2022年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題卷（含答案與解析）

2022年婁底市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形

碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。答在試題卷上無效。

3.非選擇題的作答用0.5毫米黑色墨水簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。答在試

題卷上無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。

一、選擇題（本大題共2小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個選項中，只有一

個選項是符合題目要求的，請把你認(rèn)為符合題目要求的選項填涂在答題卡上相應(yīng)題號下的方

框里）

1.2022的倒數(shù)是（）

11

A.2022B.-2022C.----D.

20222022

2.下列式子正確的是（)

2B.(a，，=a5C.(abf32

A.，a=D.a+a

3.一個小組10名同學(xué)的出生年份（單位：月）如下表所示:

編號12345678910

月份26861047887

這組數(shù)據(jù)（月份）的眾數(shù)是（）

A.10B.8C.7D.6

4.下列與2022年冬奧會相關(guān)的圖案中，是中心對稱圖形的是（）

5.截至2022年6月2日，世界第四大水電站——云南昭通溪洛渡水電站累計生產(chǎn)清潔電能突破5000億千

瓦時，相當(dāng)于替代標(biāo)準(zhǔn)煤約1.52億噸，減排二氧化碳約4.16億.5000億用科學(xué)計數(shù)法表示為（）

A.5OxlO10B.5x10"C.0.5xlO12D.5xl()12

6.一條古稱在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知Nl=80。，則N2=（）

A.20°B.80°C.100°D.120°

3—x21

7.不等式組、c的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

2x>-2

B.

------，--1---

-1012

-1

8.將直線y=2x+l向上平移2個單位，相當(dāng)于（）

A.向左平移2個單位B.向左平移1個單位

C.向右平移2個單位D.向右平移1個單位

9.在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù).即“結(jié)繩計數(shù)”.當(dāng)時有位父親為了準(zhǔn)確記錄孩子的出生天

數(shù)，在粗細(xì)不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細(xì)到粗（右細(xì)左粗），滿七進(jìn)一，那么孩子已經(jīng)出生了（）

A.1335天B.516天C.435天D.54天

10.如圖，等邊AABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)

于等邊△ABC的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與AABC的面積之比是（）

A邪>兀R>/3?也兀n百

A------D.------L.----------D.---------

181899

11.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，已知點P（租,1）、（〃?>0且〃2H1）,過點P、。的

直線與兩坐標(biāo)軸相交于A、8兩點，連接OP、OQ,則下列結(jié)論中成立的是（）

ITI

①點尸、。在反比例函數(shù)曠=一的圖象上；②AAQS成等腰直角三角形；③0°<NPOQ<90。；④

x

NPOQ的值隨m的增大而增大.

A②③④C.①②④D.①②③

12.若1O'=N，則稱x是以10為底N的對數(shù).記作：x=lgN.例如：1（）2=100，則2=lgl00；

10。=1，則0=lgl.對數(shù)運算滿足：當(dāng)M>0,N>0時，lgM+lgN=lg（MN）,例如：

Ig3+lg5=lgl5,貝U（lg5）2+lg5xlg2+lg2的值為（）

A.5B.2C.1D.0

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

1

13.函數(shù)y=-/=^的自變量》的取值范圍是_____.

VX-1

14.已知實數(shù).當(dāng)是方程f+x—1=0的兩根，則玉￡=.

15.黑色袋子中裝有質(zhì)地均勻，大小相同的編號為1?15號臺球共15個，攪拌均勻后，從袋中隨機摸出1

個球，則摸出的球編號為偶數(shù)的概率是.

16.九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）比較美觀，通過手繪

（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點E是AO的黃金分割點，即。后。0.6184）.延長即與AD相交于點G,

貝ijEGxDE.（精確至I」0.001）

17.菱形ABC。的邊長為2,NABC=45°,點P、。分別是6C、8。上的動點，CQ+PQ的最小值

為.

18.如圖，已知等腰AABC的頂角44C的大小為。，點。為邊上的動點（與B、C不重合），將

AD繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)。角度時點。落在0c處，連接B。'.給出下列結(jié)論：①

AACD=AABDr；②△ACB?AA。。'；③當(dāng)89=8時，聞汨'的面積取得最小值.其中正確的

結(jié)論有（填結(jié)論對應(yīng)的序號）.

Df

三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）

19計算：（2022—萬）°+（小+|l-V3|-2sin60°.

20.先化簡，再求值：（x+2+—二］十丁^——，其中x是滿足條件xW2的合適的非負(fù)整數(shù).

（x-2jX2-4X+4

四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）

21.按國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會辦公室印發(fā)《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進(jìn)行“五項管理”督導(dǎo)的通知》要求，各

中小學(xué)校積極行動，取得了良好的成績.某中學(xué)隨機抽取了部分學(xué)生對他們一周的課外閱讀時間（A：

10/?以上，B：8/7~1O/Z,C：6/7?8力，D：6/?以下）進(jìn)行問卷調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，統(tǒng)計了繪制了

如下不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：

人數(shù)（單位:名）

ABCD種類

（1）本次調(diào)查的學(xué)生共名；

（2）a=,b=；

（3）補全條形統(tǒng)計圖.

22.“體育承載著國家強盛、民族振興的夢想”.墩墩使用握力器（如實物圖所示）鍛煉手部肌肉.如

圖，握力器彈簧的一端固定在點P處，在無外力作用下，彈簧的長度為3cm,即PQ=3cm.開始訓(xùn)練

時，將彈簧的端點。調(diào)在點8處，此時彈簧長PB=4cm,彈力大小是100N,經(jīng)過一段時間的鍛煉后，

他手部的力量大大提高，需增加訓(xùn)練強度，于是將彈簧端點。調(diào)到點。處，使彈力大小變?yōu)?00N,已知

NP3C=120°,求BC的長.

注：彈簧的彈力與形變成正比，即/=%??,k是勁度系數(shù),?是彈簧的形變量，在無外力作用下，彈

簧的長度為％,在外力作用下，彈簧的長度為X,則Ax=x-Xo.

五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

23.“綠水青山就是金山銀山”.科學(xué)研究表明：樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的懸浮

顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵

量的2倍少4mg,若一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62mg.

（1）請分別求出一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量：

（2）婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹，據(jù)估計三棵銀杏樹共有約50000片樹

葉.問這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約多少千克？

24.如圖，以3c為邊分別作菱形8CDE和菱形BCFG（點C,D,尸共線），動點A在以3c為直徑

且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，連接石廠交于點0.設(shè)NG=6.

（1）求證：無論。為何值，￡戶與BC相互平分；并請直接寫出使。_LBC成立的。值.

（2）當(dāng)。=90°時，試給出tanNABC的值，使得瓦'垂直平分AC,請說明理由.

六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）

25.如圖，已知BO是R/AABC的角平分線，點。是斜邊A8上的動點，以點。為圓心，08長為半徑的

0。經(jīng)過點。，與。4相交于點￡.

（1）判定AC與O。的位置關(guān)系，為什么？

3

（2）若BC=3,CD=~,

2

①求sinNOBC、sinNABC的值；

②試用皿/。3。和85/03。表示疝2鉆。，猜測sin2a與sine,cosa的關(guān)系，并用a=300給

予驗證.

26.如圖，拋物線y=g/-2x-6與X軸相交于點A、點B,與y軸相交于點C.

（1）請直接寫出點A,B,。的坐標(biāo)；

（2）點P（/〃,〃）（0<〃7<6）在拋物線上，當(dāng)加取何值時，dBC的面積最大？并求出△依C面積的最

大值.

（3）點尸是拋物線上的動點，作正〃AC交x軸于點E，是否存在點F,使得以A、C、E、F為頂

點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題（本大題共2小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個選項中，只有一

個選項是符合題目要求的，請把你認(rèn)為符合題目要求的選項填涂在答題卡上相應(yīng)題號下的方

框里）

1.2022的倒數(shù)是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義作答即可.

【詳解】2022的倒數(shù)是1

2022

故選：C.

【點睛】本題考查了倒數(shù)的概念，即乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，牢記倒數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

2.下列式子正確的是（）

A.a3-a2=a5B.（4/=/C.（aby=ab。D.a7,+a2=a5

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)暴乘法可判斷A,根據(jù)福的乘方可判斷B,根據(jù)積的乘方可判斷C,根據(jù)合并同類

項可判斷D,從而可得答案.

【詳解】解：故A符合題意；

（/?=*,故B不符合題意；

（海=//,故C不符合題意；

不是同類項，不能合并，故D不符合題意；

故選A

【點睛】本題考查的是同底數(shù)幕的乘法，幕的乘方運算，積的乘方運算，合并同類項，掌握以上基礎(chǔ)運算

是解本題的關(guān)鍵.

3.一個小組10名同學(xué)的出生年份（單位：月）如下表所示：

編號12345678910

月份26861047887

這組數(shù)據(jù)（月份）的眾數(shù)是（）

A.10B.8C.7D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義判斷得出答案.

【詳解】因為8月份出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)是8.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了眾數(shù)的判斷，掌握定義是解題的關(guān)鍵.即一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是眾數(shù).

4.下列與2022年冬奧會相關(guān)的圖案中，是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】中心對稱圖形定義：如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形回完全重合,

那么這個答圖形叫做中心對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形定義逐項判定即可.

【詳解】解：根據(jù)中心對稱圖形定義，可知D符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查中心對稱圖形的識別，掌握中心對稱圖形的定義是解決問題的關(guān)鍵.

5.截至2022年6月2日，世界第四大水電站——云南昭通溪洛渡水電站累計生產(chǎn)清潔電能突破5000億千

瓦時，相當(dāng)于替代標(biāo)準(zhǔn)煤約1.52億噸，減排二氧化碳約4.16億.5000億用科學(xué)計數(shù)法表示為()

A.50x10,°B.5x10"C.0.5X1012D.5xl012

【答案】B

【解析】

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為axlO",其中1?同＜10,〃為整數(shù)，先將5000億

轉(zhuǎn)化成數(shù)字，然后按要求表示即可.

【詳解】解：5000億=5(XX)0(XXX)(X)(),根據(jù)科學(xué)記數(shù)法要求5000000000005后面有11個0,從而用科

學(xué)記數(shù)法表示為5x10”,

故選：B.

【點睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法，按照定義，確定。與〃的值是解決問題的關(guān)鍵.

6.一條古稱在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知Nl=80°，則N2=()

A.20°B.80°C.100°D.120°

【答案】C

【解析】

【分析】如圖，由平行線的性質(zhì)可得NBC0=8O。，從而可得答案.

【詳解】解：如圖，由題意可得：AB//CD,Nl=80°,

A

\?BCD?180?,

\?2180?80?100?,

故選C

【點睛】本題考查是平行線的性質(zhì)，鄰補角的含義，掌握“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解本題的關(guān)

鍵.

3—x>l

7.不等式組I。、°的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

2x>-2

【答案】C

【解析】

【分析】先求出不等式組的解集，再根據(jù)解集中是否含有等號確定圓圈的虛實，方向，表示即可.

3-x>l?

【詳解】???不等式組〈中，

2x>—2②

解①得,爛2,

解②得,x>-l,

3-x>l?

.?.不等式組的解集為-1〈后2,

2x>-2@

數(shù)軸表示如下:

故選C.

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解集的數(shù)軸表示方法，熟練掌握解不等式的基本要領(lǐng)，準(zhǔn)確用數(shù)

軸表示是解題的關(guān)鍵.

8.將直線y=2x+l向上平移2個單位，相當(dāng)于（）

A.向左平移2個單位B.向左平移1個單位

C.向右平移2個單位D.向右平移1個單位

【答案】B

【解析】

【分析】函數(shù)圖象的平移規(guī)律：左加右減，上加下減，根據(jù)規(guī)律逐一分析即可得到答案.

【詳解】解：將直線y=2x+l向上平移2個單位，可得函數(shù)解析式為：y=2x+3,

直線y=2x+l向左平移2個單位，可得y=2（x+2）+l=2x+5,故A不符合題意；

直線y=2x+l向左平移1個單位，可得y=2（x+l）+l=2x+3,故B符合題意；

直線y=2x+l向右平移2個單位，可得y=2（x-2）+l=2x-3,故C不符合題意；

直線y=2x+l向右平移1個單位，可得y=2（x-l）+l=2x-1,故D不符合題意；

故選B

【點睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象的平移，掌握一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解本題的關(guān)鍵.

9.在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù).即“結(jié)繩計數(shù)”.當(dāng)時有位父親為了準(zhǔn)確記錄孩子的出生天

數(shù)，在粗細(xì)不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細(xì)到粗（右細(xì)左粗），滿七進(jìn)一，那么孩子已經(jīng)出生了（）

A.1335天B.516天C.435天D.54天

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意以及圖形分析，根據(jù)滿七進(jìn)一，即可求解.

【詳解】解：繩結(jié)表示的數(shù)為5X7°+3X7+3X72+1X73=5+21+49X3+73=516

故選B

【點睛】本題考查了有理數(shù)混合運算，理解“滿七進(jìn)一”是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，等邊AABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)

于等邊AABC的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與AABC的面積之比是（）

li

A△兀RV3r「乃nG

A.--------D.U.--------U.

181899

【答案】A

【解析】

【分析】由題意，得圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，令BC=2a,則B￡>=a,根據(jù)勾股定理，得出

AD=&,同時在RtABO。中，OD=1，進(jìn)而求出黑色部分的面積以及等邊三角形的面積，最后求出

3

答案.

【詳解】解：令內(nèi)切圓與BC交于點。，內(nèi)切圓的圓心為0,連接A。，0B,

由題可知，圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，

令8c=2”，貝Ij8￡>=a,

在等邊三角形ABC中

ADLBC,08平分/A8C,

NOBD=gNA8C=30。，

由勾股定理，得AD=6a，

n

在RtABOD中，OD=tan3(Tx8D=a,

3

fV3Y1

TV——aX—r-

...圓中的黑色部分的面積與AABC的面積之比為I3J2—也.

1丁一18

一X2QX，3Q

故選：A.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，內(nèi)切圓的性質(zhì)和面積，等邊三角形的面積以及勾股定理求邊長,

正確地計算能力是解決問題的關(guān)鍵.

11.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，已知點P（%1）、（加>0且加H1）,過點P、。的

直線與兩坐標(biāo)軸相交于A、B兩點，連接OP、OQ,則下列結(jié)論中成立的是（）

rn

①點P、。在反比例函數(shù)y=一的圖象上；②AAOB成等腰直角三角形；③0°<NPOQ<90。：④

x

NPOQ的值隨機的增大而增大.

A.②③④B.①③④C.①@④D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷①，再求解尸。的解析式，得到A,B的坐標(biāo)可判斷②，由P,Q的位

置可判斷③，畫出符合題意的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想可判斷④，從而可得答案.

【詳解】解：???點P（加,1）、。（1,加）的橫縱坐標(biāo)的積為加，

IT!

???點p、。在反比例函數(shù)丁=—的圖象上；故①符合題意;

X

設(shè)過點P（加,1）、的直線為：y=kx+b,

mk

'(i++4/?=，〃1,解得」{6%=m-1+1,

■■直線PQ為：y=-x+m+\,

當(dāng)％=()時，y=m+\,當(dāng)y=0時，x=根+1,

所以：OA=OB=m+l,

?.?NAOB=90。，

所以AAQB是等腰直角三角形，故②符合題意；

點。（1,加）（加>0且〃201）,

.??點P（m,l）、。（1,加）在第一象限，且P,Q不重合,

\0?7POQ90?,故③符合題意；

QP(m,1),1,租)，，而PQ在直線y=-x+〃?+1上,

如圖,

故選D

【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性

質(zhì)，等腰直角三角形的判定，熟練的利用數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵.

12.若1O'=N，則稱x是以10為底N的對數(shù).記作：x=lgN.例如：1（）2=]00,則2=lgl（）（）；

10°=1.則0=lgL對數(shù)運算滿足：當(dāng)M>0,N>0時，lg"+lgN=lg（MN）,例如：

Ig3+lg5=lgl5,則（Ig5y+lg5xlg2+lg2的值為（）

A.5B.2C,1D.0

【答案】C

【解析】

【分析】通過閱讀自定義運算規(guī)則：lg"+lgN=lg（MN）,再得到lgl0=l,再通過提取公因式后逐步

進(jìn)行運算即可得到答案.

【詳解】解：；lg/+lgN=lg（MN）,

（Ig5）2+lg5xlg2+lg2

=lg5（lg5+lg2）+lg2

=lg5ggl0+lg2

=lg5+lg2

=igio

=1.

故選C

【點睛】本題考查的是自定義運算，理解題意，弄懂自定義的運算法則是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

1

13.函數(shù)y=不直的自變量x的取值范圍是_____.

【答案】x>i

【解析】

【分析】由7占有意義可得：x-i>o,再解不等式可得答案.

【詳解】解：由7占有意義可得：

打-1?0

I.——，即X—1>0,

tVTn?o

解得：x>l.

故答案為：%>1

【點睛】本題考查的是二次根式與分式有意義的條件，函數(shù)自變量的取值范圍，理解函數(shù)自變量的取值范

圍的含義是解本題的關(guān)鍵.

14.已知實數(shù)是方程%2+%_1=0的兩根，則玉々=.

【答案】-1

【解析】

【分析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系直接可得答案.

【詳解】解：???實數(shù)占,%是方程f+x—1=0的兩根，

故答案為：—1

【點睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握“X/2=￡”是解本題的關(guān)鍵.

a

15.黑色袋子中裝有質(zhì)地均勻，大小相同的編號為1~15號臺球共15個，攪拌均勻后，從袋中隨機摸出1

個球，則摸出的球編號為偶數(shù)的概率是______.

【答案】j7

【解析】

【分析】根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：由題意可知：編號為1?15號臺球中偶數(shù)球的個數(shù)為7個，

7

...摸出的球編號為偶數(shù)的概率=話,

7

故答案為：—.

【點睛】本題考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握利用概率的定義求事件概率的方法：一般地，如果在一次

試驗中，有〃種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的〃種結(jié)果，那么事件A發(fā)

生的概率尸（A）=%.

n

16.九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）比較美觀，通過手繪

（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點E是AD的黃金分割點，即￡>￡“0.61840.延長”「與AO相交于點G,

則EG。OE.（精確到0.001）

【答案】0.618

【解析】

【分析】設(shè)每個矩形的長為x,寬為y,則。E=AO—AE=x-y,四邊形EPGM是矩形，則EG=MF=y,

EG

由OEu0.618AO得x一產(chǎn)0.618x,求得產(chǎn)0.382x,進(jìn)一步求得贏，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)每個矩形的長為x,寬為y,則。E=A。-AE=x-y,

由題意易得NGEM=/EMF=NMFG=90。，

四邊形EFGM是矩形，

：.EG=MF=y,

?：DE^Q.61SAD,

.*.x—y=0.618x,

解得產(chǎn)0.382x,

EGy0.382x?,

——=^—2---------------?0.6118O,

DEx-yx-0.382x

：.EG~0.6\WE.

故答案為：0.618.

【點睛】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、分式的化簡、等式的基本性質(zhì)、二元一次方程等知識，求得

產(chǎn)0.382x是解題的關(guān)鍵.

17.菱形ABCD的邊長為2,NABC=45°,點P、。分別是6C、3。上的動點，CQ+PQ的最小值

【答案】y[l

【解析】

【分析】過點C作CELA8于E,交BD于G,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為

FG+CG的最小值，當(dāng)P與點F重合，。與G重合時，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即

可求解.

【詳解】解：如圖，過點C作CELAB于E,交BD于G,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短

可知CE為尸G+CG的最小值，當(dāng)P與點尸重合，。與G重合時，PQ+QC最小，

???菱形ABC。的邊長為2,ZABC=45°,

..RIABEC中，EC=—BC=y[l

2

???PQ+QC的最小值為0

故答案為：J5

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值是解題

的關(guān)鍵.

18.如圖，已知等腰AABC的頂角44C的大小為。，點。為邊8C上的動點（與5、C不重合），將

AO繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)。角度時點。落在M處，連接BD'.給出下列結(jié)論：①

AACE>sA4BD,；②AACB?AAZ>。'；③當(dāng)BO=CD時，44W的面積取得最小值.其中正確的

結(jié)論有(填結(jié)論對應(yīng)的序號).

【答案】①②③

【解析】

【分析】依題意知，AABC和“。D'是頂角相等的等腰三角形，可判斷②；利用SAS證明

An

AADC^AD'B,可判斷①；利用面積比等于相似比的平方，相似比為一，故最小時“4OD面積

AC

最小，即AT>_L8C,等腰三角形三線合一，。為中點時.

【詳解】VAD繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)。角度得到AD'

ZDAD'=0,AO=AD'

：.ZCAB^ZDAiy

即ZCAD+ZDAB^ZDAB+ZBAiy

：.ZCAD^ZBAD'

ACAD=ABAD'

V<ACAB

AD=AD'

得：△">(7空△AD'B(SAS)

故①對

AABC和&40。是頂角相等的等腰三角形

/.△ACB~AA￡>￡>,

故②對

,^AABCAC

即AD最小時SHAD'D最小

當(dāng)AD_L8C時，AO最小

由等腰三角形三線合一，此時。點是8c中點

故③對

故答案為：①②③

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，手拉手模型，選項③中將面積與

相似比結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）

19.計算：（2022—1）°+-+|l-V3|-2sin60°.

、2）

【答案】-2

【解析】

【分析】分別計算零指數(shù)暴、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、絕對值和特殊角的三角函數(shù)值，然后按照去括號、先乘除后

加減的順序依次計算即可得出答案.

【詳解】解：（2022-乃°+（—5+|l-^|-2sin60°

=1—2—0——2x-^-

=1-2-1+73-73

=—2.

【點睛】此題考查實數(shù)的混合運算，包含零指數(shù)累、負(fù)整數(shù)指數(shù)累、絕對值和特殊角的三角函數(shù)值.熟練

掌握相關(guān)運算的運算法則以及整體的運算順序是解決問題的關(guān)鍵.

20.先化簡，再求值：（x+2+—二］+-47,其中x是滿足條件xW2的合適的非負(fù)整數(shù).

Ix-2）X2-4X+4

【答案】—1-1

x

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的加減計算括號內(nèi)的，同時將除法轉(zhuǎn)化為乘法，在根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后將

X=1代入求解

【詳解】解：原式=（葉2）（±2）+4X（上2,

x-2V

_X2-4+4(X-2)2

x-2x3

_x-2

X

???xW2的非負(fù)整數(shù)，%*0,2

，當(dāng)x=l時，原式=丁一=一1

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，不等式的整數(shù)解，正確的計算是解題的關(guān)鍵.

四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）

21.按國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進(jìn)行“五項管理”督導(dǎo)的通知》要求，各

中小學(xué)校積極行動，取得了良好的成績.某中學(xué)隨機抽取了部分學(xué)生對他們一周的課外閱讀時間（A：

10萬以上，B：8心10〃，C：6/7-8/J,D：66以下）進(jìn)行問卷調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，統(tǒng)計了繪制了

如下不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：

人數(shù)（單位:名）

ABCD種類

（1）本次調(diào)查的學(xué)生共名；

（2）q=,b——；

（3）補全條形統(tǒng)計圖.

【答案】（1）200（2）30,50

（3）畫圖見解析

【解析】

【分析】（1）由。組有10人，占比5%,從而可得總?cè)藬?shù);

（2）由A,B組各自的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即可；

（3）先求解C組的人數(shù)，再補全圖形即可.

【小問1詳解】

解：10,5%=200（人），

所以本次調(diào)查的學(xué)生共200人，

故答案為：200

【小問2詳解】

%’100%=30%,—100%=50%,

200200

所以a=30,。=50,

故答案為：30,50

【小問3詳解】

??1C組有200-60-100-10=30（人）,

所以補全圖形如下：

【點睛】本題考查的是從條形圖與扇形圖中獲取信息，求解扇形圖中某部分所占的百分比，補全條形圖，

掌握以上基礎(chǔ)統(tǒng)計知識是解本題的關(guān)鍵.

22.“體育承載著國家強盛、民族振興的夢想”.墩墩使用握力器（如實物圖所示）鍛煉手部肌肉.如

圖，握力器彈簧的一端固定在點P處，在無外力作用下，彈簧的長度為3cm,即PQ=3cm.開始訓(xùn)練

時，將彈簧的端點。調(diào)在點8處，此時彈簧長尸B=4cm,彈力大小是100N,經(jīng)過一段時間的鍛煉后，

他手部的力量大大提高，需增加訓(xùn)練強度，于是將彈簧端點。調(diào)到點C處，使彈力大小變?yōu)?00N,已知

NPBC=120°,求8c的長.

注：彈簧的彈力與形變成正比，即E=%是勁度系數(shù)，Ar是彈簧的形變量，在無外力作用下，彈

簧的長度為力,在外力作用下，彈簧的長度為x,則故=%一%.

a-UNO

【答案】276-2

【解析】

【分析】利用物理知識先求解七再求解PC=3+3=6,再求解3M,PM,再利用勾股定理求解MC,從

而可得答案.

【詳解】解：由題意可得：當(dāng)尸=100時，Vx=4-3=1,

\4=100,即/=100加乂

當(dāng)尸=3000寸，則Vx=3,

\PC=3+3=6,

如圖，記直角頂點為M,

Q?PBC120革巴PMB=90?,

\?BPM30?,而尸8=4,

\BM=2,PM=32-2=2區(qū)

\MC='62-（2可=晤=2底

\BC=MC-BM=2向2.

【點睛】本題是跨學(xué)科的題，考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，含30。

的直角三角形的性質(zhì)，二次根式的化簡，理解題意，建立數(shù)學(xué)函數(shù)模型是解本題的關(guān)鍵.

五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）

23.“綠水青山就是金山銀山”.科學(xué)研究表明：樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的懸浮

顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵

量的2倍少4mg,若一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62mg.

（1）請分別求出一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量；

（2）婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹，據(jù)估計三棵銀杏樹共有約50000片樹

葉.問這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約多少千克？

【答案】（1）一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量分別為22mg,40mg.

（2）這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約2千克.

【解析】

【分析】（1）設(shè)一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為xmg,則一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為（2x-4）

mg,由一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62mg列方程，再解方程即可；

(2)列式5000'40進(jìn)行計算，再把單位化為kg即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為xmg,則一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為(2x-4)mg,則

\x+2x-4=62,

解得：x=22,

\2x-4=40,

答：一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量分別為22mg,40mg.

【小問2詳解】

50000'40=2000000(mg),

而2000000mg=2000g=2kg,

答：這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約2千克.

【點睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，有理數(shù)的乘法運算，設(shè)出合適的未知數(shù)，確定相等關(guān)系是解

本題的關(guān)鍵.

24.如圖，以8c為邊分別作菱形5C0E和菱形8CFG(點C,D,尸共線)，動點A在以8C為直徑

且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，連接EE交8c于點O.設(shè)NG=6?.

(1)求證：無論。為何值，E尸與8C相互平分；并請直接寫出使Eb_L3C成立的。值.

(2)當(dāng)。=90°時，試給出tanNABC的值，使得及'垂直平分AC,請說明理由.

【答案】(1)見解析，60°

(2)2,理由見解析

【解析】

【分析】(1)、①連接BECE,證明四邊形BFCE為平行四邊形即可，②由題意可知四邊形BFCE為菱

形，進(jìn)而可證明AGBF為等邊三角形，即可求解；

(2)、連接AF,AO,由垂直平分線的性質(zhì)易證AAO產(chǎn)思ACOF,從而可知ZE4O=90°,再由正方形

的以及圓的相關(guān)性質(zhì)可證得NAO"=NOB4,設(shè)正方形邊長為x,在中，由正切的定義即可求

解.

【小問1詳解】

證明：如圖所示：連接BF、CE,

?

co

?.?菱形3CDE和菱形8CEG（點C,D,/共線）,

.?.點G、B、E共線，

FC//BG,FC=BC=BE,

:.FC〃BE,FC=BE,

四邊形BFCE是平行四邊形，

/.所與相互平分，

即：無論。為何值，所與相互平分；

又,:EF±BC,

四邊形BFCE是菱形，

：.BE=BF,

又菱形3c和菱形BCFG,

:.GF=BG=BF=BE,

:.^GFB為等邊三角形，

.?.NG=e=60°；

小問2詳解】

如圖所示：連接AF,A0,設(shè)EF與AC交于點H,

V垂直平分4C

AF=FC,AO=CO,ZAHO=90°,

由（1）知，。為BC的中點，

；?動點A在以。為圓心，8C為直徑且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上,

ABAC=90°,AO=BO=CO,

ZOBA^ZOAB，

NQ4B+NQ4C=ZAO"+NQ4C=90°,

ZAOH=ZOAB=ZOBA,

在AAOF和中，

AF^CF

<AOCO,

FO=FO

..^AOF^^COF，

:.ZFAO=ZFCO，

?.?8=90。，菱形BC戶G,

四邊形BCFG為正方形,

:.ZFCO=90°,FC=BC,

.?.ZE4O=NFCO=90。，

設(shè)FC=BC=x,則AF=CE=x,AO^OC=-BC^-x,

在RAFAO中,

tanZFOA=-=-^=2

AO1

-X

2

ZAOHZOBA,

tanZABC=tanZ.FOA=2.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定，全等三角形的判定與性

質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，圓中的相關(guān)性質(zhì)，直徑所對的圓周角為90度，正切的定義等，熟練掌握以上

知識點，并能綜合運用是解題的關(guān)鍵.

六、綜合題(本大題共2小題，每小題10分，共20分)

25.如圖，已知8D是的角平分線，點。是斜邊A8上的動點，以點。為圓心，OB長為半徑的

OO經(jīng)過點Q,與。4相交于點E.

(1)判定AC與QO的位置關(guān)系，為什么？

3

(2)若BC=3,CD=-,

2

①求sinNDBC、sinNABC的值；

②試用sinNZJBC和cosNZMC表示sinNABC,猜測sin2a與sina,cosa的關(guān)系，并用夕=30°給

予驗證.

【答案】（1）相切，原因見解析

（2）①sin/Z）BC=好，sinZABC=—；②sin2a=2sinacosa,驗證見解析

55

【解析】

【分析】（1）連接0。，根據(jù)角之間的關(guān)系可推斷出0。〃3。，即可求得NQZM的角度，故可求出圓與

邊的位置關(guān)系為相切；

（2）①構(gòu)造直角三角形，根據(jù)角之間的關(guān)系以及邊長可求出sinNOBC,sinNABC的值；②先表示出

來sin/DBC、85/。6。和5畝446。的關(guān)系，進(jìn)而猜測sin2a與sine,cosa的關(guān)系，然后將

a=300代入進(jìn)去加以驗證.

【小問1詳解】

解：連接。。，如圖所示

為NA8C的角平分線

；?ZABD=/CBD

又過點B、D,設(shè)。。半徑為r

，OB=OD=r

：.ZODB=ZOBD=ZCBD

/?ODUBC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

VOD1AC

.?.AC與0。的位置關(guān)系為相切.

【小問2詳解】

3

①：BC=3,CD=-

2

???BD7BC2+CD?=述

2

：?sinZDBC=—=—

BD5

過點。作。尸，A5交于一點F,如圖所示

：.CD=DF(角平分線的性質(zhì)定理)

：.BF=BC=3

3

OF=BF?OB=3-r,OF=CD=—

2

OD2=OF2+DF2即r2=(3-r)2+

?_15

??r=—

8

,/OD//BC

，ZABC=NFOD

DF4

sinZABC=sinNFOD=—=-

OD5

sinZDBC=—,si