《第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》《4. 2. 2 指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)》教案

《第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》

《4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)》教案

【教材分析】

本節(jié)課在已學(xué)指數(shù)函數(shù)的概念，接著研究指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，從而深化

學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解，并且了解較為全面的研究函數(shù)的方法，為以后在研究對(duì)

數(shù)函數(shù)募函數(shù)等其它函數(shù)打下基礎(chǔ)。另外，我們?nèi)粘Ｉ钪械暮芏喾矫娑忌婕暗?/p>

了指數(shù)函數(shù)的知識(shí)，例如細(xì)胞分裂，放射性物質(zhì)衰變，貸款利率等，所以學(xué)習(xí)這

一節(jié)具有很大的現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)

1、掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用函數(shù)的能力；

2、通過觀察圖象，分析、歸納、總結(jié)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

3、在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值并養(yǎng)成勇于探索的良好習(xí)

慣.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；

2.邏輯推理：圖像平移問題；

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求函數(shù)的定義域與值域；

4.數(shù)據(jù)分析：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較兩個(gè)函數(shù)值的大?。?/p>

5.數(shù)學(xué)建模：通過由抽象到具體，由具體到一般的數(shù)形結(jié)合思想總結(jié)指數(shù)函

數(shù)性質(zhì).

【教學(xué)重難點(diǎn)】

重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)；

難點(diǎn)：對(duì)底數(shù)的分類，如何由圖象、解析式歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

【教學(xué)方法】：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

【教學(xué)過程】

一、情景導(dǎo)入

請(qǐng)學(xué)生用三點(diǎn)畫圖法畫y=2。y=(±)，圖像，觀察兩個(gè)函數(shù)圖像猜測(cè)指數(shù)函

數(shù)有哪些性質(zhì)？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本H6-117頁，思考并完成以下問題

1.結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象，可歸納出指數(shù)函數(shù)具有哪些性質(zhì)？

2.指數(shù)函數(shù)的圖象過哪個(gè)定點(diǎn)？如何求指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域問題？

要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>\0<QV1

圖象

(1)定義域：R

(2)值域：(0,+oo)

性質(zhì)

(3)過點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)y=l

(4)在H上是增函數(shù)(4)在H上是減函數(shù)

四、典例分析、舉一反三

題型一指數(shù)函數(shù)的圖象問題

題點(diǎn)一：指數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題

例1函數(shù)y=a*T+3(a>0,且aWl)的圖象過定點(diǎn).

【答案】(3,4)

【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=a*(a>0,且aWl)的圖象過定點(diǎn)(0,1),所以在

函數(shù)y=a'T+3中，令x—3=0,得x=3,止匕時(shí)y=l+3=4,即函數(shù)y=a*T+3

的圖象過定點(diǎn)(3,4).

題點(diǎn)二：指數(shù)型函數(shù)圖象中數(shù)據(jù)判斷

例2函數(shù)f(x)=axf的圖象如圖所示，其中a,b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確

的是()

A.a>l,b<0B.a>l,b>0

C.0<a<l,b>0D.0<a<l,b<0

【答案】D

【解析】從曲線的變化趨勢(shì)，可以得到函數(shù)f(x)為減函數(shù),從而有OVaVl；

從曲線位置看，是由函數(shù)y=aX(O<aVl)的圖象向左平移I—b|個(gè)單位長(zhǎng)度得至U，

所以一b>0,即b<0.

題點(diǎn)三：作指數(shù)型函數(shù)的圖象

例3畫出下列函數(shù)的圖象，并說明它們是由函數(shù)f(x)=才的圖象經(jīng)過怎樣

的變換得到的.

(l)y=2x+l；(2)y=-2x.

【答案】見解析

【解析】如圖.(l)y=2*+l的圖象是由丫=2*的

圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的；

(2)y=—才的圖象與y=2x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.

解題技巧：(指數(shù)函數(shù)的圖像問題)

1.指數(shù)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象的相對(duì)位置與底數(shù)大小的關(guān)系：

在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小;在y軸左側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)

的底數(shù)由小變大.

無論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a如何變化,指數(shù)函數(shù)丫=a*(a>0,且aWl)的圖象與直線

x=l相交于點(diǎn)(1,a),因此,直線x=l與各圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為底數(shù)，由此可得底

數(shù)的大小.

2.因?yàn)楹瘮?shù)y=ax的圖象恒過點(diǎn)(0,1),所以對(duì)于函數(shù)f(x)=kag(x)+b(k,a,b

均為常數(shù),且k關(guān)0,a>0,且aWl).若g(m)=0,則f(x)的圖象過定點(diǎn)(m,k+b).

3.指數(shù)函數(shù)y=ax與y=G)(a>0,且aWl)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

4.處理函數(shù)圖象問題的常用方法:一是抓住圖象上的特殊點(diǎn)；二是利用圖象

的變換;三是利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.

跟蹤訓(xùn)練一

1、如圖是指數(shù)函數(shù):①y=a；②丫+,③y=c\④②丁十③

丫=#的圖象，則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是()/

A.a<b<Kc<dB,b<a<l<d<c

C.l<a<b<c<dD.a<b<l<d<c----/

2、已知函數(shù)f(x)=a'”+3的圖象一定過點(diǎn)P,I

則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

3、函數(shù)y=(g)w的圖象有什么特征?你能根據(jù)圖象指出其值域和單調(diào)區(qū)間嗎?

【答案】LB2.(-1,4)3.原函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.由圖象可知值域是

(0,1],單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,0],單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+8).

【解析】1、解析：(方法一)①②中函數(shù)的底數(shù)小于1且大于0,在y軸右邊,

底數(shù)越小，圖象

向下越靠近x軸,故有b〈a,③④中函數(shù)的底數(shù)大于1,在y軸右邊,底數(shù)越大,

圖象向上越靠近y軸,故有d<c.故選B.

(方法二)作直線x=l,與函數(shù)①,②,③,④的圖象分別交于A,B,C,D四點(diǎn)，

將x=l代入各個(gè)函數(shù)可得函數(shù)值等于底數(shù)值，①,斗產(chǎn)④

所以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大,則對(duì)應(yīng)函數(shù)的底數(shù)越大.

由圖可知b<a<l<d<c,故選B.二

'1x

答案:B

2、解析:*.*當(dāng)x+l=0,即x=-l時(shí),f(x)=a°+3=4恒成立,故函數(shù)f(x)=ax+1+3恒

過(T,4)點(diǎn).vi

??.其圖象由y=Q)X(xNO)和y=2x(x<0)的圖象合并而成.

而y=g)(x〉0)和y=2x(x<0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以原函數(shù)的圖象關(guān)于y

軸對(duì)稱.由圖象可知值域是(0,1],單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,0],單調(diào)遞減區(qū)間是

(0,+8).

題型二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

題點(diǎn)一：比較兩個(gè)函數(shù)值的大小

例4比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?/p>

(1)1.72-5與I/

(2)0.8一企與0.8一6

(3)1.7.與0.9―

【答案】(1)1.7*<1.7“2)0.8一在V0.8一百(3)1.7°-3>0.931

【解析】⑴(單調(diào)性法)由于11—與1.73的底數(shù)是1,7,故構(gòu)造函數(shù)y=l.V,

而函數(shù)yn.7”在R上是

增函數(shù).又2.5<3,：A.72-5<l.73

(2)(單調(diào)性法)由于0.8-四與0.8-8的底數(shù)是0.8,故構(gòu)造函數(shù)y=0.8,而函數(shù)

y=0.8”在R上是減函數(shù).又-友>-6,所以0.8-四<0.8-遮

(3)(中間量法)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知0.931<0.9°=1,1.7°-3>1.7°=1,則

1,703>0,931

題點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的定義域與值域問題

例5求下列函數(shù)的定義域與值域

⑴y=2上;(2)y=(|)"|x|.

【答案】(1)定義域?yàn)椋鹸|x?R,且xW4｝，值域?yàn)?0,1)U(1,+8).

(2)定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇1,+8).

【解析】⑴,由X-4W0,得xW4,

.,?函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|xGR,且xW4｝.??.2HWL.?.y=2一的值域

x-4

為(0,1)U(1,+8).

⑵函數(shù)的定義域?yàn)镽.1x1河.5(1)-"=◎">

故y=(§”的值域?yàn)閇1,+8).

解題技巧：(指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用)

1.函數(shù)y=af⑻(a>0,且aWl)的定義域、值域:

⑴定義域的求法.函數(shù)y=a，3的定義域與y=f(x)的定義域相同.

(2)函數(shù)y=a""的值域的求法如下.

①換元,令t=f(x);

②求t=f(x)的定義域x?D;

③求t=f(x)的值域tGM;

④利用y=al的單調(diào)性求y=al(t￡M)的值域.

2.比較累的大小的常用方法：

比

個(gè)

兩

較

<的

大

小

大

小

較

比

跟蹤訓(xùn)練二

1、比較下面兩個(gè)數(shù)的大小：

(aT)-與(aT)2"(a〉l,且aW2).

2、比較下列各題中兩個(gè)值的大小：

①2.53,2.55-7;

②k，削

③2.3-028,0.67cl.

【答案】1.當(dāng)a>2時(shí)，(a-1嚴(yán)<(a-l產(chǎn);當(dāng)"a〈2時(shí)，(aT)(aT)*

2.①2.53<2,5".?②1.5々〉(3.③2.3^28<0.677

【解析】1、因?yàn)閍〉l,且aW2,所以a-l〉0,且aTWl,

若a-l>l,即a>2,則y=(a-L),是增函數(shù)，(aT)1%(aT)”

若0<a-Kl,即Ka<2,則丫=6-1廠是減函數(shù),，6-1嚴(yán)>6-1產(chǎn).

故當(dāng)a>2時(shí)，（a-l）L3<（a-l）z4;

當(dāng)l〈a〈2時(shí)，（aT）g〉（aT）”

2.①（單調(diào)性法）由于2.5^與2.5"的底數(shù)是2.5,故構(gòu)造函數(shù)y=2.5\而函數(shù)

y=2.5、在R上是增函數(shù).

又3<5,7,A2.53<2.5力

②（化同底）1.5三（|[=圖[俱Y=[（|）3]4=（|廣,構(gòu)造函數(shù)遙）：

VO<|<1,.，.y=（|）XaR上是減函數(shù).又7<12,即1.5-7嗚廣

③（中間量法）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知2.3"8<2.3°=1,0.67-31>0.67°=1,則

3-O-28<O.67-31.

五、課堂小結(jié)

讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧

六、板書設(shè)計(jì)

4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.指數(shù)函數(shù)圖像例1例2例3

2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例4例5

七、作業(yè)

課本118頁習(xí)題4.2

【教學(xué)反思】

本節(jié)通過運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用解決相關(guān)問題，側(cè)重用實(shí)操，培養(yǎng)學(xué)生

的邏輯思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

《4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

知識(shí)目標(biāo)

1、掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用函數(shù)的能力;

2、通過觀察圖象，分析、歸納、總結(jié)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì);

3、在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值并養(yǎng)成勇于探索的良好習(xí)

慣.

核心素養(yǎng)

1.數(shù)學(xué)抽象指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì);

2.邏輯推理圖像平移問題;

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算求函數(shù)的定義域與值域;

4.數(shù)據(jù)分析利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較兩個(gè)函數(shù)值的大小:

5.數(shù)學(xué)建模通過由抽象到具體，由具體到一般的數(shù)形結(jié)合思想總結(jié)指數(shù)函

數(shù)性質(zhì).

【重點(diǎn)與難點(diǎn)】

重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì);

難點(diǎn)：對(duì)底數(shù)的分類，如何由圖象、解析式歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

【學(xué)習(xí)過程】

一、預(yù)習(xí)導(dǎo)入

閱讀課本H1T13頁，填寫。

1.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

【小試牛刀】

1.函數(shù)尸（小一1），在R上是（

A.增函數(shù)B.奇函數(shù)

C.偶函數(shù)D.減函數(shù)

2.函數(shù)尸2r的圖象是()

3.函數(shù)￡&)=2工+3的值域?yàn)橐?/p>

【自主探究】

題型一指數(shù)函數(shù)的圖象問題

題點(diǎn)一：指數(shù)型函數(shù)過定點(diǎn)問題

例1函數(shù)y=a*T+3(a>0,且aWl)的圖象過定點(diǎn)

題點(diǎn)二：指數(shù)型函數(shù)圖象中數(shù)據(jù)判斷

例2函數(shù)f(x)=aL°的圖象如圖所示，其中a,b為常

數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.a>l,b<0B.a>l,b>0

C.0<a<l,b>0D.0<a<l,b<0

題點(diǎn)三：作指數(shù)型函數(shù)的圖象

例3畫出下列函數(shù)的圖象，并說明它們是由函數(shù)￡&)=才的圖象經(jīng)過怎樣

的變換得到的.

⑴y=2、+l；(2)y=-2*.

跟蹤訓(xùn)練一

］、如圖是指數(shù)函數(shù):①y=a；②y=b*,③y=c；④y=d'的圖象,貝|a,b,c,d與］

的大小關(guān)系是()

A.a<b<l<c<dB.b<a<Kd<c

C.l<a<b<c<dD.a<b<l<d<c

2、已知函數(shù)f(x)=a*，3的圖象一定過點(diǎn)P,

則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

3、函數(shù)y=(；/的圖象有什么特征?你能根據(jù)圖象指出其值域和單調(diào)區(qū)間

嗎？

題型二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

題點(diǎn)一：比較兩個(gè)函數(shù)值的大小

1.725與170.8-點(diǎn)與0.8一有

例4比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?/p>

(1)1.725與1.73

(2)0.8-e與0.8-遮

(3)1.7—與oyi

題點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的定義域與值域問題

例5求下列函數(shù)的定義域與值域

⑴y=2專;(2)y=(|y|x|.

跟蹤訓(xùn)練二

1、比較下面兩個(gè)數(shù)的大?。?/p>

(aT)「3與(aT)2"(a>l,且aW2).

2、比較下列各題中兩個(gè)值的大小：

①2.53,2.56-7;

②⑸①

③2.3-0-28,0.67~。

【課堂檢測(cè)】

1.函數(shù)/(%)=屋+1+2(a>0且awl)的圖象恒過定點(diǎn)()

A.(0,3)B.(1,3)C.(-1,2)D.(-1,3)

._____x

2.設(shè)函數(shù)f(x)=4^不，則函數(shù)f(7)的定義域?yàn)?)

A.(—8,4]B.1巴/C.(0,4]D.[o,；

3.設(shè)a=0.6°3,b=0.3。6,C=0.3°-3,則a,4c的大小關(guān)系為()

A.b<-a<-cB.a<-c<bC.b<c<aD.c<-b<a

4.已知函數(shù)/1(x)=a，+力(a>0,aWl)的定義域和值域都是[-1,0],則a

+b=.

5.不等式22,一一<1耳的解集為.

6.已知函數(shù)/(X)=2,T。

(1)求函數(shù)〃x)的定義域；

(2)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，并證明；

(3)解不等式/(無)24。

答案

小試牛刀

1.D2.B3.(3,+8)

自主探究

例1【答案】(3,4)

【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=a*(a>0,且aWl)的圖象過定點(diǎn)(0,1),所以在

函數(shù)y=a'T+3中，令x—3=0,得x=3,止匕時(shí)y=l+3=4,即函數(shù)y=a'T+3

的圖象過定點(diǎn)(3,4).

例2【答案】D

【解析】從曲線的變化趨勢(shì)，可以得到函數(shù)f(x)為減函數(shù),從而有0<a<l；

從曲線位置看，是由函數(shù)y=a，(O<a<l)的圖象向左平移I—b1個(gè)單位長(zhǎng)度得至IJ,

所以一b>0,即b<0.

例3【答案】見解析

【解析】如圖.(l)y=2*+l的圖象是由y=2”的圖象向上平移1個(gè)單位

長(zhǎng)度得到的；

(2)y=—2，的圖象與y=2”的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱.

跟蹤訓(xùn)練一

【答案】1.B2.（-1,4）3.原函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.由圖象可

知值域是（0,1],單調(diào)遞增區(qū)間是（-8,0],單調(diào)遞減區(qū)間是（0,+8）.

【解析】1、（方法一）①②中函數(shù)的底數(shù)小于1且大于0,在y軸右邊，底數(shù)

越小，圖象

向下越靠近x軸,故有b〈a,③④中函數(shù)的底數(shù)大于1,在y軸右邊,底數(shù)越大,

圖象向上越靠近y軸，故有d<c.故選B.

（方法二）作直線x=l,與函數(shù)①,②,③,④的圖象分別交于A,B,C,D四點(diǎn),

將x=l代入各個(gè)函數(shù)可得函數(shù)值等于底數(shù)值，

所以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大,則對(duì)應(yīng)函數(shù)的底數(shù)越大.

由圖可知b<a<l<d<c.故選B.

答案:B

2、當(dāng)x+l=0,即x=-l時(shí),f(x)=a°+3=4恒成立,故函數(shù)f(x)=ax+1+3恒過(-1,4)

??.其圖象由y=CY（x三0）和y=2x（x<0）的圖象合并而成.

而y=（l）X（x>0）和y=2'（x<0）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,所以原函數(shù)的圖象關(guān)于y

軸對(duì)稱.由圖象可知值域是（0,1],單調(diào)遞增區(qū)間是（-8,0],單調(diào)遞減區(qū)間是（0,+

8),

例4【答案】(1)1.72-5<1,73(2)0.8-0.8-8(3)1.7*〉

0.931

【解析】（1）（單調(diào)性法）由于1.7之與1.7?5的底數(shù)是1.7,故構(gòu)造函數(shù)y=l.7\

而函數(shù)y=l.7'在R上是增函數(shù).又2,5<3,Al.72-5<1.73.

（2）（單調(diào)性法）由于0.8-池與88-舊的底數(shù)是0.8,故構(gòu)造函數(shù)y=0.8：而函數(shù)

y=0.8”在R上是減函數(shù).又所以0.8-危<0.8-何

(3)(中間量法)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知0.931<0.9°=1,1.731>1.7°=1,則1.731>

0.931.

例5【答案】(1)定義域?yàn)椋鹸|x?R,且xW4｝，值域?yàn)?0,1)U(1,+8).

(2)定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,+8).

【解析】⑴?.,由X-4W0,得xW4,

...函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x￡R,且xW4｝..,.2〃WL，y=2二的值域

x—4

為(0,1)U(1,+8).

(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽.1x］河.5()"=?">

故y=O11的值域?yàn)椋踚，+8).

跟蹤訓(xùn)練二

【答案】1.當(dāng)a>2時(shí),—(a-1產(chǎn);當(dāng)l〈a<2時(shí)，(aT)->(a-l產(chǎn).

2.①2.53<2,55-7.②1.⑥\③2.3^28<0,677

【解析】1、因?yàn)閍〉l,且aW2,所以a-l〉0,且aTWl,

若a-l>l,即a>2,則y=(aT)*是增函數(shù)，I.(a-1)*-3<(a-1)2-4.

若0<a-Kl,即l<a<2,則y=(aT)*是減函數(shù)，I.(a-1)L3>(a-1)24.

故當(dāng)a>2時(shí)，(a-l)L3〈(a-l)24；

當(dāng)l〈a〈2時(shí)，(aT)L3〉(aT)T

2.①(單調(diào)性法)由于2.5,與2.5"的底數(shù)是2.5,故構(gòu)造函數(shù)y=2.5\而函數(shù)

y=2.5*在R上是增函數(shù).

又3<5,7,A2.53<2.5叱

②（化同底）1.5三（1）-7=?7>O4=[?3]4=?12，構(gòu)造函數(shù)y=6）：

VO<|<1,.,.y=（|）X^R上是減函數(shù).又7<12,>（|廣,即1.5,）⑥：

③（中間量法）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知2.3-028<2.3°=1,0.67~31>0.67°=1,則

，-3.1

當(dāng)堂檢測(cè)

1-3.DAC

5.(-1,2)

6.【答案】(1)R-,(2)詳見解析；(3)或x<-g｝.

【解析】(1)易知函數(shù)/(X)=2,T,XGR.

所以定義域?yàn)镠.

(2)由/(_X)=2(T)2T=2小=〃x),從而知/(x)為偶函數(shù);

(3)由條件得2j24=22，得公_1?2,解得或

所以不等式的解集為：｛x|x26或x<-百｝.

《4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)》分層同步練習(xí)一

鞏固基礎(chǔ)

1.若則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(1,+°°)B.(；,+°°)C.(-8,1)D.(一8,1)

2.若函數(shù)F(x)=(l—2a)'在實(shí)數(shù)集R上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

3.設(shè)F(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)xNO時(shí)，/1(x)=e*—l,則當(dāng)A<0時(shí)，f(x)=()

A.e'—1B.e*+1

C.—e=lD.—L+l

4.函數(shù)y=a"在［0,1］上的最大值與最小值的和為3,則函數(shù)y=2ax—1在

［0,1］上的最大值是()

A.6B.1C.3

z[xX2+2X-1

5.函數(shù)y=g的值域是()

A.(—8,4)B.(0,+8)c.(0,4]D.[4,+?=)

6.滿足方程4'+2“一2=0的x值為.

7.比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

(1)0.7f與0.7-0-4；

⑵2.514與1.21-4；

(3)1.9。4與0.92\

8.已知函數(shù)f(x)=&)a*—4x+3.

⑴若a=—1時(shí)，求函數(shù)F(x)的單調(diào)增區(qū)間；

⑵如果函數(shù)/1(x)有最大值3,求實(shí)數(shù)a的值.

綜合應(yīng)用

—x-I-3ax<0

9.函數(shù)/1(x)={,/'(a>0,且aWl)是R上的減函數(shù)，則a

[a,

的取值范圍是()

A.(0,1)B.1)C.10,；D.10,|

10.若函數(shù)f(x)=a"T(a〉0,aWl),滿足/U)=]則/1(x)的單調(diào)遞減區(qū)

y

間是()

A.(-8,2]B.[2,+°0)

C.[—2,+8)D.(—8,-2]

11.已知函數(shù)/1(x)=a2f(a>0且aWl),當(dāng)x>2時(shí)，f{x)>1,則/1(x)在R

上()

A.是增函數(shù)

B.是減函數(shù)

C.當(dāng)x〉2時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)x〈2時(shí)是減函數(shù)

D.當(dāng)x〉2時(shí)是減函數(shù)，當(dāng)x〈2時(shí)是增函數(shù)

12.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=a-ax

+2(a>0,且aWl).若g(2)=a,則/'(2)等于()

13.已知函數(shù)/1(x)=a",若實(shí)數(shù)/、滿足/■(血〉/1(〃)，貝IJ7、n

乙IA

的關(guān)系為()

A.%+〃<0B.勿+4>0C.ni>nD.nKn

14.已知函數(shù)Hx)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，〃x)=l—2一',則不

等式/'(xX—；的解集是.

15.函數(shù)尸32—2?3」1,xd[l,+8)的值域?yàn)?

16.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的腦要使存留污垢不超過原來的

1%,則至少要漂洗次.

17.已知f{x)=x(/i+$).

z—1乙

(1)求f(x)的定義域；

(2)判斷F(x)的奇偶性，并說明理由;

(3)求證:f{x)>0.

18.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)F(X)=K丁是奇函數(shù).

2十H

⑴求a,6的值;

⑵用定義證明Hx)在(一8,+8)上為減函數(shù).

⑶若對(duì)于任意teR,不等式/1(y—2t)+a2/一團(tuán)<0恒成立，求A的范

【參考答案】

1.B解析\?函數(shù)y=(；)”在R上為減函數(shù)，.?.2a+l〉3—2a,...a〉(

2.B解析由已知，得0〈l—2a〈l,解得0〈a〈；，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(0,故選B.

3.D解析由題意知/'(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)xNO時(shí)，f{x)=eA—1,則當(dāng)x〈0

時(shí)，一x〉0,則/1(—x)=e-*—l=—?/1(?),得/1(x)=—e-"+l.故選D.

4.C解析函數(shù)y=a*在。1］上是單調(diào)的，最大值與最小值都在端點(diǎn)處

取到，故有a°+4=3,解得a=2,因此函數(shù)y=2ax—l=4x—l在［0,1］上是單

調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x=l時(shí)，ymax=3.

5.C解析設(shè)力=f+2、-1,則尸，)［因?yàn)椋?(x+l)2—22—2,y=

(1)'為關(guān)于t的減函數(shù)，所以0〈尸(J)W(|)-2=4,故所求函數(shù)的值域?yàn)?0,4］.

6.0解析設(shè)t=2\t>Q'),則原方程化為/+%—2=0,，=1或t=-2.

t>0,方=一2舍去.t=1,即2"=1,...x=0.

7.解(1)..,y=0.7"在R上為減函數(shù)，又3〉一0.4,7一°上0.7f々

(2)在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2.5,與y=l.2'的

圖象，如圖所示.由圖象可知2.5「4>1.21.

(3)VI.904>1.9°=l,0.92-4<0.9°=1,Al.904>0.9空

8.解(1)當(dāng)a=—1時(shí)，F(xiàn)(X)=[]"H+3,

令g(x)=—1—4x+3=—(x+2”+7,由于g(x)

在(一2,十8)上遞減，在R上是減函數(shù),

Mx)在(一2,+8)上是增函數(shù),即F(x)的單調(diào)增區(qū)間是(一2,+8).

⑵令力(x-,f(x)=［|r,由于f(x)有最大值3,所以方(X)

ja〉O,

應(yīng)有最小值一1;因此必有，12a-16_

解得a=l,故當(dāng)Hx)有最大值

I-4a-=一

3時(shí)，a的值為1.

［0<a<L1

9.B解析由單調(diào)性定義，/1(x)為減函數(shù)應(yīng)滿足：《°°，即

3a7aJ

故選B.

10.B解析由/U)得a』"所以a=：(a=—J舍去)，即F(x)=(；)隈

yyooo

由于尸|2x—4|在(一8,2］上遞減，在［2,+8)上遞增，所以f(x)在(一

8,2］上遞增，在［2,+8)上遞減.

11.A解析令2—x=3則t=2—x是減函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x〉2時(shí)，f(x)>1,

所以當(dāng)K0時(shí)，a'〉l.所以0〈a〈l,所以/'(x)在R上是增函數(shù)，故選A.

12.B解析是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，

:.由f(x)+g(x)=a—『+2,①得/一x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=",

-a~\~2,②

①+②，得g(x)=2,①一②，得f(x)=a—a\又g(2)~a,.,.a—2,

二2?一2:

15

.\A2)=22-2-2=y.

13.D解析，.,()〈m211'；"(x)=a，=(也2*’且廣(才)在R上單調(diào)

遞減，又f1(血〉F(〃)，欣〃.

14.(—8,-1)解析?."(X)是定義在R上的奇函數(shù)，?,"(0)=0.

當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)=—f(—x)=—(1—2')=2-1.當(dāng)x〉0時(shí)，由1—2一y一

(；尸>|，得x?0；

當(dāng)x=0時(shí)，/XO)=0〈一(不成立；當(dāng)x〈0時(shí)，由2，一1〈一；，2,〈2一1得x〈

-1.

綜上可知x@(—8,-1).

15.[14,+0°)解析]令3'=焉由xG[l,+8),得力?[3,+°°).

??/=/+21-1="+1)2—2三(3+1)2—2=14.故所求函數(shù)的值域?yàn)閇14,

+°°).

16.4解析經(jīng)過第一次漂洗，存留量為總量的;；經(jīng)過第二次漂洗，存留

量為第一次漂洗后的;，也就是原來的［J,經(jīng)過第三次漂洗，存留量為原來的

3,…，經(jīng)過第x次漂洗，存留量為原來的弓卜故解析式為.由題意，耳

"W焉，4，三100,2氏三10,.?.xN4,即至少漂洗4次.

17.⑴解由于2*—1W0和2，W2°,故xWO,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/p>

{^ER|^#0}.

(2)解函數(shù)Ax)是偶函數(shù).理由如下：

由⑴知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)锳x)=x(17+〈)=

Z—1z

X.2'+1

2,2A-r

匚匚…,、x2^+1X2-1+1-2'x1+2'x2"+1,、

所以f(-x)=--?2._]=—2*2-T2'=~2,1—2A=2*2A~1=,"

所以Hx)為偶函數(shù).

x9^-I-1

⑶證明由⑵知F(x)=5?k7?對(duì)于任意XGR，都有才+1〉0,

/z—1

xV+\

若x〉0,則2,2°,所以2'-1>0,于是5?十7>0,即f(x)>0,

zz—1

x2^-I-1

若x<0,則2<2°,所以2'-1<0,于是w>0,即F(x)>0,

22—1

綜上知:f(x)>0.

18.解(1)?.?/1(X)為R上的奇函數(shù)，??.f(0)=0,6=1.又F(—1)=—H1),

得a=l.

]_2百1_2吃

(2)任取苞，苞?R,且王<在，則A^i)—AJT)=--------—~-=

22』+12七+1

(1-2為)(2*+1)-(1-2河)(2』+1)

(2國(guó)+1)(2*+1)

2(2也-2國(guó))

(2國(guó)+1)(2*+1)

?.?為<苞,2亞-2為>0,又(2為+1)(2*+1)>0,F(xi)—f(蒞)>0

??"(x)為R上的減函數(shù).

(3)VteR,不等式At2—2^)+f(2t2—A)<0恒成立，.,"(4一21)V一((2?

i)

,.?/10)是奇函數(shù)，；"(#—21)〈/>(4—2。)，：/>0)為減函數(shù)，，#—2%>/

-21?.

即4<3d一2%恒成立，而3干一2t=3（1—；）‘一1三一；.

OOO

1

k<--

《§4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)》同步練習(xí)二

一.選擇題

1.已知集合4=卜卜=,4—2，,xeN},則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）

A.8B.16

C.4D.7

2.若函數(shù)丁=優(yōu)+"+1（。>0且awl）的圖象恒過定點(diǎn)P（T2）,則勿的值是

（）

A.-1B.0

C.1D.2

3.函數(shù)丁=%+。與y=,其中a>0,且awl,它們的大致圖象在同一直

角坐標(biāo)系中有可能是（）

4.函數(shù)丁=加（。＞1）的圖象是（)

已知函數(shù)/(x)=(￡|,

5.則不等式/"-4）＞/（3a）的解集為（

A.(-4,1)B.(-1,4)

C.(1,4)D.(0,4)

已知函數(shù)/■（%）=/-己廣，則下列判斷正確的是（）

6.

e

A.函數(shù)/（X）是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù)

B.函數(shù)是偶函數(shù),且在R上是增函數(shù)

C.函數(shù)/（x）是奇函數(shù),且在R上是減函數(shù)

D.函數(shù)了。）是偶函數(shù),且在R上是減函數(shù)

2-2X

函數(shù)/"（X）=g]X

7.I的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.(0,+co)B.(1,+?)

C.(5)D.(-oo,-l)

8.若的解集是函數(shù)＞=2,的定義域，則函數(shù)y=2,的值域是（）

A.B.r2

1

C.—oo—D.[2,+8)

8

二.填空題

9.函數(shù)/（x）=5匕的定義域是.

10.若函數(shù)八%）=ax（。>0且awl）在［1,2］上最大值是最小值的2倍，則。=

三.解答題y

2%x<0

n.已知函數(shù)/'（%）="二丫Y、。，

?X十T■人,人，U

（1）求/（/（5））的值；

（2）畫出函數(shù)"%）的圖像;

（3）求函數(shù)〃尤）的單調(diào)區(qū)間，并寫出函數(shù)〃尤）的值域.

一+6%-5

12.已知函數(shù)/(x)=[￡|

（1）求函數(shù)Ax）的定義域;

（2）求函數(shù)Ax）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間;

（3）求函數(shù)f（x）的值域.

【參考答案】

一.選擇題

1.已知集合4=卜卜=，4—2\xeN},則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）