沖刺2020年全國中考數(shù)學(xué)真題專項強(qiáng)化練習(xí)：圖形的相似（含答案）

沖刺2020年全國中考數(shù)學(xué)真題專項強(qiáng)化練習(xí)專題:

圖形的相似

一.選擇題

1.（2019?鞍山）如圖，正方形ABC。和正方形CGFE的頂點C,D,E在同一條直線上，

頂點2,C,G在同一條直線上.。是EG的中點，/EGC的平分線G8過點。，交BE

于點H,連接W交EG于點連接08.以下四個結(jié)論：①GH_LBE；@A￡HM^A

s

FHG-,③④,《△HOM=2-其中正確的結(jié)論是（）

CG^AHOG

C.①③④D.②③④

2.（2019?盤錦）如圖，點尸（8,6）在△ABC的邊AC上，以原點。為位似中心，在第一

象限內(nèi)將△48C縮小到原來的!，得到B'C，,點尸在A，C上的對應(yīng)點P'

AF19SAADE

3.（2019?營口）如圖，在△ABC中，DE//BC,—,則的值是（）

AB3S四邊形DBCE

1cD

5-i-I

4.（2019?青海）如圖，AD//BE//CF,直線/h/2與這三條平行線分別交于點4、B、C和

點。、E、F.已知AB=1,BC=3,DE=1.2,則。E的長為（）

5.（2019?雅安）若a：6=3：4,且a+6=14,貝U2a-6的值是（）

A.4B.2C.20D.14

6.（2019?沈陽）已知△ABCs/vVbC,AD和4。是它們的對應(yīng)中線，若AD=10,A'D'=

6,則△ABC與△ABC的周長比是（）

A.3：5B.9：25C.5：3D.25：9

7.（2019?雅安）如圖，每個小正方形的邊長均為1,則下列圖形中的三角形（陰影部分）

與△小華。1相似的是（）

8.（2019?新疆）如圖，正方形ABCD的邊長為2,點E是3c的中點，AE與BD交于點P,

廠是8上一點，連接AF分別交8。，DE于點、M,N,S.AFLDE,連接PN,則以下結(jié)

論中：①S“BM=4SYDM；②PN=2屈;③tan/￡4B=3；@APMN^/\DPE,正

154

確的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

9.（2019?銅仁市）如圖，四邊形ABC。為菱形，AB=2,ND4B=60°,點E、尸分別在邊

DC、BC上，且CF=-1CB,貝lj&CEF=（）

A.區(qū)B.遮C.&D.返

2349

10.（2019?銅仁市）如圖，正方形A2C。中，AB=6,￡'為42的中點，將△4OE沿。E翻

折得到延長EF交BC于G,FHLBC,垂足為“，連接8月、DG.以下結(jié)論：

①BF〃ED；②△。尸G四△DCG；@AFHB^AE4￡>；（4）tanZG￡B=—；⑤S4BFG=2.6；

3

其中正確的個數(shù)是（）

11.（2019?海南）如圖，在RtZXABC中，/C=90°,AB=5,BC=4.點尸是邊AC上一

動點，過點尸作尸Q〃A8交8C于點。，。為線段尸。的中點，當(dāng)8。平分NA8C時，

AP的長度為（）

13131313

12.（2019?東營）如圖，在正方形ABCD中，點。是對角線AC、8。的交點，過點。作射

線。M、ON分別交BC、CD于點E、F,且NEOF=90°,OC、EF交于點、G.給出下

列結(jié)論:①△（%>￡絲△。。尸；②△OGEs^FGC；③四邊形CEOF的面積為正方形ABCD

A.①②③④B.①②③C.①②④D.③④

13.（2019?雞西）如圖，在平行四邊形A8CD中，/8AC=90°,AB=AC,過點A作邊BC

的垂線AP交。C的延長線于點E,點尸是垂足，連接BE、DF,。尸交AC于點。則下

列結(jié)論：①四邊形A8EC是正方形；②C。：BE=1：3；③DE=?C；④S四邊形OCEF

=S^AOD,正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

14.（2019?廣西）如圖，AB為。。的直徑，BC、是。。的切線，切點分別為點2、D,

點E為線段上的一個動點，連接CE,DE,已知A2=2&,BC=2,當(dāng)CE+DE

的值最小時，則笑的值為（）

DE

15.（2019?眉山）如圖，在菱形4BC。中，已知AB=4,ZABC=60°,/EAP=60°,點

E在C2的延長線上，點歹在。C的延長線上，有下列結(jié)論：

①BE=CF；@ZEAB=ZCEF；③△ABEs*AEFC；④若NBAE=15°,貝!］點/到BC

的距離為2?-2.

則其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

C.3個D.4個

二.填空題

16.（2019?阜新）如圖，在中，NC=90°,點。是AC邊上的一點，DE垂直平

分AB,垂足為點E.若AC=8,BC=6,則線段。E的長度為.

17.（2019?鐵嶺）如圖,在△Ai。。中，4G=AiO=2,/4。。=30°,過點4作

±<?Ci，垂足為點C2,過點。2作C2A2^CIAI交OAi于點A2,得到△A2C2G；過點A2

作A2c3,OC1，垂足為點C3,過點C3作C3A3〃C14交OA1于點出，得到3c3c2；

過點A3作A3C4±（9C1，垂足為點。4，過點c4作C4A4〃。4交于點4，得到△

A4c4c3；……按照上面的作法進(jìn)行下去，則△A"+1G計1Q的面積為.（用含正整

18.（2019?青海）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點，當(dāng)用力壓杠桿的A端時，杠桿

繞C點轉(zhuǎn)動，另一端8向上翹起，石頭就被撬動.現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的

8端必須向上翹起10cm,已知杠桿的動力臂AC與阻力臂BC之比為5：1,要使這塊石

頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓

19.（2019?西藏）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°，點。是邊4?上的一點，CD±AB

于。，AO=2,BD=6,則邊AC的長為.

已知。。的半徑為1,AB,AC是。。的兩條弦，且A8=AC,延

長2。交AC于點連接CM,OC,AD2=AB-DC,則0。

在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC,AAiBjCi，222c2，323c3…

△4及Cn都是等腰直角三角形，點3,Bi，B2,品…叢都在無軸上，點21與原點重合,

1A

點A,Ci，C2,。3…Cn都在直線/:尸爭+/，點。在y軸上，AB//A1B1//A2B2//-

軸，AC〃4ci〃A2c2〃…〃A“Cn〃x軸，若點A的橫坐標(biāo)為-1,則點Cn的縱

22.（2019?沈陽）如圖，正方形ABCD的對角線AC上有一點E,MCE=4AE,點歹在。C

的延長線上，連接ER過點E作EGLEF,交C8的延長線于點G,連接GP并延長,

交AC的延長線于點P,若A8=5,CF=2,則線段“的長是.

23.（2019?遼陽）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形A80C的邊BO,CO分別在x軸，y軸上,

A點的坐標(biāo)為（-8,6）,點尸在矩形A80C的內(nèi)部，點E在3。邊上，滿足APBEs4

CBO,當(dāng)是等腰三角形時，尸點坐標(biāo)為

24.（2019?瀘州）如圖，在等腰Rt/VIBC中，/C=90°,AC=15,點E在邊CB上，CE

=2防，點。在邊AB上，CD±AE,垂足為凡則AD的長為

25.（2019?通遼）已知三個邊長分別為2CTM,3cm,的正方形如圖排列，則圖中陰影部

26.（2019?本溪）在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)分別是A（4,2）,B（5,0）,以

點。為位似中心，相似比為處,把△ABO縮小，得到△4S。，則點A的對應(yīng)點4的坐

標(biāo)為?

27.（2019?包頭）如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,BC=3,。為斜邊AC的中點，連

接3D,點尸是8C邊上的動點（不與點8、C重合），過點B作8EL8D交。尸延長線交

于點E,連接CE,下列結(jié)論：

①若BF=CF,貝ijCE^+AD1=DE2；

②若NBDE=NBAC,AB=4,貝！|CE=當(dāng)；

（3）AABD和△C8E一定相似；

④若/A=30°,ZBCE=90°,貝U

其中正確的是.（填寫所有正確結(jié)論的序號）

28.（2019?隨州）如圖，已知正方形ABCO的邊長為a,E為CO邊上一點（不與端點重合）,

將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EP交邊BC于點G,連接AG,CF.

給出下列判斷：

①NEAG=45。；

②若。則AG〃CF；

③若E為CO的中點，則4G尸C的面積為*2；

④若CP=FG,貝1|?！?；=（如-1）a；

⑤BG?DE+AF?GE=a2.

其中正確的是.（寫出所有正確判斷的序號）

W

bGL

29.（2019?襄陽）如圖，兩個大小不同的三角板放在同一平面內(nèi)，直角頂點重合于點C,點

。在A8上，

/BAC=/DEC=3Q°,AC與。E交于點尸，連接AE,若1,A￡）=5,則空=.

EF----

BC

30.（2019?宜賓）如圖，ZVIBC和△CDE都是等邊三角形，■且點A、C、E在同一直線上,

AD與BE、BC分別交于點RM,BE與CD交于點、N.下列結(jié)論正確的是（寫

出所有正確結(jié)論的序號）.

①AM=BN；②AABF咨ADNF；@ZFMC+ZFNC=18Q°；@—=—+-^-

MNACCE

三.解答題

31.（2019?鞍山）在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是△ABC內(nèi)一點，連接A。，BD.在

2。左側(cè)作RtZ\BOE,使NBZ）E=90°,以和。E為鄰邊作。ADEF,連接CD,DF.

(1)若AC=BC,BD=DE.

①如圖1,當(dāng)8,D,E三點共線時，C。與。尸之間的數(shù)量關(guān)系為.

②如圖2,當(dāng)B,D,F三點不共線時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

（2）若BC=2AC,BD=2DE,型=冬，且￡,C,尸三點共線，求名的值.

AC5CE

32.(2019?丹東)已知：在△ABC外分別以AB,AC為邊作△AE8與△AFC.

(1)如圖1,與△APC分別是以42,AC為斜邊的等腰直角三角形，連接EE以

EF為直角邊構(gòu)造RtZ\EFG,S.EF=FG,連接BG,CG,EC.

求證：①△AEFWACGF.

②四邊形BGCE是平行四邊形.

(2)小明受到圖1的啟發(fā)做了進(jìn)一步探究：

如圖2,在△ABC外分別以AB,AC為斜邊作RtAA￡B與RtAAFC,并使

=30°,取BC的中點。，連接。E,后發(fā)現(xiàn)，兩者間存在一定的數(shù)量關(guān)系且夾角度

數(shù)一定，請你幫助小明求出里的值及/OEP的度數(shù).

EF

(3)小穎受到啟發(fā)也做了探究：

如圖3,在△ABC外分別以48,AC為底邊作等腰三角形AE8和等腰三角形AFC,并使

ZCAF+ZEAB=90°,取BC的中點。，連接。E,EE后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)給定/EA8=a時，

兩者間也存在一定的數(shù)量關(guān)系且夾角度數(shù)一定，若AE=m,AB=n,請你幫助小穎用含

m,w的代數(shù)式直接寫出絲的值，并用含a的代數(shù)式直接表示跖的度數(shù).

EF

圖1圖2圖3

33.(2019?上海)如圖1,A。、8。分別是△ABC的內(nèi)角/8AC、NA8C的平分線，過點A

AE±AD,交20的延長線于點E.

圖1圖2

(1)求證：ZE——ZC；

2

(2)如圖2,如果且8。：DE=2：3,求cos/A8C的值；

(3)如果/ABC是銳角，且△ABC與△ADE相似，求NABC的度數(shù)，并直接寫出竺叫

SAABC

的值.

參考答案

一.選擇題

1.解：如圖，：四邊形ABC。和四邊形CGFE是正方形，

:.BC=CD,CE=CG,ZBCE^ZDCG,

在△BCE和△DCG中，

'BC=CD

?ZBCE=ZDCG

,CE=CG

AABCE^ADCG(SAS),

NBEC=ZBGH,

'：ZBGH+ZCDG=90°,ZCDG=ZHDE,

：.ZBEC+ZHDE=90°,

：.GH1BE.

故①正確；

???△EHG是直角三角形，。為EG的中點，

：.OH=OG=OE,

：.點"在正方形CGFE的外接圓上，

,:EF=FG,

：.NFHG=/EHF=NEGF=45°,/HEG=/HFG,

：.AEHMs4FHG,

故②正確；

「△BG”絲△EGH,

:.BH=EH,

又是EG的中點，

：.HO//BG,

：.ADFINSADGC,

?DN=H4

，'DC-CG，

設(shè)EC和0H相交于點N.

設(shè)HN=a,則BC=2a,設(shè)正方形ECG尸的邊長是2b,則NC=6,CD=2a,

解得：a=(-1+&)b,或a=(-1-1/2)b(舍去),

故③正確；

■:ABG啥△EGH,

：.EG=BG,

；HO是AEBG的中位線,

：.HO=—BG,

2

：.HO=—EG,

2

設(shè)正方形ECGF的邊長是2b,

：.EG=2^,

：.HO=y/2b,

'：OH//BG,CG//EF,

J.OH//EF,

:.AMHOs^MFE,

?0M_0H_V2b_V2

"EM-EF-"2b5'

：.EM=-/2pM,

.OMOM1=

"OE-(l-*V2)0M-l-^/2-

bAH0E

U：EO=GO,

S/J1OE=SAHOG,

.SAH0M_/-.

SAHOG

故④錯誤,

故選：A.

2.解：：點P(8,6)在AABC的邊AC上，以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將AABC

縮小到原來的，得到AA，B'C,

點尸在A'C上的對應(yīng)點P的坐標(biāo)為：(4,3).

故選：A.

3.解：9：DE//BC,

：.AADE^AABC,

.SAADE_/AD、2—4

??瓦嬴”左F

.SAADE4

S四邊形DBCE5

故選：A.

9

4.解：\AD//BE//CFf

,AB_DE艮口1_1.2

-,

??而一而，￥-EF

：.EF=3.6,

：.DF=EF+DE=3.6+12=4.8,

故選：B.

5.解:由〃：b=3：4知3/?=4a,

所以b=粵.

o

所以由〃+。=14得到：41+-^-=14,

解得4=6.

所以b=8.

所以2a-6=2X6-8=4.

故選：A.

6.解：VAABC^AA'BT,AO和是它們的對應(yīng)中線，AZ)=10,A77=6,

.?.△ABC與△ABC'的周長比=A。：A'D'=10：6=5：3.

故選：C.

7.解：因為△4卅Ci中有一個角是135°,選項中，有135°角的三角形只有8,且滿足

兩邊成比例夾角相等，

故選：B.

8.解：：正方形的邊長為2,點E是8c的中點，

：.AB=BC^CD=AD^2,ZABC^ZC^ZADF=90°,CE=BE=L

'：AF±DE,

：.ZDAF+ZADN=ZADN+ZCDE=90°,

NDAN=ZEDC,

，ZADF=ZC,

在△AQP與△OCE中，＜AD=CD,

ZDAF=ZCDE

L

AAADF^ADCE(ASA),

:?DF=CE=\,

U：AB//DF,

????AABMsAFDM,

...包巡=(里2=4,

SAFDMDF

*'?S^ABM=^S^FDM；故①正確；

由勾股定理可知：AF=DE=AE=l2+22=VS,

?：—XADXDF^—XAFXDN,

22

：.DN=^^~,

5_

、AN=dAD」-DN2=~^^”

:.EN=3D?D

tanZEAF=^-=—,故③正確，

AN4

作PH_LAN于H.

:BE〃AD,

.PAAD0

PEBE

275

~3~

■:PH//EN,

.AH=PA=2_

,?瓦―蕊—京，

351515

PN=+j^p12=t故②正確,

15

?；PN7DN,

；?/DPN#/PDE,

???△PMN與△OPE不相似，故④錯誤.

故選：A.

9.解：???四邊形ABC。為菱形，AB=2,ZDAB=60°

：.AB=BC=CD=2fZDCB=60°

VCE=—C￡>,CF=—CB

33

2

：.CE=CF=—

3

???△CE/為等邊三角形

:4CEF呼義a才=。

故選：D.

10.解：???正方形A8CD中，AB=6,E為A5的中點

：.AD=DC=BC=AB=6,AE=BE=3,ZA=ZC=ZABC=90°

9：AADE沿DE翻折得到△尸。E

:?/AED=/FED,AD=FD=6,AE=EF=3,ZA=ZDFE=90°

:?BE=EF=3,ZDFG=ZC=90°

：.ZEBF=ZEFB

'：NAED+NFED=ZEBF+ZEFB

???ZDEF=ZEFB

J.BF//ED

故結(jié)論①正確；

9

：AD=DF=DC=6fNDFG=NC=90°,DG=DG

.'.RtADFG^RtADCG

?,?結(jié)?論②正確；

?；FH_LBC,ZABC=90°

：.AB//FH,ZFHB=ZA=90°

?.,ZEBF=ZBFH=ZAED

：.AFHB^AEAD

???結(jié)論③正確；

?.?RtADFG^RtADCG

：.FG=CG

設(shè)/G=CG=x,貝1」56=6-羽EG=3+x

在RtZkBEG中，由勾股定理得：32+(6-x)2=(3+x)2

解得：x=2

：.BG=4

.\tanZGEB=—=—

BE3

故結(jié)論④正確；

AF1

■:XFHBs叢EAD,且a"

AD2

：.BH=2FH

設(shè)FH=a,則HG=4-2a

在RtZkPHG中，由勾股定理得：a2+(4-2a)2=22

解得:a=2(舍去)或

5

="

SABFG~~^4X-^-=2.4

故結(jié)論⑤錯誤；

故選：C.

11.解：VZC=90°,AB=5,BC=4,

?1?AC=VAB2-BC2=3>

'：PQ//AB,

：.ZABD=ZBDQ,又NABD=/QBD,

：.ZQBD=ZBDQ,

：.QB=QD,

：.QP=2QB,

'：PQ//AB,

：./\CPQ^/\CAB,

.CPCQPQmCP4-QB2QB

CACBAB345

解得，CP=*，

15

J.AP^CA-CP=—,

13

故選：B.

12.解：①：四邊形ABCD是正方形，

：.OC^OD,AC±BD,ZODF^ZOCE^45

:NMON=90°,

J.ZCOM^ZDOF,

:.△COE烏ADOF(ASA),

故①正確；

@VZEOF=ZECF=90°,

...點0、E、C、尸四點共圓，

：.ZEOG=ZCFG,ZOEG=ZFCG,

：.OGEsAFGC,

故②正確；

(3)VAC0E^AD0F,

,?S/^COE—SAD0F,

???S四邊形CEOF=SAOCD%$正方形即6'

故③正確；

④):ACOE2?△DOF,

AOE=OF,又?；/EOF=90°,

???AEOF是等腰直角三角形，

：.ZOEG=ZOCE=45°,

?：/EOG=NCOE,

???△OEGsLOCE,

：.OE：OC=OG：OE,

：.OG?OC=O*

VOC=—AC,0E=叵EF,

22

OG-AC=EF2,

；CE=DF,BC=CD,

：.BE=CF,

又,?RtACEF中，CF2+CE2=EF2,

:.B&+DF2=EF2,

OG-AC=BE2+DF2,

故④錯誤，

故選：B.

13.解：?VZBAC=90°,AB=ACf

:?BF=CF,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//DE,

；?NBAF=NCEF,

???ZAFB=ZCFE,

：.AABF^AECF(A4S),

：.AB=CE,

???四邊形ABEC是平行四邊形，

9：ZBAC=90°,AB=AC,

???四邊形ABEC是正方形，故此題結(jié)論正確;

②:OC//AD,

工△OCVs△on。,

OC-.OA=CF：AD=CF：BC=1：2,

0C-.AC=1：3,,JAC^BE,

：.OC-.BE=1：3,故此小題結(jié)論正確；

③;AB=CD=EC,

：.DE=2AB,

\"AB=AC,ZBAC=90°,

：.AB=±-^-BC,

2

.,.r)E=2><*>BC=V^BC，故此小題結(jié)論正確;

?,/△OCF^AOAD,

../△OCF=(1)2=1,

SA0AD24

SA0CF^SA0AD)

OC：AC=1：3,

3S^OCF=S^ACF>SAACF=S^CEF>

.3

..^ACEF=W^AOCFqS/iOAD，

*1,S四邊形OCEF=S&）CF+S&2EF=（lS）^AOAD=^A0AD,故此小題結(jié)論正確.

故選：D.

14.解：延長CB到E使得BF=BC,則C與E關(guān)于08對稱，連接DP與。8相交于點E,

此時CE+DE=。產(chǎn)值最小，

連接。C,BD,兩線相交于點G,過。作。于H,

則OCLBD,OC=7OB2+BC2=V5+4=3,

；OB?BC=OC,BG,

：.BD=2BG=^^

OD2-OH2=DH2=BD2-BH2,

222

5-（V5-BH）=合灰）-BH>

DH=7BD2-BH2=V，

y

,JDH//BF,

EFJF二2二9

???ED=DH=20_=10?

V

?.?CE—9，

DE10

故選：A.

15.解：,??四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC,ZACB^ZACD,

u：ZBAC=ZEAF=60°,

：.ZBAE=ZCAFf/XABC是等邊三角形,

ZABC=ZACB=60°,

AZACD=ZACB=60°,

ZABE=ZACFf

在△BAE和△CA/中，

<ZBAE=ZCAF

<AB=AC，

tZABE=ZACF

：.ABAE^/\CAF（SAS）,

：.AE=AF,BE=CF.故①正確；

9：ZEAF=60°,

???△AE尸是等邊三角形，

ZAEF=60°,

???ZAEB+ZCEF=ZAEB+ZEAB=60°,

???NEAB=NCEF,故②正確；

VZACD=ZACB=60°,

：.ZECF=60°,

VZAEB<60°,

.?.△ABE和不會相似，故③不正確；

過點A作AG±BC于點G,過點F作FHLEC于點H,

VZEAB=15°,ZABC=60°,

：.NAEB=45°,

在RtZVIGB中，VZABC=60°,AB=4,

：.BG=2,AG=2?,

在RtZ\AEG中，；NAEG=/EAG=45°,

；.AG=GE=2?,

:.EB=EG-BG=2M-2,

,：AAEB咨AAFC,

：.ZABE=ZACF=120°,EB=CF=273-2,

.\ZFC￡=60°,

在RtZXCHF中，VZCF//=30°,B=2?-2,

：.CH=y[2-1.

:.FH=M（V3-1）=3-Vs，

點F到BC的距離為3-V3,故④不正確.

綜上，正確結(jié)論的個數(shù)是2個，

故選：B.

二.填空題（共15小題）

16.解：VZC=90°,AC=8,BC=6,

1

；?48=VAC2+BC2=V82+62=。,

：DE垂直平分48,

：.ZDEA^90°,A￡=-j-AB=yX10=5,

：.ZDEA=ZC,

又,:ZA=ZA,

/.^AED^AACB,

.AEDE

"AC"Be'

gpi-Jd

86

：.DE^—.

4

故答案為：」十.

4

17.解:：4Ci=AiO=2,AIC2±OCI，

0。2=。2。1,

VZA1<9C1=3O°,

.'.AIC2=_OAi=L

??C]C2=HK[C-A]02=V22-i2=Vs>

'：C2A2//CiAi9

△OA2C20°AOAICI,

.A2c2_0,2

“凸0Cj

?，?A2c2="^4ICI=1,

同理，A2C3=-UIC2=^

42c3g佟>亨

.-.SAA2CZC1=AC1C2^

2A2c3?112G)2室,

同理，C2C3=^A2C2-

A3C3=^^202='

人3。4=/hQ=^^~2=

4,

.*.S△AJCJC?="^"C2c3。/

^4--X—X--42)

同理，C3c4=,A3c3?-A3c產(chǎn)拈)2一電2=與

A4c4—Q=/

A4c5=~^3。4=/

.,.S^A4C4C3=-^-C3C4*A4C5=-^-X,

V3

*'?S△AH+ICJI+1CR=

故答案為：坐.

4n

18.解：如圖；AM,BN都與水平線垂直，即AM〃BN；

易知：AACMsABCN；

.AC=AM

,?而一麗’

.??杠桿的動力臂AC與阻力臂8c之比為5：1,

AAM=5gpAM^5BN；

BN1

.'.當(dāng)BN、IOc加時，AM^5Qcm；

故要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端點A向下壓50cm.

19.解：由射影定理得，AC2^AD-AB=2X(2+6),

解得，AC=4,

故答案為：4.

20.解：在△A03和△AOC中，

'：AB=AC,OB=OC,OA=OA,

：.AAOB^AAOC(SSS),

???ZABO=ZACO,

9

：0A=0Cf

：.ZACO=ZOAD,

'：ZADO=ZBDA,

.ADOPAO

"BD"AD"AB'

設(shè)。。=無，則BO=l+x,

._AD___x___1_

.?]+x=AD=AB，

???37^17,AB="(X+D,

X

U：DC=AC-AD=AB-AD,AD2=AB^DC,

XX

整理得：x2+x-1=0,

解得：尸*^或尤=21(舍去)，

22

因此

2

故答案為：111.

2

21.解：由題意A(-l,1),可得C(0,1),

設(shè)G(m,m),貝!J機(jī)=-^n+2，解得機(jī)=2,

oo

ACi(2,2),

1A

設(shè)。2(〃,〃-2),則〃-2=予什*解得〃=5,

OO

：.Cz(5,3),

設(shè)C3(a,0-5),則。-5=/1+冷，解得a=￥*,

:C(畢，當(dāng)，同法可得C4(學(xué)，斗)，…，G的縱坐標(biāo)為貯4,

22442n-2

故答案為之二.

2n-2

:四邊形ABC。是正方形，AB=5,

；.AC=5"歷，/ACD=NFCH=45°,

,：ZFHC=90°,CF=2,

:.CH=HF=?,

\'CE=4AE,

EC—4,^2,AE—y[2<

：.EH=5y/2,

在中，EF-=EH2+Fti1=（5如）2+（&）2=52,

:NGEF=NGCF=90°,

：.E,G,F,C四點共圓，

：.ZEFG=ZECG=45°,

/.ZECF=ZEFP=135°,

；/CEF=/FEP,

:.△CEFSXFEP,

.EF=EC

,?麗―甌’

：.EF2=EC，EP,

?吁卑—13&

"W22

故答案為里2.

2

23.解：：點尸在矩形A20C的內(nèi)部，且△APC是等腰三角形，

：.P點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上；

①當(dāng)尸點在AC的垂直平分■線上時，點P同時在BC上，AC的垂直平分線與B0的交點

即是E,如圖1所示：

\'PE±BO,CO±BO,

：.PE//CO,

:四邊形ABOC是矩形，A點的坐標(biāo)為（-8,6）,

點尸橫坐標(biāo)為-4,0c=6,B0=8,BE=4,

:APBEsACBO,

.PE=BE即患=當(dāng)

"COBO'68'

解得：PE=3,

點尸（-4,3）；

②尸點在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與的交點為P,

過點尸作尸￡，2。于E,如圖，2所示：

?：CO±BO,

C.PE//CO,

:四邊形ABOC是矩形，A點的坐標(biāo)為（-8,6）,

：.AC=BO=8,CP=8,AB=OC=6,

22=1

:?BC=7BO2＜）C2=V8+6

:.BP=2,

.PEBEBPBnPEBE2

COBOBC6810

解得：PE=§,BE=芻,

55

???OciE?=Q8---8-----3-2-,

55

?占Dr326、

55

綜上所述：點P的坐標(biāo)為：（-盤）或（-4,3）；

55

24.解：過。作。H_LAC于H,

???在等腰Rt^ABC中，ZC=90°,AC=15,

.AC=BC=15f

.ZCAD=45°,

；AH=DH,

.CH=15-DH,

：CFLAE,

.ZDHA=ZDFA=90°,

.ZHAF=ZHDF,

；XkCEs△DHC,

,DH=CH

?正一黃

：CE=2EB,

1.CE=10,

,DH_15-DH

?記io-J

；DH=9,

???AD=9底，

故答案為：9&.

25.解：對角線所分得的三個三角形相似，

根據(jù)相似的性質(zhì)可知名=芻

105

解得％=2.5,

即陰影梯形的上底就是3-2.5=0.5(cm).

再根據(jù)相似的性質(zhì)可知工=

52.5

解得：y=l,

所以梯形的下底就是3-1=2(cm),

所以陰影梯形的面積是(2+0.5)X3+2=3.75(cm2).

故答案為:3.75cm2.

>cm

26.解：以點。為位似中心，相似比為a，把△AB?？s小，點A的坐標(biāo)是A（4,2）,

則點A的對應(yīng)點4的坐標(biāo)為（4X《，2X-1）或（-4x2，-2x4-）.即（2,1）或（-

2222

2,-1),

故答案為：（2,1）或（-2,-1）.

27.解：①???/4BC=90。，。為斜邊AC的中點,

：.AD=BD=CD,

'JAF^CF,

:.BF=CF,

：.DE±BC,

：.BE=CE,"：

'JBELBD,

：.BD2+BE-=DE2,

CE2+AD2^DE~,

故①正確；

②：AB=4,8c=3,

?"C=TAB2+BC2=5,

5

，BD=AD=CD專，

,:NA=NBDE,ZABC^ZDBE^90°,

：.AABCSADBE,

,ABBC

??，

DBBE

43

即5與E.

7

.?.族=生，

8

'：AD=BD,

???ZA=ZABDf

VZA=ZBDE,ZBDC=ZA+ZABD,

：.ZA=ZCDE,

：.DE//AB,

:.DEIBC,

°：BD=CD,

???。石垂直平分BC,

：.BE=CE,

：.CE=—,

8

故②正確；

③；/ABC=/DBE=90°,

：.ZABD=ZCBE,

5_

BD75，

AB'T"?

但隨著尸點運動，BE的長度會改變，而BC=3,野

；?半或名不一定等于三，

3BE8

AABD和△CBE不一定相似,

故③錯誤；

（4）VZA=30°,BC=3,

：.ZA=ZABD=ZCBE=3Q°,AC=2BC=6,

鼻=3，

：BC=3,/BCE=9Q°,

：.BE=—^-5：

cos30

DE=VBD^BE2=V21>

故④正確；

故答案為：①②④.

28.解：①：四邊形ABCD是正方形,

.\AB=BC=AD=af

?.*將△&￡>￡沿AE對折至△AFE,

ZAFE=ZADE^ZABG=90°,AF^AD=AB,EF=DE,ZDAE=ZFAE,

fAB=AF

在RtAABG和RtAAFG中

IAG=AG

.?.RtAABG^RtAAFG(HL),

；./BAG=/FAG,

：.ZGAE=ZGAF+ZEAF=X900=45°,故①正確;

@：.BG=GF,ZBGA=ZFGA,

設(shè)8G=GP=x,,:DE=

CG—a-x,

在RtZXEGC中，EG=X+L,CE=L,由勾股定理可得

33

解得此時8G=CG=^,

GC=GF=

:?/GFC=/GCF,

且ZBGF=ZGFC+ZGCF=2ZGCF,

：.2ZAGB=2ZGCF,

：.NAGB=/GCF,

：.AG//CF,

???②正確；

③若E為CD的中點，貝?。?。E=。后=￡/=/軟,

設(shè)BG=GF=y,則CG=a-y,

CG1+CE1=EG1,

即(a-y)2+(ya)2=(ya+y)2>

解得,尸上，

119

BG=GF=~^CG=a--

Ooo

1

.GF_Ta_2

"EG"?~~

■3a+2*a

2211212

???S/kCFG至S&ZEG方義萬X萬aX石aq^a，

故③錯誤；

④當(dāng)。/=履，則NFGC=NR7G,

NFGC+NFEC=NFCG+NFCE=90°,

：.ZFEC=ZFCE,

：.EF=CF=GF,

1?BG=GF=EF=DE,

：.EG=2DE,CG=CE=a-DE,

???&CE=EG,即&(a-DE)=2DE,

：.DE=(&-1)a,

故④正確；

⑤設(shè)BG=GF=b,DE=EF=c,貝!JCG=〃-/?,CE=a-c,

由勾股定理得，(b+c)2=Qa-b)2+(a-c)2,整理得/?c=“2-必-g

.112_1

SArnr=77(a-b)(a-c)=77(a-ab-ac+bc)—―(bc+bc)=bo

即S叢CEG=BG?DE,

?S>ABG=SAAFG,SAAEF=SAADE,

S五邊形ABGED=2S△闕E=2XyAF-EG=AF-EG-

五邊形ABGED+SACEG=s正方形4BCD，

J.BG-DE+AF-EG^a2,

故⑤正確.

故答案為：①②④⑤.

29.解：如圖，過點C作CMJ_OE于點M,過點E作ENLAC于點N,

?：BD=1,AD=5,

：.AB=BD+AD=6f

???在RtZXABC中，ZBAC=30°,ZB=90°-ZBAC=60°,

：.BC=^AB=3,AC=V^BC=36，

在RtABCA與RtADCE中，

,：ZBAC=ZDEC=30°,

tanZBAC=tanZDEC,

?,?BC—DC,

ACEC

,：ZBCA=ZDCE=90°,

ZBCA-