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掌握正弦量的三要素及其相量表示2.1正弦交流電的基礎(chǔ)知識在第1章,我們討論的是直流電,其電壓和電流的大小和方向都是不隨時間變化的。而實際工程技術(shù)中所遇到的電壓和電流,在多數(shù)情況下,其大小和方向都是隨時間而變化的,稱為交流電。若電壓和電流隨時間按正弦規(guī)律周期變化,則稱為正弦交流電。正弦交流電容易產(chǎn)生,易于進行電壓變換,便于遠距離輸電和安全用電,有利于電氣設(shè)備的運行,所以,在實踐中得到了廣泛的應用。工程中一般所說的交流電通常都是指正弦交流電。在線性電路中,如果電源為時間的正弦函數(shù),則在穩(wěn)態(tài)下由電源所產(chǎn)生的電壓和電流也為時間的函數(shù),這樣的電路稱為正弦交流穩(wěn)態(tài)電路,簡稱正弦交流電路。由于正弦電壓和電流都是按正弦規(guī)律周期性變化的,所以,在電路圖上所標的參考方向代表的都是正半周的方向。在負半周時,由于參考方向與實際方向相反,其值取負。2.1.1正弦量的三要素隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流等物理量統(tǒng)稱為正弦量。下面以正弦電流為例介紹正弦量的三要素。正弦電流的一般表達式為:式(2-1)中,幅值Im、角頻率ω和初相位φi稱為正弦量的三要素。正弦電流的波形如圖2-1所示。1.周期、頻率和角頻率正弦量變化一周所需的時間稱為周期,用T表示,單位為秒(s),常用的周期單位還有毫秒(ms)、微秒(μs)和納秒(ns)。正弦量在一秒內(nèi)周期變化的次數(shù)稱為頻率,用f表示,單位為赫茲(Hz),常用的頻率單位還有千赫(kHz)、兆赫(MHz)和吉赫(GHz)。我國和大多數(shù)國家都采用50Hz作為電力標準頻率,有些國家(如美國和日本等)采用60Hz。這種供電頻率在工業(yè)上廣泛應用,稱為工頻。周期與頻率互為倒數(shù),即:正弦量在一秒內(nèi)變化的電角度稱為角頻率,用ω表示,單位為rad/s。因為一個周期內(nèi)經(jīng)歷了2π弧度,所以角頻率為:式(2-3)為周期、頻率和角頻率三者之間的關(guān)系,它們從不同側(cè)面反映了正弦量變化的快慢,只要知道其中一個,就可求出其他兩個。2.瞬時值、幅值和有效值正弦量在任一瞬間的值稱為瞬時值,用小寫字母表示。例如,i、u、e分別表示電流、電壓及電動勢的瞬時值。瞬時值中的最大值稱為幅值或最大值,它是正弦量在整個振蕩過程中達到的最大值,用大寫字母加下標m表示。例如,Im、Um、Em分別表示電流、電壓及電動勢的幅值。為了反映交流電在能量轉(zhuǎn)換方面的實際效果,工程上常采用有效值來表示正弦量的大小。有效值是根據(jù)電流的熱效應來規(guī)定的,一個交流電流i和一個直流電流I分別通過相同的電阻R,如果在相同的時間T(交流電流的周期)內(nèi),它們產(chǎn)生的熱量相等,那么這個交流電流i的有效值就等于這個直流電流I的大小。有效值都用大寫字母表示,和直流的情況一樣。根據(jù)上述定義,有:式(2-4)表明,交流電的有效值等于其瞬時值的二次方在一個周期內(nèi)積分平均值的平方根,因此,有效值又稱為方均根值。式(2-4)適用于周期性變化的量,但不適用于非周期性變化的量。工程上,一般所說的交流電流和電壓的大小,如無特別說明,均指的是有效值。例如,交流儀表所指示的讀數(shù)及電氣設(shè)備銘牌上的額定值等都是指有效值。3.相位和初相位ωt+φi稱為相位角或相位,它反映了正弦量的變化進程。t=0時的相位稱為初相位角或初相位。初相位與計時起點的選擇有關(guān),計時起點不同,初相位就不同,正弦量的初始狀態(tài)也就不同。計時起點可以根據(jù)需要任意選擇,通常規(guī)定初相位在其主值范圍內(nèi)取值,即:|φi|≤π(2-7)在一個正弦交流電路中,電壓u和電流i的頻率是相同的,但其初相位不一定相同,設(shè)其表達式分別為:兩個同頻率正弦量的相位之差或初相位之差稱為相位差,用φ表示,即:可見,相位差是一個與時間和計時起點都無關(guān)的常數(shù),當兩個同頻率正弦量的計時起點發(fā)生改變時,其相位和初相位會發(fā)生變化,但兩者之間的相位差不會變化。相位差也通常在其主值范圍內(nèi)取值,即|φ|≤π。若兩正弦量的相位差φ=0,則稱兩者同相,如圖2-2(a)所示。若兩正弦量到達某一確定狀態(tài)(如零值或最大值)的先后次序不同,則稱先到達者為超前,后到達者為滯后。如圖2-2(b)所示,因φ>0,所以稱u超前i,或i滯后u。若兩正弦量的相位差φ=π/2,則稱兩者正交,如圖2-2(c)所示。若兩正弦量的相位差φ=π,則稱兩者反相,如圖2-2(d)所示。圖2-2相位差的幾種情況注意在比較兩個正弦量的相位關(guān)系時,這兩個正弦量的頻率必須相同才有意義。若其頻率不同,則其相位差不再是一個常數(shù),而是隨時間變化,這種情況下,討論它們的相位關(guān)系沒有任何意義。分析計算正弦交流電路時,為了比較同頻率各正弦量之間的相位關(guān)系,可選其中一個為參考正弦量,取其初相位為零。這樣,其他正弦量的初相位便可由它們與參考正弦量之間的相位差來確定。由于各正弦量必須以同一時刻為計時起點才能比較相位差,因此,在一個電路中,只能選擇一個計時起點,也就是說,只能選擇一個參考正弦量,而究竟選哪一個則是任意的。2.1.2正弦量的相量表示正弦量可以用三角函數(shù)式和正弦波形表示,但在正弦交流電路的分析計算中,用這兩種表示方法運算起來十分繁瑣。為了簡化運算,在電工技術(shù)中,正弦量常用相量表示。1.復數(shù)正弦量相量表示的基礎(chǔ)是復數(shù),即用復數(shù)來表示正弦量。下面我們首先對復數(shù)及其運算進行簡要的復習。(1)復數(shù)的表示形式復數(shù)有多種表示形式,常見的有代數(shù)形式、復平面上的向量表示、三角函數(shù)形式、指數(shù)形式和極坐標形式等。①代數(shù)形式設(shè)A為一個復數(shù),其實部和虛部分別為a和b,則復數(shù)A的代數(shù)形式為:式中:j——虛數(shù)單位,。②復平面上的向量表示以實軸(+1軸)和虛軸(+j軸)為坐標軸組成的平面稱為復平面。如圖2-3所示,復數(shù)也可用復平面上的有向線段(向量)OA表示。其中,r為向量OA的模,φ為向量OA的輻角。③三角函數(shù)形式由圖2-3所示,可得復數(shù)的三角函數(shù)形式為:r、φ與a、b的關(guān)系為: ④指數(shù)形式根據(jù)歐拉公式可知于是,復數(shù)的三角函數(shù)形式可轉(zhuǎn)變?yōu)橹笖?shù)形式,即:⑤極坐標形式復數(shù)的指數(shù)形式還可改寫為極坐標形式,即:復數(shù)的五

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