全等三角形總復(fù)習(xí)

關(guān)于全等三角形總復(fù)習(xí)一、全等三角形1.什么是全等三角形？一個(gè)三角形經(jīng)過哪些變化可以得到它的全等形？2：全等三角形有哪些性質(zhì)？能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。一個(gè)三角形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)可以得到它的全等形（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。（2）全等三角形的周長(zhǎng)相等、面積相等。（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高線分別相等。第2頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.全等三角形的判定:

①一般三角形全等的判定：SAS、ASA、AAS、SSS②直角三角形全等的判定：

SAS、ASA、AAS、SSS、HL第3頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天一般三角形

全等的條件：1.定義（重合）法；2.SSS；3.SAS；4.ASA；5.AAS.直角三角形全等特有的條件：HL.包括直角三角形不包括其它形狀的三角形解題中常用的4種方法第4頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.三角形全等的證題思路：①②③第5頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.證明兩個(gè)三角形全等，要結(jié)合題目的條件和結(jié)論，選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?.全等三角形，是證明兩條線段或兩個(gè)角相等的重要方法之一，證明時(shí)

①要觀察待證的線段或角，在哪兩個(gè)可能全等的三角形中。

②分析要證兩個(gè)三角形全等，已有什么條件，還缺什么條件。

③有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊，有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角，有對(duì)頂角，對(duì)頂角也是對(duì)應(yīng)角總之，證明過程中能用簡(jiǎn)單方法的就不要繞彎路。

第6頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天例題選講1：如圖，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么補(bǔ)充下列一具條件后，仍無(wú)法判定△ABE≌△ACD的是()A．AD=AEB．∠AEB=∠ADCC．BE=CDD．AB=ACB第7頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天2：已知：如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于O點(diǎn)，∠1=∠2，圖中全等的三角形共有()A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)D第8頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天3.如圖：在△ABC中，∠C=900，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，則DE=

。12cABDE第9頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天4已知：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求證：BC=AD.ABCD第10頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天5:下面條件中,不能證出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是[](A.)AC=A'C',BC=B'C'(B.)AB=A'B',AC=A'C'(C.)AB=B'C',AC=A'C'(D.)∠B=∠B',AB=A'B'C

第11頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天6：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D、E，AD、CE交于點(diǎn)H，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：

，使△ADB≌△CEB。BE=BDBA=BCDA=EC第12頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天7：求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊之和的一半。已知：如圖，AD是△ABC的中線，求證：ABCDE證明：中線延長(zhǎng)它一倍第13頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天課堂練習(xí)1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、DF分別垂直于AB及AC交延長(zhǎng)線于E、F，求證：DE＝DF┏┏第14頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.點(diǎn)A、F、E、C在同一直線上，AF＝CE，BE=DF，BE∥DF，求證：AB∥CD。證明：第15頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上求證：BE=AD

EDCAB證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中

AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD第16頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

EDCAB3.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上求證：BE=AD變式：以上條件不變，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，以上的結(jié)論還成立嗎？當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°時(shí)，第17頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上求證：BE=AD變式：以上條件不變，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，以上的結(jié)論還成立嗎？當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，EDCAB第18頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上求證：BE=AD變式：以上條件不變，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，以上的結(jié)論還成立嗎？當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°時(shí)，EDCAB第19頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上求證：BE=AD變式：以上條件不變，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，以上的結(jié)論還成立嗎？當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°時(shí)，EDCAB第20頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

3.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上求證：BE=AD變式：以上條件不變，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，以上的結(jié)論還成立嗎？當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°時(shí)，EDCAB第21頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，當(dāng)△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ɑ時(shí)，連接BE，DA；結(jié)論BE=AD還成立嗎？若成立請(qǐng)加以證明。EDCABEDCABα﹙第22頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天引申：.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上，AC與BE相交于M，CE與AD相交于N，試判定△ＣＭＮ的形狀

EDCABMN解：△ＣＭＮ是等邊三角形證明：（１）先證∠ACE＝６０°（２）證明△BCE≌△ACD→∠BEC＝∠ADC（３）在證△MCE≌△NCD→CM=CN第23頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天5：如圖，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD嗎？為什么？4321EDCBA解：AC=AD理由：在△EBC和△EBD中

∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中

AB=AB

∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)

∴AC=AD第24頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天6：如圖，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。請(qǐng)問圖中有那幾對(duì)全等三角形？請(qǐng)任選一對(duì)給予證明。FEDCBA答：△ABC≌△DEF證明：∵AB∥DE∴∠A=∠D∵AF=DC∴AF+FC=DC+FC∴AC=DF在△ABC和△DEF中

AC=DF∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（SAS）第25頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天7：如圖，已知，EG∥AF，請(qǐng)你從下面三個(gè)條件中，再選出兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，推出一個(gè)正確的命題。（只寫出一種情況）①AB=AC②DE=DF③BE=CF

已知：EG∥AF

求證：GFEDCBA高第26頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天8.如圖，在等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，（不是中點(diǎn)）且AD＝BE＝CF，圖中全等三角形有那些？解：共六個(gè)AFEDC

BGIH△ＡＤＧ≌△BEH≌△CFI△ＡBH≌△BCI≌△CAG△ＡBE≌△BCF≌△CAD△ＡHF≌△BID≌△CGE△ＡBF≌△BCD≌△CAE第27頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天8引申如圖，在等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，（不是中點(diǎn)）且△DEF也是等邊三角形，圖中（１）除已知相等的邊外，還有那些相等的線段？（２）你所證明的相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程解：（１）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）這些相等的線段可以看出平移旋轉(zhuǎn)而得到，如AE和BF，把AE繞這A點(diǎn)沿順時(shí)針方向選旋轉(zhuǎn)６０°，，再沿著AB方向平移使點(diǎn)A至點(diǎn)F即可得到BF，其余類同AFEDC

B第28頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天8引申如圖，在等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，（不是中點(diǎn)）且△DEF也是等邊三角形，圖中（１）除已知相等的邊外，還有那些相等的線段？（２）你所證明的相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程解：（１）AE=BF=CDAF=BD=CE（2）這些相等的線段可以看出平移旋轉(zhuǎn)而得到，如AE和BF，把AE繞這A點(diǎn)沿順時(shí)針方向選旋轉(zhuǎn)６０°，，再向下然后再向左平移使點(diǎn)A至點(diǎn)F即可得到BF，其余類同AFEDC

B第29頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天９.閱讀理解（１）如果兩個(gè)三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)?閱讀：我們知道，兩邊及其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，那么在什么情況下，它們會(huì)全等。（２）如果兩個(gè)三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)龋ǎ常┤绻麅蓚€(gè)三角形均為銳角三角形，可證它們?nèi)?證明：請(qǐng)你從（２）（３）選擇一個(gè)加以證明（３）如果兩個(gè)三角形均為銳角三角形，可證它們?nèi)纫阎骸鰽BC和△A′B′C′均為銳角△，且AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，求證：△ABC≌△A′B′C′，A′

B′

C′

D

A

B

C

第30頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天已知：△ABC和△A′B′C′均為銳角△，且AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′，求證：△ABC≌△A′B′C′，A′

B′

C′

D′

A

B

C

D

證明：分別作B，B′兩點(diǎn)作BD⊥CA于D，B′D′⊥C′A′于D，先證：△ABD≌△A′B′D′

再證：△ABC≌△A′B′C′

（3）由此你得出一個(gè)什么結(jié)論：結(jié)論：兩邊及其中一邊的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)銳角（直角三角形或者鈍角三角形）三角形是全等三角形第31頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天10已知命題：如圖點(diǎn)A，D，B，E在同一條直線上，且AD＝BE，∠A=∠FDE，則△ABC≌DEF，判定這個(gè)命題是真命題還是假命題，如果是真命題請(qǐng)加以證明；如果是假命題，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使它稱為真命題，并加以證明A

F

C

E

D

B

解答：題設(shè)命題是假命題；可以下添加一個(gè)條件均可證明三角形全等（1）當(dāng)AC＝DF（２）∠CBA＝∠E（３）∠C＝∠F證明：略第32頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天1１已知：如圖線段AC與BD相交與點(diǎn)O，連接AB，DC，E為OB的中點(diǎn)，F(xiàn)為OC的中點(diǎn)，連接EF；A

B

C

D

O

F

E

（1）添加條件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求證：AB＝DC（２）分別將∠A＝∠D記為①；∠OEF＝∠OFE記為②；AB=DC記為③；添加條件①③，以②為結(jié)論構(gòu)成命題1；添加條件②③，以①為結(jié)論構(gòu)成命題2，命題1是——命題；命題2是——命題（選“真”或“假”）證明：（1）略（２）命題1為真命題；可以AAS證明；命題2是假命題，此命題的條件為SSA，不能證明全等第33頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天13已知點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，且AE＝CF，過E

F兩點(diǎn)分別作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，（１）求證：BD平分EF（2）若將△DEC的邊EC沿AC方向移動(dòng)，變化為2時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論是否成立，說明理由A

D

B

C

E

F

G

圖1A

D

B

C

E

F

G

圖2第34頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天E

證明：在DC上截取DE＝DB，連接AE

A

C

D

B

·

１４。如圖在三角形ABC中，BC上的高為AD，且∠B=2∠C求證：CD=AB＋BD第35頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天15已知△AFD和△CEB中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，有如下四個(gè)論斷：（1）AD＝CB（２）AE＝CF（3）∠B=∠D（4)AD//BC,請(qǐng)用其中三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，編一道數(shù)學(xué)問題，并寫出解答過程。其中①的組合是錯(cuò)誤的，無(wú)法證明A

B

C

E

F

D

解：①由（1）（2）（3）為條件（4）為結(jié)論②由（1）（2）（4）為條件（3）為結(jié)論③由（1）（3）（4）為條件（2）為結(jié)論④由（2）（3）（4）為條件（1）為結(jié)論下面我們以④為例寫出已知，求證，并進(jìn)行證明已知：AE＝CF，∠B=∠D，AD//BC求證：AD=BC證明：略第36頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天16在正方形ABCD中，E是AD是中點(diǎn)，F(xiàn)是BA的延長(zhǎng)線的一點(diǎn)，AF=AE，已知△ABE≌△ＡＤＦ（１）在圖中可以通過平移，翻折，旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法，使△ABE變到△ＡＤＦ的位置FEDCBA（２）線段BE與DF有什么位置關(guān)系？證明你的結(jié)論解：圖中通過繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)９０°，使△ABE變到△ＡＤＦ的位置（圖１）理由：延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)G，F(xiàn)EDCBAG∵△ABE≌△ＡＤＦ∴∠ABE=∠ADF又∵∠AEB=∠DEG∴∠DGB=∠DAB＝９０°∴BE⊥DF第37頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天17。如圖在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點(diǎn)A的一條直線，且B

C兩點(diǎn)在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于點(diǎn)E求證：（１）ＢＤ=DE+CECBAED┗┗提示證明：△ABD≌△ACE（AAS）證明：第38頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天17。如圖在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點(diǎn)A的一條直線，且B

C兩點(diǎn)在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于點(diǎn)E求證：（１）ＢＤ=DE+CECBAED┗┗（２）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到右圖位置時(shí)，（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需證明提示證明：△ABD≌△ACE（AAS）得到BD=DE-CE第39頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天17。如圖在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點(diǎn)A的一條直線，且B

C兩點(diǎn)在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于點(diǎn)E求證：（１）ＢＤ=DE+CECBAED┗┗（２）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到右圖位置時(shí)，（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需證明（３）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到右圖位置時(shí)，（BD＞CE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需證明提示證明：△ABD≌△ACE（AAS）得到BD=DE-CE第40頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天17。如圖在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過點(diǎn)A的一條直線，且B

C兩點(diǎn)在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于點(diǎn)E求證：（１）ＢＤ=DE+CECBAED┗┗（２）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到右圖位置時(shí)，（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需證明（３）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到右圖位置時(shí)，（BD＞CE），其余條件不變，問BD與DE和CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需證明（４）歸納（１）（２）（３）請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言表達(dá)BD，DE和CE的關(guān)系歸納：當(dāng)B，C在AE的異側(cè)時(shí)，BD＝DE+CE；當(dāng)B，C在AE的同側(cè)時(shí)，BD=DE-CE第41頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天拓展題1.如圖,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EFBCAFED第42頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.已知AB=AE,AC=AD,AC⊥AD,AB⊥AE;ECAB21D(2)怎樣變換△ABC和△AED中的一個(gè)位置,可使它們重合?(3)觀察△ABC和△AED中對(duì)應(yīng)邊有怎樣的位置關(guān)系?(4)試證ED⊥BC(1)觀察圖中有沒有全等三角形?第43頁(yè),共49