掌握正弦量的三要素及其相量表示

掌握正弦量的三要素及其相量表示2.1正弦交流電的基礎(chǔ)知識(shí)在第1章，我們討論的是直流電，其電壓和電流的大小和方向都是不隨時(shí)間變化的。而實(shí)際工程技術(shù)中所遇到的電壓和電流，在多數(shù)情況下，其大小和方向都是隨時(shí)間而變化的，稱為交流電。若電壓和電流隨時(shí)間按正弦規(guī)律周期變化，則稱為正弦交流電。正弦交流電容易產(chǎn)生，易于進(jìn)行電壓變換，便于遠(yuǎn)距離輸電和安全用電，有利于電氣設(shè)備的運(yùn)行，所以，在實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用。工程中一般所說(shuō)的交流電通常都是指正弦交流電。在線性電路中，如果電源為時(shí)間的正弦函數(shù)，則在穩(wěn)態(tài)下由電源所產(chǎn)生的電壓和電流也為時(shí)間的函數(shù)，這樣的電路稱為正弦交流穩(wěn)態(tài)電路，簡(jiǎn)稱正弦交流電路。由于正弦電壓和電流都是按正弦規(guī)律周期性變化的，所以，在電路圖上所標(biāo)的參考方向代表的都是正半周的方向。在負(fù)半周時(shí)，由于參考方向與實(shí)際方向相反，其值取負(fù)。2.1.1正弦量的三要素隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流等物理量統(tǒng)稱為正弦量。下面以正弦電流為例介紹正弦量的三要素。正弦電流的一般表達(dá)式為：式（2-1）中，幅值Im、角頻率ω和初相位φi稱為正弦量的三要素。正弦電流的波形如圖2-1所示。1.周期、頻率和角頻率正弦量變化一周所需的時(shí)間稱為周期，用T表示，單位為秒（s），常用的周期單位還有毫秒（ms）、微秒（μs）和納秒（ns）。正弦量在一秒內(nèi)周期變化的次數(shù)稱為頻率，用f表示，單位為赫茲（Hz），常用的頻率單位還有千赫（kHz）、兆赫（MHz）和吉赫（GHz）。我國(guó)和大多數(shù)國(guó)家都采用50Hz作為電力標(biāo)準(zhǔn)頻率，有些國(guó)家（如美國(guó)和日本等）采用60Hz。這種供電頻率在工業(yè)上廣泛應(yīng)用，稱為工頻。周期與頻率互為倒數(shù)，即：正弦量在一秒內(nèi)變化的電角度稱為角頻率，用ω表示，單位為rad/s。因?yàn)橐粋€(gè)周期內(nèi)經(jīng)歷了2π弧度，所以角頻率為：式（2-3）為周期、頻率和角頻率三者之間的關(guān)系，它們從不同側(cè)面反映了正弦量變化的快慢，只要知道其中一個(gè)，就可求出其他兩個(gè)。2.瞬時(shí)值、幅值和有效值正弦量在任一瞬間的值稱為瞬時(shí)值，用小寫(xiě)字母表示。例如，i、u、e分別表示電流、電壓及電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值。瞬時(shí)值中的最大值稱為幅值或最大值，它是正弦量在整個(gè)振蕩過(guò)程中達(dá)到的最大值，用大寫(xiě)字母加下標(biāo)m表示。例如，Im、Um、Em分別表示電流、電壓及電動(dòng)勢(shì)的幅值。為了反映交流電在能量轉(zhuǎn)換方面的實(shí)際效果，工程上常采用有效值來(lái)表示正弦量的大小。有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)來(lái)規(guī)定的，一個(gè)交流電流i和一個(gè)直流電流I分別通過(guò)相同的電阻R，如果在相同的時(shí)間T（交流電流的周期）內(nèi)，它們產(chǎn)生的熱量相等，那么這個(gè)交流電流i的有效值就等于這個(gè)直流電流I的大小。有效值都用大寫(xiě)字母表示，和直流的情況一樣。根據(jù)上述定義，有：式（2-4）表明，交流電的有效值等于其瞬時(shí)值的二次方在一個(gè)周期內(nèi)積分平均值的平方根，因此，有效值又稱為方均根值。式（2-4）適用于周期性變化的量，但不適用于非周期性變化的量。工程上，一般所說(shuō)的交流電流和電壓的大小，如無(wú)特別說(shuō)明，均指的是有效值。例如，交流儀表所指示的讀數(shù)及電氣設(shè)備銘牌上的額定值等都是指有效值。3.相位和初相位ωt＋φi稱為相位角或相位，它反映了正弦量的變化進(jìn)程。t＝0時(shí)的相位稱為初相位角或初相位。初相位與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位就不同，正弦量的初始狀態(tài)也就不同。計(jì)時(shí)起點(diǎn)可以根據(jù)需要任意選擇，通常規(guī)定初相位在其主值范圍內(nèi)取值，即：|φi|≤π（2-7）在一個(gè)正弦交流電路中，電壓u和電流i的頻率是相同的，但其初相位不一定相同，設(shè)其表達(dá)式分別為：兩個(gè)同頻率正弦量的相位之差或初相位之差稱為相位差，用φ表示，即：可見(jiàn)，相位差是一個(gè)與時(shí)間和計(jì)時(shí)起點(diǎn)都無(wú)關(guān)的常數(shù)，當(dāng)兩個(gè)同頻率正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)發(fā)生改變時(shí)，其相位和初相位會(huì)發(fā)生變化，但兩者之間的相位差不會(huì)變化。相位差也通常在其主值范圍內(nèi)取值，即|φ|≤π。若兩正弦量的相位差φ＝0，則稱兩者同相，如圖2-2（a）所示。若兩正弦量到達(dá)某一確定狀態(tài)（如零值或最大值）的先后次序不同，則稱先到達(dá)者為超前，后到達(dá)者為滯后。如圖2-2（b）所示，因φ＞0，所以稱u超前i，或i滯后u。若兩正弦量的相位差φ＝π/2，則稱兩者正交，如圖2-2（c）所示。若兩正弦量的相位差φ＝π，則稱兩者反相，如圖2-2（d）所示。圖2-2相位差的幾種情況注意在比較兩個(gè)正弦量的相位關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)正弦量的頻率必須相同才有意義。若其頻率不同，則其相位差不再是一個(gè)常數(shù)，而是隨時(shí)間變化，這種情況下，討論它們的相位關(guān)系沒(méi)有任何意義。分析計(jì)算正弦交流電路時(shí)，為了比較同頻率各正弦量之間的相位關(guān)系，可選其中一個(gè)為參考正弦量，取其初相位為零。這樣，其他正弦量的初相位便可由它們與參考正弦量之間的相位差來(lái)確定。由于各正弦量必須以同一時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)才能比較相位差，因此，在一個(gè)電路中，只能選擇一個(gè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)，也就是說(shuō)，只能選擇一個(gè)參考正弦量，而究竟選哪一個(gè)則是任意的。2.1.2正弦量的相量表示正弦量可以用三角函數(shù)式和正弦波形表示，但在正弦交流電路的分析計(jì)算中，用這兩種表示方法運(yùn)算起來(lái)十分繁瑣。為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，在電工技術(shù)中，正弦量常用相量表示。1.復(fù)數(shù)正弦量相量表示的基礎(chǔ)是復(fù)數(shù)，即用復(fù)數(shù)來(lái)表示正弦量。下面我們首先對(duì)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)。（1）復(fù)數(shù)的表示形式復(fù)數(shù)有多種表示形式，常見(jiàn)的有代數(shù)形式、復(fù)平面上的向量表示、三角函數(shù)形式、指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式等。①代數(shù)形式設(shè)A為一個(gè)復(fù)數(shù)，其實(shí)部和虛部分別為a和b，則復(fù)數(shù)A的代數(shù)形式為：式中：j——虛數(shù)單位，。②復(fù)平面上的向量表示以實(shí)軸（+1軸）和虛軸（+j軸）為坐標(biāo)軸組成的平面稱為復(fù)平面。如圖2-3所示，復(fù)數(shù)也可用復(fù)平面上的有向線段（向量）OA表示。其中，r為向量OA的模，φ為向量OA的輻角。③三角函數(shù)形式由圖2-3所示，可得復(fù)數(shù)的三角函數(shù)形式為：r、φ與a、b的關(guān)系為： ④指數(shù)形式根據(jù)歐拉公式可知于是，復(fù)數(shù)的三角函數(shù)形式可轉(zhuǎn)變?yōu)橹笖?shù)形式，即：⑤極坐標(biāo)形式復(fù)數(shù)的指數(shù)形式還可改寫(xiě)為極坐標(biāo)形式，即：復(fù)數(shù)的五