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甘肅省蘭州市蘭煉一中2024年高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知是第二象限的角,,則()A. B. C. D.2.偶函數(shù)關(guān)于點對稱,當(dāng)時,,求()A. B. C. D.3.本次模擬考試結(jié)束后,班級要排一張語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評順序表,若化學(xué)排在生物前面,數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后,則不同的排表方法共有()A.72種 B.144種 C.288種 D.360種4.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的焦距為()A. B. C.6 D.85.等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且,則()A.12 B.10 C.8 D.6.某四棱錐的三視圖如圖所示,記S為此棱錐所有棱的長度的集合,則()A.B.C.D.7.已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,,,,則,,滿足()A. B. C. D.8.若復(fù)數(shù)滿足,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,則()A.1 B.0 C. D.9.“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶,“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機投擲200個點,己知恰有80個點落在陰影部分據(jù)此可估計陰影部分的面積是()A. B. C.10 D.10.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時,,函數(shù)(),則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為()A.2 B.4 C.5 D.611.已知隨機變量服從正態(tài)分布,且,則()A. B. C. D.12.已知數(shù)列中,,(),則等于()A. B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式各項系數(shù)和為__________.14.若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,則a1=_____,a1+a2+…+a5=____15.已知函數(shù),若關(guān)于的方程恰有四個不同的解,則實數(shù)的取值范圍是______.16.已知,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,湖中有一個半徑為千米的圓形小島,岸邊點與小島圓心相距千米,為方便游人到小島觀光,從點向小島建三段棧道,,,湖面上的點在線段上,且,均與圓相切,切點分別為,,其中棧道,,和小島在同一個平面上.沿圓的優(yōu)?。▓A上實線部分)上再修建棧道.記為.用表示棧道的總長度,并確定的取值范圍;求當(dāng)為何值時,棧道總長度最短.18.(12分)已知函數(shù),其中.(1)當(dāng)時,求在的切線方程;(2)求證:的極大值恒大于0.19.(12分)在數(shù)列中,,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的最小值20.(12分)已知函數(shù),(Ⅰ)當(dāng)時,證明;(Ⅱ)已知點,點,設(shè)函數(shù),當(dāng)時,試判斷的零點個數(shù).21.(12分)在△ABC中,角所對的邊分別為向量,向量,且.(1)求角的大小;(2)求的最大值.22.(10分)已知函數(shù),其中,.(1)當(dāng)時,求的值;(2)當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒闀r,求在上的值域.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因為,由誘導(dǎo)公式可得,,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔題.2、D【解析】
推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由此可得出,代值計算即可.【詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,則,,,則,所以,函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由于當(dāng)時,,則.故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)的對稱性和奇偶性求函數(shù)值,推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.3、B【解析】
利用分步計數(shù)原理結(jié)合排列求解即可【詳解】第一步排語文,英語,化學(xué),生物4種,且化學(xué)排在生物前面,有種排法;第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個空擋中的2個,有種排法,所以不同的排表方法共有種.選.【點睛】本題考查排列的應(yīng)用,不相鄰采用插空法求解,準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題4、A【解析】
依題意可得,再根據(jù)離心率求出,即可求出,從而得解;【詳解】解:∵雙曲線的離心率為,所以,∴,∴,雙曲線的焦距為.故選:A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得,再由對數(shù)運算法則可得結(jié)論.【詳解】∵數(shù)列是等比數(shù)列,∴,,∴.故選:B.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對數(shù)的運算法則,掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.6、D【解析】
如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件,故,得到答案.【詳解】如圖所示:在邊長為的正方體中,四棱錐滿足條件.故,,.故,故,.故選:.【點睛】本題考查了三視圖,元素和集合的關(guān)系,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.7、D【解析】
首先由函數(shù)為偶函數(shù),可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,再由,即可判定大小【詳解】因為偶函數(shù)在減,所以在上增,,,,∴.故選:D【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞,屬于中檔題.8、C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】解:∵,∴,則,∴,故選:C.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
直接根據(jù)幾何概型公式計算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型:,故.故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.10、B【解析】
由函數(shù)的性質(zhì)可得:的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對稱,由函數(shù)圖像的作法可知兩個圖像有四個交點,且兩兩關(guān)于直線對稱,則與的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足,可得的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對稱,函數(shù)的圖像與函數(shù)()的圖像的位置關(guān)系如圖所示,可知兩個圖像有四個交點,且兩兩關(guān)于直線對稱,則與的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和為4.故選:B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合的思想,掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.11、C【解析】
根據(jù)在關(guān)于對稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解.【詳解】,,,.故選:C.【點睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用.掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).隨機變量服從正態(tài)分布,則.12、A【解析】
分別代值計算可得,觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,問題得以解決.【詳解】解:∵,(),
,
,
,
,
…,
∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,
,
,
故選:A.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性和運用:求數(shù)列中的項,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】
由題意得展開式的二項式系數(shù)之和求出的值,然后再計算展開式各項系數(shù)的和.【詳解】由題意展開式的二項式系數(shù)之和為,即,故,令,則展開式各項系數(shù)的和為.故答案為:【點睛】本題考查了二項展開式的二項式系數(shù)和項的系數(shù)和問題,需要運用定義加以區(qū)分,并能夠運用公式和賦值法求解結(jié)果,需要掌握解題方法.14、80211【解析】
由,利用二項式定理即可得,分別令、后,作差即可得.【詳解】由題意,則,令,得,令,得,故.故答案為:80,211.【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用,屬于中檔題.15、【解析】
設(shè),判斷為偶函數(shù),考慮x>0時,的解析式和零點個數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,作函數(shù)大致圖象,即可得到的范圍.【詳解】設(shè),則在是偶函數(shù),當(dāng)時,,由得,記,,,故函數(shù)在增,而,所以在減,在增,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,因此的圖象為因此實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點的個數(shù)問題,涉及構(gòu)造函數(shù),函數(shù)的奇偶性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,考查了數(shù)形結(jié)合思想方法,以及化簡運算能力和推理能力,屬于難題.16、【解析】
對原方程兩邊求導(dǎo),然后令求得表達(dá)式的值.【詳解】對等式兩邊求導(dǎo),得,令,則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式,考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件,考查賦值法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、,;當(dāng)時,棧道總長度最短.【解析】
連,,由切線長定理知:,,,,即,,則,,進(jìn)而確定的取值范圍;根據(jù)求導(dǎo)得,利用增減性算出,進(jìn)而求得取值.【詳解】解:連,,由切線長定理知:,,,又,,故,則劣弧的長為,因此,優(yōu)弧的長為,又,故,,即,,所以,,,則;,,其中,,-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增故時,所以當(dāng)時,棧道總長度最短.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)當(dāng)中的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo),代入,求出在處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值,由此即可求得切線方程;(2)分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】(1),當(dāng)時,,,則在的切線方程為;(2)證明:令,解得或,①當(dāng)時,恒成立,此時函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴函數(shù)無極值;②當(dāng)時,令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴;③當(dāng)時,令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴,綜上,函數(shù)的極大值恒大于0.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】
(1)由得,兩式相減可得是從第二項開始的等比數(shù)列,由此即可求出答案;(2),分類討論,當(dāng)時,,作商法可得數(shù)列為遞增數(shù)列,由此可得答案,【詳解】解:(1)因為,,兩式相減得:,即,是從第二項開始的等比數(shù)列,∵∴,則,;(2),當(dāng)時,;當(dāng)時,設(shè)遞增,,所以實數(shù)的最小值.【點睛】本題主要考查地推數(shù)列的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)1.【解析】
(Ⅰ)令,;則.易得,.即可證明;(Ⅱ),分①,②,③當(dāng)時,討論的零點個數(shù)即可.【詳解】解:(Ⅰ)令,;則.令,,易得在遞減,在遞增,∴,∴在恒成立.∵在遞減,在遞增.∴.∵;(Ⅱ)∵點,點,∴,.①當(dāng)時,可知,∴∴,,∴.∴在單調(diào)遞增,,.∴在上有一個零點,②當(dāng)時,,,∴,∴在恒成立,∴在無零點.③當(dāng)時,,.∴在單調(diào)遞減,,.∴在存在一個零點.綜上,的零點個數(shù)為1..【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題,考查了分類討論思想,屬于壓軸題.21、(1)(2)2【解析】
(1)轉(zhuǎn)化條件得,進(jìn)而可得,即可得解;(2)由化簡可得,由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】(1),,由正弦定理得,即,又,,又,,,由可得.(2)由(1)可得,,,,,,的最大值為2.【點睛】本題考查了平面向
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