專題4.4數(shù)列的求和

知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的求和公式1.等差數(shù)列的前和的求和公式：.2．等比數(shù)列前項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，（錯(cuò)位相減法）.3.常見數(shù)列前項(xiàng)和①重要公式：（1）（2）（3）（4）②等差數(shù)列中，；③等比數(shù)列中，.知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二幾種數(shù)列求和的常用方法(1)分組求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消(注意消項(xiàng)規(guī)律)，從而求得前n項(xiàng)和．裂項(xiàng)時(shí)常用的三種變形：①；②；③.(3)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．(4)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．(5)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.考點(diǎn)01公式法求和【典例01】（2023秋·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列，其前項(xiàng)的和為，則.【答案】【分析】利用等比數(shù)列的定義及求和公式運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由題意，∴，.∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.∴前項(xiàng)和，.∴.故答案為：.【典例02】（2023秋·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，滿足，，則的最大值為（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】首先把已知條件表示為兩個(gè)基本量首項(xiàng)與公差的關(guān)系式，進(jìn)而求出基本量，要使得最大，只需把前面有限項(xiàng)符號(hào)為正的那些項(xiàng)相加即可.【詳解】設(shè)的首項(xiàng)為，公差為，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前n項(xiàng)的和公式為，則由題意有，，由以上兩式解得，，因此，令，解得，從而數(shù)列得前4項(xiàng)為正，其余項(xiàng)為負(fù)，故的最大值為.故選:B.考點(diǎn)02分組求和與并項(xiàng)求和【典例03】（2022秋·福建莆田·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列是1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出數(shù)列、的通項(xiàng)公式，可求得的表達(dá)式，利用分組求和法可求.【詳解】由已知可得，，，故選：A.【典例04】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)之積為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前50項(xiàng)和.【答案】(1)(2)243【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出，進(jìn)而求和.【詳解】（1）由數(shù)列的前項(xiàng)之積為：，可得，依題意有，又因?yàn)榉仙鲜?，所?（2）由題意，，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，共有個(gè)，，則.【總結(jié)提升】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若，且為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{}的前n項(xiàng)和．(2)通項(xiàng)公式為的數(shù)列，其中數(shù)列是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．主要有分段型（如），符號(hào)型（如），周期型（如）.提醒：注意在含有字母的數(shù)列中要對(duì)字母進(jìn)行分類討論．考點(diǎn)03裂項(xiàng)相消法求和【典例05】（2022秋·福建漳州·高二校考期中）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)，再結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得證；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】（1）由數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且，得，即，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列；（2），由（1）得，所以，則，所以.【典例06】（2022秋·福建漳州·高二校考期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.(3)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2)；(3)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題意求出的值，即可得答案；（2）由題意可得，再采用分組求和即可得答案；（3）由題意可得，分為奇數(shù)、偶數(shù)分別求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，即，即，則，解得，所以；（2）由（1）可得：所以（3）解：因?yàn)?，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，.【總結(jié)提升】1.裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．2.消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．考點(diǎn)04錯(cuò)位相減法求和【典例07】（2022秋·四川巴中·高二四川省通江中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的首項(xiàng)，且滿足，若.(1)求證為等比數(shù)列；(2)在數(shù)列中，，對(duì)任意的，，都有，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將兩邊同時(shí)除以，化簡(jiǎn)變形可證得結(jié)論，（2）通過題意得出為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，的前項(xiàng)和由錯(cuò)位相減法即可得出.【詳解】（1）∵，∴兩邊同時(shí)除以，得，即，∵，∴，又∵首項(xiàng)，∴，故是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，（2）由（1）可得，∵在數(shù)列中，，對(duì)任意的，，都有，∴是以4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，則，故，，兩式相減得，∴.【典例08】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，且數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題目條件得到為公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，求出通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，故為公差?的等差數(shù)列，中，令得，解得，則；（2），故①，則②，兩式①②得，故.【規(guī)律方法】1.使用“錯(cuò)位相減法”的方法步驟：：(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.3.在歷年高考命題中，“錯(cuò)位相減法”為高頻考查內(nèi)容.考點(diǎn)05倒序相加法求和【典例09】（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試用推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法探求：若，則（）A．2022 B．4044 C．2023 D．4046【答案】D【分析】先得到，再用倒序相加法即可求解.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，所以，又∵函數(shù)，∴，令，則，∴，∴.故選：D.【典例10】（2023春·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，，則…的值是.【答案】1005【分析】根據(jù)，即可倒序相加求解.【詳解】由得，所以，所以,相加可得,故答案為：1005【總結(jié)提升】注意觀察數(shù)列（函數(shù)）特征：如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．考點(diǎn)06數(shù)列與函數(shù)的綜合問題【典例11】（2023春·江蘇南京·高三南京市寧海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則；設(shè)數(shù)列滿足，則此數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為.【答案】【分析】由題意可知，即可根據(jù)此關(guān)系求出，因?yàn)?，則，利用倒序相加法求和即可，【詳解】解：已知，則，，所以，則，已知數(shù)列，，，數(shù)列的前2023項(xiàng)的和，且，兩式相加，得，故答案為：；【典例12】（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，，，且既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng)．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，其中，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記，其前n項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，求的最小值．【答案】(1)，；(2)(3)【分析】（1）由已知條件，列方程組求出等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，可得數(shù)列的通項(xiàng)；（2）根據(jù)數(shù)列的特征，運(yùn)用分組求和法求前項(xiàng)和；（3）利用函數(shù)思想，求出A的最大值和B的最小值，可得的最小值．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，，，所以，解得，，既是和的等差中項(xiàng)，又是其等比中項(xiàng)，得，，解得，即，所以，．（2）∵，∴．又∵，∵

①∴

②①減②得：∴，∴．（3），，，則是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，，，令，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，且遞減，可得的最大值為，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，且遞增，可得的最小值為，所以的最小值為，最大值為，因?yàn)?，?duì)恒成立，所以，所以，所以的最小值為．【總結(jié)提升】解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會(huì)遇到數(shù)列的求和、和的最值，利用函數(shù)性質(zhì)或不等式性質(zhì)求解較為常規(guī)．考點(diǎn)07數(shù)列與不等式的綜合問題【典例13】（2023秋·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)公式，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果化簡(jiǎn)數(shù)列，再利用裂項(xiàng)相消法求和，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，則，，即，兩邊同時(shí)除以，得，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），即，，，即，隨著的增大，增大，所以的最小值為，隨著的增大，無限接近1，所以.【典例14】（2023秋·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，且有，數(shù)列滿足，且，前9項(xiàng)和為153.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)k的值.【答案】(1)，(2)8【分析】（1）根據(jù)計(jì)算出的通項(xiàng)公式，再判斷出為等差數(shù)列，根據(jù)，前9項(xiàng)和，得到公差，求出通項(xiàng)公式；（2）裂項(xiàng)求和得到，由得到單調(diào)遞增，故，進(jìn)而得到不等式，求出的最大正整數(shù)k的值.【詳解】（1），故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，滿足上式，.又，∴，數(shù)列為等差數(shù)列，令其前n項(xiàng)和為，∴，∵，∴，公差，.（2）由（1）知：，故，.又，單調(diào)遞增，故.由題意可知；得：，k的最大正整數(shù)為8.【總結(jié)提升醒】數(shù)列與不等式的結(jié)合，除應(yīng)熟練掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，關(guān)于不等式證明、不等式恒成立問題的處理方法亦應(yīng)靈活運(yùn)用.考點(diǎn)08數(shù)列與實(shí)際應(yīng)用問題【典例15】（2022秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）若某地區(qū)2019年年底人口總數(shù)為50萬，實(shí)施“放開二胎”新政策后專家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：從2020年年初開始到2029年年底每年人口比上一年增加0.2萬人，從2030年年初開始到2039年年底每年人口為上一年的99%，（注：2019年年底的人口總數(shù)即為2020年年初的人口總數(shù)，以此類推）(1)求實(shí)施新政策后第年的人口總數(shù)的表達(dá)式（注：2020年年底為第1年）；(2)若實(shí)施新政策后，從2020年年初到2039年年底平均每年的人口總數(shù)超過51.5萬，則需調(diào)整政策，否則無需調(diào)整，試判斷到2039年年底是否需要調(diào)整政策，（附：）【答案】(1)(2)到2039年年底不需要調(diào)整政策【分析】（1）根據(jù)增加和增長(zhǎng)率的含義分類討論進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，，，∴．當(dāng)，時(shí)，，，．∴．∴實(shí)施新政策后第年的人口總數(shù)的表達(dá)式為（2）當(dāng)，時(shí)，記前10年的人口總數(shù)為，，當(dāng)，時(shí)，記后10年的人口總數(shù)為，，∵，∴到2039年年底不需要調(diào)整政策．【典例16】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）如圖，一個(gè)小球從10m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的．(1)小球第10次落地時(shí)，經(jīng)過的路程是多少米？(2)小球第幾次落地時(shí)，經(jīng)過的路程為？【答案】(1)(2)4【分析】（1）設(shè)從第次落地到第n次落地時(shí)經(jīng)過的路程為，得到當(dāng)時(shí)，，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出通項(xiàng)公式，并求和；（2）設(shè)小球第n次落地時(shí)，經(jīng)過的路程為，由于，從而得到方程，求出答案.【詳解】（1）設(shè)小球從第次落地到第n次落地時(shí)經(jīng)過的路程為，則，，，…．而且，當(dāng)時(shí)，我們可以得到遞推關(guān)系，．這是一個(gè)首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．因此，且．所以小球第10次落地時(shí)，經(jīng)過的路程為．（2）設(shè)小球第n次落地時(shí)，經(jīng)過的路程為，由于，因此，解得．所以當(dāng)小球第4次落地時(shí)，經(jīng)過的路程為．【總結(jié)提升】1.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識(shí)，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.2.等比數(shù)列最值有關(guān)問題的解題思路：求解此類問題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關(guān)于變量n的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解．有時(shí)也注意基本不等式的應(yīng)用．考點(diǎn)09數(shù)列的“新定義”問題【典例17】（2023春·遼寧·高二鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足（），則．【答案】【分析】計(jì)算出，，倒序相加得到答案.【詳解】，，因?yàn)棰伲寓?，兩式相加得，所?故答案為：【典例18】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿足,定義使為整數(shù)的k叫做“幸福數(shù)”，求區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和.【答案】(1).(2).【分析】（1）通過迭代相減發(fā)現(xiàn)的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列，繼而分奇偶項(xiàng)求出通向公式即可;（2）根據(jù)新定義求出并令其為，將用表示，并根據(jù)的范圍求出的范圍，結(jié)合，確定的值并求“幸福數(shù)”的和.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，故兩式相減可得：，的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列，且公差為2，且，，奇數(shù)項(xiàng)，則n為奇數(shù)時(shí)，，偶數(shù)項(xiàng)，則n為偶數(shù)時(shí)，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）且，，令，則，令，則，又，m的值取為1，2，3，4，5，區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為.【溫馨提醒】立足于“轉(zhuǎn)化”，將新定義問題轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列、等比數(shù)列問題求解.1．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項(xiàng)，根據(jù)的通項(xiàng)公式特征，用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．3.（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.一、單選題1．（2022秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題（意為）：“有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”那么，此人第1天走的路程是（

）A．24里 B．60里 C．192里 D．216里【答案】C【分析】由題意可得此人每天所走的路程是以為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得解.【詳解】設(shè)這個(gè)人第天行走的路程為，由題意可得，則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，則有，解得，即此人第1天走的路程是192里.故選：C.2．（2023秋·廣西貴港·高二統(tǒng)考期末）如圖，這是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．20099 B．20100 C．21000 D．211001【答案】B【分析】先歸納出數(shù)列的遞推公式，然后利用累加法即可求解.【詳解】由題意，，，…，所以數(shù)列的遞推公式為，且，所以.所以，故.故答案為：B.3．（2023秋·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列，則（

）A．126 B．128 C．254 D．256【答案】A【分析】根據(jù)可得，整理得，進(jìn)而可得，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意可得，即，整理得，則，解得，所以.故選：A.4．（2023春·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？计谥校?shù)列的通項(xiàng)公式為，已知其為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性的定義及不等式恒成立的解決方法即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以在恒成立，所以，即可.令，，則，由一次函數(shù)知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為,即.所以的取值范圍為.故選：B.二、多選題5．（2023春·云南楚雄·高二統(tǒng)考期末）我國(guó)在預(yù)測(cè)人口變化趨勢(shì)上有直接推算法、灰色預(yù)測(cè)模型、VAR模型、隊(duì)列要素法等多種方法，直接推算法使用的公式是，其中為預(yù)測(cè)期人口數(shù)，為初期人口數(shù)，為預(yù)測(cè)期內(nèi)人口增長(zhǎng)率，為預(yù)測(cè)期間隔年數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì)B．若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢(shì)C．若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)擺動(dòng)變化D．若在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)不變【答案】ABD【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】由，得當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，?duì)任意的，，所以，，則，此時(shí)，在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈下降趨勢(shì)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，?duì)任意的，，所以，，則，故在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢(shì)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)呈上升趨勢(shì)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故在某一時(shí)期內(nèi)，則這期間人口數(shù)不變，D對(duì).故選：ABD.三、填空題6．（2023秋·江蘇無錫·高二江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)和為，若，則正整數(shù)m的值為．【答案】251【分析】由得出為等比數(shù)列，求得，利用分組求和求出，分為奇數(shù)和為偶數(shù)，兩種情況討論，列出方程，即可求解．【詳解】由，可得，所以為等比數(shù)列，所以，所以，所以，又由，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，得＝251，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，得，因?yàn)椋詾槠鏀?shù)，所以為偶數(shù)時(shí)無解．綜上所述，＝251．故答案為：251．7滿足：第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，再接下來的三項(xiàng)是，依此類推，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則；當(dāng)時(shí)，若存在，使得，則的最小值為.【答案】【分析】利用得出數(shù)列的求和公式，判斷出前10項(xiàng)的和為前4組的和，進(jìn)而求得的值，假設(shè)前項(xiàng)的和為前項(xiàng)的和，由已知得，轉(zhuǎn)化為為的整數(shù)冪，得到應(yīng)該被消去，由此可知加上組的部分項(xiàng)，求得滿足題意的的最小值，即可求得的最小值，最后利用，求得的最小值，即可求解.【詳解】由數(shù)列滿足：第一組為，第二組為，，第組為，則前組中共有項(xiàng)，令，可得，所以數(shù)列前4組中共有10項(xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，可得，若前項(xiàng)的和為前項(xiàng)的和，可得：，由已知得，整理得，由此可得為的整數(shù)冪，其中為的整數(shù)冪，則應(yīng)該被消去，所以若前項(xiàng)和應(yīng)再加上組的部分項(xiàng)，設(shè)應(yīng)加上組的前項(xiàng)時(shí)，被消去，即，可得，則為等式的成立的最小值，此時(shí)，所以，所以，所以的最小值為，則的最小值為.故答案為：；.四、解答題8．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時(shí)盤芯直徑為40mm，滿盤時(shí)直徑為120mm（如圖）．已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，問：滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度大約是多少米（精確到1m）？【答案】100m．【分析】根據(jù)給定條件，可以把繞在盤上的衛(wèi)生紙近似地看作一組同心圓，然后分別計(jì)算各圓的周長(zhǎng)，再借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求總和.【詳解】衛(wèi)生紙的厚度為0.1mm，由內(nèi)向外各圈的半徑分別為20.05，20.15，…，59.95，因此各圈的周長(zhǎng)分別為，，…，，顯然各圈半徑組成首項(xiàng)為20.05，公差為0.1的等差數(shù)列，設(shè)圈數(shù)為n，則，解得，于是各圈的周長(zhǎng)組成一個(gè)首項(xiàng)為，公差為，項(xiàng)數(shù)為400的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，得，，所以滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的長(zhǎng)度約為100m.9.（2023春·湖北荊州·高二沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，且，，成