專題05 截長補短模型（原卷版）

專題05截長補短模型【模型說明】【例題精講】例1．（基本模型）如圖①，和是等腰三角形，且，，，，以為頂點作一個角，角的兩邊分別交邊，于點、，連接．（1）探究、、之間的關系，并說明理由；（2）若點、分別在、CA延長線上，其他條件不變，如圖②所示，則、、之間存在什么樣的關系？并說明理由．例2.（培優(yōu)綜合）如圖1，在四邊形中，，，它的兩邊分別交點．且．求證：如圖2，當的兩邊分別交的延長線于點，其余條件均不變時，中的結論是否成立？如果成立，請證明．如果不成立，線段又有怎樣的數量關系？并證明你的結論．例3．（培優(yōu)綜合）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點E是直線BC上的動點．（1）如圖1，當點E在CB的延長線上時，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數為．（2）如圖2，AC＞AB，點P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數（要求：畫圖，寫思路，求出度數）．【變式訓練1】如圖，已知中，，D為上一點，且，則的度數是_________．【變式訓練2】在四邊形中，是邊的中點．

（1）如圖（1），若平分，，則線段、、的長度滿足的數量關系為______；（直接寫出答案）（2）如圖（2），平分，平分，若，則線段、、、的長度滿足怎樣的數量關系？寫出結論并證明．【課后作業(yè)】1．如圖，為等邊三角形，若，則__________（用含的式子表示）．2．如圖，正方形中，是的中點，交外角的平分線于．

（1）求證：；（2）如圖，當是上任意一點，而其它條件不變，是否仍然成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．3．如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動點，且．求證：．4．如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關于直線AP對稱，E是線段BD與直線AP的交點．（1）若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形；（2）連CE，求證：BE＝AE+CE．5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點D，過D作DE⊥BA于點E，點F在AC上，且BD＝DF．（1）求證：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線段BE的長．6．如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．7．如圖，△ABC為等邊三角形，直線l過點C，在l上位于C點右側的點D滿足∠BDC＝60°（1）如圖1，在l上位于C點左側取一點E，使∠AEC＝60°，求證：△AEC≌△CDB；（2）如圖2，點F、G在直線l上，連AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求證：HG+B