2024年廣東省廣州市黃埔區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2024年廣東省廣州市黃埔區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）下列各數(shù)為無理數(shù)的是（）A．3 B．3.14 C． D．2．（3分）如圖表示互為相反數(shù)的兩個點是（）A．點A與點B B．點A與點D C．點C與點B D．點C與點D3．（3分）12位參加歌唱比賽的同學(xué)的成績各不相同，按成績?nèi)∏?名進(jìn)入決賽，如果小粉知道了自己的成績后，小粉需要知道這12位同學(xué)的成績的（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．5．（3分）分式方程＝的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣36．（3分）在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，若AD＝5，BD＝6，△BOC的周長為（）A．13 B．16 C．18 D．217．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，E是AC上的一點，垂足為D，若AD＝4（）A． B． C． D．38．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上（4，3），將菱形ABCD向右平移m個單位，使點D剛好落在反比例函數(shù)y＝（x＞0），則m的值為（）A．5 B．6 C． D．9．（3分）如圖，在塔前的平地上選擇一點A，由A點看塔頂?shù)难鼋鞘铅?，由B點看塔頂?shù)难鼋鞘铅拢魷y量者的眼睛距離地面的高度為1.5m，AB＝9m，β＝50°，則塔的高度大約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）A．55.5 B．54 C．46.5 D．4510．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0，c＞1），經(jīng)過點（2，0），其對稱軸是直線x＝；②關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝a無實數(shù)根；③當(dāng)x＞0時，y隨x增大而減小（）個．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）11．（3分）代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義時，x應(yīng)滿足的條件是．12．（3分）因式分解：4x3﹣x＝．13．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，若CD＝3cmcm．14．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是．15．（3分）如圖，?ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°，得到?AB′C′D′（點B與點B′是對應(yīng)點，點C與點C′是對應(yīng)點，點D與點D′是對應(yīng)點），點B′恰好落在BC邊上，則∠C＝．16．（3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，連接EF，將△AEF沿EF折疊得△HEF，則DH的取值范圍是．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（4分）解方程：x2+6x+5＝0．18．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ADC和∠ABC．求證：AD＝CD19．（6分）已知T＝．（1）化簡T；（2）已知反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點A（a﹣1，a+1），求T的值．20．（6分）“2023廣州黃埔馬拉松”比賽當(dāng)天，某校玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)小組針對其中一個項目“半程馬拉松”（21.0975公里）進(jìn)行調(diào)查．（1）為估算本次參加“半程馬拉松”的人數(shù)，調(diào)查如下：調(diào)查總?cè)藬?shù)2050100200500參加“半程馬拉松”人數(shù)7173158150參加“半程馬拉松”頻率0.350.340.310.290.30已知共有20000人參與“2023廣州黃埔馬拉松”比賽，請估算本次賽事中，參加“半程馬拉松”項目的人數(shù)約為人；（2）本賽事某崗位還需要2名志愿者參與服務(wù)工作，共有4人參加了志愿者遴選，其中初中生2名，大學(xué)生1名，請利用畫樹狀圖或列表的方法21．（8分）某文具店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種圓規(guī)，若購進(jìn)甲種圓規(guī)10個，乙種圓規(guī)30個；若購進(jìn)甲種圓規(guī)30個，乙種圓規(guī)50個（1）求購進(jìn)甲、乙兩種圓規(guī)的單價各是多少元；（2）文具店購進(jìn)甲、乙兩種圓規(guī)共100個，每個甲種圓規(guī)的售價為15元，每個乙種圓規(guī)的售價為12元，那么這個文具店至少購進(jìn)甲種圓規(guī)多少個？22．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝﹣（x+a）（x﹣3a）（a＞0）的圖象與x軸交于A（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點E．（1）尺規(guī)作圖：作拋物線的對稱軸，交x軸于點D，并標(biāo)記拋物線的頂點C，且AE與對稱軸相交于點F；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，若AO＝2OE23．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC（1）求證：AO平分∠BAC；（2）若BC＝12，sin∠BAC＝，求AC和CD的長．24．（12分）如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD＝4，，．矩形AGFE繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接BG，AC，AF．（1）求證：△ABG∽△ACF；（2）當(dāng)CE的長度最大時，①求BG的長度；②在△ACF內(nèi)是否存在一點P，使得的值最小？若存在，求；若不存在，請說明理由．25．（12分）已知二次函數(shù)y＝ax2+2ax+c圖象與x軸交于點A和點B（﹣3，0），與y軸交于點C（0，3）．（1）求點A的坐標(biāo)；（2）若點D是直線BC上方的拋物線上的一點，過點D作DE∥y軸交射線AC于點E，過點D作DF⊥BC于點FDF﹣DE的最大值及此時點D坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點P，并且這兩個點滿足∠PBQ＝90°，試求點D到直線PQ的最大距離．

2024年廣東省廣州市黃埔區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．（3分）下列各數(shù)為無理數(shù)的是（）A．3 B．3.14 C． D．【解答】解：3是整數(shù)，3.14，，它們都不是無理數(shù)；2是無限不循環(huán)小數(shù)；故選：C．2．（3分）如圖表示互為相反數(shù)的兩個點是（）A．點A與點B B．點A與點D C．點C與點B D．點C與點D【解答】解：3和﹣3互為相反數(shù)，則點A與點D表示互為相反數(shù)的兩個點．故選：B．3．（3分）12位參加歌唱比賽的同學(xué)的成績各不相同，按成績?nèi)∏?名進(jìn)入決賽，如果小粉知道了自己的成績后，小粉需要知道這12位同學(xué)的成績的（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差【解答】解：由于總共有12個人，且他們的分?jǐn)?shù)互不相同，只要把自己的成績與中位數(shù)進(jìn)行大小比較．故選：B．4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．與不能合并；B．2×3，所以B選項不符合題意；C．4與，所以C選項不符合題意；D．﹣＝6﹣＝．故選：D．5．（3分）分式方程＝的解是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3【解答】解：＝，方程兩邊都乘x（x﹣3）得：2x＝x﹣3，解得：x＝﹣3，檢驗：當(dāng)x＝﹣3時，x（x﹣8）≠0，∴x＝﹣3是原方程的解．故選：D．6．（3分）在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，若AD＝5，BD＝6，△BOC的周長為（）A．13 B．16 C．18 D．21【解答】解：∵?ABCD的兩條對角線交于點0，AC＝10，AD＝5，∴BO＝DO＝6，AO＝CO＝5∴△BOC的周長為：BO+CO+BC＝3+3+3＝13．故選：A．7．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，E是AC上的一點，垂足為D，若AD＝4（）A． B． C． D．3【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，∴BC＝＝＝6，∵ED⊥AB于點D，AD＝4，∴∠ADE＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴＝＝＝，∴AE＝AB＝，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣5＝3，∴BE＝＝＝3，故選：A．8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點C與原點O重合，點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上（4，3），將菱形ABCD向右平移m個單位，使點D剛好落在反比例函數(shù)y＝（x＞0），則m的值為（）A．5 B．6 C． D．【解答】解：（1）作DE⊥BO，DF⊥x軸于點F，∵點D的坐標(biāo)為（4，3），∴FO＝8，DF＝3，∴DO＝5，∴AD＝2，∴A點坐標(biāo)為：（4，8），∴xy＝2×8＝32，∴k＝32；（2）將菱形ABCD向右平移m個單位長度，得到點D′的坐標(biāo)為（4+m．代入y＝，得到6＝．即菱形ABCD平移的距離為＝個單位長度．故選：C．9．（3分）如圖，在塔前的平地上選擇一點A，由A點看塔頂?shù)难鼋鞘铅?，由B點看塔頂?shù)难鼋鞘铅拢魷y量者的眼睛距離地面的高度為1.5m，AB＝9m，β＝50°，則塔的高度大約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2）A．55.5 B．54 C．46.5 D．45【解答】解：如圖：由題意得ED＝BF＝AG＝1.5m，∵α＝45°，CE⊥EG，∴∠ECG＝α＝45°，∴CE＝GE，設(shè)CE＝GE＝xm，則EF＝（x﹣4）m，在Rt△CEF中，tanβ＝tan50°＝＝，即2.2，解得x＝54，∴CD＝CE+ED＝54+1.8＝55.5（m），答：塔的高度大約為55.5m．故選：A．10．（3分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0，c＞1），經(jīng)過點（2，0），其對稱軸是直線x＝；②關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝a無實數(shù)根；③當(dāng)x＞0時，y隨x增大而減小（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝，∴點（8，0）關(guān)于直線x＝，0），∵c＞1，∴拋物線開口向下，∴a＜7，∵﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0，故①正確；∵拋物線開口向下，與x軸有兩個交點，∴頂點在x軸的上方，∵a＜3，∴拋物線與直線y＝a有兩個交點，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝a有兩個不等的實數(shù)根；故②錯誤；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝，∴當(dāng)x＞時，y隨x增大而減?。弧擤仯?，∴b＝﹣a，∴a+b＝6，故④正確．故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分．）11．（3分）代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義時，x應(yīng)滿足的條件是x≥﹣4．【解答】解：由題可知，x+4≥0，解得x≥﹣8．故答案為：x≥﹣4．12．（3分）因式分解：4x3﹣x＝x（2x+1）（2x﹣1）．【解答】解：4x3﹣x＝x（7x2﹣1）＝x（5x+1）（2x﹣7），故答案為：x（2x+1）（8x﹣1）．13．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，若CD＝3cm6cm．【解答】解：∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，∴AD＝BD，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝30°，∴BD＝AC＝2CD＝6cm，故答案為：3．14．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是k≤且k≠1．【解答】解：由題意知：Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×3（k﹣5）＝16﹣12k≥0且k﹣1≠2，解得：k≤且k≠2．則k的取值范圍是k≤且k≠2．故答案為：k≤且k≠3．15．（3分）如圖，?ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°，得到?AB′C′D′（點B與點B′是對應(yīng)點，點C與點C′是對應(yīng)點，點D與點D′是對應(yīng)點），點B′恰好落在BC邊上，則∠C＝105°．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)可知，AB＝AB′，∠BAB′＝30°，∴∠ABB′＝∠AB′B＝．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣75°＝105°．故答案為：105°．16．（3分）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，連接EF，將△AEF沿EF折疊得△HEF，則DH的取值范圍是﹣1≤DH≤2．【解答】解：如圖1，點F與點D重合，∵正方形ABCD的邊長為2，∴DA＝AB＝4，由折疊得DH＝FH＝FA＝DA＝2，∴DH的最大值為2；如圖5，連接DE，∵E為AB的中點，∴HE＝AE＝BE＝AB＝3，∵∠A＝90°，∴DE＝＝＝，∴DH+HE≥DE，∴DH+1≥，∴DH≥﹣1，∴DH的最小值為﹣1，∴DH的最值范圍是﹣4≤DH≤2，故答案為：﹣8≤DH≤2．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（4分）解方程：x2+6x+5＝0．【解答】解：（x+1）（x+5）＝5，x+1＝0或x+7＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣5．18．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ADC和∠ABC．求證：AD＝CD【解答】證明：∵BD平分∠ADC和∠ABC，∴∠ADC＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（ASA）．∴AD＝CD，AB＝CB．19．（6分）已知T＝．（1）化簡T；（2）已知反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點A（a﹣1，a+1），求T的值．【解答】解：（1）T＝＝﹣＝；（2）∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點A（a﹣1，∴（a﹣7）（a+1）＝，∴T＝＝．20．（6分）“2023廣州黃埔馬拉松”比賽當(dāng)天，某校玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)小組針對其中一個項目“半程馬拉松”（21.0975公里）進(jìn)行調(diào)查．（1）為估算本次參加“半程馬拉松”的人數(shù)，調(diào)查如下：調(diào)查總?cè)藬?shù)2050100200500參加“半程馬拉松”人數(shù)7173158150參加“半程馬拉松”頻率0.350.340.310.290.30已知共有20000人參與“2023廣州黃埔馬拉松”比賽，請估算本次賽事中，參加“半程馬拉松”項目的人數(shù)約為6000人；（2）本賽事某崗位還需要2名志愿者參與服務(wù)工作，共有4人參加了志愿者遴選，其中初中生2名，大學(xué)生1名，請利用畫樹狀圖或列表的方法【解答】解：（1）由表格可知，隨調(diào)查總?cè)藬?shù)的增加，∴本次賽事中，參加“半程馬拉松”項目的人數(shù)約為20000×0.30＝6000（人）．故答案為：6000．（2）將2名初中生分別記為A，B，4名高中生記為C，畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好錄取2名初中生志愿者的結(jié)果有：AB，共2種，∴恰好錄取7名初中生志愿者的概率為＝．21．（8分）某文具店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種圓規(guī)，若購進(jìn)甲種圓規(guī)10個，乙種圓規(guī)30個；若購進(jìn)甲種圓規(guī)30個，乙種圓規(guī)50個（1）求購進(jìn)甲、乙兩種圓規(guī)的單價各是多少元；（2）文具店購進(jìn)甲、乙兩種圓規(guī)共100個，每個甲種圓規(guī)的售價為15元，每個乙種圓規(guī)的售價為12元，那么這個文具店至少購進(jìn)甲種圓規(guī)多少個？【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)甲種圓規(guī)的單價是x元，乙種圓規(guī)的單價是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：購進(jìn)甲種圓規(guī)的單價是10元，乙種圓規(guī)的單價是8元；（2）設(shè)這個文具店購進(jìn)m個甲種圓規(guī)，則購進(jìn)（100﹣m）個乙種圓規(guī)，根據(jù)題意得：（15﹣10）m+（12﹣6）（100﹣m）≥480，解得：m≥80，∴m的最小值為80．答：這個文具店至少購進(jìn)甲種圓規(guī)80個．22．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝﹣（x+a）（x﹣3a）（a＞0）的圖象與x軸交于A（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點E．（1）尺規(guī)作圖：作拋物線的對稱軸，交x軸于點D，并標(biāo)記拋物線的頂點C，且AE與對稱軸相交于點F；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，若AO＝2OE【解答】解：（1）按要求作AB的中垂線即為拋物線的對稱軸，再按要求作圖如下：（2）對于y＝﹣（x+a）（x﹣6a），y＝a3＝OE，令y＝﹣（x+a）（x﹣7a）＝0，解得：x＝﹣a或3a，則OA＝5a，∵AO＝2OE，即3a＝8×a7，解得：a＝0（舍去）或2，則點A的坐標(biāo)為：（8，0），3），8），則CD＝4＝AD，故∠CAD＝45°，由點A、E的坐標(biāo)得x+3，當(dāng)x＝2時，y＝3D＝2，則AF＝＝＝2．23．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC（1）求證：AO平分∠BAC；（2）若BC＝12，sin∠BAC＝，求AC和CD的長．【解答】解：（1）證明：延長AO交BC于H，連接BO，∵AB＝AC，OB＝OC，∴A，O在線段BC的垂直平分線上，∴AO⊥BC，又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC．（2）延長CD交⊙O于E，連接BE，∵∠EBC＝90°，BC⊥BE，∴∠E＝∠BAC，sin∠E＝sin∠BAC，∴＝，CE＝，∴BE＝＝8CE＝5，∵AH⊥BC，∴BE∥OA，∴＝，即＝，解得：OD＝，∴CD＝5+＝，∵BE∥OA，即BE∥OH，∴OH是△CEB的中位線，∴OH＝BE＝4BC＝3，∴AH＝5+4＝9，在Rt△ACH中，AC＝＝．24．（12分）如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD＝4，，．矩形AGFE繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接BG，AC，AF．（1）求證：△ABG∽△ACF；（2）當(dāng)CE的長度最大時，①求BG的長度；②在△ACF內(nèi)是否存在一點P，使得的值最??？若存在，求；若不存在，請說明理由．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，CD＝AB＝，AD＝4，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴AC＝8，∴∠BAC＝30°，＝＝，∵AG＝AE＝2，∴AF＝＝8，∴＝＝，∠EAF＝∠FAG＝30°，∵∠FAG＝∠FAC+∠CAG＝30°，∠BAC＝∠BAG+∠CAG＝30°，∴∠FAC＝∠BAG，∴△ABG∽△ACF；（2）解：①如圖2，AC+AE≥CE，A，E三點共線時，CE的長度最大，由（1）知BC＝4，AC＝8，EF＝7，∴CF＝＝＝4，＝，∴BG＝CF×＝2．解：②如圖3，將AP繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)30°AP，根據(jù)△APK邊角關(guān)系，可得PK＝AP；同理將AF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)30°，得到ALAF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)，可得∠PAF＝∠KAL，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等可得：△APF∽△AKL，∴KL＝PF，∵CP+PK+KL≥CL，即CP+AP+，∴當(dāng)C，P，K，L四點共線時，由題意可知∠LAC＝150°，AF＝4，AL＝4，可得∠LA