（全國1卷）2020年高考理科數(shù)學(xué)真題（含答案解析）

絕密啟用前

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2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項：

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷

上無效.

3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

高考資料vx344647

1.若z=1+i，則|z2–2z|=（）

A.0B.1C.2D.2

2.設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）

A.–4B.–2C.2D.4

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正

方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為

（）

51515151

A.B.C.D.

4242

4.已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（）

A.2B.3C.6D.9

5.某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個不同的溫度

條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i1,2,,20)得到下面的散點圖：

由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類

型的是（）

A.yabxB.yabx2

C.yabexD.yablnx

6.函數(shù)f(x)x42x3的圖像在點(1，f(1))處的切線方程為（）

A.y2x1B.y2x1

C.y2x3D.y2x1

π

7.設(shè)函數(shù)f(x)cos(x)在[π,π]的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（）

6

10π7π

A.B.

96

4π3π

C.D.

32

y2

8.(x)(xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為（）

x

A.5B.10

C.15D.20

9.已知

(0,π)，且3cos28cos5，則sin（）

52

A.B.

33

15

C.D.

39

10.已知A,B,C為球O的球面上的三個點，⊙O1為ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，

ABBCACOO1，則球O的表面積為（）

A.64πB.48πC.36πD.32π

11.已知⊙M：x2y22x2y20，直線l：2xy20，P為l上的動點，過點P作⊙M的切

線PA,PB，切點為A,B，當(dāng)|PM||AB|最小時，直線AB的方程為（）

A.2xy10B.2xy10C.2xy10D.2xy10

ab

12.若2log2a42log4b，則（）

A.a2bB.a2bC.ab2D.ab2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2xy20,

13.若x，y滿足約束條件xy10,則z=x+7y的最大值為______________.

y10,

14.設(shè)a,b為單位向量，且|ab|1，則|ab|______________.

x2y2

15.已知F為雙曲線C:1(a0,b0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x

a2b2

軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為______________.

16.如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，ABAD3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，

則cos∠FCB=______________.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

的

17.設(shè){an}是公比不為1等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項．

（1）求{an}的公比；

（2）若a11，求數(shù)列{nan}的前n項和．

18.如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AEAD．ABC是底面的內(nèi)接

6

正三角形，P為DO上一點，PODO．

6

（1）證明：PA平面PBC；

（2）求二面角BPCE的余弦值．

19.甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽

的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；

當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、

1

乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，

2

（1）求甲連勝四場的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率.

x2

20.已知A、B分別為橢圓E：y21（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AGGB8，P為直

a2

線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

21.已知函數(shù)f(x)exax2x.

（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；

1

（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.

2

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計分。

[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

xcoskt,

22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)．以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸

xOyC1k(t)

ysint

為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4cos16sin30．

（1）當(dāng)k1時，C1是什么曲線？

（2）當(dāng)k4時，求C1與C2的公共點的直角坐標(biāo)．

[選修4—5：不等式選講]

23.已知函數(shù)f(x)|3x1|2|x1|．

（1）畫出yf(x)的圖像；

（2）求不等式f(x)f(x1)的解集．

絕密啟用前

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2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項：

1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷

上無效.

3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.若z=1+i，則|z2–2z|=（）

A.0B.1C.2D.2

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意首先求得z22z的值，然后計算其模即可.

22

【詳解】由題意可得：z21i2i，則z2z2i21i2.

2

故z2z22.

故選：D.

【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)的模的求解等知識，屬于基礎(chǔ)題.

2.設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）

A.–4B.–2C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意首先求得集合A,B，然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于a的方程，求解方程即可確定實數(shù)a的值.

【詳解】求解二次不等式x240可得：Ax|2x2，

a

求解一次不等式2xa0可得：Bx|x.

2

a

由于ABx|2x1，故：1，解得：a2.

2

故選：B.

【點睛】本題主要考查交集的運算，不等式的解法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正

方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為

（）

51515151

A.B.C.D.

4242

【答案】C

【解析】

【分析】

1

設(shè)CDa,PEb，利用PO2CDPE得到關(guān)于a,b的方程，解方程即可得到答案.

2

a2

【詳解】如圖，設(shè)CDa,PEb，則POPE2OE2b2，

4

2

21a1b2b

由題意POab，即b2ab，化簡得4()210，

242aa

b15

解得（負(fù)值舍去）.

a4

故選：C.

【點晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力，是一道容易題.

4.已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（）

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【解析】

【分析】

利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.

pp

【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知|AF|x12，即129，解得p=6.

A22

故選：C.

【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.

5.某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個不同的溫度

條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi,yi)(i1,2,,20)得到下面的散點圖：

由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類

型的是（）

A.yabxB.yabx2

C.yabexD.yablnx

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)散點圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.

【詳解】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近，

因此，最適合作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是yablnx.

故選：D.

【點睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.

6.函數(shù)f(x)x42x3的圖像在點(1，f(1))處的切線方程為（）

A.y2x1B.y2x1

C.y2x3D.y2x1

【答案】B

【解析】

【分析】

求得函數(shù)yfx的導(dǎo)數(shù)fx，計算出f1和f1的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.

【詳解】fxx42x3，fx4x36x2，f11，f12，

因此，所求切線的方程為y12x1，即y2x1.

故選：B.

【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題

π

7.設(shè)函數(shù)f(x)cos(x)在[π,π]的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（）

6

10π7π

A.B.

96

4π3π

C.D.

32

【答案】C

【解析】

【分析】

444

由圖可得：函數(shù)圖象過點,0，即可得到cos0，結(jié)合,0是函數(shù)fx圖象

9969

43

與x軸負(fù)半軸的第一個交點即可得到，即可求得，再利用三角函數(shù)周期公式即可

9622

得解.

4

【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過點,0，

9

4

將它代入函數(shù)fx可得：cos0

96

4

又,0是函數(shù)fx圖象與x軸負(fù)半軸的第一個交點，

9

43

所以，解得：

9622

224

T

所以函數(shù)fx的最小正周期為33

2

故選：C

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.

y2

8.(x)(xy)5的展開式中x3y3的系數(shù)為（）

x

A.5B.10

C.15D.20

【答案】C

【解析】

【分析】

2

5r5rry5

求得(xy)展開式的通項公式為Tr1C5xy（rN且r5），即可求得x與(xy)展開式

x

的乘積為r6rr或r4rr2形式，對分別賦值為，即可求得33的系數(shù)，問題得解

C5xyC5xyr31xy.

5r5rr

【詳解】(xy)展開式的通項公式為Tr1C5xy（rN且r5）

y2

所以x的各項與(xy)5展開式的通項的乘積可表示為：

x

22

r5rrr6rr和yyr5rrr4rr2

xTr1xC5xyC5xyTCxyCxy

xr1x55

在r6rr中，令，可得：333，該項中33的系數(shù)為，

xTr1C5xyr3xT4C5xyxy10

22

在yr4rr2中，令，可得：y133，該項中33的系數(shù)為

TCxyr1TCxyxy5

xr15x25

所以x3y3的系數(shù)為10515

故選：C

【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬

于中檔題.

9.已知

(0,π)，且3cos28cos5，則sin（）

2

A.5B.

33

1

C.D.5

39

【答案】A

【解析】

【分析】

用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角間的三角

函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】3cos28cos5，得6cos28cos80，

2

即3cos24cos40，解得cos或cos2（舍去），

3

5

又(0,),sin1cos2.

3

故選：A.

【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知A,B,C為球O的球面上的三個點，⊙O1為ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，

ABBCACOO1，則球O的表面積為（）

A.64πB.48πC.36πD.32π

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知可得等邊ABC的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長，得出OO1的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半

徑，即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)圓O1半徑為r，球的半徑為R，依題意，

得r24,r2，ABC為等邊三角形，

由正弦定理可得AB2rsin6023，

，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，

OO1AB23OO1ABC

2222，

OO1O1A,ROAOO1O1AOO1r4

球O的表面積S4R264.

故選：A

【點睛】

本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.已知⊙M：x2y22x2y20，直線l：2xy20，P為l上的動點，過點P作⊙M的切

線PA,PB，切點為A,B，當(dāng)|PM||AB|最小時，直線AB的方程為（）

A.2xy10B.2xy10C.2xy10D.2xy10

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識可知，四點A,P,B,M共圓，且ABMP，根據(jù)

可知，當(dāng)直線時，最小，求出以為直徑的圓的方程，

PMAB4SPAM4PAMPlPMABMP

根據(jù)圓系的知識即可求出直線AB的方程．

222112

【詳解】圓的方程可化為x1y14，點M到直線l的距離為d52，所

2212

以直線l與圓相離．

依圓的知識可知，四點A,P,B,M四點共圓，且ABMP，所以

1

，而2，

PMAB4SPAM4PAAM4PAPAMP4

2

當(dāng)直線時，，PA1，此時最?。?/p>

MPlMPmin5minPMAB

11

111yxx1

∴MP:y1x1即yx，由22解得，．

222y0

2xy20

所以以MP為直徑的圓的方程為x1x1yy10，即x2y2y10，

兩圓的方程相減可得：2xy10，即為直線AB的方程．

故選：D.

【點睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的

轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題．

ab

12.若2log2a42log4b，則（）

A.a2bB.a2bC.ab2D.ab2

【答案】B

【解析】

【分析】

x

設(shè)f(x)2log2x，利用作差法結(jié)合f(x)的單調(diào)性即可得到答案.

【詳解】設(shè)x，則為增函數(shù)，因為ab2b

f(x)2log2xf(x)2log2a42log4b2log2b

1

所以f(a)f(2b)2aloga(22blog2b)22blogb(22blog2b)log10，

222222

所以f(a)f(2b)，所以a2b.

2ab222bb222bb2，

f(a)f(b)2log2a(2log2b)2log2b(2log2b)22log2b

當(dāng)b1時，f(a)f(b2)20，此時f(a)f(b2)，有ab2

當(dāng)b2時，f(a)f(b2)10，此時f(a)f(b2)，有ab2，所以C、D錯誤.

故選：B.

【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中

檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2xy20,

13.若x，y滿足約束條件xy10,則z=x+7y的最大值為______________.

y10,

【答案】1

【解析】

【分析】

首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值.

【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

11

目標(biāo)函數(shù)zx7y即：yxz，

77

其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，

據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點A處取得最大值，

2xy20

聯(lián)立直線方程：，可得點A的坐標(biāo)為：A(1,0)，

xy10

據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：zmax1701.

故答案為：1．

【點睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值

最大，在y軸截距最小時，z值最??；當(dāng)b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸

上截距最小時，z值最大.

14.設(shè)a,b為單位向量，且|ab|1，則|ab|______________.

【答案】3

【解析】

【分析】

rr

2

整理已知可得：abab，再利用a,b為單位向量即可求得2ab1，對ab變形可得：

22

aba2abb，問題得解.

rr

【詳解】因為a,b為單位向量，所以ab1

222

所以ababa2abb22ab1

解得：2ab1

222

所以ababa2abb3

故答案為：3

【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

x2y2

15.已知F為雙曲線C:1(a0,b0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x

a2b2

軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為______________.

【答案】2

【解析】

【分析】

b2

根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，BF，AFca，即可根據(jù)斜率列出等式求解即可．

a

xc

xc

x2y22

【詳解】聯(lián)立，解得2，所以b

221bBF.

abya

222a

abc

b2

BF22

依題可得，3，AFca，即aca，變形得ca3a，c2a,

AF3

caaca

因此，雙曲線C的離心率為2.

故答案為：2．

【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

16.如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，ABAD3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，

則cos∠FCB=______________.

1

【答案】

4

【解析】

【分析】

在△ACE中，利用余弦定理可求得CE，可得出CF，利用勾股定理計算出BC、BD，可得出BF，然

后在△BCF中利用余弦定理可求得cosFCB的值.

【詳解】ABAC，AB3，AC1，

由勾股定理得BCAB2AC22，

同理得BD6，BFBD6，

在△ACE中，AC1，AEAD3，CAE30，

3

由余弦定理得CE2AC2AE22ACAEcos30132131，

2

CFCE1，

在△BCF中，BC2，BF6，CF1，

CF2BC2BF21461

由余弦定理得cosFCB.

2CFBC2124

1

故答案為：.

4

【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列，a1為a2，a3的等差中項．

（1）求{an}的公比；

（2）若a11，求數(shù)列{nan}的前n項和．

1(13n)(2)n

【答案】（1）2；（2）S.

n9

【解析】

【分析】

（1）由已知結(jié)合等差中項關(guān)系，建立公比q的方程，求解即可得出結(jié)論；

（2）由（1）結(jié)合條件得出{an}的通項，根據(jù){nan}的通項公式特征，用錯位相減法，即可求出結(jié)論.

【詳解】（1）設(shè){an}的公比為q，a1為a2,a3的等差中項，

2，

2a1a2a3,a10,qq20

q1,q2；

（）設(shè)的前項和為，n1，

2{nan}nSna11,an(2)

2n1，

Sn112(2)3(2)n(2)①

23n1n，

2Sn1(2)2(2)3(2)(n1)(2)n(2)②

得，2n1n

①②3Sn1(2)(2)(2)n(2)

1(2)n1(13n)(2)n

n(2)n，

1(2)3

1(13n)(2)n

S.

n9

【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算、等差中項的性質(zhì)，以及錯位相減法求和，考查計算求

解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AEAD．ABC是底面的內(nèi)接

6

正三角形，P為DO上一點，PODO．

6

（1）證明：PA平面PBC；

（2）求二面角BPCE的余弦值．

25

【答案】（1）證明見解析；（2）.

5

【解析】

【分析】

（1）要證明PA平面PBC，只需證明PAPB，PAPC即可；

（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面PCB的法

nm

向量為n，平面PCE的法向量為m，利用公式cosm,n計算即可得到答案.

|n||m|

【詳解】（1）由題設(shè)，知△DAE為等邊三角形，設(shè)AE1，

31162

則DO，COBOAE，所以PODO，

22264

66

PCPO2OC2,PBPO2OB2,

44

BA3

又ABC為等邊三角形，則2OA，所以BA，

sin602

3

PA2PB2AB2，則APB90，所以PAPB，

4

同理PAPC，又PCPBP，所以PA平面PBC；

（2）過O作ON∥BC交AB于點N，因為PO平面ABC，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸，ON為y軸建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

121313

則E(,0,0),P(0,0,),B(,,0),C(,,0)，

244444

13213212

PC(,,)，PB(,,)，PE(,0,)，

44444424

設(shè)平面的一個法向量為，

PCBn(x1,y1,z1)

nPC0x13y12z10

由，得，令x2，得z1,y0，

111

nPB0x13y12z10

所以n(2,0,1)，

設(shè)平面的一個法向量為

PCEm(x2,y2,z2)

mPC0x23y22z203

由，得，令x21，得z2,y，

22

mPE02x22z203

3

所以m(1,,2)

3

nm2225

cosm,n

故|n||m|105，

3

3

25

設(shè)二面角BPCE的大小為，則cos.

5

【點晴】本題主要考查線面垂直的證明以及利用向量求二面角的大小，考查學(xué)生空間想象能力，數(shù)學(xué)運算

能力，是一道容易題.

19.甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽

的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；

當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、

1

乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，

2

（1）求甲連勝四場的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率.

137

【答案】（1）；（2）；（3）.

16416

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)獨立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；

（2）計算出四局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（3）列舉出甲贏的基本事件，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率

和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.

4

11

【詳解】（1）記事件M:甲連勝四場，則PM；

216

（2）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，

則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為

4

11

PPABABPACACPBCBCPBABA4，

24

3

所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為P1P；

4

（3）記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，

記事件M:甲贏，記事件N:丙贏，

則甲贏的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、

BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，

45

119

所以，甲贏的概率為PM7.

2232

由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，

97

所以丙贏的概率為PN12.

3216

【點睛】本題考查獨立事件概率的計算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計算能力，屬

于中等題.

x2

20.已知A、B分別為橢圓E：y21（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AGGB8，P為直

a2

線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

x2

【答案】（1）y21；（2）證明詳見解析.

9

【解析】

【分析】

（1）由已知可得：Aa,0，Ba,0，G0,1，即可求得AGGBa21，結(jié)合已知即可求得：a29，

問題得解.

y0

（2）設(shè)P6,y0，可得直線AP的方程為：yx3，聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程即可求得點C

9

3y2276y3y232y

的坐標(biāo)為00，同理可得點的坐標(biāo)為00，當(dāng)2時，可表示出直

2,2D2,2y03

y09y09y01y01

4y033

線的方程，整理直線的方程可得：yx即可知直線過定點，當(dāng)2時，

CDCD2,0y03

33y022

33

直線CD：x，直線過點,0，命題得證.

22

【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：

x2

由橢圓方程E:y21(a1)可得：Aa,0，Ba,0，G0,1

a2

AGa,1，GBa,1

AGGBa218，a29

x2

橢圓方程為：y21

9

（2）證明：設(shè)P6,y0，

y00y

則直線AP的方程為：yx3，即：y0x3

639

2

x2

y1

9

聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得：，整理得：

y

y0x3

9

3y227

222