函數(shù)的單調(diào)性（2課時(shí)）高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

函數(shù)的單調(diào)性（第一課時(shí)）冊(cè)別：選擇性必修2學(xué)科：高中數(shù)學(xué)（人教版）2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性

以及

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.難點(diǎn)：已知原函數(shù)圖像畫(huà)出導(dǎo)函數(shù)圖像問(wèn)題.2.能夠利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性

以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.體會(huì)求導(dǎo)法則判斷函數(shù)的單調(diào)性的優(yōu)越性.3復(fù)習(xí)回顧一、基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式

二、函數(shù)積、商的求導(dǎo)法則

三、復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法4

一、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系xhOab(1)h(t)=-4.9t2+4.8t+11xvOab(2)v(t)=-9.8t+4.8圖5.3-15

這種情況是否具有一般性呢？對(duì)于高臺(tái)跳水問(wèn)題,可以發(fā)現(xiàn)：

xhOab(1)h(t)=-4.9t2+4.8t+11xvOab(2)v(t)=-9.8t+4.8圖5.3-16觀察下面一些函數(shù)的圖象(圖5.3-2),探討函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系.xyOy=xxyOy=x2xyOy=x3xyO

(1)(2)(3)(4)

導(dǎo)數(shù)為正單調(diào)遞增

導(dǎo)數(shù)不定有增有減

導(dǎo)數(shù)非負(fù)單調(diào)遞增

導(dǎo)數(shù)為負(fù)在(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞減7

xyOf(x)=x2圖5.3-3(x0,f(x0))(x1,f(x1))

8

但是如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)僅有有限個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為0,則不能判定f(x)為常數(shù)函數(shù).9解:(1)因?yàn)閒(x)=

x3+3x,所以

例1利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：所以,函數(shù)f(x)=sinx-x在(0,π)上單調(diào)遞減,如圖5.3-4(2)所示.(2)因?yàn)閒(x)=sinx-x,x∈(0,π),所以所以,函數(shù)f(x)=x3+3x在R上單調(diào)遞增,如圖5.3-4(1)所示.

xyO圖5.3-4(1)f(x)=x3+3xxyO圖5.3-4(2)f(x)=sinx-xπ-π102.注意“臨界點(diǎn)”和“間斷點(diǎn)”：在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí),除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)外,還要注意定義域的間斷點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題需要注意：1.定義域優(yōu)先原則：一定要在定義域范圍內(nèi),通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間).例1利用導(dǎo)數(shù)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：

xyO圖5.3-4(3)

11注:不能寫(xiě)成函數(shù)在(-∞,0)∪(0,+∞)上單調(diào)遞增.111.

判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.

所以函數(shù)f(x)=ex-x的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0).所以函數(shù)f(x)=x2-2x+4的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1).

xyOf(x)=x2-2x+41xyOf(x)=ex-x12

綜上,函數(shù)f(x)圖象的大致形狀如圖5.3-5所示.

試畫(huà)出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀.xyO14圖5.3-513

(1)都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在D上是增函數(shù)；(2)都有f(x1)＞f(x2)，則f(x)在D上是減函數(shù).當(dāng)x1＜x2時(shí):若f(x)在D上是增函數(shù)或減函數(shù),則f(x)在D上具有嚴(yán)格的單調(diào)性,稱D為單調(diào)區(qū)間.

142.

利用導(dǎo)數(shù)討論二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的單調(diào)區(qū)間.

xyOf(x)=ax2+bx+c

xyOf(x)=ax2+bx+c

15

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：

(3)得出結(jié)論.yy=f(x)xOabc

xOabcy函數(shù)的圖象看升降導(dǎo)函數(shù)的圖象看正負(fù)16

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：

(3)得出結(jié)論.如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè),這些單調(diào)區(qū)間中間不能用“∪”連接,而只能用“逗號(hào)”或“和”字隔開(kāi)．總結(jié)：本節(jié)課你學(xué)到了什么？5.3.1函數(shù)的單調(diào)性（第二課時(shí)）冊(cè)別：選擇性必修2學(xué)科：高中數(shù)學(xué)（人教版）19學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解掌握三次函數(shù)的單調(diào)性和并能畫(huà)圖像.重點(diǎn)：三次函數(shù)的單調(diào)性和圖像問(wèn)題.難點(diǎn)：探究函數(shù)增減的快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.掌握導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)和絕對(duì)值對(duì)函數(shù)凸凹性的影響.20復(fù)習(xí)回顧

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟：

(3)得出結(jié)論.如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè),這些單調(diào)區(qū)間中間不能用“∪”連接,而只能用“逗號(hào)”或“和”字隔開(kāi)．21形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a

≠0)的函數(shù)應(yīng)用廣泛,下面我們利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究這類函數(shù)的單調(diào)性.

x=-1,或x=2.表5.3-1二、三次函數(shù)的單調(diào)性

x(-∞,-1)-1(-1,2)2(2,+∞)f(x)+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

取一個(gè)值取一個(gè)值取一個(gè)值22

用定義法求解本題時(shí),應(yīng)先在定義域內(nèi)任取x1,x2(x1<x2),再通過(guò)判斷f(x1)-f(x2)的符號(hào)來(lái)確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性.但運(yùn)算過(guò)程麻煩,有時(shí)需要很多變形技巧,因此學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)知識(shí)之后,我們一般借助導(dǎo)數(shù)求解與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題.所以,f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)單調(diào)遞增,在(-1,2)上單調(diào)遞減,如圖5.3-6所示.xyO

圖5.3-6

-12如果不用導(dǎo)數(shù)的方法,直接運(yùn)用單調(diào)性的定義,你如何求解本題？運(yùn)算過(guò)程麻煩嗎？你有什么體會(huì)？23判斷函數(shù)f(x)單調(diào)性的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域;

如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè),這些單調(diào)區(qū)間中間不能用“∪”連接,而只能用“逗號(hào)”或“和”字隔開(kāi)．241.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)=3x-x3;(2)f(x)=x3-x2-x.函數(shù)f(x)=3x-x3的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞),如圖所示.

解：(1)函數(shù)f(x)=3x-x3的定義域?yàn)镽,

x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f(x)-0+0-單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減

f(1)=2取一個(gè)值取一個(gè)值取一個(gè)值

xyO(1,2)(-1,-2)1-125(2)函數(shù)f(x)=x3-x2-x的定義域?yàn)镽,

1.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間:(1)f(x)=3x-x3;(2)f(x)=x3-x2-x.

x1(1,+∞)f(x)+0-0+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

f(1)=-1取一個(gè)值取一個(gè)值取一個(gè)值

xyO(1,-1)

262.

證明函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減.證明：

函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的定義域?yàn)镽,對(duì)f(x)求導(dǎo),得

所以函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減,如圖所示.

xyOf(x)=2x3-6x2+7(0,7)2函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法：注：證明函數(shù)f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,只需求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,驗(yàn)證(0,2)是單調(diào)區(qū)間的子集即可.

(1)確定函數(shù)的定義域;xyO127三、函數(shù)的變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

研究對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx與冪函數(shù)y=x3在區(qū)間(-∞,+∞)上增長(zhǎng)快慢的情況.

y=lnxxyO1圖5.3-7(1)

函數(shù)圖象看升降,導(dǎo)函數(shù)圖象看正負(fù),陡峭或平緩絕對(duì)值大或小

一般地,如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大,那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較快,這時(shí)函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較慢,函數(shù)的圖象就比較“平緩”.28

xyO圖5.3-7(2)y=x3xyO

函數(shù)圖象看升降,導(dǎo)函數(shù)圖象看正負(fù),陡峭絕對(duì)值大平緩陡峭絕對(duì)值小絕對(duì)值大29xyO圖5.3-81C1C2所以,f(x),g(x)的圖象依次是圖5.3-8中的C2,C1.所以,f(x),g(x)在(0,+∞)上都是增函數(shù).在區(qū)間(1,+∞)上,g(x)的圖象比f(wàn)(x)要“平緩”.