圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題

關(guān)于圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題圓周運(yùn)動(dòng)非勻速圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)角速度、周期、頻率不變，線速度、向心加速度、向心力的大小不變，方向時(shí)刻改變；合外力不指向圓心，與速度方向不垂直；合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直，且指向圓心。合外力沿著半徑方向的分量提供向心力，改變速度方向；沿著速度方向的分量，改變速度大小。特點(diǎn)：性質(zhì)：變速運(yùn)動(dòng)；非勻變速曲線運(yùn)動(dòng)；條件：向心力就是物體作圓周運(yùn)動(dòng)的合外力。當(dāng)速率增大時(shí)，合外力與速度方向的夾角為銳角；反之，為鈍角。第2頁,共30頁，2024年2月25日，星期天物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，題干中常常會(huì)出現(xiàn)“最大”“最小”“剛好”“恰好”等詞語，該類問題即為圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題第3頁,共30頁，2024年2月25日，星期天例1、在山東衛(wèi)視的《全運(yùn)向前沖》節(jié)目中，有一個(gè)“大轉(zhuǎn)盤”的關(guān)卡。如圖所示，一圓盤正在繞一通過它中心O且垂直于盤面的豎直軸逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤上有一名質(zhì)量為m的闖關(guān)者（可是為質(zhì)點(diǎn)）到轉(zhuǎn)軸的距離為d，已知闖關(guān)者與圓盤間的摩擦因素為μ，且闖關(guān)者與圓盤間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。為了使闖關(guān)者與圓盤保持相對(duì)靜止，求圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的取值范圍。一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)中的極值問題1、滑動(dòng)與靜止的臨界問題第4頁,共30頁，2024年2月25日，星期天如圖所示，用細(xì)繩一端系著的質(zhì)量為M＝0.6kg的物體A靜止在水平轉(zhuǎn)盤上,細(xì)繩另一端通過轉(zhuǎn)盤中心的光滑小孔O吊著質(zhì)量為m＝0.3kg的小球B，A的重心到O點(diǎn)的距離為0.2m，若A與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為Fm＝2N，為使小球B保持靜止，求轉(zhuǎn)盤繞中心O旋轉(zhuǎn)的角速度ω的取值范圍(取g＝10m/s2)．【答案】

2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s第5頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

如圖所示，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，沿半徑方向兩個(gè)用細(xì)線相連的小物體A、B的質(zhì)量均為m，它們到轉(zhuǎn)軸的距離分別為rA=20cm，rB=30cm。A、B與圓盤間的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍，（g=10m/s2）求：（1）當(dāng)細(xì)線上開始出現(xiàn)張力，圓盤的角速度；（2）當(dāng)A開始滑動(dòng)時(shí)，圓盤的角速度第6頁,共30頁，2024年2月25日，星期天2、繩子中的臨界問題））30°45°ωCABL例：如圖所示，兩繩子系一個(gè)質(zhì)量為m=0.1kg的小球，上面繩子長(zhǎng)L=2m，兩繩都拉直時(shí)與軸夾角分別為30°與45°。問球的角速度滿足什么條件，兩繩子始終張緊？2.4rad/s≤ω≤3.16rad/s第7頁,共30頁，2024年2月25日，星期天3、脫離與不脫離的臨界問題）37°可看成質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的小球隨圓錐體一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，細(xì)線長(zhǎng)為L(zhǎng)，求：（1）當(dāng)時(shí)繩子的拉力；（2）當(dāng)時(shí)繩子的拉力；第8頁,共30頁，2024年2月25日，星期天圖3-5例：如圖3-5所示，在電機(jī)距軸O為r處固定一質(zhì)量為m的鐵塊．電機(jī)啟動(dòng)后，鐵塊以角速度ω繞軸O勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．則電機(jī)對(duì)地面的最大壓力和最小壓力之差為___.（1）若m在最高點(diǎn)時(shí)突然與電機(jī)脫離，它將如何運(yùn)動(dòng)?（2）當(dāng)角速度ω為何值時(shí)，鐵塊在最高點(diǎn)與電機(jī)恰無作用力?（3）本題也可認(rèn)為是一電動(dòng)打夯機(jī)的原理示意圖。若電機(jī)的質(zhì)量為M，則ω多大時(shí)，電機(jī)可以“跳”起來?此情況下，對(duì)地面的最大壓力是多少?第9頁,共30頁，2024年2月25日，星期天二、豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題——球繩模型第10頁,共30頁，2024年2月25日，星期天模型1

：繩球模型

不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，拴著可看成質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。

oALvABv0試分析：

當(dāng)小球在最高點(diǎn)B的速度為v0

時(shí)，繩的拉力與速度的關(guān)系？第11頁,共30頁，2024年2月25日，星期天v1o思考：小球過最高點(diǎn)的最小速度是多少?

最高點(diǎn)：v2當(dāng)v=v0，對(duì)繩子的拉力剛好為0，小球剛好能夠通過（到）最高點(diǎn)、剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)；mgT思考：當(dāng)v=v0、v>v0、v<v0時(shí)分別會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？當(dāng)v<v0，小球偏離原運(yùn)動(dòng)軌跡，不能通過最高點(diǎn)；當(dāng)v>v0，對(duì)繩子的有拉力，小球能夠通過最高點(diǎn)。第12頁,共30頁，2024年2月25日，星期天思考：要使小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最低點(diǎn)的速度有什么要求？oALvABvB由機(jī)械能守恒可的：當(dāng)VB取得最小值時(shí)，即：VA取得最小值即：結(jié)論：要使小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在最低點(diǎn)的速度第13頁,共30頁，2024年2月25日，星期天

例：長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩，一端系一質(zhì)量為m的小球,另一端固定于某點(diǎn)，當(dāng)繩豎直時(shí)小球靜止，現(xiàn)給小球一水平初速度v0，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，并且剛好過最高點(diǎn)，則下列說法中正確的是：（）A.小球過最高點(diǎn)時(shí)速度為零B.小球開始運(yùn)動(dòng)時(shí)繩對(duì)小球的拉力為mC.小球過最高點(diǎn)時(shí)繩對(duì)小的拉力mgD.小球過最高點(diǎn)時(shí)速度大小為D第14頁,共30頁，2024年2月25日，星期天變型題2：在傾角為α=30°的光滑斜面上用細(xì)繩拴住一小球，另一端固定，其細(xì)線長(zhǎng)為0.8m，現(xiàn)為了使一質(zhì)量為0.2kg的小球做圓周運(yùn)動(dòng)，則小球在最高點(diǎn)的速度至少為多少？第15頁,共30頁，2024年2月25日，星期天在“水流星”表演中，杯子在豎直平面做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)，杯口朝下，但杯中水卻不會(huì)流下來，為什么？對(duì)杯中水：GFNFN=0水恰好不流出表演“水流星”，需要保證杯子在圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的線速度不得小于即：實(shí)例一：水流星重力的效果——全部提供向心力第16頁,共30頁，2024年2月25日，星期天思考：過山車為什么在最高點(diǎn)也不會(huì)掉下來？實(shí)例二：過山車第17頁,共30頁，2024年2月25日，星期天拓展：物體沿豎直內(nèi)軌運(yùn)動(dòng)

有一豎直放置、內(nèi)壁光滑圓環(huán)，其半徑為r，質(zhì)量為m的小球沿它的內(nèi)表面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，分析小球在最高點(diǎn)的速度應(yīng)滿足什么條件？思考：小球過最高點(diǎn)的最小速度是多少?當(dāng)v=v0，對(duì)軌道剛好無壓力，小球剛好能夠通過最高點(diǎn)；當(dāng)v<v0，小球偏離原運(yùn)動(dòng)軌道，不能通過最高點(diǎn)。當(dāng)v>v0，對(duì)軌道有壓力，小球能夠通過最高點(diǎn)；mgFN

要保證過山車在最高點(diǎn)不掉下來，此時(shí)的速度必須滿足：Av0第18頁,共30頁，2024年2月25日，星期天規(guī)律總結(jié)：無支持物物體在圓周運(yùn)動(dòng)過最高點(diǎn)時(shí)，輕繩對(duì)物體只能產(chǎn)生沿繩收縮方向向下的拉力，或軌道對(duì)物體只能產(chǎn)生向下的彈力；若速度太小物體會(huì)脫離圓軌道——無支持物模型③不能過最高點(diǎn)的條件：V<V臨界(實(shí)際上小球尚未到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道)．④使小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在軌道的最低點(diǎn)的速度應(yīng)滿足：第19頁,共30頁，2024年2月25日，星期天模型二：球桿模型：小球在輕質(zhì)桿或管狀軌道彈力作用下的圓周運(yùn)動(dòng)，過最高點(diǎn)時(shí)桿與繩不同，桿對(duì)球既能產(chǎn)生拉力，也能對(duì)球產(chǎn)生支持力；（管狀軌道的口徑略大于小球的直徑)第20頁,共30頁，2024年2月25日，星期天長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿一端固定著一質(zhì)量為m的小球，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。

試分析：（1）當(dāng)小球在最低點(diǎn)A的速度為v2時(shí)，桿的受力與速度的關(guān)系怎樣？（2）當(dāng)小球在最高點(diǎn)B的速度為v1時(shí)，桿的受力與速度的關(guān)系怎樣？AB第21頁,共30頁，2024年2月25日，星期天F3mgF2v2v1o思考:在最高點(diǎn)時(shí)，何時(shí)桿表現(xiàn)為拉力？何時(shí)表現(xiàn)為支持力？試求其臨界速度。AB最高點(diǎn)：拉力支持力臨界速度：當(dāng)v<v0，桿對(duì)球有向上的支持力；當(dāng)v>v0，桿對(duì)球有向下的拉力。mgF1此時(shí)最低點(diǎn)的速度為：第22頁,共30頁，2024年2月25日，星期天問：當(dāng)v2的速度等于0時(shí)，桿對(duì)球的支持力為多少？F支=mg此時(shí)最低點(diǎn)的速度為：結(jié)論：使小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)在最低點(diǎn)的速度第23頁,共30頁，2024年2月25日，星期天拓展：物體在管型軌道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)如圖，有一內(nèi)壁光滑、豎直放置的管型軌道，其半徑為R，管內(nèi)有一質(zhì)量為m的小球有做圓周運(yùn)動(dòng)，小球的直徑剛好略小于管的內(nèi)徑。思考：在最高點(diǎn)時(shí)，什么時(shí)候外管壁對(duì)小球有壓力，什么時(shí)候內(nèi)管壁對(duì)小球有支持力?什么時(shí)候內(nèi)外管壁都沒有壓力？小球在最低點(diǎn)的速度v至少多大時(shí)，才能使小球在管內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)？臨界速度：當(dāng)v<v0，內(nèi)壁對(duì)球有向上的支持力；當(dāng)v>v0，外壁對(duì)球有向下的壓力。使小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)在最低點(diǎn)的速度：第24頁,共30頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共30頁，2024年2月25日，星期天第26頁,共30頁，2024年2月25日，星期天例題:輕桿長(zhǎng)為2L，水平轉(zhuǎn)軸裝在中點(diǎn)O，兩端分別固定著小球A和B。A球質(zhì)量為m，B球質(zhì)量為2m，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。⑴當(dāng)桿繞O轉(zhuǎn)動(dòng)到某一速度時(shí)，A球在最高點(diǎn)，如圖所示，此時(shí)桿A點(diǎn)恰不受力，求此時(shí)O軸的受力大小和方向；⑵保持⑴問中的速度，當(dāng)B球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，求O軸的受力大小和方向；⑶在桿的轉(zhuǎn)速逐漸變化的過程中，能否出現(xiàn)O軸不受力的情況？請(qǐng)計(jì)算說明。解析：⑴A端恰好不受力，則B球：⑵桿對(duì)B球無作用力，對(duì)A球:由牛頓第三定律，B球?qū)軸的拉力，豎直向下。由牛頓第三定律，A球?qū)軸的拉力，豎直向下。第27頁,共30頁，2024年2月25日，星期天若B球在上端A球在下端，對(duì)B球：對(duì)A球：聯(lián)系得:若A球在上端，B球在下端，對(duì)A球：對(duì)B球：聯(lián)系得顯然不成立，所以能出現(xiàn)O軸不受力的情況，此時(shí)⑶在桿的轉(zhuǎn)速逐漸變化的過程中，能否出現(xiàn)O軸不受力的情況？請(qǐng)計(jì)算說明。第28頁,共30頁，2024年2月25日，星期天圖3-6四、圓周運(yùn)動(dòng)的周期性利用圓周運(yùn)動(dòng)的周期性把另一種運(yùn)動(dòng)（例如勻速直線運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)）聯(lián)系起來。圓周運(yùn)動(dòng)是一個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，而另一個(gè)運(yùn)動(dòng)通常也是獨(dú)立的，分別明確兩個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，注意用時(shí)間相等來聯(lián)系。在這類問題中，要注意尋找兩