2025版高考數(shù)學一輪總復習考點突破第5章平面向量與復數(shù)第3講平面向量的數(shù)量積考點2向量的模夾角

向量的模、夾角角度1向量的模1.(2023·新課標Ⅱ，13,5分)已知向量a，b滿足|a－b|＝eq\r(3)，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝eq\r(3).[解析]由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，即a2＝2a·b，則由|a－b|＝eq\r(3)，得a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝eq\r(3).2．(2024·黃岡調研)已知平面向量m，n的夾角為eq\f(π,6)，且|m|＝eq\r(3)，|n|＝2，在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2m＋2n，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2m－6n，D為BC的中點，則|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2.[解析]由題意知m·n＝eq\r(3)×2×coseq\f(π,6)＝3.∵△ABC中，D為BC的中點，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2m＋2n＋2m－6n)＝2m－2n.∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|2m－2n|＝2eq\r(m－n2)＝2eq\r(m2－2m·n＋n2)＝2eq\r(3－2×3＋4)＝2.名師點撥：平面向量的模的解題方法1．若向量a是以坐標(x，y)形式出現(xiàn)的，求向量a的模可直接利用|a|＝eq\r(x2＋y2).2．若向量a，b是非坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱霉絴a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運算求解．即“模的問題平方求解．”角度2向量的夾角1.(2019·全國卷Ⅰ，5分)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為(B)A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)[解析]解法一：由題意得，(a－b)·b＝0?a·b＝|b|2，∴|a||b|·cos〈a，b〉＝|b|2，∵|a|＝2|b|，∴2|b|2cos〈a，b〉＝|b|2?cos〈a，b〉＝eq\f(1,2)，∴〈a，b〉＝eq\f(π,3)，故選B.解法二：如圖所示，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，∴B＝eq\f(π,2)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OB,\s\up6(→))|，∴∠AOB＝eq\f(π,3)，即〈a，b〉＝eq\f(π,3).2．(2023·全國甲理，4,5分)已知向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝1，|c|＝eq\r(2)，且a＋b＋c＝0，則cos〈a－c，b－c〉＝(D)A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(2,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(4,5)[解析]解法一：∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∵|a|＝|b|＝1，|c|＝eq\r(2)，∴1＋1＋2a·b＝2，解得a·b＝0，又a＋c＝－b，∴a2＋c2＋2a·c＝b2，得a·c＝－1，同理b·c＝－1，∴(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2＝4，又|a－c|2＝a2＋c2－2a·c＝1＋2＋2＝5，∴|a－c|＝eq\r(5)，同理|b－c|＝eq\r(5)，∴cos〈a－c，b－c〉＝eq\f(a－c·b－c,|a－c|·|b－c|)＝eq\f(4,\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，故選D.解法二：∵|a|＝|b|＝1，|c|＝eq\r(2)，且a＋b＋c＝0，∴分別以a，b，c為邊構造等腰直角三角形OAB，如圖所示，以O為坐標原點，eq\o(OA,\s\up6(→))方向為x軸正方向建立平面直角坐標系，則a＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1)，c＝eq\o(BO,\s\up6(→))＝(－1，－1)，則a－c＝(2,1)，b－c＝(1,2)，所以|a－c|＝|b－c|＝eq\r(5)，所以cos〈a－c，b－c〉＝eq\f(a－c·b－c,|a－c|·|b－c|)＝eq\f(2×1＋1×2,\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，故選D.名師點撥：求兩向量夾角的方法及注意事項1．一般是利用夾角公式：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).2．注意：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角．3．a在b方向上的投影等于|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)；b在a方向上的投影等于|b|cosθ＝eq\f(a·b,|a|).角度3平面向量的垂直1.(2023·新課標Ⅰ，3,5分)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，則(D)A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1[解析]由題意得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即a2＋(λ＋μ)a·b＋λμb2＝0，∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a2＝2，b2＝2，a·b＝0，∴2＋2λμ＝0，解得λμ＝－1，故選D.2．(2024·安徽宣城調研)已知在△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為(A)A.eq\f(22,15) B．eq\f(10,3)C．6 D．eq\f(12,7)[解析]因為eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋(λ－1)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，因此－λ×32＋42＋(λ－1)×3×4×cos120°＝0，所以λ＝eq\f(22,15).故選A.名師點撥：平面向量垂直問題的解題思路解決向量垂直問題一般利用向量垂直的充要條件a·b＝0求解．【變式訓練】1．(角度1)設a，b為單位向量，且|a－b|＝1，則|a＋2b|＝(D)A．3 B．eq\r(3)C．7 D．eq\r(7)[解析]方法一：因為a，b是單位向量，所以|a|＝1，|b|＝1.由|a－b|＝1得|a－b|2＝1，即|a|2－2a·b＋|b|2＝1，可得a·b＝eq\f(1,2)，所以|a＋2b|＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝eq\r(1＋2＋4)＝eq\r(7).故選D.方法二：設O是坐標原點，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，因為|a|＝1，|b|＝1，|a－b|＝1，所以△OAB是等邊三角形，所以a·b＝eq\f(1,2)，所以|a＋2b|＝eq\r(a2＋4a·b＋4b2)＝eq\r(1＋2＋4)＝eq\r(7).故選D.2．(角度2)已知單位向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則a與b－a的夾角為(D)A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(3π,4)[解析]方法一：設a與b－a的夾角為θ.因為|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以a·b＝0.因為a，b為單位向量，所以(b－a)2＝2，即|b－a|＝eq\r(2).因為a·(b－a)＝a·b－a·a＝－1＝|a||b－a|cosθ，所以cosθ＝eq\f(－1,1×\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)，因為θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(3π,4).方法二(幾何法)：如圖，|a＋b|與|a－b|分別表示以a，b為鄰邊(共起點)的菱形的兩條對角線長度，且長度相等，從而菱形為正方形，再作出b－a可知所求夾角為eq\f(3π,4).方法三(坐標法)：由|a＋b|＝|a－b|得a⊥b，又a，b為單位向量，則在平面直角坐標系中取a＝(1,0)，b＝(0,1)，則b－a＝(－1,1)，由向量夾角的坐標運算知a與b－a的夾角為eq\f(3π,4)，故選D.3．(角度3)(2020·全國Ⅱ)已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是(D)A．a＋2b B．2a＋bC．a－2b D．2a－b[解析]本題考查向量的數(shù)量積．由題意得a·b＝|a||b|c