黑龍江省哈爾濱市安家第二中學高三數學理下學期摸底試題含解析

黑龍江省哈爾濱市安家第二中學高三數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設變量x，y滿足約束條件則目標函數z=3x+5y的最大值為（A）6 （B）19（C）21 （D）45參考答案：C分析：由題意首先畫出可行域，然后結合目標函數的解析式整理計算即可求得最終結果.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結合目標函數的幾何意義可知目標函數在點A處取得最大值，聯立直線方程：，可得點A的坐標為：，據此可知目標函數的最大值為：.本題選擇C選項.

2.在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，若角，，則關于△ABC的兩個結論：①一定是銳角三角形；②一定是等腰三角形．下列判斷正確的是（

）A．①錯誤②正確 B．①正確②錯誤C．①②都正確 D．①②都錯誤參考答案：C因為，則，注意，，則可得，或．若，則，，不可能．若，則，則一定是等腰三角形，也是銳角三角形．3.設集合M={x|x2-x<0}，N={x||x|<2}，則A．MN=

B．MN'=R

C．MN=M

D．MN=M

參考答案：B4.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側棱長與底面邊長相等，則AB1與側面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.

B.

C.

D.參考答案：如圖，以A1C1中點E為原點建立空間直角坐標系E－xyz，設棱長為1，則A，B1，設AB1與平面ACC1A1所成的角為θ，EB1為平面ACC1A1的法向量．則sinθ＝|cos〈，〉|＝＝.5.下列有關命題的說法正確的是(

)A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”．B．“”是“”的必要不充分條件．C．命題“使得”的否定是：“對均有”．D．命題“若，則”的逆否命題為真命題．參考答案：DD6.已知實數a，b滿足2＜a＜b＜3，下列不等關系中一定成立的是（）A．a3+15b＞b3+15a B．a3+15b＜b3+15aC．b?2a＞a?2b D．b?2a＜a?2b參考答案：D【考點】利用導數研究函數的單調性．【分析】分別構造函數f（x）=x3﹣15x，g（x）=，利用導數研究其單調性，由單調性即可求得選項．【解答】解：設f（x）=x3﹣15x，則f′（x）=．當x∈（2，）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當x∈（）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．若2＜a＜b＜，則f（a）＞f（b），即a3+15b＞b3+15a；若＜a＜b＜3，則f（a）＜f（b），即a3+15b＜b3+15a．∴A，B均不一定成立．設g（x）=，則g′（x）==．令g′（x）=0，得x=log2e∈（1，2）．∴當x∈（2，3）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數，∵2＜a＜b＜3，＞，即b?2a＜a?2b．故選：D．7.已知復數滿足(為虛數單位），則復數（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B因為，所以.

8.某中學從4名男生和3名女生中推薦4人參加社會公益活動，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有A．

140種

B．

120種

C．35種

D．

34種[參考答案：D若選1男3女有種；若選2男2女有種；若選3男1女有種；所以共有種不同的選法。選D.9.若命題，命題，則是的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：D10.已知是函數的一個極大值點，則的一個單調遞減區(qū)間是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，則=

參考答案：012.函數的值域為

。參考答案：略13.已知，且，則sinα=．參考答案：【考點】兩角和與差的余弦函數；同角三角函數間的基本關系．【專題】計算題．【分析】由α和β的范圍求出α﹣β的范圍，根據cos（α﹣β）的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sin（α﹣β）的值，再由sinβ的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cosβ的值，然后將所求式子中的角α變?yōu)椋é俩仸拢?β，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡后，將各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，則sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故答案為：【點評】此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵，同時注意角度的范圍．14.已知數列{an}與{bn}滿足an=2bn+3（n∈N*），若{bn}的前n項和為Sn=（3n﹣1）且λan＞bn+36（n﹣3）+3λ對一切n∈N*恒成立，則實數λ的取值范圍是

．參考答案：（，+∞）【考點】8H：數列遞推式．【分析】由{bn}的前n項和為Sn=（3n﹣1）求得bn，進一步得到an，把an，bn代入λan＞bn+36（n﹣3）+3λ，分離λ，然后求出關于n的函數的最大值得答案．【解答】解：由Sn=（3n﹣1），得，當n≥2時，，當n=1時，上式成立，∴．代入an=2bn+3，得，代入λan＞bn+36（n﹣3）+3λ，得λ（an﹣3）＞bn+36（n﹣3），即2λ?3n＞3n+36（n﹣3），則λ＞+．由=，得n≤3．∴n=4時，+有最大值為．故答案為：（，+∞）．15.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則A、B為焦點，過點C的橢圓的離心率．參考答案：略16.曲線在點P處的切線方程是

.參考答案：略17.直線l1和l2是圓的兩條切線，若l1與l2的交點為（1,3），則l1與l2的交角的正切值等于

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知動圓M在圓F1：（x+1）2+y2=外部且與圓F1相切，同時還在圓F2：（x﹣1）2+y2=內部與圓F2相切．（1）求動圓圓心M的軌跡方程；（2）記（1）中求出的軌跡為C，C與x軸的兩個交點分別為A1、A2，P是C上異于A1、A2的動點，又直線l：x=與x軸交于點D，直線A1P、A2P分別交直線l于E、F兩點，求證：DE?DF為定值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程．【分析】（1）由直線與圓相切，則|MF1|+|MF2|=4＞|F1F2|，則M點的軌跡是以F1，F2為焦點的橢圓，即可求得橢圓方程；（2）方法一：分別求得直線PA1的方程，直線PA2的方程，分別求得E和F坐標，則，即可求得DE?DF為定值；方法二：設E和F坐標，聯立方程求得P的坐標，將P代入橢圓方程，即可求得，則為定值．【解答】解：（1）設動圓M的半徑為r，由已知得，|MF1|+|MF2|=4＞|F1F2|，∴M點的軌跡是以F1，F2為焦點的橢圓，設橢圓方程：（a＞b＞0），則a=2，c=1，則b2=a2﹣c2=3，方程為；（2）解法一：設P（x0，y0），由已知得A1（﹣2，0），A2（2，0），則，直線PA1的方程為：，，直線PA2的方程為：，當時，，∴，又∵P（x0，y0）滿足，∴，∴為定值．（2）解法二：由已知得A1（﹣2，0），A2（2，0），設直線PA1的斜率為k1，直線PA2的斜率為k2，由已知得，k1，k2存在且不為零．∴l(xiāng)1的方程為：y=k1（x+2），l2的方程為：y=k2（x﹣2），當時，，∴．聯立l1，l2方程求出P點坐標為，將P點坐標代入橢圓方程3x2+4y2=12得，即，整理得k1k2（3+4k1k2）=0，∵k1k2≠0，∴，∴為定值．19.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且（4，0）在橢圓C上，圓M：x2+y2=r2與直線l：y=8x的一個交點的橫坐標為1．（1）求橢圓C的方程與圓M的方程；（2）已知A（m，n）為圓M上的任意一點，過點A作橢圓C的兩條切線l1，l2．試探究直線l1，l2的位置關系，并說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）由題意列關于a，b，c的方程組，求解方程組得到a，b的值，則橢圓方程可求；求得直線和圓的交點（1，8），即可得到圓的方程；（2）當過點A與橢圓C相切的一條切線的斜率不存在時，切線方程為x=±4，得到直線y=±7恰好為過點A與橢圓相切的另一條切線，于是兩切線l1，l2互相垂直；當過點A（m，n）與橢圓C相切的切線的斜率存在時，設切線方程為y﹣n=k（x﹣m），聯立直線方程和橢圓方程，得到關于x的一元二次方程，利用判別式等于0能推導出直線l1、l2始終相互垂直．【解答】解：（1）由題意得b=4，e==，又a2﹣c2=16，解得a=7，b=4，c=．∴橢圓C的方程為+=1；由題意可得圓M：x2+y2=r2與直線l：y=8x的一個交點為（1，8），即有r2=65，則圓M的方程：x2+y2=65；（2）如圖，①當過點A與橢圓C：+=1相切的一條切線的斜率不存在時，此時切線方程為x=±4，∵點A在圓M：x2+y2=65上，則A（±4，±7），∴直線y=±7恰好為過點A與橢圓相切的另一條切線，于是兩切線l1，l2互相垂直；②當過點A（m，n）與橢圓C相切的切線的斜率存在時，設切線方程為y﹣n=k（x﹣m），由，得（49+16k2）x2+32k（n﹣mk）x+16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16=0，由于直線與橢圓相切，∴△=1024k2（n﹣mk）2﹣4（49+16k2）（16k2m2﹣32kmn+16n2﹣49×16）=0，整理，得（16﹣m2）k2+2mnk+49﹣n2=0，∴k1k2=，∵P（m，n）在圓x2+y2=65上，∴m2+n2=65，∴16﹣m2=n2﹣49，∴k1k2=﹣1，則兩直線互相垂直．綜上所述，直線l1、l2始終相互垂直．20.中央電視臺為了解該衛(wèi)視《朗讀者》節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個城市，得到觀看該節(jié)目的人數（單位：千人）如下莖葉圖所示其中一個數字被污損，（1）求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數的概率．（2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對朗讀以及經典的閱讀學習積累的熱情，從中獲益匪淺，現從觀看節(jié)目的觀眾中隨機統(tǒng)計了4位觀眾的周均閱讀學習經典知識的時間（單位：小時）與年齡（單位：歲），并制作了對照表（如表所示）：年齡x歲20304050周均學習成語知識時間y（小時）2.5344.5由表中數據，試求線性回歸方程y=bx+a，并預測年齡為50歲觀眾周均學習閱讀經典知識的時間．參考答案：【考點】BK：線性回歸方程．【分析】（1）求出基本事件的個數，即可求出概率；（2）求出回歸系數．可得回歸方程．再預測年齡為50歲觀眾周均學習成語知識時間．【解答】解：（1）設被污損的數字為a，則a有10種情況．令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，則a＜8．∴東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數，有8種情況，其概率為．（2）=35，=3.5，==，=﹣=，∴=x+x=50時，=4.55小時．21.如圖為河岸一段的示意圖.一游泳者站在河岸的A點處，欲前往對岸的C點處，若河寬BC為100，A、B相距100，他希望盡快到達C，準備從A步行到E（E為河岸AB上的點），再從E游到C.已知此人步行速度為游泳速度為.（1）

設試將此人按上述路線從A到C所需時間T表示為的函數，并求自變量的取值范圍；（2）

當為何值時，此人從A經E游到C所需時間T最小，其最小值是多少？參考答案：(1)從A步行到E所用的時間為22.（本小題滿分14分）圍建一個面積為360的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用的舊墻