凡《力2恒

成立，求4的最小值.

普通高等學(xué)校招生考試(四川卷)

理科數(shù)學(xué)答案及解讀

一、選擇題

（l）C.【解讀與點評】此題中“|x|<5"出自第一冊（上）?練習(xí)21<0”

由第一冊（上）鳥。例5改編，此題題型來自于第一冊（上）鳥2習(xí)題1.5中的第7題.

此題的直接解法中要用到數(shù)形結(jié)合的思想。此題學(xué)生容易失誤的地方是求

"X2+4X-21<0"的解集.

此題的一般解法是：S={x|—5<尤<5},T={x|—7<x<3},

ST={x\-5<x<3},故選C.

別解：由于一6比S,.?.可以排除A和D,又由于4eT,...又可以排除B,故選C.

r2—4

(2)B.【解讀與點評】此題的一般解法是：???lim/(x)=lim------=lim(x+2)=4,

XT2-xf2-X—2xf2

limf(x)=lim(a4-log2x)=a4-1,Y/(元)在x=2處連續(xù)，/.limf(x)=lim/(x)

=f(2),.,.a=3,故選B.

此題在課本上、復(fù)習(xí)的資料上都可以找到原形，它是高考必考的內(nèi)容之一，為后繼學(xué)習(xí)

打基礎(chǔ).

一（）

（3）A.【解讀與點評】此題的一般解法是：原式1+=4上/-絲4二-3=+上4z空=3以-4±i二-1

3-4z3-4z3-4z

(l+2z)2(1+2J]

別解1：原式=_

-3+4;(1+2Z)2-

2

別解2：原式=（1+力）：1+2/i（l+2i）,2.

----------=i=—1.

（27）22-i2/+1,

高考對復(fù)數(shù)的要求很低，只要掌握了其相關(guān)的基本概念、能進(jìn)行加、減、乘、除、平方、

立方運算就可以了.

TT

（4）D.【解讀與點評】此題由第一冊（下）《9誘導(dǎo)公式“sin（5—x）=cosx”改編.

此題的實質(zhì)是考查基本函數(shù)y=cosx的圖象和性質(zhì)，此題學(xué)生容易失誤的地方是把

77

“sinQ-^）”化簡成"cosx

47T

此題的一般解法是：/（x）=sin（x--）=-sin（y-x）=-cosx,然后由y=cosx的

圖象和性質(zhì)容易知道選項（A）、（B）、（C）都正確，故選D.

jrIT

別解：.f(x)=sinxcos-----cosxsin—=-cosx,由y=oosx的圖象和性質(zhì)容易知道選項

(A)、(B)、(C)都正確，.,.選D.

(5)D.【解讀與點評】此題既考查了正六邊形的性質(zhì)又考查了三垂線定理的逆定理和直線

與平面平行的性質(zhì)以及直線與平面所成的角.

此題學(xué)生容易失誤的地方是：對選項B的判斷(較難)，好在是單選題，而D選項又是

正確的，所以容易做對此題.

此題的一般解法是：「ABCDEF是正六邊形，/.AD//BC,若PB±AD,則PB±BC,

又：PA_L平面ABC,ABCIAB,與/ABC=120°矛盾，故不選A.

假設(shè)平面PAB_L平面PBC,由已知PAJ_AE,由正六邊形知道：AEJ_AB,.".AEX5?

面PAB,；.AE//平面PBC,由直線平行平面的性質(zhì)知道：AE//BC,而BC//EF,AAE//EF,

于是自相矛盾，，假設(shè)不成立，故不選B.

假設(shè)BC//平面PAE,由直線平行平面的性質(zhì)知道：BC//AE,而BC//EF,；.AE//EF,于

是自相矛盾，.?.假設(shè)不成立，故不選C.

因此選D.事實上，TPAL平面ABC,ZPDA是PD與平面ABC所成的角，TABCDEF

是正六邊形，；.AD=2AB,VPA=2AB,；.AD=PA,，/PDA=45°故選D.

別解：：題設(shè)有等量關(guān)系：PA=2AB,由己知可知：AD=2AB,；.PA=AD,：PA_L平面ABC,

二/PDA是PD與平面ABC所成的角等于45°,故選D.

(6)B.【解讀與點評】此題由第二冊(上)丹中定理3的推論改編而成.

此題學(xué)生容易失誤的地方是：充分性的判定.

此題的一般解法是：由第二冊(上)”中定理3的推論知道：同向不等式可以相加，

但不能相減，于是由“c>d”和“a—c>8—d”相加可得“a>人”，但“a>b”和“c>d”

不能相減，所以無法得出“a-c>b—d”,故選B.

(7)C.【解讀與點評】由漸近線方程知道：〃=2.

q2

此題的一般解法是：?.?點P(百，片)在該雙曲線上，.??士—H=l,當(dāng)為=1

2

時，點P(百，1),由雙曲線的紡方程可知百(一2,0),/^(2,0),：.PFtPF2=

當(dāng)為=-時，同理可得：故選

(-2-6-1)(2-V3,-1)=0,1PFCPF2=0,C.

別解：c2=6f2+/?*■=4T:.e=￡=VL.?.夕（一2,0）,入（2,0）,；.|6凡|=4,

a

由焦半徑知道：\PF1\=ge+a=&亞，口區(qū)\=&-€1=瓜-6,

.?.|/￥；F+|PK|2=I6=WK|2,故所以尸耳?尸鳥=0,故選c.

（8）B.【解讀與點評】此題學(xué)生容易失誤的地方是：不知道要求NB0C.

此題的一般解法是：設(shè)過A、B、C三點的小圓的半徑為r,則

VZABC=90",.?.AC=2r=3"；.AB=BC=3,

.?.NBOC=60°,；.B、C兩點的球面距離是幽x2萬H=乃，...選B.

360

此題考查了球的性質(zhì)，90°的圓周角所對的弦是圓的直徑，勾股定理或三角函數(shù)，球

面距離的概念和弧長公式，這些都是課本中的基礎(chǔ)知識.

（9）A.【解讀與點評】此題學(xué)生容易失誤的地方是：設(shè)出動點P的坐標(biāo)，然后老老實實把

距離表示出來，再求其最小值，這樣有可能解答不出結(jié)果來。

此題的一般解法是：易知直線4：*=-1剛好是拋物線的準(zhǔn)線，又由4的方程代入拋

物線方程消去x得：/-3j+6=0,△=一15<0,所以直線4與拋物線相離，按拋物線

的定義，點P到4的距離等于點P到拋物線焦點F（1,0）的距離，依題意：在拋物線上找

一點P,P到F的距離與P到4的距離之和最小，結(jié)合圖象，就是過點F作4的垂線，垂足

與點F之間的線段交拋物線于點P,即求點F到直線/,的距離d=J4-0+6L=2,故選A.

次+㈠產(chǎn)

此題運用了數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)換的思想.

（10）D.【解讀與點評】此題由第二冊（上）鳥2習(xí)題5改編.

此題的一般解法是：設(shè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)可生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x、y噸，該企業(yè)

3x+y<13

2x+3y<18

可獲利z萬元，依題意得：,z=5x+3y

x>0'

y>0

"x=3

先作出可行域，然后在可行域內(nèi)找出目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是4',z的最大值為27

y=4

萬元，故選D.

(11)B.【解讀與點評】此題的一般解法是：先三個男生站成一排，就形成四個空位,

如圖，將三個女生任意抽兩個女生一組，就把女4分成了兩組，男男男將

這兩組女生排在四個空位中的兩個空即可，但相鄰的兩個女生中可以調(diào)換位置，于是這樣的

排法有?否)-A；=432(種)，由于甲不站兩端，而甲站兩端的概率是:，所以

符合條件的排法有432X(1-1)=288(種)，故選B.

3

此題的綜合性很強，把平時熟悉的相鄰和不相鄰問題以及特殊位置上的排法(甲不站兩

端)都考慮進(jìn)來了，有一定的難度。若按分類來做，要進(jìn)行兩重分類(先按甲分四類，每類

中又再按相鄰兩個女生來分類)，步驟也比較多.

(12)A.【解讀與點評】要求出/(/弓))，必須求出/(|),???4(x+l)=(x+l)/(x)，

???必須找出/(1),而/(%)是R上的偶函數(shù)，.??令x=—g,由已知得：

-1嗎=9管嗎)=o；又令》=；，代入己知得：；“1)=河)，二

/(|)=0；再令X=|,代入已知得:|/(|)=|/(|),/(|)=0;.-./(/(|))=/(0),

現(xiàn)在只需求出/(0)即可，.?.令x=0,由已知得：0〃1)="(0),/(0)=0,故

/V(1)A/(0=0,???選A.

此題是對考生數(shù)學(xué)思維能力的考查，利用分析法把抽象的函數(shù)問題通過分析、觀察和

比較，就可以找到解決它的辦法.

二、填空題：

(13)【解讀與點評】答案：-20.此題由第二冊(下B)《25第7題改編而成，利用通項公

式可以知直接解答出結(jié)果，是一道基礎(chǔ)性的常規(guī)題目，所以牢固掌握課本上的基礎(chǔ)知識是十

分必要的.

(14)【解讀與點評】答案：4.有的考生在解答此題時把圖形特殊處理這樣歪打正著，直接

把Q4當(dāng)成是。。的切線，QA當(dāng)成。。的切線，由勾股定理求出|日=5,然后利用4

O|OAD的面積求出。。邊上的高2,即點A的縱坐標(biāo)為2,由對稱性知道AB=4.

此題的一般解法是：由已知：加。0,。。和。。1的兩個方程相減得：x=，U~15,

2/71

2?4

為直線AB的方程，點A的橫坐標(biāo)為

2m

設(shè)點A(),，K.A=上，K0A=」一，.?.過點A且與。。相切的切線的斜

1

x,x1-m

率為-五，過點A且與。。相切的切線的斜率為-三二”，?.?這兩條切線互相垂直，-土?

弘X,

(~1,即X：+y：=:?點A在。。上，；.X：+yj=5,二/被1=5,

X

即.

m

于是'———=—>Iznl=5,Xj=±1,y1=±2,故AB=4.

2mm

別解1：設(shè)點A(X],y),過點A與。。相切的切線方程是：x/+yy=5,

過點A與。。1相切的切線方程是：—m(》+%)+加2+yy=20,?.?這兩條切線互相垂

直，；.一瓦?(--1--m)=—1,即西2+凹2=小，;點A在。。上，...X：+y；=5,

XX

55m2-25

22

二mxt=5,即玉=工，y,------,代入(％-m)+y；=20得：

mm~

(5-nr5+歷2-2=5r,解得同=5,七=±1,y=±2,故AB=4.

別解2：設(shè)過點A與。。相切的切線是直線/,與。?相切的切線是直線/「...因此圓

心。在直線4上，圓心。?在直線/上，于是由勾股定理求出|時=5,然后利用△qOAD的

面積求出。。邊上的高2,即點A的縱坐標(biāo)為2,由對稱性知道AB=4.

此題看起來很簡單，但考生不一定來會想到“別解2”的方法，所以考生解答的運算量

還是比較大的，不過把此題放在填空題中還是比較適合的.

(15)【解讀與點評】答案：90。.此題由第二冊(下B)之第4題改編而成.

解法一：設(shè)正三棱柱的各條棱長都為1,又設(shè)AB=a,4。=人，84=2。，由已知。4=0,

bc=0,ab-lxixcos60°--,忖=忖=1,|c|=—,則A#=七2,

BM=b-a+c,/.AB「BM=(a+2c)?(/?-〃+c)

22

=a-b-a+〃?(7+2c?〃-2c?〃+2c=0,

???Ag與互相垂直，故A片與BM的夾角為90°.

解法二：設(shè)正三棱柱的各條棱長都為2,取AB的中點O,A耳的中點?！竸tOC、OB、00,

兩兩垂直，以。8、OC、OQ分別為x,,,z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B(l,

0,0),A(-1,0,0),C(0,6，0),M(0,百，1),B|(1,0,2),二世=(2,

0,2),BM=(-1,>/3,1),A8,?BM=0,

A4與互相垂直，故Aq與8M的夾角為90°.

別解：取AB的中點O,A"的中點"，易知CO_L平面ABB|A，C。**■平面4臺用4，

二CC,在平面AB44上的射影是001，六點M在平面AB與4內(nèi)的射影是0a的中點E,

即4用的中點，.?.BM在平面內(nèi)的射影是BE,由已知AB11.BE,.?.由三垂線定理

知道：AB|?.故A片與的夾角為90°.

(16)【解讀與點評】答案：①②④.此題以熟悉的“向量、映射”為對象，以高代中的“線

性變換”為背景，始終圍繞條件：對所有a、bwV及任意實數(shù)4、〃都有

/(2a+〃份=丸八。+〃/(來進(jìn)行理解和推理論證.

此題的一般解法是：令4=〃=0,由已知等式得/(0)=0,...①是真命題；

若f(a)=2a,則+/jb)=2(Aa+曲)=2Aa+,

肛(Q)+-A2a+N2b-24〃+f(Aa+fQ)+/(〃〃)，

1?②是真命題；

若f(a)=a-e,則+〃b)=2。+^h-e,

f(Aa)+f"b)=2a-e+一e=+〃〃一2e,/.f(Aa+曲)WX/(Q)+S)；

③是假命題；

在f(九a+曲)=f(九d)+f("b)中令4=0,則f(Aa)=Aa,當(dāng)〃=加時，

/0）=f（ma）=inf\a）,...④是真命題，故填①②④.

三、解答題：

（17）【解讀與點評】第（I）問由二倍角公式和已知條件可求出sinA,cosA的值，再由

平方關(guān)系求出cos3的值，最后求出cos（A+3）=—,由已知0vA+3<4，二

A+B=—,考生容易失誤的地方是：求出sin（A+6）=受，得出：A+B=位或

424

3

A+B=—7T.

4

第（II）問由第（I）問求出sin（A+3）,即sinC的值，由正弦定理：可得出：

a==方6,與已知。一人=0—1聯(lián)立求得：ci-V2,b=l,

c="x/s".

此題考查的內(nèi)容都是課本上要求的考生必須掌握的基礎(chǔ)知識和基本方法.

（18）【解讀與點評［第（I）問由題意：省外游客27人，持金卡的有9人；省內(nèi)游客9

人，持銀卡的有6人，設(shè)“采訪該團(tuán)三個人中，恰有1人持金卡且持銀卡的人數(shù)少于2人”

為事件A,則尸（A）=三隼-+CC=二色，考生容易失誤的地方是:

。工。工85

對“持銀卡者少于2人”的理解不準(zhǔn)確.

第（II）問占的可能取值為0,1,2,3.易求得占的分布列為:

0123

13155

P

8414282?

最后求得：石盲=2,第（II）問是課本上常見的類型題.

（19）【解讀與點評】由已知可得出：EA_L平面ABCD,而ABCD是正方形，；.EA、AD、

AB兩兩垂直，于是可建立空間直角坐標(biāo)系，此題的三個問題都是平時在復(fù)習(xí)中見到過的題

型，就容易解答出來了.

別解：第（I）問由已知可求出/BEF=90°,；.EF，EB,再由平面與平面垂直的性

質(zhì)可得：BC_L平面ABEF,；.BC_LEF,/.EF±￥ffiBCE.

第(n)問取AB的中點N,則PN//BC,取AE的中點M,則MN//BE,于是平面PMN//

平面BCE,...PM//平面BCE.

第(IH)問過F作FOLBA的延長線的垂線，垂足為0,由已知可知F0L平面ABCD,

過0作0GLBD于G,連結(jié)FG,則FG_LBD(三垂線定理)，,NFG0是二面角F—BD—A

的平面角，根據(jù)已知條件設(shè)AB=2,就容易求出NFG0了.

(20)第(I)問是課本上的基礎(chǔ)知識題目，考生很容易完成.

第(II)問，考生容易失誤的地方是：①對直線/的斜率不存在時不進(jìn)行說明，②對

十鳥7v[=§不知道如何處理.

要處理上Af+5M，由于F2(1，0)是已知的，若設(shè)M(X]，必),

N(x2,y2),則F2M=(玉一1，Y)，=(AT2—1,y2)

；?F2M+F2N=('iH-JV2—2,yx+%)，，只要找出玉+x?和y+y2

來就能利用|5兇十^N|=(解答問題了，而求玉+工2和y+%是我們

平時練習(xí)中常用到的基本技能了，因此就不難解答此題了.這也正好體現(xiàn)了“穩(wěn)中有變”，但

萬變還是不離其中的“四基(基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法和基本活動經(jīng)驗)”.

(21)第(I)問是基礎(chǔ)性的題目，考生容易完成.

第(H)問容易失誤的地方是：不根據(jù)/(〃)的定義域，找，的取值范圍而出錯.

由/(〃)=log(l—a")知：1—a”>0,而〃>0,...Ovavl,于是后

面就容易解答正確了.

第(HI)問容易失誤的地方是：忽略條件a=e>l,因而進(jìn)一步忽略xvO,導(dǎo)

致解答中出錯.

在/(x)=log(l—a")中，；a=e>1,；.xvO,于是由已知得：

h(x)=ex(x2—m+1)(xvO),

h，(x)=exQx~+2x—m+1),

令/z'(x)=O,則“2+2x—〃z+l=O,由△之：O得：m>O

x=—1±y/m,;xvO,...要對2=0、Ovzv1和〃2>1分別來判斷

A(x)的極值.

此題的隱藏條件函數(shù)的定義域，若被忽略，解答就會出錯，所以在平時的復(fù)習(xí)中應(yīng)加

強這方面內(nèi)容的訓(xùn)練.

(22)第(I)問在平時的復(fù)習(xí)中做過類似的練習(xí)題，考生基本上能完成.

4+(-上5

5x(-4)?,

(II)由第(I)問知:

(-4)w-l

5

=4+

(-4)"-1

5525x16"25

2/,<

一2”-2,，-1-42?+42Z+1—(16)+3x16"-4T6"

43

而易求得G=§，；?工=Gv],

411

當(dāng)2時，7；,<-+25(--+--+

“3162163

17Sx

]4is?693

+25x16；(1------)v—I-------=—v—

16z,-'311482

16

很多考生不會把包,分成兩項，c?“就放大不出來，也就無法放大7；了.

(III)當(dāng)九二1,RETV時，-：b+h-8+^-->8

2k2k+lT42J+I

而包kT+QI=8—不金工，十不2fV8

①當(dāng)冏為奇數(shù)時，設(shè)〃=24+1(ReTV*)

K,=4+2+2++紇=4+(優(yōu)+么)++(t>2k+b2k+i)

>b,+8左=3+8x———-=4/2—1

2

R“=4+2+久++bn

=(4+。2)+(久+54)++(2J+)+A+1

<2k+4---77^---v8k+4=4M，

427+1

當(dāng)n為奇數(shù)時，恒有4H—1vv4H

當(dāng)n為任意正奇數(shù)時，An>R“都恒成立，而4H—1vV4H,，X24：

②當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)％=24（Ae/V*）

Rn=々+&+么++b?

=S+&）+（么+Z?4）++（^2*-1+b2k）

<Sk—4n，

當(dāng)〃為任意正偶數(shù)時，對義=4,恒有2〃3R,,成立（其理由是

An=4AZ>Rn）.

綜合上述，對一切正整數(shù)n滿足：2九>及“恒成立的正實數(shù)之的最小值為4.

此問對數(shù)學(xué)的抽象思維能力要求很高，由｛2,｝中相鄰兩項的和與8的大小是關(guān)鍵，對

匕為正奇數(shù)，可求出：4z?-1</??<,由此找到了224,最后驗正了2=4,

對任意正偶數(shù)n不等式An>R?也成立，這樣就得到了結(jié)果.

試卷綜合解讀與評析

今年我省的高考數(shù)學(xué)試題是按照全國統(tǒng)一考試大綱的規(guī)定，絕大部分試題立足于現(xiàn)行高

中數(shù)學(xué)教材，基本適合我省考生的數(shù)學(xué)實際水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，該試題有以下特點：

1.保持穩(wěn)定，穩(wěn)中有進(jìn)

今年我省的高考數(shù)學(xué)試題延承了過去三年的特點：重視基礎(chǔ)，立足于教材，重視對數(shù)學(xué)

思想方法和數(shù)學(xué)能力的考查；在題型、題量上保持了相對穩(wěn)定，在難度上略有提升，在內(nèi)容

上，試題融入了數(shù)學(xué)文化和四川特色，如文科（5）題通過“黃金矩形”這一數(shù)學(xué)文化為背

景，考查統(tǒng)計知識，（18）題概率題背景取自于今年四川省為促進(jìn)旅游業(yè)發(fā)展，面向全國發(fā)

行熊貓卡，充分體現(xiàn)了四川特色；個別試題目有新意，如理科的第（9）、（12）、（16）、理（21）

等題；還設(shè)計了探索性問題，如理科的第（19）題、文科的第（22）題。

2.立足教材，正確導(dǎo)向

很多試題都來源于教材,如理科⑴、⑵、（3）、（4）、（6）、（8）、（11）,（13）、（14）、

（15）、（17）,（18）（II）、（20）（I）等，文科⑴、（2）、（4）、（7）、（9）、（11）、（13）、

（14）、（15）、（17）等都是從教材中的內(nèi)容改編而來。既有利于糾正高三復(fù)習(xí)中片面追求“新、

奇、怪”的現(xiàn)象；又有利于防止高三復(fù)習(xí)中脫離教材以教輔資料代替高三復(fù)習(xí)的片面做法；

還有利于高中素質(zhì)教育及減輕高中學(xué)生過重的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

3.平和樸實，寓含深意

今年的高考試題看起來都比較樸實、平和，很多題目都是考生熟悉的題干，但深入解題

后又會發(fā)現(xiàn)與過去已作過的題目不同，例如理科的第（11）題，第（20）（H）題，第（21）

（ID（III）題等，考生是比較熟悉的，但要完整解答這幾道題就不那么容易了，這就要求

考生的思維能力要有一定的深刻性。

4.多考點想，少考點算

如理科⑴、（2）、⑶、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（13）、（14）、（15）題及文

科（1）、（2）、（4）、（6）、（7）、（13）題都不需要過多的計算就可得出結(jié)論。理科（9）、（14）、

（15）題如果考生想通了，借助于數(shù)形結(jié)合的思想計算就很簡單，如果不加分析就用代數(shù)方

法計算就比較難。

5.低起點，廣入口，高結(jié)尾

今年文理科試題起點都較低，一方面有利于穩(wěn)定考生情緒，迅速進(jìn)入較佳狀態(tài)；另一方

面也讓不同程度的考生都能正常發(fā)揮自己的水平。

很多試題入口較寬，例如（11）題這個排列組合問題可以用直接法也可以用間接法求解;

（15）、（19）題立體幾何題目都可以用推理、空間向量兩種方法去求解；理科（20）題、文

科（21）題可以直接計算向量，也可以通過三角形的中線性質(zhì)轉(zhuǎn)化。

壓軸題設(shè)置了一定的難度，有利于高校選拔新生。文科（22）題與理科（22）題是姊妹

題，但該題理科最后難度比文科略高，但該題第（I）問既是一個低起點的問題，也是后兩

問的一個提示。

全套試題梯度明顯，區(qū)分度較好。基礎(chǔ)題主要考查高中數(shù)學(xué)最基本的概念和方法；中檔

題多在知識的交匯處考查主干知識，如第(7)、(9)、(14)、(16)、(18)(I)、(19)、(20)

(II)題等;難度大一點的題如第(11),(21)(H)(III)、(22)(II)(III)題必須是數(shù)學(xué)

能力很強的考生才可能做好。

6.試題注意了文理科的差異

文科試題的起點比理科低，如(1)、(13)題；全卷對文理科安排了有部分差異的姊妹

題8個，完全相同的題10個，全然不同的題4個。

總之，今年的試題較好的體現(xiàn)了考試大綱的精神，同時又立足于現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材及

教學(xué)實際，是一套較好的試題。

說明《四川省09年高考數(shù)學(xué)試題評析》參考了成都八中傅勒的《09年四川高考數(shù)學(xué)

試題簡評》文章出處：

普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(四川卷)

數(shù)學(xué)(文史類)

一，選擇題:

(1)設(shè)集合5=上舊<5},7=卜卜+7)(左一3)<0},則ST=

(A){x|-7<x<-5}(B){x|3<x<5}

(C){xI-5<x<3)(D){xI-7<x<5}

⑵函數(shù)y=2?中(xER)的反函數(shù)是

(A)y=l+log2x(x>0)(B)log2(x-l)(x>l)

(C)y=-l+log2(x>0)(D)log2(x+l)(x>-l)

(3)等差數(shù)列｛a“｝的公差不為零，首項4=1,%是%和劣等比中項，則數(shù)列｛0“｝的前

10項之和是

(A)90(B)100(C)145(D)190

TT

(4)已知函數(shù)/(x)=sin(x—5)(xe/?),下面結(jié)論錯誤的是

(A)函數(shù)/(x)的最小正周期為2萬

TT

(B)函數(shù)/(x)在區(qū)間Q,-上是增函數(shù)

(C)函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x=0對稱

(D)函數(shù)/(x)是奇函數(shù)

J5-1

(5)設(shè)矩形的長為。，寬為b,其比滿足=——?0.618,這種矩形給人美感，稱

2

為黃金矩形。黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計中。下面是某工藝品廠隨機抽取兩個批次的初加

工矩形寬度與長度的比值樣本：

甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639

乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620

根據(jù)上述兩個樣本來估計兩個批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確結(jié)論是

(A)甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近。

(B)乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近

(C)兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同

(D)兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定

(6)如圖，己知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA_L平面ABC,PA=2AB,則下列

結(jié)論正確的是

(A)PB1AD

(B)平面PAB_L平面PBC

(C)直線BC//平面PAE

(D)直線PD與平面ABC所成的角為45°

(7)已知a,b,c,d為實數(shù)，且c>4,則“a>b”是“a-c>b—d”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

K1

(8)已知雙曲線彳一一^=1(〃〉0)的左、右焦點分別為耳、工，其一條漸進(jìn)線方程為

y=x,點”(G,%)在該雙曲線上，則姐=

(10)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；

生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元、

每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元。該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸,

B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是

A12萬B20萬C25萬D27萬

(11)2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3為女生中有且只有

兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是

A60B48C42D36

(12)己知函數(shù)/(x)是定義在實數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)x都有

V(x+I)=(l+x)/(x),則的值是