專題8 分類討論法（講義）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題《數(shù)學(xué)》函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解析版

第第頁專題8分類討論【函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解題策略】：①分離參數(shù)＋函數(shù)最值；②直接化為最值＋分類討論；③縮小范圍＋證明不等式；④分離函數(shù)＋數(shù)形結(jié)合。通過討論函數(shù)的單調(diào)性及最值，直接化為最值的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，是不等式恒成立的通性通法，高考參考答案一般都是以這種解法給出，缺點(diǎn)是一般需要分類討論，解題過程較長，解題層級(jí)數(shù)較多，不易掌握分類標(biāo)準(zhǔn)。重難點(diǎn)題型突破1基本類型（）例1、（2024·陜西·校聯(lián)考一模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)，不等式恒成立．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分和兩種情況，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意可得要證原不等式成立，即證對(duì)恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可得在上遞增，則，從而可證得結(jié)論.【詳解】（1）定義域?yàn)椋?，得，①時(shí)，，則在上為增函數(shù)；②時(shí)，由，得，由，得，則在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．綜上，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．（2）證明：當(dāng)時(shí)，，則，∴要證原不等式成立，即證對(duì)恒成立，令，則，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，對(duì)恒成立．對(duì)恒成立．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.例2（2024·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)，且是的極值點(diǎn)，證明：（i）時(shí)，取得極小值；（ii）.【答案】(1)答案見解析；(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論求解大于0或小于0的解集.（2）由極值點(diǎn)可得，（i）利用極小值的定義推理判斷；（ii）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由是的極值點(diǎn)，得，即，（i），而，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值.（ii）設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題往往涉及到分類討論，分類討論標(biāo)準(zhǔn)的確定是關(guān)鍵，一般依據(jù)導(dǎo)數(shù)是否有零點(diǎn)、有零點(diǎn)時(shí)零點(diǎn)是否在給定的范圍內(nèi)及在給定范圍內(nèi)的幾個(gè)兩個(gè)零點(diǎn)的大小關(guān)系來分層討論.例3、（2023上·福建莆田·高二莆田一中?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）將原函數(shù)求導(dǎo)，就參數(shù)進(jìn)行分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即得函數(shù)的單調(diào)性；（2）構(gòu)造函數(shù)，在條件下，判斷的符號(hào)，得到得證.【詳解】（1）的定義域,若則在上單調(diào)遞增；若當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，時(shí)，則單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因，設(shè)則，則在上單調(diào)遞減，故.1、（2022·江西省豐城中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)時(shí)，設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)【分析】(1)求導(dǎo)數(shù)，分類討論由和，解得單調(diào)區(qū)間.（2）問題轉(zhuǎn)化為在的值域和在的值域滿足：，分別求兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域，可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)恒成立，時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由已知，問題轉(zhuǎn)化為在的值域和在的值域滿足：，二次函數(shù)，圖像拋物線開口向上，對(duì)稱軸方程為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在的值域.由(1)可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故值域.所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.2、（2021·遼寧·高三月考）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若曲線的一條切線的斜率為，求與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）答案見解析；（2）、、和；【分析】（1）求，討論和時(shí)，解不等式以及即可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）令求得，即可得切點(diǎn)坐標(biāo)或，設(shè)出切線方程與曲線方程聯(lián)立即可求得切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由可得：，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令可得或，令，可得；所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；（2）由，得，所以滿足條件的切線有兩條，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切點(diǎn)為或當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，的方程為，即，將代入，得，即，則，即，解得：或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和；當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，的方程為，即，將代入，得，即，則，所以，解得：或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和.3、（2022·江西贛州·高三期中（理））已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，對(duì)分和兩種情況，分析在上的符號(hào)，可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）分類討論，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求得相應(yīng)最值，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），當(dāng)時(shí)顯然成立.當(dāng)時(shí)，即，令，，.若時(shí)單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，解題方法就是利用分類討論法進(jìn)行求解，解題時(shí)要找出參數(shù)分類討論的依據(jù)，考查分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于難題.重難點(diǎn)題型突破2函數(shù)零點(diǎn)的大小情況分類例4、（2024上·福建·高二莆田二中校聯(lián)考期末）函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)含參討論單調(diào)區(qū)間即可.（2）構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是.由已知得，.①當(dāng)時(shí)，由得，或，∴的單調(diào)增區(qū)間為，，②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)增區(qū)間為.③當(dāng)時(shí)，由得：或，∴的單調(diào)增區(qū)間為，綜上，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）當(dāng)時(shí)，.由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增且；令，，令，令，解得；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，令，則，則，故，所以恒成立，由已知，不妨設(shè)，則，所以，所以，因?yàn)?，，而在單調(diào)遞增，所以，所以.例5、（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論求解導(dǎo)函數(shù)為正為負(fù)的不等式解集即得.（2）由（1）中信息，求出函數(shù)的最小值，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合不等式性質(zhì)推理即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，于是，有，當(dāng)時(shí)，則，因此，所以.例6、（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可求解單調(diào)性，（2）將代入化簡將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以?dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為的增區(qū)間為．（2）因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，由（1）知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，要證，即證．因?yàn)椋灾灰C，即證．設(shè)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，．即原不等式得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時(shí)，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時(shí)，常采用兩種思路：求直接求最值和等價(jià)轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.1、（2019·北京市順義區(qū)第一中學(xué)高三期中）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：在上是增函數(shù)；（3）求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【分析】（1）求導(dǎo)得，分、、三類討論，可得的單調(diào)區(qū)間；（2）令，求導(dǎo)得，再令，由，即，從而證得結(jié)論成立；（3）依題意，只需證：當(dāng)時(shí)，對(duì)，，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而證得結(jié)論成立．【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：令，則，令，∵，∴，∴，即，∴在上是增函數(shù)；（3）要證，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，只需證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，由（1）知，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，故．2．（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)單調(diào)性；（2）由題意，當(dāng)時(shí)，，令，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)性和零點(diǎn)存在定理可證.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在上，有，在上，有,故在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.（2）時(shí)，.令，則.令.i.時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.又，存在一個(gè)零點(diǎn)，使.ii.，恒成立，在上單調(diào)遞減.又，.存在零點(diǎn)，使.，.在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.又.，存在一個(gè)零點(diǎn)，使.iii.，恒成立.在單調(diào)遞減.恒成立.在沒有零點(diǎn).iv.時(shí)，下面來證明當(dāng)時(shí)，.設(shè)..在上單調(diào)遞增，，恒成立.綜上所述，在只有兩個(gè)零點(diǎn).又是由向右平移一個(gè)單位所得，在只有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．3．（2024上·云南保山·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，然后分類對(duì)進(jìn)行討論，從而可求解.（2）由恒成立，利用參數(shù)分離可得，然后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求解出的最大值，從而可求解.【詳解】（1）由題意知：，所以，①當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令得：或，且，若，則，若，則，若，則，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，令得：或，且，若，則，若，則，若，則，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由恒成立，即，恒成立，所以，，令，，所以，若，則，若，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，有極大值也是最大值為，所以.所以的取值范圍為.重難點(diǎn)題型突破3二次函數(shù)類型（）例7、（2019·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)答案見解析；(2)和.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導(dǎo)數(shù)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個(gè)根，是的一個(gè)因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點(diǎn)所做曲線的切線問題，注意單調(diào)性研究中對(duì)導(dǎo)函數(shù)，要依據(jù)其零點(diǎn)的不同情況進(jìn)行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要注意除了已經(jīng)求出的切點(diǎn)，還可能有另外的公共點(diǎn)(交點(diǎn)),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時(shí)要注意其中有一個(gè)實(shí)數(shù)根是求出的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這樣就容易通過分解因式求另一個(gè)根.三次方程時(shí)高考?jí)狠S題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個(gè)根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.例8、（2021·陜西渭南·高三月考）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程.（2）討論的單調(diào)性；（3）若，證明：.【答案】（1）；

（2）當(dāng)a≤時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若時(shí)，f(x)在與上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.；（3）證明見解析.【分析】（1）求出、，代入切線方程：即可；（2）先求定義域，求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)是含參的二次函數(shù)，利用根的判別式與兩根的分布情況進(jìn)行分類討論；（3）結(jié)合條件進(jìn)行放縮，然后在不等式兩邊同除以x構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)進(jìn)行證明（利用兩個(gè)函數(shù)的凹凸性）.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，，，所求切線方程為，即.（2）解：的定義域?yàn)?，，?duì)于二次方程，有.當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，方程有兩根，，若，，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，，在與上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）證明：要證，即證，因?yàn)椋?，所?當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以只需證，即證.令，則，由得；由，得.所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以.，則，易知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，所以恒成立，即.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.1．（2019·江西九江·江西省都昌縣第一中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）首先確定函數(shù)的定義域，函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)進(jìn)行分類討論，從而確定出導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）方法一：根據(jù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，結(jié)合第一問的結(jié)論，可以確定，令，得到兩個(gè)極值點(diǎn)是方程的兩個(gè)不等的正實(shí)根，利用韋達(dá)定理將其轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)證得結(jié)果.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減.（ii）若，令得，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）［方法一］：【通性通法】消元由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則.由于，所以等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，，所以，即.［方法二］：【通性通法】消元由（1）知且是方程的兩根，不妨設(shè)，即．此時(shí)．欲證不等式成立，只需證．因?yàn)?，所以，只需證．令，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以，即證．［方法三］：硬算因?yàn)?，所以有兩個(gè)相異的正根（不妨設(shè)）．則且即．所以．而，，所以．設(shè)，則．所以在上遞減，，問題得證．［方法四］：【最優(yōu)解】對(duì)數(shù)平均不等式的應(yīng)用由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)．由于的兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以．不妨設(shè)，則．由于．由對(duì)數(shù)平均不等式可得，即．故．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：根據(jù)消元思想，先找到極值點(diǎn)之間的關(guān)系，再消元轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知元的不等式恒成立問題，屬于通性通法；方法二：同方法一，只是消元字母不一樣；方法三：直接硬算出極值點(diǎn)，然后代入求證，計(jì)算稍顯復(fù)雜；方法四：根據(jù)式子形式利用對(duì)數(shù)平均不等式放縮，證明簡潔，是該題的最優(yōu)解．2．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)特征，分與兩種情況，結(jié)合，得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，取，得到在上恒成立，令，則，從而，再用裂項(xiàng)相消法求和，不等式得證.【詳解】（1），，，，，時(shí)，，∴，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴恒成立，滿足條件.時(shí)，對(duì)于方程，其，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，，則，不滿足條件，舍去.綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（2）證明：由（1）可知：取時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，令，則，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項(xiàng)相消法求和）達(dá)到證明的目的，此類問題一般至少有兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)特征式的特征而得到.3．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，為常數(shù)，且.(1)判斷的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，如果存在兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)，且，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，分類討論與時(shí)的單調(diào)性.（2）計(jì)算的值，結(jié)合已知可得，運(yùn)用的單調(diào)性進(jìn)而可設(shè)，運(yùn)用的單調(diào)性及已知條件等量代換將問題轉(zhuǎn)化為求證（），構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可求證.【詳解】（1）∵，∴，，記，①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.②當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且，，∴，，，單調(diào)遞增，，，，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增，綜上所述：①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）∵，∴，由（1）可知時(shí)，在上單調(diào)遞增，故不妨設(shè)，要證：，即證：，又∵當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴只需證，又∵，∴只需證：，即證：，（），記，，，∴當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，∴，∴原命題得證.即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．重難點(diǎn)題型突破4其他綜合情況例9、（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析；【分析】（1）由題意求得函數(shù)定義域，并對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)不等式恒成立即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）利用（1）中的結(jié)論可知當(dāng)時(shí)在上恒成立，且不等式在恒成立，再利用裂項(xiàng)相消求和即可得出證明.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，可得在上恒成立，當(dāng)時(shí)，由可得，易知需滿足，解得，又，令，，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即可得恒成立；當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，由零點(diǎn)存在定理可得，使得；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增；時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減；（i）若時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，又，即，使得；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以要使在上恒成立，只需，解得，?所以可得；（ii）當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞增，所以一定使得時(shí)，；即，所以在上單調(diào)遞減,即可得，這與在上恒成立矛盾，不合題意；綜上可得（2）令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以；即不等式右側(cè)恒成立；由（1）可得得：當(dāng)時(shí)，對(duì)于，恒成立，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；取，易知，可得，所以,綜上可得：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在證明導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式綜合問題時(shí)，經(jīng)常將第一問的結(jié)論直接應(yīng)用到證明當(dāng)中去，再綜合考慮不等式特征合理選取方法巧妙放縮求和，即可實(shí)現(xiàn)問題求解.例10、（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，，．(1)求的值；(2)若對(duì)恒成立，求a的最小值；(3)當(dāng)正整數(shù)時(shí)，求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，求得，代入即可求解；（2）設(shè)，得到對(duì)恒成立，求得，求得，分和，兩種情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，即可求解；（3）解：由（2）知當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立，結(jié)合和，兩種情況討論，即可得證.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，所以．（2）解：設(shè)，因?yàn)閷?duì)恒成立，即對(duì)恒成立，且．所以，可得．①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)時(shí)，令，得，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，（舍去）．綜上所述，實(shí)數(shù)的最小值為．（3）解：由（2）知當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，且，所以對(duì)恒成立，取，則，①當(dāng)時(shí)，可得，又，所以；②當(dāng)時(shí)，．綜上所述，原不等式成立．【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．1．（2024·廣東佛山·佛山一中?？家荒＃┮阎瘮?shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：；(3)對(duì)恒成立，求取值范圍.【答案】(1)1(2)證