歷年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案(98-06)

1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

第一試(10月16日上午8:00——9：30)

選擇題(本大題共5小題，每小題有一個(gè)正確答案，選對得7分，選錯(cuò)、不選或多選均得0分)：

1.設(shè)有三個(gè)函數(shù)，第一個(gè)是y=°(x),它的反函數(shù)是第二個(gè)函數(shù)，而第三個(gè)函數(shù)的圖象與第二個(gè)函數(shù)的

圖象關(guān)于x+)，=0對稱，那么，第三個(gè)函數(shù)是()

A.y=—(p{x}B.y=-(p(—x)C.y=~(p1(x)D.y=-(p\-x)

2.已知原點(diǎn)在橢圓戶*2+y2-4日+26+必一1=0的內(nèi)部，那么參數(shù)上的取值范圍是()

A.因>1B.因C.-KR1D.0<|用<1

3.平面上有三個(gè)點(diǎn)集M,N,P：

M={(x，訓(xùn)因+1乂<1}，

N={(x,)')|yl(x-^+(y+^)2+yl(X+1)2+(^-1)2<2V2},

P={(x，y)l|x+y|<L|x|<l,|y|<l).則

A.MPNB.MNPC.PNMD.A、8、C都不成立

4.己知三個(gè)平面a、p、y,每兩個(gè)之間的夾角都是仇且aC)S=a,0c尸b,yQa=c.若有

命題甲：

命題乙：a、b、c相交于一點(diǎn).

則

A.甲是乙的充分條件但不必要B.甲是乙的必要條件但不充分

C.甲是乙的充分必要條件D.A、B、C都不對

5.在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，我們用/表示所有直線的集合，M表示恰好通過

1個(gè)整點(diǎn)的集合，N表示不通過任何整點(diǎn)的直線的集合，P表示通過無窮多個(gè)整點(diǎn)的直線的集合.那么表達(dá)

式(1)MUNUP=/；(2)NW0.(3)M^0.⑷尸片0中，正確的表達(dá)式的個(gè)數(shù)是

A.1B.2C.3D.4

二.填空題(本大題共4小題，每小題10分)：

1.設(shè)且兩數(shù)列X,0，上，“3,y和仇，X，①，仇，y，仇均為等差數(shù)列，那么上也=.

2.(G+2產(chǎn)+1的展開式中，x的整數(shù)次基的各項(xiàng)系數(shù)之和為.

DE

3.在△ABC中，已知NA=a,CD、BE分別是AB、AC上的高，則行=.

4.甲乙兩隊(duì)各出7名隊(duì)員，按事先排好順序出場參加圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘

汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽，……直至一方隊(duì)員全部淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一種比賽過程.那

么所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)為.

三.(15分)長為啦，寬為1的矩形，以它的一條對角線所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，求得到的旋轉(zhuǎn)體的體積.

四.(15分)復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)Z1的軌跡方程為同一Zo|=|Z||,Z)為定點(diǎn)，ZoWO,另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z滿足Z|Z=-1,

求點(diǎn)Z的軌跡，指出它在復(fù)平面上的形狀和位置.

五.(15分)已知a、￡>為正實(shí)數(shù)，且1+t=1，試證：對每一個(gè)

(,a+b)n-an-bn>22n-2n+l.

1988年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題

一.已知數(shù)列｛斯｝,其中0=1,。2=2,

J5〃〃+1—1為偶數(shù))，

“"2一〔?！?1—a〃(斯?恁+i為奇數(shù)).

試證：對一*切a〃WO.

二.如圖，在△ABC中，P、Q、R將其周長三等分，且P、Q在AB邊上，求證：沁絲條

3ABCy

三.在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無窮多直線/”12,……，/“，…的直線族，它滿足條件：

(1)點(diǎn)(1,1)￡/?,(n=l,2,3,……)；

(2)kn+i=a?-bn,其中就?是端的斜率,即和力分別是/“在x軸和)，軸上的截距，(〃=1,2,3,……)；

(3)/扁+i20,(n=l,2,3,...).

并證明你的結(jié)論.

1992年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷

第一試

選擇題(每小題5分，共30分)

1.對于每個(gè)自然數(shù)〃，拋物線夕=(〃2+〃)*一(2〃+1)/+1與才軸交于4,氏兩點(diǎn)，以|力￡|表示該兩點(diǎn)的距離，則|4/

十|+…+|力1992忌Kttl的值是()

1991199219911993

(A)1992(B)1993?1993(D)1992

2.已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的方程是()

(A)(x+Vl-yXy+Vl-X2)=0(B)(X-A/1-/)(y_Vl-X2)=0

(C)(x+J1-V)(y-"1—爐)=0⑻6-戊一丁)(y+41—聲)=0

4

(￡E)

3.設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為S,$,S,S,,它們的最大值為S,記力=<='/S,則4一定滿足()

(A)2<%<4(B)3<^<4(C)2.5<XW4.5(D)3.5<^<5.5

CiiB

4.在△4式"中，角48,。的對邊分別記為a",c(近1),且A'CA都是方程l°g〃X=iog“(4A4)的根，則△/1%()

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形

5.設(shè)復(fù)數(shù)z”乃在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為4B,且31=4,4k-2?&+蘇=0,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△046的面積為()

(A)8^3(B)4^(06石(D)12石

6.設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集"上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系/UO+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+M,則f(x)是

(A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù)(B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù)(D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

二.填空題(每小題5分共30分)

X,J-,1-X--,1--Z

1.設(shè)X,y,z是實(shí)數(shù)，3x,4y,5z成等比數(shù)列，且“yZ成等差數(shù)列，則zX的值是___.

2.在區(qū)間［0,文］中，三角方程cos7x=cos5x的解的個(gè)數(shù)是.

3.從正方體的棱和各個(gè)面上的對角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是

4.設(shè)火都是復(fù)數(shù)，且|zj=3,|z2l=5|z1+勿|=7,則arg(4)3的值是.

5.設(shè)數(shù)列a,…，備，…滿足a=企=1,a=2,且對任何自然數(shù)n,都有司溫”+i&+2工1,又4&+1劣+2&+3=&+%十】

+&+2+品+3,則國+/+…+400的值是____.

6.函數(shù)f(x)=Jx"-3d—6x+13_JP+1的最大值是__.

801

三、(20分)求證：kA7K

四、(20分)設(shè)/,0是兩條異面直線，在/上有4B,C三點(diǎn)，且/廬比；過4B,C分別作0的垂線4ftBE,CF,垂足依

7

次是〃，E,F,已知4方m，BE=2C產(chǎn)小小，求/與初的距離.

”7皿j_

五、(20分)設(shè)〃是自然數(shù)，f“(x)=X-X-i(臍0,±1),令尸x+X.

1.求證：￡*M=yf?(x)-fn-x(x),(〃)1)

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：

fn

>"一0"2+—+(_1)匕1尸"..+(_1)2,?=1,2「..療,〃為偶數(shù))

y"-。3尸+...+(_1)以產(chǎn)，+...+(_］產(chǎn)喧,《=1,2「-,叼1,〃為奇數(shù))

fAx)=22

1993年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷

第一試

選擇題（每小題5分，共30分）

y）\?+/W2},則/N的元素個(gè)數(shù)是（）

1.若必={(%y)!|tg7ry\+sirfrrx-0},N={(x,

(A)4㈤5(08(功9

2.已知f(A)=asinx+b^-4(a,6為實(shí)數(shù)），且fQg/o與10）=5,則加的值是（）

(A)-5(而-3（03（9隨a,6取不同值而取不同值

3.集合小〃的并集/UB={&，/，&},當(dāng)時(shí),（力，而與（8,⑷視為不同的對，則這樣的（力，0對的個(gè)數(shù)是（）

(A)8(皮9(O26(〃)27

7T

4.若直線x=4被曲線a(X—arcsina)(x—arccosa)+(y—arcsina)(yd-arccosa)=0所載的弦長為d,當(dāng)a變化時(shí)

"的最小值是（)

兀71n

(A)4I(02(〃)兀

sinC-A+coS￡.±A

5.在△力旗中,角4B,。的對邊長分別為a,b,若c-a等于"'邊上的高4則22的值

是（）

(A)l

(A)(B)(C)(D)

6.設(shè)。，〃為非零復(fù)數(shù),了為虛數(shù)單位，zwC,則方程Iz+ni\4-1z—加|=〃與|z+ni\—z—加|=-m在同一復(fù)平

面內(nèi)的圖形（￡,區(qū)為焦點(diǎn)）是（）

二.填空題（每小題5分，共30分）

1.二次方程（1—。4+（4+1）彳+（1+"）=0（/為虛數(shù)單位，/le心有兩個(gè)虛根的充分必要條件是4的取值范圍為

士+十二

2.實(shí)數(shù)必y滿足4y—5盯+4/=5,設(shè)S=V+/，則°max°min

5萬匹_

3.若ZGC,argG_4)=6,*g(^+4)=3,則z的值是.

"1093"

4.整數(shù)Ll°3+3」的末兩位數(shù)是.

log、199升log、,1993+logVi1993Zs-log,1993

5.設(shè)任意實(shí)數(shù)即>為>網(wǎng)>兩>0,要使司石?！肥愠闪?，則4的

最大值是.

6.三位數(shù)(100,101,…，999)共900個(gè)，在卡片上打印這些三位數(shù)，每張卡片上打印一個(gè)三位數(shù)，有的卡片所印的，

倒過來看仍為三位數(shù)，如198倒過來看是861；有的卡片則不然，如531倒過來看是，因此，有些卡片可以一卡

IES

二用，于是至多可以少打印張卡片.

三.(本題滿分20分)

三棱錐S—45C中，側(cè)棱相、SB、SC兩兩互相垂直，〃為三角形，及7的重心，。為4〃的中點(diǎn)，作與SC平行的直線加.證

明：⑴"5與SM相交；⑵設(shè)如與SV的交點(diǎn)為。'，則。'為三棱錐5—被?的外接球球心.

四.(本題滿分20分)

設(shè)0Va<&,過兩定點(diǎn)4(a,0)和8(6,0)分別引直線/和如使與拋物線/=x有四個(gè)不同的交點(diǎn)，當(dāng)這四點(diǎn)共圓時(shí)，

求這種直線1與/〃的交點(diǎn)尸的軌跡.

五.(本題滿分20分)

設(shè)正數(shù)列斑，a,金，…，a”,…滿足’4,4-27a,1%=2a,i(〃,2)且a=a=l.求｛&｝的通項(xiàng)公式.

1994年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

第一試

選擇題(每小題6分，共36分)

1.設(shè)a,6,c是實(shí)數(shù)，那么對任何實(shí)數(shù)%不等式asinx+bcosx+c>°都成立的充要條件是

(A)a,。同時(shí)為0,且c>0⑻加+(2=C

(C)V<72+b2<c(D)4a1+b2>c

2.給出下列兩個(gè)命題：

(1)設(shè)a,b,C都是復(fù)數(shù)，如果。2+。2>。2,則。2+.2_。2>0；

(2)設(shè)a,b,C都是復(fù)數(shù)，如果〃2+〃2―。2>0,則〃2+52>。2.

那么下述說法正確的是

(A)命題(1)正確，命題(2)也正確(B)命題⑴正確，命題⑵錯(cuò)誤

(C)命題(1)錯(cuò)誤，命題⑵也錯(cuò)誤(D)命題⑴錯(cuò)誤，命題⑵正確

+a

3.已知數(shù)列｛〃〃)滿足3a〃+1n=4(九之1),且卬=9,其前n項(xiàng)之和為s〃，則滿足不等式""〃6"125

的最小整數(shù)刀是

(A)5(B)6(07(D)8

71

0<Z><l,0<a<—V_rSnz/J"oSin"、，一/cnc0gHe0517

4.己知4,則下列三數(shù)：x-(sina),y-(cosa),z-(sma)的大

小關(guān)系是

(A)x<z<y(B)yVzVx(C)z<x<y(D)x<y<z

5.在正〃棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是

(--Z兀用)(---7T,7T)(0,3)(---7T,---^)

(A)〃(B)〃(C)2(D)nn

\x+y\[\x-y\

6.在平面直角坐標(biāo)系中,方程2a2b(a,8是不相等的兩個(gè)正數(shù))所代表的曲線是

(A)三角形(B)正方形

(C)非正方形的長方形(D)非正方形的菱形

二、填空題(每小題9分，共54分)

1.已知有向線段聞的起點(diǎn)P和終點(diǎn)。的坐標(biāo)分別為(-1,1)和(2,2),若直線/：x+wy+〃=O與園的延長線相交，則w

的取值范圍是

x3+sinx-26f=0

x,y一■eR

2.已知44II[4)廣+siny8sy+。=0則cos*+2y)

222

A={(x,y)|(x-3)2+(y-4-4(1)2}B={(x,y)|(x-4)+(y-5)>(|)}AnR

3.已知點(diǎn)集2,2，則點(diǎn)集々I萬

中的整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為

0

sin—(1+cos。)

4.設(shè)°<e〈萬，則2的最大值是

5.己知一平面與一正方體的12條棱的夾角都等于a,則sina=

6.已知95個(gè)數(shù)4,42，°3，",，°95,每個(gè)都只能取+1或一1兩個(gè)值之一，那么它們的兩兩之積的和

”294。95的最小值是.

a]a2+

1995年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

第一試

選擇題(每小題6分，共36分)

1.設(shè)等差數(shù)列｛“"｝滿足3a8=5a”且4&為其前項(xiàng)之和，則$中最大的是(

)

(A),io(B)S“(C)^20(D)S21

則復(fù)數(shù)2嗎2的，???，乙『5所

2.設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為Z|，Z2「?、Z2O,

對應(yīng)的不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

(A)4(B)5(C)10(D)20

3.如果甲的身高數(shù)或體重?cái)?shù)至少有一項(xiàng)比乙大，則稱甲不亞于乙，在100個(gè)小伙子中如，果某人不亞于其他99人，就稱

他為棒小伙子，那么，100個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有()

(A)l個(gè)(B)2個(gè)(050個(gè)(D)100個(gè)

4.已知方程次一2川=公正("CN)在區(qū)間(2廳1,291]上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則立的取值范圍是()

0<A:<.1

(A)k>0(B)V2n+1

1,1

-------<k</

(02〃+1"2〃+1(D)以上都不是

5.10811405110&汨/1,10&0);肉111,10取向1用的大小關(guān)系是()

(A)1。-nlCOSl<lo&0slsin1<lo.nl吆1<10gMsJgl

(B)lo&osisin1<lo&g/gl<loanicosl<lo&mtgl

(C)lo&initgl<I。3tgl<1。—sin1<lo&nIcosl

(D)loaositg1<lo&nitgl<lo&njcosl<lo&0slsin1

6.設(shè)。是正三棱錐底面三角形4%的中心，過。的動(dòng)平面與產(chǎn)。交于5,與必，陽的延長線分別交于Q,R,則和

_L+_L+_L

式TPQ匕PRPS

(A)有最大值而無最小值(8有最小值而無最大值

(C)既有最大值又有最小值，兩者不等(D)是一個(gè)與面8s無關(guān)的常數(shù)

二、填空題(每小題9分，共54分)

a

1.設(shè)久△為一對共加復(fù)數(shù)，若心一川=26，且夕為實(shí)數(shù)，貝"口=

2.?個(gè)球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個(gè)球的體積之比為

3.用3表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，方程愴一》一［思幻一2二°的實(shí)根個(gè)數(shù)是

、x

4.直角坐標(biāo)平面上，滿足不等式組I”+y4100的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

5.將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可使用，那么不同的染色方

法的總數(shù)是.

6.設(shè)標(biāo)｛1,2,3,…，1995｝,/是M的子集且滿足條件：當(dāng)XGA時(shí)，15x^A,則/中元素的個(gè)數(shù)最多是.

一九九六年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽

一、選擇題(本題滿分36分，每小題6分)

1.把圓一+(y-1尸=1與橢圓9/+(y+1尸=9的公共點(diǎn)，用線段連接起來的圖形是______.

(A)線段(B)不等邊三角形(C)等邊三角形(D)四邊形

2.等比數(shù)列｛a。｝的首項(xiàng)&=1536,公比是q=2.用7；表示它的前〃項(xiàng)之積，則刀,(灰心最大的是

(A)T,(B)T?(0T12(D)T,：i

3.存在在整數(shù)“，使+"是整數(shù)的質(zhì)數(shù)..

(A)不存在(B)只有一個(gè)(C)多于一個(gè)，但為有限個(gè)(D)有無窮多個(gè)

4設(shè)xc(-2,0),以下三個(gè)數(shù)：ai=cos(sinx7r),a：Fsin(cosx7c),a：,二cos(x+1)兀的大小關(guān)系是.

(A)a3<a2<ai(B)ai<aYa2(C)ch<ai<a2(D)a2<a,i<ai

5.如果在區(qū)間［1,2］±,函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+(尸在同一點(diǎn)取相同的最小值，

那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是.

4+—V2+V44--V2+V41--V2-V4

(A)4(B)2(C)2(D)以上答案都不對

6.高為8的圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)半徑為2的球a,球心a在圓臺(tái)的軸上.球a與圓臺(tái)上底面、側(cè)面都相切.圓臺(tái)內(nèi)可再放入一

個(gè)半徑為3的球a,使得球&與球a、圓臺(tái)的下底面及側(cè)面都只有一個(gè)公共點(diǎn)，除球a,圓臺(tái)內(nèi)最多還能放入半徑為3

的球的個(gè)數(shù)是.

(A)l(B)2(03(D)4

二、填空題（本題滿分54分,每小題9分）

1.集合｛x|-1<log（>10<-,xwN｝的真子集的個(gè)數(shù)是.

1

—71

2.復(fù)平面上非零復(fù)數(shù)0、為在以/為圓心1為半徑的圓上，ze的實(shí)部為零，zi的輻角主值為6，則z2=

3.曲線C的極坐標(biāo)方程是p=1+cos。，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是（2,0）.曲線C在它所在的平面內(nèi)

繞A旋轉(zhuǎn)一周，則它掃過的圖形的面積是.

4.已知將給定的兩個(gè)全等的三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六

面體，并且該六面體的最短棱的長為2,則最遠(yuǎn)的兩個(gè)基本點(diǎn)頂點(diǎn)的距離是_.

5.從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色.將一個(gè)正方體的六個(gè)面染色，每面恰染一種

顏色，每兩個(gè)具有公共棱的面染成不同顏色.則不同的染色方案共有一一種.

（注:如果我們對兩個(gè)相同的正方體染色后,可以通過適當(dāng)?shù)姆D(zhuǎn)，使得兩個(gè)正方體的上、下、左、右、前、后六個(gè)對應(yīng)面的染

色都相同，那么，我們就說這兩個(gè)正方體的染色方案相同）.

6.在直角坐標(biāo)平面上，以（199,0）為圓心，以199為半徑的圓周上，整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為

【第二試】

一、（本題滿分25分）

設(shè)數(shù)列數(shù)｝的前n項(xiàng)和Sn=2fln—1（"=1,2,…），數(shù)列｛久｝滿足』=3,尻+1=必+氏2,…）。求數(shù)

列｛4｝的前〃項(xiàng)和.

二、（本題滿分25分）

求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對任意實(shí)數(shù)x和任意6《［0,兀/2］恒有

（x+3+2sin?cosO'）~+（x+asin，+4cos。）1/8.

三、（本題滿分35分）

如圖，圓01和圓。2與4ABC的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H為切點(diǎn),并且EG、F”的

延長線交于P點(diǎn)。求證直線也與BC垂直。

四、（本題滿分35分）

有n（心6）個(gè)人聚會(huì),已知：

（1）每人至少同其中［］］個(gè)人互相認(rèn)識(shí);

（2）對于其中任意［1］個(gè)人，或者其中有2人相識(shí)，或者余下的人中有2人相識(shí)。

1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷

（10月5日上午8:00-10:00）

一、選擇題（每小題6分，共36分）

1.已知數(shù)列｛七｝滿足七+1=工"一x,=a,xi記5=用+論+…+x“則下列結(jié)論正確的是

（/I）a,Soo=28a（7^）Jfioo"-b、5oo=2ba

（6）X］（n=-b,5）oo=Z?-a（勿Xioo=—a,So（）=b——3

2.如圖，正四面體力及力中，￡在棱月6上，尸在棱CD上,使得

第=喋=2（0</1<+8）

JC￡>rU,

記/（乃=%+外其中%表示即與〃■所成的角，乩表示"與劭所成的角，則

（力f⑷在（。,+8）單調(diào)增加

出/（丸）在（°，+8）單調(diào)減少

（。/（2）在（0,1）單調(diào)增加，而在（1,+8）單調(diào)減少

(。)/(2)在(0,+<?)為常數(shù)

3.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不少于3,且各項(xiàng)的和為9"則這樣的數(shù)列共有

（⑷2個(gè)（面3個(gè)（。4個(gè)（95個(gè)

4.在平面直角坐標(biāo)系中，若方程根（天+好+2丁+1）=（%一2卜+3）2表示的曲線為橢圓，則用的取值范圍為

U)(0,1)⑷(1,+00)(0(0,5)(0)(5,+8)

f(\一"』0=arctgj,/=arccosG1),3=arcctg—?)

5,設(shè)八Xx)-X叫7rxa=arcsin3,434,則

(J)/(?)>f(B)>/3)>/(7)㈤/⑷>/⑻>f(/3)>f(r)

(°/(^)>/(?)>/(/7)>/(7)(〃)/(5)>/0)>/(7)>/(萬)

6.如果空間三條直線a,/）,c兩兩成異面直線，那么與a,b,c都相交的直線有

（J）0條（面1條（。多于1的有限條（。）無窮多條

二、填空題(每小題9分，共54分)

\X-1)3+199XX-1)=-1

<

設(shè)X,y為實(shí)數(shù)，且滿足［(>一1)3+199"'一1)=1,則x+y=.

過雙曲線X2-1的右焦點(diǎn)作直線/交雙曲線于48兩點(diǎn),若實(shí)數(shù)％使得|"|=%的直線/恰有3條，則九=.

|2Z+-L|=1

已知復(fù)數(shù)Z滿足Z,則Z的幅角主值范圍是.

已知三棱錐S-4笫的底面是以46為斜邊的等腰三角形，SA=SB=SC=2,AB=2,設(shè)S、4、B、。四點(diǎn)均在以0為球心的某個(gè)

球面上，則點(diǎn)。到平面4町的距離為.

設(shè)ABCDEF為正六邊形,一只青蛙開始在頂點(diǎn)力處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點(diǎn)之一.若在5次之內(nèi)跳到。點(diǎn)，則停止跳

動(dòng)；若5次之內(nèi)不能到達(dá)"點(diǎn)，則跳完5次也停止跳動(dòng)，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共種.

設(shè)a=lgz+1g[x(yz)4-1]"=lg尸+lg(xyz+l),c=1gy+1g[[xyz)-l+1]，記a,b,c中最大數(shù)為機(jī)則材的最小值為.

一九九八年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷

(10月11日上午800—1000)

一、選擇題(本題滿分36分，每小題6分)

1.若且lg(a+A)=lgKlg。，則lg(a-D+lg(5D的值

(A)等于lg2(B)等于1(C)等于0(D)不是與無關(guān)的常數(shù)

2.若非空集合4={J2於1W啟3a-5},廬{x|3WxW22},則能使/勺/0占成立的所有且的集合是()

(A){a|lWaW9}(B){a|6這a近9}(C){a|aW9}(D)0

3.各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列{aj前〃項(xiàng)和記為S,,若S0=10,S0=70,則S°等于()

(A)150(B)-200(0150或-200(D)400或-50

幺=且=4

4.設(shè)命題戶：關(guān)于x的不等式與a*+a戶Q>0的解集相同；命題Q：出瓦02。則命題。

(A)是命題戶的充分必要條件(B)是命題戶的充分條件但不是必要條件

(C)是命題戶的必要條件但不是充分條件

(D)既不是命題。的充分條件也不是命題戶的必要條件

5.設(shè)￡,￡6■分別是正四面體4及力的棱4氏比；勿的中點(diǎn)，則二面角占林￡的大小是()

.V6

arcsin--—+arccos--

(A)3(B)23

--arctgv2^--arcctg-；—

(02(D)2

6.在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中,

共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是()

(A)57(B)49(043(D)37

二、填空題(本題滿分54分，每小題9分)

上f(絲)〃⑼)〃鹿)

1.若/(x)(xeR)是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)xe[0,l]時(shí)，f(x)=xl99S,則'19,17,15由小到大

的排列是.

2.設(shè)復(fù)數(shù)2=8s6+isine(°°w°W180°),復(fù)數(shù)％(i+f)z,2z在復(fù)平面上對應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是q。衣，當(dāng)RQR不

共線時(shí)，以線段戶。,/火為兩邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為S,則點(diǎn)s到原點(diǎn)距離的最大值是.

3.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有種.

4.各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4,其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100,這樣的數(shù)列至多有—―項(xiàng).

5.若橢圓》?+4(?—a/=4與拋物線=2y有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

6.中，NB90°,N廬30°."是4?的中點(diǎn)，將△4。/沿折

起，使43兩點(diǎn)間的距離為2&,此時(shí)三棱錐4-5。/的體積等于

(本題滿分20分)

<0<71-

已知復(fù)數(shù)2=l-sin"+fcos"(2)，求z的共匏復(fù)數(shù)Z的輻

角主值。

四、(本題滿分20分)

設(shè)函數(shù)/(幻="廠+8x+3(aV0),對于給定的負(fù)數(shù)a,有一個(gè)最大的正數(shù)/(a),使得在整個(gè)區(qū)間［0,/(a)］上，不

等式If31W5都成立。

問：a為何值時(shí)1(a)最大？求出這個(gè)最大的/(a),證明你的結(jié)論。

五、(本題滿分20分)

已知拋物線=2〃%及定點(diǎn)4(0力)，8(_a0),(a6*。，"*2〃a),M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線兒儀序/與拋物線

的另一交點(diǎn)分別為M,必

求證：當(dāng)“點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)(只要M,.吆存在且麻片,%)，直線機(jī)必恒過一?個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)。

1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽

一.選擇題(滿分36分，每小題6分)

1.給定公比為g(q#l)的等比數(shù)列{a.},設(shè)8=ai+a：+a”&=a,+a5+a,-?+a)Q+a”…，則數(shù)歹!I{4}()

(力是等差數(shù)列(0是公比為g的等比數(shù)列

(0是公比為"的等比數(shù)列(。)既非等差數(shù)列也非等比數(shù)列

2.平面直角坐標(biāo)系中，縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，那么，滿足不等式(Ix-D2+(ly|-1產(chǎn)<2的整點(diǎn)(*,

y)的個(gè)數(shù)是()

(4)16㈤17(018(0)25

3.若(［儂3),-(/。頡3尸》(［。庚3)7-(/。去3)7,貝4()

(J)x-y^O(0x+y20(6)(9

4.給定下列兩個(gè)關(guān)于異面直線的命題：

命題I：若平面a上的直線a與平面尸上的直線人為異面直線，直線。是a與尸的交線，那么，。至多與包。中的一條

相交：

命題II：不存在這樣的無窮多條直線，它們中的任意兩條都是異面直線。

那么，（）

儲(chǔ)）命題i正確，命題n不正確（⑸命題n正確，命題?不正確

（。兩個(gè)命題都正確（〃）兩個(gè)命題都不正確

5.在某次乒乓球單打比賽中，原計(jì)劃每兩名選手恰比賽一場，但有3名選手各比賽了2場之后就退出了，這樣，全部

比賽只進(jìn)行了50場。那么，在上述3名選手之間比賽的場數(shù)是（）

（4）0（面1（02⑵3

6.已知點(diǎn)1（1,2）,過點(diǎn)（5,-2）的直線與拋物線y=4%交于另外兩點(diǎn)氏C,那么，△/吃"是（）

（4）銳角三角形（囪鈍角三角形（。直角三角形（功答案不確定

填空題（滿分54分，每小題9分）

1.已知正整數(shù)〃不超過2000,并且能表示成不少于60個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和，那么，這樣的〃的個(gè)數(shù)是.

_5_zc_o__s_M___+__i_s_i_n__M__

2.已知6=arctgl2,那么，復(fù)數(shù)239+Z的輻角主值是

ctgC

3.在△48。中，記BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9//-19<?2=0,則力84+戊8鳥=__

上一￡=1

4.已知點(diǎn)/,在雙曲線169上，并且產(chǎn)到這條雙曲線的右準(zhǔn)線的距離恰是戶到這條雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的

等差中項(xiàng)，那么，戶的橫坐標(biāo)是.

5.已知直線ax+6y+c=0中的a,b,c是取自集合｛-3,-2,-1,0,1,2,,3｝中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的

傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是.

6.已知三棱錐94K1的底面是正三角形"點(diǎn)在側(cè)面$比1上的射影〃是△眥'的垂心,二面角心4以。的平面角等于30。,

S4=2石。那么三棱錐64%:的體積為_____.

三、（滿分20分）已知當(dāng)檢血1］時(shí)，不等式—x）+（l—x）2sine>°恒成立，試求的取值范圍.

fV_J5

四、（滿分20分）給定水-2,2）,己知8是橢圓2516上的動(dòng)點(diǎn)，尸是左焦點(diǎn)，當(dāng)|4例+3|跖|取最小值時(shí)，求

8的坐標(biāo).

22

五、（滿分20分）給定正整數(shù)〃和正數(shù)M對于滿足條件/+a"+iWM的所有等差數(shù)列a,魅備，….，試求S=&+,+a,+2

H---b&2“+i的最大值.

2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試卷

(10月15日上午8:00-9:40)

一、選擇題(本題滿分36分，每小題6分)

1.設(shè)全集是實(shí)數(shù),若人={對4-2WO},B={x|I*’1吟,則百是()

(A){2}(B){-1}(C){x|x近2}(D)°

aaa

2.設(shè)sina>0,cosa<0,且sin3>COs3,則3的取值范圍是()

災(zāi)至2kfrJT2tor災(zāi)