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安徽省合肥市七中、合肥十中2023-2024學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.公元263年左右,我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖,則輸出的值為()(參考數(shù)據(jù):)A.48 B.36 C.24 D.122.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一,其內(nèi)容是:一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)(素數(shù))之和,也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的,我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當(dāng)好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和,則拆成的和式中,加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為()A. B. C. D.3.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù),它所有的真因子(即除了自身以外的約數(shù))的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個,另一組3個,則6和28不在同一組的概率為()A. B. C. D.4.若雙曲線:的一條漸近線方程為,則()A. B. C. D.5.A. B. C. D.6.若的二項展開式中的系數(shù)是40,則正整數(shù)的值為()A.4 B.5 C.6 D.77.正三棱錐底面邊長為3,側(cè)棱與底面成角,則正三棱錐的外接球的體積為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù),使成立,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.9.為得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像()A.向右平移個長度單位 B.向右平移個長度單位C.向左平移個長度單位 D.向左平移個長度單位10.()A. B. C. D.11.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個根,,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.的展開式中有理項有()A.項 B.項 C.項 D.項二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,若,則________.14.已知雙曲線(,)的左,右焦點(diǎn)分別為,,過點(diǎn)的直線與雙曲線的左,右兩支分別交于,兩點(diǎn),若,,則雙曲線的離心率為__________.15.若曲線(其中常數(shù))在點(diǎn)處的切線的斜率為1,則________.16.甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是,乙獲勝的概率是,則乙不輸?shù)母怕适莀____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,判斷在上的單調(diào)性并加以證明;(2)若,,求的取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列{an}滿足條件,且an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,n∈N*.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;(Ⅱ)設(shè)bn=,Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,求證:Sn.19.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線與直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線與直線交于兩點(diǎn),求的值.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=x(1)討論fx(2)當(dāng)x≥-1時,fx+a21.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并說明曲線的形狀;(2)若直線經(jīng)過點(diǎn),求直線被曲線截得的線段的長.22.(10分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若,當(dāng)時,函數(shù),求函數(shù)的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
由開始,按照框圖,依次求出s,進(jìn)行判斷?!驹斀狻浚蔬xC.【點(diǎn)睛】框圖問題,依據(jù)框圖結(jié)構(gòu),依次準(zhǔn)確求出數(shù)值,進(jìn)行判斷,是解題關(guān)鍵。2、A【解析】
列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子,找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有,利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知,所求概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型,基本事件,屬于容易題.3、C【解析】
先求出五個“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個,另一組3個的基本事件總數(shù)為,再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解:根據(jù)題意,將五個“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個,另一組3個,則基本事件總數(shù)為,則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),∴6和28不在同一組的概率.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法,涉及實(shí)際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.4、A【解析】
根據(jù)雙曲線的漸近線列方程,解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為,可化為,則,解得.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【詳解】本題正確選項:【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,是基礎(chǔ)的計算題.6、B【解析】
先化簡的二項展開式中第項,然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令,則,∴,∴(舍)或.【點(diǎn)睛】本題考查二項展開式問題,屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】
由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高,再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積.【詳解】如圖,正三棱錐中,是底面的中心,則是正棱錐的高,是側(cè)棱與底面所成的角,即=60°,由底面邊長為3得,∴.正三棱錐外接球球心必在上,設(shè)球半徑為,則由得,解得,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查球體積,考查正三棱錐與外接球的關(guān)系.掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵.8、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=﹣1時,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時,等號成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柾瑫r成立時,等號成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.9、D【解析】,所以要的函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個長度單位得到,故選D10、D【解析】
利用,根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡,可得,然后利用兩角差的正弦定理,可得結(jié)果.【詳解】由所以,所以原式所以原式故故選:D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式,關(guān)鍵在于掌握公式,屬基礎(chǔ)題.11、C【解析】
先利用三角恒等變換將題中的方程化簡,構(gòu)造新的函數(shù),將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,畫出函數(shù)圖象,再結(jié)合,解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得,,作出的圖象,又由易知.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,方程的根的問題,利用數(shù)形結(jié)合法,求得范圍.屬于中檔題.12、B【解析】
由二項展開式定理求出通項,求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù),即可求解.【詳解】,,當(dāng),,,時,為有理項,共項.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項展開式項的特征,熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
由題意先求得的值,可得,再令,可得結(jié)論.【詳解】已知,,,,令,可得,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,注意根據(jù)題意,分析所給代數(shù)式的特點(diǎn),通過給二項式的賦值,求展開式的系數(shù)和,可以簡便的求出答案,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
設(shè),由雙曲線的定義得出:,由得為等腰三角形,設(shè),根據(jù),可求出,得出,再結(jié)合焦點(diǎn)三角形,利用余弦定理:求出和的關(guān)系,即可得出離心率.【詳解】解:設(shè),由雙曲線的定義得出:,,由圖可知:,又,即,則,為等腰三角形,,設(shè),,則,,即,解得:,則,,解得:,,解得:,,在中,由余弦定理得:,即:,解得:,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用,以及余弦定理的應(yīng)用,求雙曲線離心率.15、【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由解方程即可.【詳解】由已知,,所以,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.16、【解析】乙不輸?shù)母怕蕿?,?三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)在為增函數(shù);證明見解析(2)【解析】
(1)令,求出,可推得,故在為增函數(shù);(2)令,則,由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,.記,則,當(dāng)時,,.所以,所以在單調(diào)遞增,所以.因為,所以,所以在為增函數(shù).(2)由題意,得,記,則,令,則,當(dāng)時,,,所以,所以在為增函數(shù),即在單調(diào)遞增,所以.①當(dāng),,恒成立,所以為增函數(shù),即在單調(diào)遞增,又,所以,所以在為增函數(shù),所以所以滿足題意.②當(dāng),,令,,因為,所以,故在單調(diào)遞增,故,即.故,又在單調(diào)遞增,由零點(diǎn)存在性定理知,存在唯一實(shí)數(shù),,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,即單調(diào)遞減,所以,此時在為減函數(shù),所以,不合題意,應(yīng)舍去.綜上所述,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和零點(diǎn)及不等式恒成立等問題,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想,考查了學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解能力,屬于難題.18、(Ⅰ)(Ⅱ)證明見解析【解析】
(Ⅰ)由an+2=(﹣1)n(an﹣1)+2an+1,對分奇偶討論,即可得;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,用錯位相減法求出,運(yùn)用分析法證明即可.【詳解】(Ⅰ),當(dāng)為奇數(shù)時,,又由,得,當(dāng)為偶數(shù)時,,又由a2=3,得,;(Ⅱ)由(1)得,則①②①-②可得:,,若證明Sn,則需要證明,又,即證明,即證,又顯然成立,故Sn得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由遞推公式求通項公式,錯位相減法求前項和,分析法證明不等式,考查了分類討論的思想,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解與邏輯推理能力.19、(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為;直線的直角坐標(biāo)方程為(2)【解析】
(1)由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程,消參法可化參數(shù)方程為普通方程;(2)聯(lián)立兩曲線方程,解方程組得兩交點(diǎn)坐標(biāo),從而得兩點(diǎn)間距離.【詳解】解:(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程為(2)據(jù)解,得或【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,考查參數(shù)方程與普通方程的互化,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)見解析;(2)-∞,1【解析】
(1)f′(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).對a分類討論,即可得出單調(diào)性.
(2)由xex-ax-a+1≥0,可得a(x+1)≤xex+1,當(dāng)x=-1時,0≤-1e+1恒成立.當(dāng)x>-1時,a≤xe【詳解】解法一:(1)f①當(dāng)a≤0時,x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)單調(diào)遞增.②當(dāng)a>0時,f'(x)=0的根為x=ln若lna>-1,即a>x(-∞,-1)-1(-1,ln(f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1),(lna,+∞)上單調(diào)遞增,在若lna=-1,即a=f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,所以f(x)在若lna<-1,即0<a<x(-∞,ln(-1(-1,+∞)f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,lna),(-1,+∞)上單調(diào)遞增,在綜上:當(dāng)a≤0時,f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)0<a<1e時,f(x)在(-∞,lna),自a=1e時,f(x)在當(dāng)a>1e時,f(x)在(-∞,-1),(ln(2)因為xex-ax-a+1≥0當(dāng)x=-1時,0≤-1當(dāng)x>-1時,a≤x令g(x)=xex設(shè)h(x)=e因為h'(x)=e即hx=e又因為h0=0,所以g(x)=xex則g(x)min=g(0)=1綜上,a的取值范圍為-∞,1.解法二:(1)同解法一;(2)令g(x)=f(x)+a所以g'當(dāng)a≤0時,g'(x)≥0,則g(x)在所以g(x)≥g(-1)=-1當(dāng)0<a≤1時,令h(x)=e因為h'(x)=2ex+x又因為h-1=-a<0,所以h(x)=ex+xexx(-1x(g-0+g(x)↘極小值↗g==-e當(dāng)a>1時,g(0)=-a+1<0,不滿足題意.綜上,a的取值范圍為-∞,1.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.21、(1)曲線表示的是焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析:(1)將曲線的極坐標(biāo)方程為兩邊同時乘以
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