2024年長春市六中高二數(shù)學(xué)4月第一學(xué)程考試卷附答案解析

2024年長春市六中高二數(shù)學(xué)4月第一學(xué)程考試卷（試卷滿分150分，答題時間：120分鐘）2024.04一、單選題（本題共8小題，每題5分，共40分）1．在本次大閱讀活動中增設(shè)了“游園會”中的“學(xué)科素養(yǎng)展”（即學(xué)科知識競答活動），某同學(xué)從高一年級11個學(xué)科素養(yǎng)展、高二年級的9個學(xué)科素養(yǎng)展中各選擇一個學(xué)科參加，則不同的選法共有（

）．A．9種 B．11種 C．20種 D．99種2．已知函數(shù)的圖象與直線相切于點，則（

）A．4 B．8 C．0 D．-83．設(shè)雙曲線C的方程為，若C的一條漸近線的斜率為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．4．?dāng)?shù)列的前n項和為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．進(jìn)入4月份以來，為了支援上?？箵粢咔?，A地組織物流企業(yè)的汽車運輸隊從高速公路向上海運送抗疫物資.已知A地距離上海500，設(shè)車隊從A地勻速行駛到上海，高速公路限速為.已知車隊每小時運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v的立方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元.若，，為了使全程運輸成本最低，車隊速度v應(yīng)為（

）A．80 B．90 C．100 D．1107．在中，，，邊上的中線，則的面積S為(

)A． B． C． D．8．若函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每題6分，共18分．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．）9．下列求導(dǎo)運算正確的是（

）．A． B．C． D．10．已知分別是橢圓C：的左?右焦點，P為橢圓C上異于長軸端點的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的周長為10 B．面積的最大值為25C．的最小值為1 D．橢圓C的離心率為11．如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，.設(shè)第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，則（

）A．B．C．D．三、填空題（本題共3小題，每題5分，共15分）12．甲、乙、丙三位同學(xué)去電影院看電影，每人可在《第二十條》、《飛馳人生2》、《熱辣滾燙》、《周處除三害》四部電影中任選一部，則不同的選法有種．13．已知數(shù)列的前項和為，，，則.14．我們把分子，分母同時趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時，的極限即為型，兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法（洛必達(dá)法則），用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則．四、解答題（本題共5小題，共77分）15．已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，求的最小值．16．如圖，在三棱柱中，平面，已知，點是棱的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值;17．已知數(shù)列滿足，數(shù)列是以2為首項2為公差的等差數(shù)列．(1)求和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，記的軌跡為．(1)求的方程；(2)過點的直線與交于兩點，，，設(shè)直線的斜率分別為．（i）若，求；（ii）證明：為定值．19．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.1．D【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可解答.【詳解】由題意可得：先從高一年級11個學(xué)科素養(yǎng)展中任選一個學(xué)科，不同的選法有11種；再從高二年級的9個學(xué)科素養(yǎng)展中任選一個學(xué)科，不同的選法有9種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：不同的選法共種.故選：D.2．B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求解出的值，再根據(jù)點在直線上求解出的值，即可計算出結(jié)果.【詳解】直線的斜率為4，直線與函數(shù)的圖象相切于點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為切線的斜率，所以，又點在函數(shù)的圖象上，同時也在切線上，所以，．則．故選：B．3．A【解析】由由漸近線方程得，結(jié)合可求得．【詳解】由題意，∴．故選：A．4．C【分析】利用數(shù)列分組求和法即得.【詳解】由題意得，所以.故選：C5．D【分析】由題意轉(zhuǎn)化為，恒成立，參變分離后轉(zhuǎn)化為，求函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域是，，若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即在恒成立，所以，恒成立，即設(shè)，，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值1，所以.故選：D6．C【分析】設(shè)運輸成本為元，依題意可得，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極小值點，從而得解；【詳解】解：設(shè)運輸成本為元，依題意可得，則所以當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取得極小值即最小值，所以時全程運輸成本最低；故選：C7．C【分析】延長到點使，連接，根據(jù)可得面積等于的面積，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根據(jù)三角形面積公式即可求得答案．【詳解】如圖所示，延長到點使，連接，又∵，∴(SAS)，∴的面積等于的面積．在中，由余弦定理得，又，則，∴．故選：C．8．A【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意可知有兩個不相等的實根，然后常變量分離，得到，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性、最值，結(jié)合的正負(fù)性，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)兩個函數(shù)有兩個交點，求出實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由題意，函數(shù)，則，要使得函數(shù)有兩個極值點，則有兩個不相等的實根，得到方程，即與的圖象有2個交點，因為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時，，當(dāng)時，,函數(shù)圖象如下圖所示：所以當(dāng)是滿足函數(shù)與的圖象有2個交點，即函數(shù)有兩個極值點.故選：A【點睛】本題考查了已知函數(shù)極值點的個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題，考查了常變量分離法、構(gòu)造函數(shù)法，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)運算能力.9．BC【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)的四則運算即可判斷.【詳解】因為，故A不正確；因為，故B正確；因為，故C正確；因為，故D不正確；故選：BC.10．AD【分析】由方程可得，結(jié)合橢圓性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】由題意可知：，則，，對于選項A：的周長為，故A正確；對于選項B：當(dāng)P為短軸頂點時，面積取到最大值為，故B錯誤；對于選項C：的最小值為，此時P為長軸頂點，但本題取不到長軸頂點，故沒有最小值，故C錯誤；對于選項D：橢圓C的離心率為，故D正確；故選：AD.11．ACD【分析】根據(jù)由累加法可得，進(jìn)而結(jié)合選項可判斷A.B.C,根據(jù)裂項相消法則可判斷D.【詳解】由題意得，，，，…，，以上個式子累加可得，又滿足上式，所以，由已知，，，，，得,故正確;因為,則,故錯誤;由通項公式得,故正確；由，得，故D正確.故選：.12．64【分析】利用分步乘法計數(shù)原理求解即可.【詳解】易知每個人都有四種選法，故不同的選法有種.故答案為：6413．【分析】結(jié)合等比數(shù)列求和公式，利用分組求和即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得，，…，，所以.故答案為：14．2【分析】根據(jù)題設(shè)對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限即得.【詳解】由題可得.故答案為：2.15．(1)(2)【分析】（1）依據(jù)題意求出切點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到斜率，最后得到切線方程即可.（2）利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)最小值即可.【詳解】（1）易知，故切點為，設(shè)切線斜率為，而，故，故切線方程為.即曲線在點處的切線方程為.（2）由題意得，而，易知的定義域為，令，，令，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則最小值為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明，來證明平面；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，運用向量法求解平面與平面夾角的正弦值;【詳解】（1）在中，因為，由余弦定理知，得到，所以，故，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面.（2）如圖所示，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因為，，則，，，，，，又點是棱的中點，所以，設(shè)平面的法向量為，，，由，得到，取，，得到，設(shè)平面的法向量為，，，由，得到，取，，得到，平面與平面夾角的平面角為銳角，故余弦值為，所以正弦值為17．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系即可求出的通項，利用等差數(shù)列的通項公式即可求出的通項；（2）利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）由①，當(dāng)時，，當(dāng)時，②，由①②得，所以，當(dāng)時，上式也成立，所以，因為是以2為首項2為公差的等差數(shù)列，所以；（2），則，，兩式相減得，所以.18．(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義可判斷所求軌跡為橢圓，繼而求得方程即可；（2）（i）聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用韋達(dá)定理得到結(jié)論，用坐標(biāo)表示，可得其為定值，繼而可求得；（ii）坐標(biāo)表示后即可證明.【詳解】（1）因為，根據(jù)橢圓的定義可知曲線為以為焦點的橢圓，其中，所以橢圓方程：．（2）

(i)易知直線的斜率不為零，所以設(shè)直線的方程為，，，，得，則，則，，．(ii)因為，為定值．19．(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)【分析】（1）直接由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）問題轉(zhuǎn)化為對任意,恒成立，引入函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可．為此需要求出則，并令，則，確定存在時，，然后得出的極值，比較和的大小即可得．【詳解】（1）由得函數(shù)，所以，令得，令得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由，得，又，所以，即對任意,恒成立，令，則，令，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又